metodos_quantitativos_matematicos_2018

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57419
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6446-5
9 788538 764465
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O aprendizado da matemática estimula nossa capacidade 
de compreensão do mundo, de desenvolvimento lógico e 
de ampliação da comunicação, que, por sua vez, abrem no-
vas opções de aprendizado. Esse círculo virtuoso exige que 
estejamos sempre abertos a buscar maior aprimoramento 
no domínio dos conteúdos e da linguagem da matemática.
Hoje, a abundância de informações propiciadas pela 
enorme capacidade dos computadores em adquirir, arma-
zenar e processar dados exige cada vez mais o domínio da 
linguagem e técnicas matemáticas na gestão de negócios. 
Neste livro, propomos um método de estudo que visa 
estimular o indivíduo a responder questões que o levem 
a compreender as temáticas necessárias à sua formação 
profissional, por meio de conteúdos matemáticos basea-
dos na solução de problemas concretos.
Métodos quantitativos 
matemáticos
IESDE BRASIL S/A
2018
Paulo Afonso Bracarense
Maria Emilia Martins Ferreira
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A. 
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 
Batel – Curitiba – PR 
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
C875m
4. ed.
Bracarense, Paulo Afonso
Métodos quantitativos matemáticos / Paulo Afonso Bracarense, 
Maria Emilia Martins Ferreira. - [4. ed.]. - Curitiba [PR] : IESDE 
Brasil, 2018.
144 p. : il. ; 21 cm.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6446-5
1. Matemática - Estudo e ensino (Superior). I. Ferreira, 
Maria Emilia Martins. II. Título.
18-52040
CDD: 510.711
CDU: 51(07)
© 2007-2018 – IESDE BRASIL S/A. 
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor 
dos direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: pixel_dreams/ktsimage/iStockphoto
Paulo Afonso Bracarense
Doutor em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), com 
estágio de doutoramento na University of South Florida, nos Estados Unidos. Mestre em Agronomia 
(Estatística e Experimentação Agronômica) pela Universidade de São Paulo (USP) e em Políticas 
Públicas pela Humboldt University of Berlin (HUB) e European Viadrina University of Frankfurt em 
Oder, na Alemanha. Especialista em Gestão Municipal de Recursos Hídricos pelo Instituto Federal 
de Educação do Ceará (IFCE) e pela Agência Nacional de Águas (ANA). Bacharel em Estatística pela 
Universidade Federal do Paraná (UFPR). Professor da UFPR.
Maria Emilia Martins Ferreira
Doutora em Engenharia Florestal pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Mestre 
em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). MBA em 
Gestão Ambiental pela UFPR. Bacharel em Engenharia Civil pela Universidade Estadual do 
Maranhão (UEMA).
Sumário
Apresentação 7
1 Sistemas numéricos 9
1.1 O problema 9
1.2 Explorando o problema 9
1.3 Equacionando o problema 10
1.4 Conceitos e regras 11
2 Operações com números reais 21
2.1 O problema 21
2.2 Explorando o problema 21
2.3 Equacionando o problema 21
2.4 Conceitos e regras 22
3 Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 41
3.1 O problema 41
3.2 Explorando o problema 41
3.3 Equacionando o problema 42
3.4 Conceitos e regras 43
4 Intervalos 63
4.1 O problema 63
4.2 Explorando o problema 63
4.3 Equacionando o problema 63
4.4 Conceitos e regras 64
5 Estudo de funções 71
5.1 O problema 71
5.2 Explorando o problema 71
5.3 Equacionando o problema 72
5.4 Conceitos e regras 72
6 Limites 91
6.1 O problema 91
6.2 Explorando o problema 91
6.3 Equacionando o problema 92
6.4 Conceitos e regras 92
7 Derivada de função 103
7.1 O problema 103
7.2 Explorando o problema 103
7.3 Equacionando o problema 104
7.4 Conceitos e regras 105
Referências 119
Gabarito 121
Apresentação
O aprendizado da matemática estimula nossa capacidade de compreensão do mundo, de 
desenvolvimento lógico e de ampliação da comunicação, que, por sua vez, abrem novas opções de 
aprendizado. Esse círculo virtuoso exige que estejamos sempre abertos a buscar maior aprimora-
mento no domínio dos conteúdos e da linguagem da matemática.
O matemático francês Jules Henri Poincaré (1854-1912) – que usufruiu em seu tempo de 
enorme popularidade, pois foi precursor do estilo Carl Sagan e era um cientista que soube se co-
municar com o público e dar à ciência um sabor popular – defendia, há mais de um século, que 
a matemática deveria crescer não só por sua beleza intrínseca, mas também pela promoção do 
conhecimento como um todo.
Hoje, a abundância de informações propiciadas pela enorme capacidade dos computadores em 
adquirir, armazenar e processar dados exige cada vez mais o domínio da linguagem e técnicas matemá-
ticas na gestão de negócios. Desse modo, devemos ter a matemática como uma aliada em quem pode-
mos nos apoiar, e não como uma tirana com quem só convivemos devido à sua absoluta inevitabilidade.
A modelagem matemática nas empresas trabalha tipicamente com a representação dos pro-
cessos decisórios estratégicos nas mais diferentes áreas, como administração de recursos humanos, 
contas a receber, contas a pagar, suprimentos, logística, estoque, transporte, produção, receita, in-
vestimentos, vendas etc. O uso da matemática pelos profissionais da área é um acessório funda-
mental a ser incorporado à experiência, à inteligência e à intuição na tomada de decisão.
Neste livro, propomos um método de estudo que visa estimular o indivíduo a respon-
der questões que o levem a compreender as temáticas necessárias à sua formação profissional. 
Apresentamos aqui os conteúdos matemáticos com base na busca de soluções a problemas concre-
tos. Em cada capítulo, trataremos do conteúdo elencando os seguintes tópicos: 
• o problema;
• explorando o problema;
• equacionando o problema;
• conceitos e regras;
• atividades.
Quando se opta pela utilização de métodos que envolvem a matemática para a compreensão 
de um fenômeno, o que se busca é a construção de modelos matemáticos para explicar o problema 
em questão. As equações e as variáveis são os elementos essenciais desses modelos, mas, como os 
valores que uma variável administrativa ou econômica assume são numéricos, é importante o estu-
do sobre o sistema de números. Partindo dessa visão, buscamos, nos primeiros capítulos, fazer uma 
revisão sobre sistemas numéricos (Capítulo 1) e sobre operações com números reais (Capítulo 2). 
Eles são complementados por um estudo de intervalos no Capítulo 4, após o estudo da Teoria dos 
Conjuntos, que abre o Capítulo 3.
Métodos quantitativos matemáticos8
Nos Capítulos 5 e 6, expomos os conceitos de função e limite, fundamentais para o enten-
dimento do cálculo diferencial, da maneira mais simples e clara possível. Esses conceitos já eram 
conhecidos na matemática dos povos antigos, mas foi somente a matemática moderna que expôs 
completamente o seu significado e o seu caráter essencial. O Capítulo 5 é dedicado ao estudo das 
funções (introduzido pelo estudo das relações no Capítulo 3), compreendendo que aqui elas são 
casos particulares de relações que podem ser estabelecidas de forma analítica. Já o Capítulo 6 enfo-
ca o estudo de limites de funções, conceito necessário para a definição de derivada. 
O jogo de variabilidade no estudo das funções é também tratado nesta obra, por meio da 
abordagem de derivadas das funções de interesse. É relevante, dessa forma, termos o conhecimento 
do papel do cálculo diferencial no estudo de fenômenos administrativos e econômicos, assunto 
esse que será discutido no Capítulo 7, o último de nosso livro.
Boa leitura! 
1
Sistemas numéricos
1.1 O problema
Modelos matemáticos são comumente constituídos de equações destinadas a descrever a 
estrutura do modelo. Essas equações são construídas com base naobservação de relações entre 
variáveis que dão forma matemática ao conjunto de pressupostos analíticos adotados. Assim, por 
meio da aplicação de operações matemáticas relevantes a essas equações, procura‑se derivar um 
conjunto de conclusões que se seguem logicamente desses pressupostos. Uma variável é algo cuja 
magnitude pode mudar, isto é, algo que pode assumir diferentes valores. As variáveis, frequente‑
mente utilizadas em Administração e Economia, incluem preço, lucro, receita, custo, produção, 
renda nacional, consumo, investimento, dentre outras. Cada variável pode assumir diferentes valo‑
res e é representada por um símbolo. O preço pode ser representado por P, o lucro por L, a receita 
por R, o custo por C, e assim por diante.
Um modelo matemático, quando construído adequadamente, pode ser resolvido gerando‑se 
os valores das soluções de certo conjunto de variáveis, tais como o nível de preço que iguala oferta 
e demanda de mercado, ou o nível de produção que maximiza o lucro.
A questão a se responder é se todas essas variáveis podem ser represen tadas por números de 
uma mesma natureza.
1.2 Explorando o problema
Desejamos estimar o valor do preço do feijão no Paraná, em um determinado mês do ano 
de 2018. Sabemos que o preço do feijão no mesmo mês de 2017 pode influenciar o preço atual; o 
preço da lentilha, a quantidade de feijão produzida e se o feijão foi importado ou produzido em 
outro estado também são determinantes desse preço.
Uma possível equação de previsão do preço do feijão poderia ser:
Pi = a + bP’i + cPLi + dQi + eI
onde:
• Pi é o preço do feijão em 2018 no mês i, com i = 1 a 12. Ou seja, o preço do feijão em abril 
de 2018 será representado por P4;
• P’i é o preço do feijão em 2017 no mês i, com i = 1 a 12. P’4 é o preço do feijão em abril de 
2017. P’i é a chamada variável defasada;
• PLi é o preço da lentilha em 2018 no mês i;
• Qi é a quantidade de feijão produzida em 2018 no mês i;
Métodos quantitativos matemáticos10
• I é uma variável que representa se o feijão foi importado (I = 1) ou produzido no Paraná 
(I = 0). Veja que se o feijão foi produzido fora do Paraná, seu preço será acrescido de “e” 
unidades monetárias.
Esse modelo matemático arbitrário contém variáveis de diferentes tipos. O preço é uma 
variável contínua que pode assumir valores fracionários. A quantidade em sacas é uma variável 
discreta que só pode assumir valores inteiros. E a variável I, chamada de variável dummy (fantas‑
ma), representa a existência ou não de uma certa condição. São variáveis de naturezas diferentes, e 
os valores que elas assumem são de naturezas distintas.
1.3 Equacionando o problema
Uma variável é uma característica constituinte de um evento, fenômeno, pessoa ou processo 
que varia em graus. Não necessariamente precisa ser expressa por meio de números. A forma de 
expressá‑la varia de acordo com o nível de mensuração utilizado. Por exemplo:
• Variável “idade”: 1, 5, 20, 50 (nível de mensuração de razão).
• Variável “coeficiente de inteligência – QI”: 50, 80, 100, 120 (nível de mensuração intervalar).
• Variável “avaliação da palestra”: excelente, boa, regular, ruim, péssima (nível de men‑
suração ordinal).
• Variável “cor da parede”: verde, amarela, azul etc. (nível de mensuração nominal).
O que difere o nível de mensuração de razão para o intervalar é que no primeiro o valor 20 
de fato representa o dobro de 10, enquanto no nível de mensuração intervalar não. 20 °C não indica 
que a temperatura seja o dobro de 10 °C. Pense que se essas temperaturas forem convertidas para 
graus Farenheit, por exemplo, essa relação (o dobro) não permanecerá a mesma: 10 °C são 50 °F, 
enquanto 20 °C são 68 °F.
Dependendo do nível de mensuração, pode‑se fazer diferentes classificações de variáveis.
As variáveis com níveis de mensuração de razão e intervalar são chamadas de variáveis 
quantitativas. 
Variáveis quantitativas – são aquelas que são mensuráveis. Exemplo: ida‑
de, altura, peso etc.
Elas ainda se subdividem em: 
• Variáveis quantitativas contínuas – são aquelas que possuem números fracionados e 
podem ser medidas. Exemplo: peso, altura etc.
• Variáveis quantitativas discretas – são aquelas que são expressas por números inteiros e 
no geral são resultado de contagem. Exemplo: idade, semestre na universidade etc.
Já as variáveis com níveis de mensuração ordinal e nominal são chamadas de variáveis qualitativas.
Sistemas numéricos 11
Variáveis qualitativas – são aquelas que se baseiam em qualidades e não 
podem ser mensuráveis numericamente. Exemplo: cor dos olhos, classe 
social (A, B, C, D ou E) etc.
Elas ainda se subdividem em:
• Variáveis qualitativas ordinais – são aquelas que podem ser colocadas em ordem. Exemplo: 
