Aula 01 - Conjunto Numérico

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Noções básicas de conjunto.1-
Introdução
No dia a dia, podemos observar que a matemática está em toda parte, a nossa volta está cercada por diversos objetos sendo eles reais ou 
abstratos, geralmente esses objetos são organizados em forma de conjuntos, muitas vezes não nos damos conta de toda essa organização. 
São exemplos de conjuntos:
- O conjunto de todos os países em um certo continente.
- O conjunto de um carro de uma certa marca.
- O conjunto dos números pares.
- O conjunto de todos os números de telefone do DDD (67) – Mato Grosso do Sul e por ai em diante.
Organizar objetos em conjuntos por exemplo facilitou uma simples ida ao mercado fazer uma compra. Quando temos uma lista, temos a 
facilidade do mercado ser separado em setores e o produto carne está no setor de açougue, leite em laticínios, pão na padaria etc.
Diante disso, vamos entender conjunto como sendo uma coleção de objetos.
Para representar conjunto, utilizamos uma letra latina maiúscula e especificamos seus elementos entre chaves .
Exemplo: Seja o conjunto de todos os países da América do sul.
A={Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Colômbia, Equador, Guiana, Paraguai, Peru, Suriname, Uruguai e Venezuela, além do terri tório da Guiana 
Francesa.}
Exemplo: Seja o conjunto de todos os números naturais ímpares. .
Exemplo: Seja C o conjunto de carros da marca fiat:
 
 
Esta forma de representar um conjunto é chamado de forma tabular, podemos expressar também de uma maneira mais formal.
Exemplo:
 " "
 
 
Observação: O símbolo “ | ” lê-se “tal que”, no caso do conjunto A lê-se, A é o conjunto dos x tais que x é um país da América do sul.
Usaremos a notação “ ” (pertence) quando dizemos que um elemento faz parte de um conjunto,
Exemplo: 
Exemplo: Seja , então .
e notação (não pertence) para dizer que um elemento não faz parte do conjunto, ou seja, "e ".
Podemos também representar um conjunto quando não possui elementos, neste caso o conjunto é denominado como conjunto vazio e 
denotamos como , {} ou como uma sentença 
 
 
 .
Como conjunto é uma coleção de objetos, quando comparamos dois a dois, é provável que aconteça conjuntos com objetos completamente 
diferentes, ou possuírem alguns objetos iguais, para melhor compreensão, vamos dividir em casos:
Sejam e dois conjuntos quaisquer.
Primeiro caso: e possuem todos os objetos exatamente iguais. Neste caso os dois conjuntos possuem exatamente os mesmos objetos 
são ditos iguais. Usaremos a notação ou também .
Exemplo: Os conjuntos e são iguais, pois possuem os mesmos elementos.
Segundo caso: Quando e não possuem objetos em comum, ou seja, todos os elementos são diferentes, esses conjuntos também podem 
ser chamados de conjuntos disjuntos. Usaremos a notação .
Exemplo: Os conjuntos e são diferentes, pois não possuem objetos em comum.
Terceiro caso: Quando A e B possuem alguns elementos em comum, esses elementos em comum podemos representar como notação na 
forma .
Exemplo: Os conjuntos e possuem os elementos 5 e 6 em comum, neste caso dizemos que 
 e lê-se “A intersecção B” é igual a 5 e 6.
Quarto caso: Quando todos os elementos de A também são elementos de B. Neste caso todos os elementos de A também são elementos de 
B, porém nem todos os elementos de B são elementos de A, neste caso o conjunto A é chamado de subconjunto de B ou que A está contido 
em B, usaremos a notação , podemos dizer também que B contém A e neste caso a notação é .
Exemplo: Sejam os conjuntos e , observe que neste caso 
Note que .
A notação representa a união de dois conjuntos, e uma observação interessante do exemplo acima é que 
 e .
Conjunto numérico.2-
Conjunto dos números naturais.
Ao longo de nossa jornada escolar, aprendemos diversas habilidades e competências para a vida, uma delas é a capacidade de le itura e a 
noção de números, porém o que difere uma da outra vai depender da local onde você reside, países diferentes possui uma língua diferente, 
por outro lado, os símbolos para representar números são praticamente universais. Ao longo da nossa história tivemos diversos sistema 
numéricos, os mais importantes são os sistema egípcio, encontrado no papiro de Moscou (1850 a.C.) e o papiro de Rhind (1650 a.C.), o 
sistema romano que ainda hoje é muito usado para representar capítulos de um livro ou números de relógio de ponteiro, e por fim o sistema 
comumente usados nos dias de hoje que é o sistema indo-arábico, o que diferencia dos demais sistemas está no fato de dele ser decimal, o 
que significa que os números são agrupados em potência de 10 e posicional, ou seja, podemos escrever o número 
 desta forma. Observe a posição que um algarismo ocupa na representação altera a quantidade que ele representa.
O conjunto dos números naturais será representado pelo símbolo e é formado pelos elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e assim por 
Aula 01 - Conjunto Numérico
quinta-feira, 1 de abril de 2021 14:30
 Página 1 de Aula 01 
comumente usados nos dias de hoje que é o sistema indo-arábico, o que diferencia dos demais sistemas está no fato de dele ser decimal, o 
que significa que os números são agrupados em potência de 10 e posicional, ou seja, podemos escrever o número 
 desta forma. Observe a posição que um algarismo ocupa na representação altera a quantidade que ele representa.
O conjunto dos números naturais será representado pelo símbolo e é formado pelos elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e assim por 
diante, podemos também representar isso na forma tabular:
 