conceito (excelente, bom, regular, ruim, péssimo), classe social (A, B, C, D ou E) etc.
• Variáveis qualitativas nominais – são aquelas que não podem ser hierarquizadas ou or‑
denadas. Exemplo: cor dos olhos, estados do Brasil etc.
A natureza da variável determinará a que tipo de sistema de representação ela estará 
submetida. Nosso trabalho neste capítulo será o de apresentar os diferentes tipos de números 
conforme sua natureza. A questão referente a uma discussão mais aprofundada da natureza real 
dos números interessa mais à filosofia do que à matemática. A natureza essencial do conceito de 
número, do ponto de vista da Teoria do Conhecimento, não fará parte, portanto, do conteúdo 
deste texto.
Interessa‑nos distinguir os diferentes tipos de números para podermos melhor operá‑los 
nas questões práticas que surgirão em outras fases de um curso de Administração ou Economia.
Caracterizaremos do particular para o geral os conjuntos de números afeitos ao nosso curso, a 
saber: números naturais, números inteiros, números racionais e irracionais e números reais. Neste ca‑
pítulo, esses conjuntos serão apresentados e algumas de suas características serão estudadas. 
1.4 Conceitos e regras
1.4.1 Números naturais (N)
Consideramos que os números naturais têm início com o número zero e escrevemos esse 
conjunto como:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representamos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências indicam que 
esse conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do 
número dado).
Exemplo 1
Se m é um número natural finito, diferente de zero, então:
Métodos quantitativos matemáticos12
a) O antecessor do número m é m–1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 34 é 33.
d) O antecessor de 10 é 9.
1.4.2 Números inteiros (Z)
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números 
naturais e o conjunto dos opostos dos números naturais. Esse conjunto é denotado pela letra Z 
(Zahlen = números em alemão). 
Esse conjunto pode ser escrito por:
Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Alguns subconjuntos do conjunto Z podem ser assim definidos:
• Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:
Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...}
• Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z– = {..., –4, –3, –2, –1, 0}
1.4.2.1 Reta numerada
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada – 
considerando o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar escrito à direita da ori‑
gem –, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e dispor os números inteiros da 
seguinte maneira:
–4... –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 ...
Ao observar a reta numerada, notamos que a ordem que os números intei ros obedecem 
é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. 
Essa consideração é adotada por convenção.
Baseando‑se ainda na reta numerada, podemos afirmar que todos os números inteiros pos‑
suemum e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
1.4.2.2 Ordem e simetria no conjunto Z
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta 
(em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na 
reta (em Z).
Sistemas numéricos 13
Exemplo 1
a) 3 é sucessor de 2.
b) 2 é antecessor de 3.
c) –5 é antecessor de –4.
d) –4 é sucessor de –5.
e) 0 é antecessor de 1.
f) 1 é sucessor de 0.
g) –1 é sucessor de –2.
h) –2 é antecessor de –1.
Todo número inteiro (z), exceto o zero, possui um elemento denominado oposto (–z); isso é 
caracterizado pelo fato geométrico de que tanto z como –z estão à mesma distância da origem do 
conjunto Z que é 0.
Exemplo 2
a) O oposto de ganhar é perder, logo, o oposto de +3 é –3.
b) O oposto de perder é ganhar, logo, o oposto de –5 é +5.
Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um sub‑
conjunto de Z ou que N está contido em Z:
N ⊂ Z
Números primos
Define‑se como número primo aquele número maior que 1 que é divisí‑
vel somente por 1 e por ele mesmo.
Os sete primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17.
Observe que nenhum deles é divisível por outro número menor que ele 
mesmo, a não ser pelo número 1.
Não são primos todos os números pares diferentes de 2 porque são divi‑
síveis pelo menos pelo número 2.
Também não são primos os números 9 e 15, por exemplo, que são divisí‑
veis, respectivamente, por 3 no caso do 9 e por 3 e 5 no caso do 15.
1.4.3 Números racionais (Q)
Quando dividimos um número inteiro a por outro número inteiro b (≠0) obtemos um nú‑
mero racional. Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. 
A letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que um número racional é 
um quociente de dois números inteiros. 
Métodos quantitativos matemáticos14
Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o 
número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de 
racionais de decimal exata.
Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que 
ficam situados nos intervalos entre os números inteiros.
Q = { a /b | a ∈ Z e b ∈ Z*}
Lembre‑se de que não existe divisão por zero!
O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto de números racionais não nulos:
Q* = {x ∈ Q | x ≠ 0}
O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais não negativos:
Q+ = {x ∈ Q | x ≥ 0}
O símbolo Q– é usado para indicar o conjunto de números racionais não positivos:
Q– = {x ∈ Q | x ≤ 0}
O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais positivos:
Q*+ = {x ∈ Q | x > 0}
O símbolo Q*– é usado para indicar o conjunto de números racionais negativos:
Q*– = {x ∈ Q | x < 0}
Como todo número natural é inteiro e todo número inteiro é racional, temos:
N ⊂ Z ⊂ Q
Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3 
nos dá o número racional 0,33333... É a chamada dízima periódica.
1.4.3.1 Dízima periódica
Uma dízima periódica é um número real da forma: m,npppp...
m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela 
qual usamos os três pontos ao final. A parte que se repete é denominada período.
Em alguns materiais, é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra abaixo do 
período, ou ainda o período dentro de parênteses.
Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. 
Exemplo 1
a) 0,333333... = 0,(3).
b) 3,636363... = 3,(63).
Sistemas numéricos 15
Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira 
e o período. Por exemplo:
a) 0,83333333... = 0,8(3).
b) 0,72535353... = 0,72(53).
Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. 
Exemplo 2
a) 0,3333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
b) 0,8333... = 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...
c) 4,7855... = 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...
Curiosidade
Um fato importante que relaciona os números racionais com os números 
reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima pe‑
riódica é um número racional. Isso significa que podemos transformar 
uma dízima periódica em uma fração.
O processo para realizar essa tarefa será mostrado na sequência com 
alguns exemplos numéricos. As pessoas interessadas num estudo mais 
aprofundado sobre a justificativa para o que faremos na sequência 
devem se aprofundar no estudo de séries geométricas no âmbito do 
Ensino Médio, ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista 
do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do 
Ensino Superior.
• A geratriz de uma dízima periódica
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a 
uma dízima periódica. Denominamos essa fração de geratriz da dízi-
ma periódica.
Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:
• Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para nu‑
merador o período e para denominador tantos noves quantos fo‑
rem os algarismos do período.
Exemplos:
0 2323 23
99
, ... =
Métodos quantitativos matemáticos16
• Dízima composta
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma n/d, 
onde:
• n – parte não periódica seguida do período, menos a parte não 
periódica.
• d – tantos noves quantos forem os algarismos do período segui‑
dos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não 
periódica.
Exemplos: 
0 1252525 125 1
990
124
990
, ... = − =
0 047777 047 04
900
43
900
, ... = − =
1.4.4 Números irracionais (I) 
Um número é dito número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou 
nem mesmo na forma de uma dízima periódica.
Exemplo 1
O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:
x = 0,10100100010000100000...
Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo.
Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas 
depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado irracional. 
Existem infinitos números que não são dízimas periódicas. 
Dois números irracionais muito importantes são:
e = 2,718281828459045... (a base do logaritmo neperiano)
π = 3,141592653589793238462643... (o número pi)
Esses números são utilizados nas mais diversas aplicações práticas, como: cálculos de áreas, 
volumes, centros de gravidade, previsão populacional etc.
O π (pi – representado habitualmente pela letra grega π, que equivale ao p) é o número ir‑
racional mais famoso da história, com o qual se representa a razão constante entre o perímetro de 
qualquer circunferência e o seu diâmetro. Se pensarmos que, ao dar a volta à Lua seguindo um dos 
seus círculos máximos, percorremos aproximadamente 10.920 km, e se dividirmos esse valor pelo 
diâmetro da Lua, que é 3.476 km, iremos verificar que essa razão é de 3,14154200... – esse número 
já nos é familiar, seu valor é aproximadamente 3,14.
Sistemas numéricos 17
Na realidade, como número irracional, pi é expresso por uma dízima infinita não periódica, 
que nos dias de hoje, com a ajuda dos computadores, já é possível determinarmos com centenas de 
milhões de casas decimais.
Aqui aparece o valor de π obtido com a calculadora do Windows:
3,141592653589793238462643383279...
1.4.5 Números reais (R)
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números 
reais, indicado por R.
Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional e todo número racional 
é real, temos:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Indicamos por R* o conjunto de números reais sem o zero, ou seja,
R* = R – {0}
O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não negativos:
R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}
O símbolo R– é usado para indicar o conjunto de números reais não positivos:
R– = {x ∈ R | x ≤ 0}
O símbolo R*+ é usado para indicar o conjuntode números reais positivos:
R*+ = {x ∈ R | x > 0}
O símbolo R*– é usado para indicar o conjunto de números reais negativos:
R*– = {x ∈ R | x < 0}
Atividades
1. Qual é o nome que se dá aos cardinais 0, 1, 2, .... 10, 11, ..., distintos dois a dois?
2. Qual é a representação do conjunto dos números naturais?
3. Quantos elementos têm o conjunto dos números naturais?
4. Quantos elementos têm o conjunto dos números naturais sem o número zero?
5. É correto pensar que só são números aqueles que possuem mais de um algarismo?
6. Existe um número maior do que todos os outros?
7. Qual o menor número natural?
8. Identifique os antecessores dos números m dados:
Métodos quantitativos matemáticos18
• m = 2
• m = 10
9. Qual é o número natural x que torna a sentença aberta x + 5 = 0 verdadeira?
10. É correto afirmar que –3 < –1 e 1 < 3?
11. Sabendo‑se que N ⊂ Z, que outro nome poderia se dar ao conjunto dos números inteiros 
positivos?
12. Qual é o valor oposto de 0 (zero)?
Dizemos que um número inteiro p é primo quando p ≠ 0, 1, –1 e os divisores p, Dp = {1, –1, p, –p}.
13. Quais dos seguintes números inteiros não são primos: 12, –13, 0, 5, 31, –1, 2, –4, 1, 49? 
14. É correto afirmar que todo número maior que 1 tem pelo menos quatro divisores?
15. Está correta a informação que diz que fatorar um número composto é transformá‑lo num 
produto de fatores primos?
16. Calcule x de modo que o número 3x tenha 15 divisores. 
17. Qual é o valor do número 2x . 32. 5 sabendo‑se que ele possui 12 divisores? 
18. Qual é o menor número de três algarismos divisível, ao mesmo tempo, por 2, 3, 5, 9 e 10. 
19. Qual o menor número primo que não divide o número 210?
20. Uma fração irredutível, de denominador 25, pode ser a geratriz de uma dízima periódica? 
21. Quais das seguintes frações correspondem a uma dízima periódica:
3
20
1
14
5
8
1
4
2
9
4
22
; ; ; ; ; ?
22. A dízima 0,99... corresponde a um número inteiro? 
Enunciado para os exercícios 22 a 24: 
O dobro da soma do minuendo, do subtraendo e do resto de uma subtração é 10,05. O mi‑
nuendo excede o resto de 0,9825. Determinar:
23. O minuendo.
24. O subtraendo.
25. O resto.
Para os exercícios 25, 26 e 27 desta seção, calcular as geratrizes das dízimas:
26. 0,2424...
Sistemas numéricos 19
27. 2,123123...
28. 0,058333...
29. Como representar, utilizando os conjuntos vistos neste capítulo, o conjunto dos números 
irracionais?
30. Como representar, utilizando os conjuntos vistos neste capítulo, o conjunto dos números reais?
31. Colocar sobre uma reta orientada os seguintes números: 
15
16
1
14
1
4
1; ; ; ; ;≠ e .
32. Colocar sobre uma reta orientada os seguintes números: 
− − − − −e e; ; ; ; ; ; ; ; ; .2 3
2
1 1
4
0 3
4
1 6
2
33. Para que um número seja irracional na forma p , que condições deverão ter o valor p?
34. Utilizando a informação do exercício anterior, dê três exemplos de números irracionais.
Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que se a é irracional e r é racio‑
nal não nulo, então: a + r, a . r, a/ r e r/a são todos irracionais.
35. Utilizando a informação acima, dê dois exemplos que contemplem: 
a + r e a . r.
36. Utilizando a mesma informação, dê dois exemplos que contemplem: 
a/r e r/a .
Responda às questões a seguir (36 a 45), classificando‑as como verdadeiras (V) ou falsas (F).
37. É verdade que 3 ∈ R?
38. É verdade que 1
2
∈ −R Q?
39. É verdade que ( ) ?2 5 3− ∈ −R Q
40. É verdade que 4 ∈ −R Q?
41. É verdade que 
3 2
5
∈ −R Q?
42. É verdade que 43 ∈ −R Q?
43. É verdade que 3 2
5 2
∈Q?
44. É verdade que R – Q ⊂ R?
45. É verdade que (R – Q) U Q ⊂ R?
Métodos quantitativos matemáticos20
46. É exemplo de número primo:
a) 44
b) 17
c) 0
d) 1
47. A geratriz da dízima periódica 0,44444444... é:
a) 44
99
b) 4
9
c) 44
100
d) 0,45
2
Operações com números reais
2.1 O problema
Um investidor possui R$ 10.000,00 para serem aplicados durante 5 meses. O banco ofereceu 
uma taxa de 6% ao mês, no regime de capitalização composta. Qual será o montante a receber após 
esse período?
2.2 Explorando o problema
Na capitalização composta, ou juros compostos, o juro produzido no fim de cada período 
financeiro é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital mais juro, a renderem 
juros no período seguinte.
O juro no primeiro mês será calculado como o produto do capital pela taxa. E o montante 
será, então, a soma do capital inicial mais o juro do primeiro mês. No segundo período, o juro será 
o montante do primeiro mês mais o juro do segundo mês. E o montante do segundo mês será a 
soma do montante do primeiro mês e o juro do segundo mês.
Na próxima seção, abordaremos esse estudo visando, principalmente, identificar as opera-
ções utilizadas.
2.3 Equacionando o problema
Suponhamos um capital C que será aplicado a juros compostos à taxa de i. No fim do pri-
meiro período, o juro produzido será:
(1) J1 = C . i
e o montante:
(2) M1 = C + J1
Substituindo J1 na expressão (2), temos:
M1 = C + C . i = C (1 + i)
No fim do segundo período, o juro será:
J2 = M1 . i
E o montante, ao final do segundo período, será determinado por:
M2 = M1 + J2 
Então, M2 = M1 + M1 . i = M1(1 + i) 
Mas M1 = C(1 + i) 
Então, M2 = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)
2 
Métodos quantitativos matemáticos22
Seguindo esse raciocínio, podemos concluir que para n períodos, o montante pode ser cal-
culado por:
(3) Mn = C(1 + i)
n
que é a fórmula fundamental dos juros compostos para um número inteiro de períodos, 
onde (1 + i) é denominado fator de capitalização da taxa i.
Antigamente, o cálculo do montante Mn era feito exclusivamente por logaritmo, pois, sendo 
(1 + i)n uma função exponencial e as variáveis i e n podendo ser quaisquer, não havia outra opção. 
Mais tarde, com o aparecimento dos computadores, foram criadas tabelas de (1 + i)n, com deter-
minados valores mais usados para i e n, exatamente para facilitar os cálculos para usuários que não 
tinham fácil acesso aos computadores.
Mas nada disso era definitivo, pois os valores da taxa i, em juros compostos principalmente, 
variavam muitíssimo. Somente depois do advento das minicalculadoras eletrônicas e dos micro-
computadores, que fazem cálculo de potência, é que o cálculo pode ser feito com total facilidade 
para quaisquer prazos e taxas.
Para o problema colocado, o montante após cinco meses será dado por:
M 5 = 10.000 . (1,06)
5 = R$ 13.382,26 
Essa série de cálculos, com C = R$ 10.000,00, i = 6% e n = 5 meses, para a solução de um 
problema relativamente simples, envolveu as operações de adição, multiplicação e potenciação. 
Acrescentadas das operações de diferença, divisão e radiciação, envolvem as operações básicas com 
números reais que serão abordadas neste capítulo.
2.4 Conceitos e regras
2.4.1 Operações algébricas com números reais
As operações algébricas básicas, com números reais, são: a adição e a multiplicação. De pos-
se dessas duas operações, pode-se estender algumas características e conceituar as operações bási-
cas de subtração e divisão. Posteriormente, serão tratadas as operações de potenciação e radiciação.
2.4.1.1 Adição e multiplicação de números reais
Valem as seguintes propriedades dos números reais, com relação às operações de adição e 
de multiplicação:
• Fechamento: se a e b são números reais, então sua soma a + b e seu produto a . b são, 
também, números reais.
• Comutativa: quando adicionamos ou multiplicamos dois números reais, a e b, a ordem 
na qual eles são adicionados ou multiplicados é irrelevante, isto é: 
a + b = b + a 
e 
a . b = b . a 
Operações com números reais 23
• Associativa: na adição ou multiplicação de números reais, os números a, b e c podem ser 
agrupados em qualquer ordem: 
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
(a . b) . c = a . (b . c) = a . b . c
• Identidade: o número zero é chamado de elemento neutro da adição, assim, somado o 
zero a qualquer outro número, este não se altera. O número 1 é chamado de elemento 
neutro da multiplicação. Multiplicadoo 1 a qualquer outro número, este não se altera. 
Simbolicamente: 
a + 0 = 0 + a = a
a . 1 = 1 . a = a
• Inversa: para cada número real a existe um único número real, denotado de –a e chama-
do de inverso aditivo de a, ou negativo de a, com a propriedade de: 
a + (–a) = (–a) + a = 0 
• Se a é qualquer número real diferente de zero, existe um único número real, denotado 
1/a e chamado de inverso multiplicativo de a, ou de recíproco de a, com a propriedade de:
a . 1
a
 = 1
a
 . a = 1, a ≠ 0
O inverso multiplicativo é também frequentemente representado por a–1. O zero não tem 
inverso multiplicativo, isto é, não existe a possibilidade da divisão por zero.
• Distributiva em relação à adição: se a, b e c são números reais, então: 
a . (b + c) = a . b + a . c
Exemplo 1
6 . (3 + 4) = 6 . 3 + 6 . 4
6 . (7) = 18 + 24
42 = 42
A propriedade distributiva vale para qualquer número de termos.
Evidência
Colocar um número em evidência significa utilizar a propriedade distributi-
va da soma em relação à multiplicação, utilizando o máximo divisor comum.
Por exemplo, seja a igualdade:
2x + 2y = 4
Podemos aplicar diretamente a propriedade distributiva, colocando o nú-
mero 2 em evidência, uma vez que o máximo divisor comum (m.d.c) entre 
dois números iguais é o próprio número. Então, podemos reescrever a iden-
tidade como:
2(x + y) = 4 e, finalmente, x + y = 2
Métodos quantitativos matemáticos24
Outro exemplo se dá colocando o máximo divisor comum entre dois 
números diferentes em evidência, como na igualdade:
2x + 4y = 4
Observe que o máximo divisor comum entre 2 e 4 é o número 2. O maior 
número que é divisor de 2 e 4. O máximo divisor comum entre 10 e 20 
por exemplo é o número 10, porque ele é ao mesmo tempo divisor de 10 
e de 20. Outros divisores de 10 e 20 são os números 1, 2 e 5. Mas o maior 
divisor entre 10 e 20 é o número 10.
Na igualdade acima, o m.d.c. é o 2, que pode ser colocado em evidência, 
e teremos:
2(x + 2y) = 4 e então x + 2y = 2
2.4.1.2 Divisão de números reais
Existem duas classificações para definir a operação de divisão:
(1) Divisão exata: Dividendo : Divisor = Quociente
(2) Divisão inexata: Dividendo : Divisor = Quociente + Resto
A divisão pode ser definida em termos do inverso da multiplicação ou recíproca. Se a e b são 
dois números reais, onde b ≠ 0, o quociente a : b é dado por:
a : b = a . 1
b
 = a
b
 , b ≠ 0
Então, as propriedades básicas da multiplicação dentro do sistema de números reais podem 
ser estendidas para as operações de divisão.
O zero pode ser dividido e produz o quociente zero, mas a divisão por zero não é definida. 
Isto é, se a é um número real diferente de zero:
0
a
 , mas a
0
 não é definido.
Vale lembrar que o zero não tem um inverso multiplicativo, então, multiplicação pelo inver-
so multiplicativo do zero não é definida.
2.4.1.3 Sequência de operações
Determine o valor da expressão numérica:
5 + 3 . 2 – 12 : 4 
Fica fácil identificar a necessidade de dar uma sequência de prioridades para fazer tal cálculo, 
senão jamais teríamos certeza do resultado a ser encontrado. Na matemática, são definidas as se-
guintes prioridades no momento de resolver uma expressão numérica:
1º) resolve-se a operação de multiplicação e/ou de divisão, o que vier antes;
2º) resolve-se a operação de adição e/ou de subtração, o que vier antes.
Operações com números reais 25
Dessa forma, o valor da expressão numérica anterior é:
5 + 3 . 2 – 12 : 4 = 
= 5 + 6 – 3 = 
= 11 – 3 = 
= 8
Essas ordens de operações podem mudar com a inclusão de parênteses ( ), colchetes [ ] ou 
chaves { }. Operações com esses símbolos de agrupamento são resolvidas prioritariamente, nessa 
ordem: parênteses, colchetes, chaves e, finalmente, as operações sem esses elementos. Mais recen-
temente, o uso de sequência de parênteses tem sido usado em substituição a colchetes e chaves.
Exemplo 2
2 . 5 + 3 . 4 – 6 : 3 = 
= (2 . 5) + (3 . 4) – (6 : 3) = 
= 10 + 12 – 2 = 
= 22 – 2 = 
= 20
ou, de outra forma,
2 . {[(5 + 3) . 4 – 6] : 2} + 1 = 
= 2 . {[8 . 4 – 6] : 2} + 1 = 
= 2 . {[32 – 6] : 2} + 1 = 
= 2 . {[26 : 2} + 1 = 
= 2 . 13 + 1 = 
= 26 + 1 = 
= 27
Fica, assim, bastante clara a importância dos símbolos de agrupamento na solução de qual-
quer expressão matemática.
2.4.2 Trabalhando com frações
Se a e b são inteiros, com b ≠ 0, então a / b é chamada de fração (ou número racional). 
Usamos a terminologia
Numerador
Denominador
para nos referirmos às partes da fração.
As frações cujos denominadores são potências de 10 são denominadas frações decimais. 
As demais frações são conhecidas como frações ordinárias.
Exemplo 1
(i) frações decimais: 
1
10
7
100
3
1000
4
0 001
; ; ;
,
−
Métodos quantitativos matemáticos26
(ii) frações ordinárias: 2
7
3
4
2
3
5
4
6
3
; ; ; ;−
Toda fração de numerador menor do que o denominador, ou seja, toda fração menor do 
que a unidade, chama-se fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador 
chama-se fração imprópria. Finalmente, toda fração cujo numerador é um múltiplo inteiro do de-
nominador é uma fração aparente.
Exemplo 2
(i) frações próprias: 1
2
7
100
3
4
; ; −
(ii) frações impróprias: 
12
7
3
2
21
8
5
4
; ; ;−
(iii) frações aparentes: 21
7
12
4
12
3
6
3
; ; ;−
Diz-se que simplificar uma fração é obter uma fração equivalente e de termos menores. 
Quando uma fração não pode ser simplificada, seus termos são primos entre si (ou seja, o máximo 
divisor comum m.d.c. é igual a 1) e a fração tem o nome de irredutível.
Assim, tornar uma fração irredutível significa reduzi-la à expressão mais simples, por meio 
de simplificações.
Em seguida, veremos as quatro operações básicas no estudo de frações.
2.4.2.1 Adição e subtração de frações
Para somar (ou subtrair) duas frações que têm o mesmo denominador, somamos (ou sub-
traímos) os numeradores, mantendo-se o denominador comum para ambos, isto é:
a
b
 + c
b
 = a + c
b
Para somar (ou subtrair) duas ou mais frações que têm denominadores diferentes, achamos 
o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os valores dos denominadores. Esse será o novo denomi-
nador da fração solução. Em seguida, processamos a divisão do denominador m.m.c pelo denomi-
nador da primeira fração e, com o quociente, multiplicamos o numerador da fração em referência. 
Processa-se dessa maneira para todas as frações. Finalmente, o procedimento recai na adição ou 
subtração com denominadores iguais e, portanto, somam-se os numeradores. 
Exemplo 1
Efetue J =
a
b
+ c
d
+ e
f
D = mmc (b, d, f)
J =
D : b . a
D
+
D : d . c
D
+
D : f . e
D
J =
D : b . a+ D : d . c +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) DD : f . e
D
( )
 