Este conjunto é muito usado na contagem de objetos, numeração em páginas de um livro etc.
O conjunto representado pelo símbolo , significa que o conjunto é formado pelos números naturais exceto o número zero, ou seja:
 
Operações com números naturais.
Podemos representar os números naturais como um conjunto de pontos marcados de forma equidistante sobre uma reta.
Esta reta é chamada de reta numérica.
A reta numérica se inicia com o número zero a esquerda, tomando uma distância aleatória que chamaremos de “unidade”, avança -se para o 
seguinte número o 1, e assim por diante.
A soma de um número a pôr um número b, será caminhar b unidades para a direita a partir de a, ou seja, a adição do número 3 ao número 5 
temos como resposta o número 8.
Usaremos a notação .
Ou de forma genérica .
Podemos também ter um número a e caminhar b unidades para a esquerda, neste caso chamaremos a operação de uma subtração e 
indicaremos .
Diante do exemplo acima notamos também que 8 é um número maior que 3, indicamos esta desigualdade com o símbolo < (menor) ou > 
(maior) e neste caso podemos escrever ou também .
Como consequência, temos duas propriedades em relação as operações com números naturais. 
Propriedade comutativa: Se , então .
Propriedade associativa: Se , então .
Essas propriedades são excelentes quando vamos manipular expressões numéricas.
Exemplo: Calcule o valor de:
 
SOLUÇÃO:
Conjunto dos números inteiros.
Vamos iniciar este item com o seguinte problema:
Augusto tinha R$ 15,00. Comprou na padaria 8 pães ao custo de R$ 4,80, um litro de leite R$ 5,50 e um mix de salgado R$ 6,20. Augusto 
pagou a conta com os 15 reais ainda ficou devendo R$ 1,50 reais.
SOLUÇÃO:
O conjunto formado pelos números naturais 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... etc e pelos números negativos -1, -2, -3, -4, -5, ... etc, é chamado de conjunto de 
números inteiros.Página 2 de Aula 01 
 
Usaremos a letra vem da palavra em alemão zahl, que significa número. As reticências … significa que é possível continuar escrevendo 
tantos inteiros quanto desejamos.
Na reta numérica vemos:
Definição: Sejam a e b números inteiros.
i) Se , então:
 
 
ii) Se , então:
 
 
iii) Se , então 
Usaremos os símbolos ou para representar uma multiplicação, notamos também que a multiplicação também possui as propriedades 
comutativa e associativa, logo:
 e 
Retornando a um exemplo anterior acima, vamos calcular a soma:
Exemplo: Calcular a soma:
 
SOLUÇÃO:
Propriedade distributiva ou Distributividade:
Sejam , temos:
 
Esta propriedade é muito utilizada nos estudos de produtos notáveis (aula 05) para esta aula somente veremos como esta propriedade 
funciona.
Quando tenho que realizar contas do tipo , o interessante neste caso não é realizar contas aleatórias e sim usar a propriedade 
para associar em algo mais simples. Neste caso vemos:
Deixaremos para maiores detalhes quando iremos estudar os produtos notáveis.
Conjunto dos números racionais.
O conjunto dos números racionais surgiu na necessidade de representar números compreendidos entre os números inteiros, na prática, como 
um marceneiro faria suas medidas usando somente um tipo de régua não ponderada? Como iriamos representar uma fatia de uma pizza?
O conjunto dos números racionais será representado pelo símbolo .
 