Operações com números reais 27
Aplicações numéricas:
( )i 2
5
4
5
2 4
5
6
5
+ = + =
( )
. .
ii 2
7
3
4
4 2 7 3
28
8 21
28
29
28
+ =
+
= + =
2.4.2.2 Multiplicação e divisão de frações
O produto de duas frações é encontrado pela razão entre a multiplicação dos valores dos 
numeradores pela multiplicação dos valores dos denomi nadores, isto é:
a
b
 . c
d
 = ac
bd
O quociente entre duas frações é encontrado multiplicando-se a primeira fração (dividen-
do) pela inversa da segunda (divisor). Em seguida, opera-se a multiplicação das duas frações, isto é:
a
b
 : c
d
 = a
b
 . d
c
 = ad
bc
Exemplo 1
( ) .i 4
5
3
2
12
10
6
5
= =
( ) : .ii 3
5
2
6
3
5
6
2
18
10
9
5
= = =
2.4.3 Potência e raízes de números reais
Se n é um inteiro positivo, então an representa a potência:
a . a . a . ... . a = an
nvezes
n é chamado de expoente de a e é o número de vezes que a foi multiplicado por ele mesmo, e 
an é chamada a n-ésima potência de a.
Exemplo 1 
Calcule:
a) 42 = 4 . 4 = 16
b) 1
3
1
3
1
3
1
3
1
27
3




= =. .
c) 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16
d) (–4)3 = (–4) . (–4) . (–4) = –64
Se n é um inteiro positivo maior do que 1, e se an = b, então a é chamada a raiz n-ésima de b. 
Em particular, se a2 = b, então a é a raiz quadrada de b, e se a3 = b, então a é a raiz cúbica de b.
A n-ésima raiz de b é simbolizadapor: b = an
O símbolo é chamado de radical, b é o radicando, e n é o índice do radical.
Métodos quantitativos matemáticos28
Se n é igual a 2, ele pode ser omitido do radical, isto é: b b2 = . Tanto as raízes pares 
como as raízes ímpares são definidas com índices como números inteiros. As raízes ímpares de 
um número negativo são definidas, mas as raízes pares de números negativos não são definidas no 
contexto do sistema de números reais, elas fazem parte do sistema de números complexos que não 
serão tratados no âmbito deste livro.
Exemplo 2
Calcule:
a) − = −8 23
b) −9 não é definida no contexto de números reais. Não existem dois números reais que 
multiplicados sejam iguais a (–9).
Todo número real b tem duas raízes quadradas: uma raiz positiva e outra raiz negativa. Exceto 
o zero, que tem como raiz o próprio zero. Por exemplo, +3 e (–3) são raízes quadradas de 9, uma vez 
que (+3)2 = 9 e também (–3)2 = 9. No entanto, todo número real tem exatamente uma raiz cúbica.
2.4.3.1 Leis dos expoentes
• 0n = 0, se n > 0
• a0 = 1, se a ≠ 0
• a
a
− =n n
1 , se a ≠ 0
• a a a
m
n mn n
m
= = ( ) , se a raiz for definida
• am . an = am + n
• (am)n = amn
• (am) . (bm) = (ab)m
• a
a
a
m
n
m n= −
• a
b
a
b
m
m
m
= 