 
 
 
Esta expressão significa que os números racionais são representados na forma 
 
 
 onde p e q são números inteiros e q obrigatoriamente não 
pode ser o número 0, ou seja , chamaremos p de numerador e q de denominador.
Vamos representar abaixo álbuns exemplos de números racionais:
Exemplo: O número 
 
 
 será representado:
SOLUÇÃO:
Exemplo: O número 
 
 
 será representado:
SOLUÇÃO:
Diferentemente dos números inteiros que cada número representa uma posição na reta, os números racionais podem ter representações 
diferentes para ocupar o mesmo lugar na reta.
 Página 3 de Aula 01 
Exemplo: No caso dos números 
 
 
 e 
 
 
 são representações diferentes e ocupam o mesmo lugar.
Da forma que representamos os números racionais , então sejam dois números 
 
 
 e 
 
 
 são ditos equivalentes quando:
 
 
 
 
 
 
Conforme visto no exemplo acima, temos que e essas frações são chamadas de frações equivalente, possuem 
representações diferentes mas ocupam o mesmo lugar na reta.
O mais interessante disso é que podemos ter quantos números equivalente quanto desejamos, no número 
 
 
 nós observamos que ao 
multiplicar o numerador (3) por 2 e o denominador (2) por 2, temos o número 
 
 
 . 
Seja o número racional 
 
 
 , então
 
 
 
 
 
 
 
 
 onde .
Operações com números racionais.
Faremos um resumo de como realizar as operações com números racionais. 
Adição de frações:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Subtração de frações:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação de frações:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Divisão de frações:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
com 
 
 
 .
Notação decimal
Os números racionais podem ser representados em forma de fração 
 
 
 , mas também podem ser representados na forma decimal.
Vemos que o número 2379 pode ser escrito na base 10 como:
Usando a notação de potenciação (conteúdo da aula 02) podemos escrever a equação acima
 
Agora vamos dividir 2379 por 100.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando propriedade da divisão de potenciação:
 
 
 
Observe que a potência do número 10 define a posição do algarismo no número.
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos agora determinar a representação decimal do número 
 
 
 .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos repetir o processo para o número 
 
 
 .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Página 4 de Aula 01 
Agora, vamos repetir o processo para o número 
 
 
 .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com esta aproximação temos:
 
 
 
 
 
 
 
 
 , repetindo este procedimento obtemos:
 
 
 
Para determinar a representação decimal de um número racional, também podemos utilizar o algoritmo da divisão euclidiana, ou seja, basta 
dividir o numerador pelo denominador.
Conjunto dos números Irracionais.
Temos agora a percepção que não resta espaços para o preenchimento da reta numérica, haja vista que ao poder dividir um segmento em 
quantas partes desejamos e isso esgota nossa possibilidade de preenchimento o que não é verdade.
Veremos agora o caso do número 
 
, vamos observar que o número não pode ser presentado na forma de fração 
 
 
 e se encontra entre dois 
inteiros.
Esta figura acima é uma construção geométrica.
A demonstração de que não podemos representar o número 
 
no formato de fração nos mostra que ainda existem espaços vazios na reta 
numérica, neste processo surge o conjunto dos números reais que iremos representar pelo símbolo .
Definição: Um número real que não é racional é chamado de irracional. O conjunto dos números irracionais é dado por:
 
Conjunto dos números Reais.
O conjunto dos números reais é a união dos números racionais com os irracionais:
 
Proposição: Sejam :
Propriedade comutativa:i)
Adição: 
Multiplicação: 
Propriedade associativa:ii)
Adição: 
Multiplicação: 
Propriedade do elemento neutro:iii)
Adição: 
Multiplicação: 
Propriedade do elemento inverso:iv)
Adição: 
Multiplicação: 
 
 
 , 
Propriedade distributiva:v)
 
 
 Página 5 de Aula 01