, se b ≠ 0
Cálculos envolvendo raízes são enormemente facilitados pelas seguintes propriedades 
dos radicais:
• Regra do produto para radicais: Se a e b são números reais positivos, então:
ab a bn n n= ( )( )
• Regra do quociente para radicais: Se a e b são números reais positivos, então:
a
b
a
b
n
n
n
=
Operações com números reais 29
• Raiz de raiz: Se a e b são números reais positivos, então:
x xnm m n= .
Cuidado!
− ≠ −
≠ ≠
+ ≠ + ≠
+ ≠ +
x x
x x n
x y x y n
x y x y
n n
n n n
n n n
2 2
4 4 1
1
( )
( ) ,
( ) ( ) ( ) ,
2.4.4 Expressões algébricas 
Uma expressão algébrica é uma declaração matemática indicando que quantidades numéri-
cas são combinadas por operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radi-
ciação. As quantidades podem ser constantes ou variáveis. Uma constante é uma quantidade que 
permanece inalterável em um dado problema. Uma variável é uma quantidade que pode assumir 
diferentes valores em um dado problema.
Variáveis são geralmente representadas em uma expressão algébrica por letras como x, y ou z. 
Constantes são geralmente escritas como números, mas elas podem também, algumas vezes, ser 
representadas por uma característica alfabética.
Cada uma das seguintes expressões é uma expressão algébrica:
4x3, 3x + 5y, 12 – x + y – z, ax2 + bx + c e 4x2y – 7xy5
Expressões algébricas são compostas por termos, e cada termo é o produto de uma constante 
diferente de zero e variáveis com potência formada por números inteiros positivos como 4x2, 9xy 
ou – 6xy2z. Então, os termos podem ser compostos por dois ou mais fatores. 
Um fator constante como 6 no termo 6x é chamado de coeficiente da variável, mas o ter-
mo constante quando isolado, como o 7 em 7 + x – y, é chamado de constante. A parte variável 
do termo pode ser constituída de uma variável ou do produto de duas ou mais variáveis como 
x2, xy ou xy2z.
2.4.4.1 Adição e subtração de expressões algébricas
Podemos somar ou subtrair termos pela combinação de termos semelhantes, que são termos 
que têm exatamente a mesma parte variável, diferindo somente em seus coeficientes numéricos.
Os termos – 4x e 7x são semelhantes, uma vez que ambos têm a mesma parte variável, o x; 
eles diferem somente no valor dos coeficientes, – 4 e 7. Os termos 4x2 e 6x não são termos seme-
lhantes, uma vez que uma parte variável é x e a outra parte variável é x2.
Métodos quantitativos matemáticos30
Termos semelhantes são combinados pela soma de seus coeficientes (usando as regras para 
a soma de números reais) e mantendo a parte variável do termo. É a lei distributiva que nos possi-
bilita combinar termos dessa maneira.
Exemplo 1
a) 2x + 4x = (2 + 4)x = 6x
b) 8xy2 + 9xy2 = (8 + 9)xy2 = 17xy2
Quando expressões algébricas são adicionadas ou subtraídas, somente os termos semelhan-
tes podem ser combinados. 
2.4.4.2 Multiplicação de expressões algébricas
A multiplicação de expressões algébricas é realizada pela multiplicação dos termos. Então, o 
produto deve ser simplificado o máximo possível pela combinação dos termos.
Para multiplicar dois termos, multiplicamos seus coeficientes usando as leis dos números 
reais. Então, multiplicamos suas partes variáveis usando as regras dos expoentes.
Exemplo 2
a) (3x) . (5x) = (3 . 5)(x . x) = 15x2 
b) (4x2y) . (5xy) = (4 . 5)(x2 . x)(y . y) = 20x3y2
Para multiplicarmos duas expressões, multiplicamos cada termo de uma expressão por cada 
termo da outra expressão.
Exemplo 3
(x + 5) . (x3 + 4x2 – 3x) = x . (x3 + 4x2 – 3x) + 5 . (x3 + 4x2 – 3x) = 
= x4 + 4x3 – 3x2 + 5x3 + 20x2 – 15x = x4 + 9x3 + 17x2 – 15x
2.4.4.3 Fatorando expressões algébricas
Quando duas ou mais expressões são multiplicadas, as expressões são chamadas de fatores 
da multiplicação. Quando escrevemos x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1), nós estamos fatorando a expres-
são original. Esse procedimento é baseado no uso das seguintes leis distributivas:
• ax + ay + az = a(x + y + z)
• ax + by + bx + ay = (a + b)(x + y)
• x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
• acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)
• x2 + 2ax + a2 = (x + a)2
• x2 – 2ax + a2 = (x – a)2
• x2 – a2 = (x – a) (x + a)
• x3 + a3 = (x + a) (x2 – ax + a2)
• x3 – a3 = (x – a) (x2 + ax + a2)
Operações com números reais 31
Exemplo 4
Fatorar:
a) x2 – x – 56 = (x – 8) (x + 7)
b) 9y2 – 42y + 49 = (3y – 7)2
2.4.5 Expressões algébricas na forma fracionária
Uma expressão racional é uma razão entre duas expressões algébricas, sempre lembrando 
que o denominador jamais poderá assumir o valor zero. Exemplos de tais expressões são:
5
1
2
2
1
6
2 3
4
2
x
x
x
x
xyz
x x
x+
+
−
+ + +
−
, , ,
As regras que governam as operações matemáticas de números reais escritos como fração se 
estendem para essas operações com expressões algébricas que estão na forma fracionária.
2.4.5.1 Soma e subtração de expressões algébricas racionais
Para somar (ou subtrair) duas expressões, cada uma delas na forma fracionária e que têm 
o mesmo denominador, somamos (ou subtraímos) os termos nos numeradores, mantendo-se o 
mesmo denominador.
Se as duas frações tiverem diferentes denominadores, usamos o princípio fundamental de 
frações, calcado no estudo do mínimo múltiplo comum, tornando todas as frações com mesmo 
denominador e finalizando a operação da forma escrita no parágrafo anterior.
Exemplo 1
a) x
x x
x
x+
−
+
= −
+1
5
1
5
1
b) J =
−
− +2
1
4 1
2
x
x x
x
x( )
mmc
J
x x x x x
x x x
x x
x x
, ,−( )  = −( )
=
− −( ) +( )
−( ) =
− −
1 1
2 1 4 1
1
2 4
2 2
2
2
2 2 33 1
1
2 3 1
12
2
2
x
x x
x x
x x
+( )
−( ) =
− + −
−( )
2.4.5.2 Multiplicação de expressões algébricas racionais
Para multiplicarmos duas expressões que estão na forma racional, multiplicamos os nume-
radores e então multiplicamos os denominadores.
Exemplo 2
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x+




+
+




=
+( )
+( ) +( ) =
+
+ +2
1
3
1
2 3 5 6
2 2 3
2
Eventualmente, pode ser desejável deixar tanto o numerador como o denominador na 
forma fatorada.
Métodos quantitativos matemáticos32
2.4.5.3 Divisão de expressões algébricas racionais
Para dividir duas expressões que são escritas como frações, repetimos a primeira fração 
(numerador) e multiplicamos a segunda fração (denominador) invertida.
Exemplo 3
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
+( )
−( ) =
+


 −




=
+( )
−( ) =
+
−
4
5
3
4 3
5
3 4
5
3 12
52
Para dividir um termo por outro termo, dividimos os coeficientes usando as leis dos núme-
ros reais. Então, dividimos as variáveis usando as regras do expoente.
Exemplo 4
a) 18
6
18
6
3
6
2
6
2
4x
x
x
x
x= 







=
b) 8
4
8
4
2
3 4
2
3 4
2
2 2x y z
xy z
x y
y
z
z
x y= 















=
x
Para dividiruma expressão algébrica por um único termo, dividimos cada termo da expres-
são algébrica pelo termo comum e somamos algebricamente os quocientes.
Exemplo 5
6 15 5 6 15 5 6 15 5 6 5 15
2 2 2 2x y xy xy
xy
x y
xy
xy
xy
xy
xy
x y x y− + = − + = − + = + −
Com intuito de facilitar o estudo, sugere-se que se proceda a fatoração dos membros e, em 
seguida, simplifique-se os termos comuns, como já foi visto anteriormente.
Exemplo 6
x x
x
x x
x
x
2 7 12
4
4 3
4
3+ +
+
=
+( ) +( )
+( ) = +
Lembrete importante: o último estudo só tem sentido se x ≠ – 4.
Cuidado!
a b
c b
a
c
+
+
≠ (Os valores b não podem ser cancelados porque não são fatores).
2.4.6 Equações
Uma equação é uma declaração matemática de igualdade entre duas expressões. Equações 
podem envolver uma ou mais variáveis. Exemplos de equações com uma variável são 2x – 1 = 0 e 
x2 = 4, enquanto x + y = 6 e x + 1 = y – 6 são equações com duas variáveis. 
Operações com números reais 33
Existem dois tipos de equações: identidades e equações condicionais. Uma identidade é uma 
equação que é verdadeira para todos valores permitidos das variáveis envolvidas, como:
3 1 6 2
2
3 3 3x x x y x y+ = + + = +e ( )
Qualquer valor que x assuma valerá para os dois lados da equação.
Uma equação condicional é verdadeira somente para um número limitado de valores da 
variável. A equação
x + 2 = 5
torna-se uma declaração verdadeira somente para o valor de x = 3.
Se uma equação contém somente uma variável, qualquer valor dessa variável que torne a 
equação verdadeira é chamado de solução ou raiz da equação. A solução da equação x + 2 = 8 é x = 6.
Uma solução para uma equação com duas variáveis, tais como x e y, é qualquer par ordenado 
de valores (x, y) que produza uma declaração correta quando substituído por x e y, respectivamente, 
na equação.
Por exemplo, (x = 2, y = 5), ou, compactamente, (2,5), é uma solução para a equação 
3x + y = 11, uma vez que a substituição de 2 para x e 5 para y produzirá 3 . 2 + 5 = 11, uma 
declaração correta.
Note que (1,8) também representa uma solução para a mesma equação; uma vez que 3 . 1 + 8 = 11. 
Existem, de fato, infinitos pares ordenados de valores para as variáveis que representam soluções. 
Todos esses pares ordenados são chamados de membros do conjunto solução para a equação dada.
2.4.6.1 Encontrando a solução de uma equação
O procedimento seguido para se encontrar a solução, ou as soluções, de uma equação depende 
da natureza da equação. De fundamental importância para resolver uma equação é transformá-la por 
meio de operações matemáticas em equações equivalentes mais simples.
Duas equações são equivalentes se, e somente se, elas tiverem o mesmo conjunto de solu-
ções. Por exemplo:
3x + 1 = 10 e 3x = 9
são equivalentes, uma vez que ambas têm a mesma solução, x = 3. Da mesma forma,
2x + y = 5 e 4x + 2y = 10
são equações equivalentes, porque qualquer par (x, y) de soluções para uma equação tam-
bém serviria para a outra.
As seguintes operações de equivalência podem ser aplicadas em uma equação para se obter 
uma equação equivalente:
• uma mesma constante pode ser adicionada ou subtraída dos dois membros de uma equação;
• ambos os membros de uma equação podem ser multiplicados, ou divididos, por uma mesma 
constante, diferente de zero;
Métodos quantitativos matemáticos34
• um termo que aparece em ambos os lados de uma equação pode ser adicionado ou subtraído 
de ambos os lados da equação.
Para ilustrar essas operações, vejamos que da equação 3x + 1 = 10 podemos subtrair o valor 1 
de ambos os lados e teremos 3x = 9. Multiplicando cada membro da equação 2x + y = 5 pela cons-
tante 2, obtemos a equação equivalente 4x + 2y = 10.
Devemos construir equações equivalentes até isolar a variável desejada para obtermos uma 
solução para a equação.
Exemplo 1
Encontre o valor do número real x para que 3x – 2 = 13 seja verdadeira.
3 2 13 3 2 2 13 2 3 15 3 1
3
15 1
3
5x x x x x− = ⇒ − + = + ⇒ = ⇒ = ⇒ =. .
Então o valor de x que satisfaz a equação 3x – 2 = 13 é x = 5.
2.4.6.2 Procedimentos adicionais de solução
Existem algumas operações adicionais, além das três apresentadas anteriormente, que po-
dem ajudar a resolver equações:
• Ambos os membros de uma equação podem ser multiplicados, ou divididos, por uma expres-
são não nula envolvendo uma variável.
• Ambos os membros de uma equação podem ser colocados em uma mesma potência.
Exemplo 2
Para resolver a equação fracionária 4
3
3
2x x−
=
+
, primeiro a transformaremos em uma igual-
dade sem a presença de frações. Acha-se o m.m.c. D entre os denominadores (x – 3) e (x + 2) e, em 
seguida, aplicamos o procedimento visto anteriormente, sem utilizar o denominador comum. Assim:
D = (x – 3)(x + 2)
4(x + 2) = 3(x – 3)
4x – 3x = – 8 – 9
x = – 17
Como multiplicamos ambos os membros da equação por uma expressão envolvendo uma 
variável, devemos verificar se a solução da equação realmente satisfaz a equação original. Então:
4
17 3
3
17 2
4
20
3
15
1
5
1
5
− −
=
− +
−
=
−
−
=
−
Como ambos os lados da equação são iguais, podemos ter a garantia de que (x = –17) é a 
solução para a equação original.
Operações com números reais 35
2.4.6.3 Encontrando solução por meio da fatoração
Quando o produto de duas ou mais quantidades é zero, pelo menos uma dessas quantidades 
deve ser nula. Em razão desse princípio, a fatoração pode ser muito eficientemente usada para en-
contrar solução para muitas equações.
Exemplo 3
Para encontrar as soluções da equação x2 + 3x + 2 = 0, podemos fatorar o membro esquerdo, 
encontrando o produto (x + 1)(x + 2) = 0 e, finalmente, achar as raízes x = –1 e x = –2. E, assim, 
obtemos as soluções para a equação original, x = –1 e x = –2 .
Atividades
1. Calcule o valor da expressão: 
2
3
2
9
1 1
4
1
3
2




−
+
:
.
2. Qual é o valor da expressão: 1 – 4,8 : 24?
3. Calcule a soma dos quadrados, mais o quadrado da soma dos números 2 e 3.
4. Efetue 8
5
4
5
2
5
: . .
5. Efetue 5 + {4 . [32 – (28 : 7 . 4)] : 8} – 3.
6. Calcule o valor numérico da expressão: (a + b + c) . (a + b – c) . (a – b – c) para a = b = 10 e 
c = –1.
7. Calcule o valor da expressão: 7 3
14
1
3
1− +: .
8. Eu sou 26 anos mais velho do que minha filha. Qual é a minha idade, se é o triplo da de 
minha filha?
9. Quanto se deve somar a a2 + b2 para se obter o quadrado de a + b?
10. Se 3
4
 do meu ordenado é R$ 660,00, qual é o meu ordenado?
Efetue:
11. a) 1
9
2
9
5
9
+ + b) 3 1
5
+
12. a) 2 3
1
4
+ b) 2
3
5
2
5
5+ +
13. a) 2
3
5
− b) 25
5
9
13−
14. a) 
1
5
3
4
2
5
+ − b) 2
3
5
1
3
2− −
Métodos quantitativos matemáticos36
15. a) 
3
4
1
2
2
3
. . b) 
3
5
2
5
2+ .
16. a) 
3
5
2 7
5
. − b) 2
3
4
3
2
. :
17. a) 
1
100
1
25
: b) 2
3
4
3
2
:
18. a) 2
3
4
3
2
. : b) 2
3
4
5
2
4
15
1+ 








 −: .
19. Comprei um apartamento por R$ 420.000,00. Paguei 2
3
 de entrada, e o resto em 10 meses. 
Quanto dei de entrada?
20. O lucro de uma sociedade em 2017 foi igual a R$ 1.400.000,00. Esse lucro foi dividido entre 
os três sócios de modo que o primeiro recebeu 2
3
 da parte do segundo, e este, 4
5
 da parte do 
terceiro. Qual é a parte de cada um? 
21. Calcule 4 8 3 32
2
3 5−
22. Escreva em forma de potência: 
a b c) ) )20 10 23 23
23. Calcule o valor da expressão − − −
− + −
( )
( )
2 27
3 5 2
2 3
0 .
24. Escreva na forma de radical: 
a b c) ) )10 5 2
2
3
1
2
3
4
25. Calcule o valor: 
a b c) ) )64 1 643 6−
26. Calcule o valor: 
a b c) ) ) ( )8 25 32
1
3
1
2
1
5−
27. Calcule o valor da expressão: 
− − + − −



+
−
−
−
8 16 1
2
83
1
4
2 4
3
28. Calcule o valor da expressão: 
4 0 5 0 25 84
2
3. ( , ) ,+ +
−
Operações com números reais 37
29. Simplifique a expressão: 
2 2963
4
936
4







.
30. Calcule a soma: 3 5 45 2 20+ −
Calcule os valores numéricos:
31. x2 – 3x + 1 quando x = –4
32. a b
a b
2 2+
−
 quando a = –3, b = 3
33. 
xy x
y
x y− = − =
2 1
10
1
100
quando ,
34. 
x y
x
yx y
2 2
1
2 3
2
+
+
= =quando ,
35. Sabendo-se que a = 5, b = 4, c = 3 e p
a b c
=
+ +
2
, calcule o valor numérico de p(p – a)(p – b)
(p – c).
Reduza à expressão mais simples:
36. 2x + 3(3 – 2x) – 2(1 – x)
37. 3(a2 + a + 1) + 2(a2 + 2a – 2) – (a2 + 3a – 3)
38. x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2)
39. a(a + b – c) + b(b + c – a) + c(a – b + c)
40. Se x
a b
a b
y a b
a
= +
+
= +




− −
− −
− − −2 2
1 1
2 3 1
e , calcule o valor de x . y quando a = 2 e b = – 1.
Fatore:
41. a) 8x + 6y + 2z b) x2 + x – 6
42. a) 8x2 + 14x + 3 b) x2 – 9
43. a) x3 + 8 b) x3 – 1
44. a) (x + 5)(x + 2) b) (a + 3)(3 – a)
45. a) (–x – 2)(–x + 2) b) (xm + 2y3)3
46. a) (x3 + 3)2 b) (0,5x2y–1 – 2xy2)3
Métodos quantitativos matemáticos38
47. Quanto se deve subtrair de (a + 3)3 para obter (a – 2)3 ? 
48. Elevando x ao quadrado, obtemos a2 + 2ab + b2. Qual é o valor de x?
49. Qual é o produto de 2
3
2
3
2 2a b a b+ +por ?
50. A igualdade a2 + b2 + c2 = (a + c)2 é verificada para qual valor de b2 ?
51. Se x y= − = +( ) ( )2 3 3 2 3 3e , calcule x . y. 
52. Se A = + −4 2 8 32 , calcule o valor de A–1. 
53. Simplifique a expressão: ( )( ) ( )3 2 3 2 3 2 2+ − + − .
Efetue as operações indicadas:
54. x
x
x
x
+
−
+ −
+
1
1
1
1
55. x y
x y
x y
x y
3 3 3 3−
−
+ +
+
56. a b
x a
a b
x a
bx a
x a
+
+
− −
−
− −
−
2 2 4 2 2
2 2
57. 1 1+
−
+




− −
+




a b
a b
a b
a b
:
58. 
1
1
1
1
2
2
2
x
y
x
y
+
Reduza a expressões mais simples:
59. ( )
( )
x y x y
x y x y
− − −
+ − −
2 2 2
2 2 2
60. ( )
( )
a b ab b
a b a b
+ −
+ − −
2 2
2 2 2
2
Resolva, no conjunto dos números reais, as seguintes equações:
61. (x + 1)2 = 0
62. x2 – x = 0
63. 4x2 – 1 = 0
64. Resolva a equação: x
x
x
x
x
x1 1
1
1
1 1
−
+
−
= + +
Operações com números reais 39
Dê o conjunto solução das equações a seguir:
65. x + =2
2
2
66. x x− − − =2
3
3
2
1
67. x x− + + =2
4
2 8
5
5
68. x
x
x
x
+
−
+ −
−
=1
1
2 5
3
3
69. Quando o número x na equação (k – 3)x + (2k – 5) . 4 + 4k = 0 vale 3, qual será o valor de k?
70. A expressão 1
2
2
3
3
5
5
8
+ + + é igual a:
a) 
287
120
b) 
287
12
c) 
280
120
d) 
287
100
71. O resultado da equação 4
3 10
3
4 1x x+
=
−
 é:
a) 
1
4
b) −
10
3
c) 1
d) 
34
7
72. Determine o valor da expressão x y
y
x
2
2 2
+
+
 para x = 2 e y = 1
2
.
a) 0
b) 0,25
c) 0,5
d) 0,75
3
Tópicos em Teoria dos Conjuntos e 
relações matemáticas
3.1 O problema
Um grupo de exatamente 1.000 consumidores entrou em uma loja durante um dia. Foi re-
portado que 420 consumidores eram mulheres, 525 abriram crediário na loja, 325 fizeram alguma 
compra, 40 mulheres abriram crediário, mas não fizeram compras, 150 consumidores compra ram 
e abriram crediário, 30 mulheres fizeram compras, mas não abriram crediário, e 50 mulheres abri-
ram crediário e compraram algum produto.
Pode-se concluir que as mulheres visitam mais as lojas sem intenção de comprar? Ou, de outra 
forma, as mulheres vão às lojas e compram menos, ou não abrem tanto crediário quanto os homens?
3.2 Explorando o problema
A resposta a esse tipo de problema está diretamente relacionada à construção de conjuntos e 
operações de conjuntos no contexto da Teoria dos Conjuntos. Uma forma de resolver o problema 
é por meio da construção de Diagramas de Venn.
A Teoria dos Conjuntos serve como um dos pilares da matemática moderna. Não somente for-
nece o veículo para o desenvolvimento de definições precisas para importantes conceitos de relações 
e funções, como também serve como uma aritmética poderosa para manipular conjunto de objetos. 
Assim, a Teoria dos Conjuntos ajuda na análise de um número significativo de problemas 
nas áreas ambientadas em negócios que não são adaptáveis a técnicas algébricas convencionais. 
Além disso, um conhecimento dos concei tos fundamentais da Teoria de Conjuntos pode pavimen-
tar o caminho para a compreensão de probabilidade e de métodos de inferência estatística.
Os conjuntos podem ser apresentados de forma analítica, como o conjunto N dos números 
naturais, que pode ser apresentado, como já vimos, da seguinte forma:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Ou, alternativamente, por meio do chamado Diagrama de Venn:
1 2
3 6 ...
4 5
Essa representação por meio do Diagrama de Venn será muito utilizada na discussão acerca 
das relações e das funções. Aquelas discutidas ainda neste capítulo, e estas em capítulo subsequente.
Métodos quantitativos matemáticos42
A solução do problema pode facilmente se dar com noções básicas da Teoria dos Conjuntos 
e com a utilização de Diagramas de Venn.
Nas discussões sobre relações e funções, além desses instrumentos já citados, será fun-
damental a construção de gráficos com o plano cartesiano, que também será objeto de estudo 
neste capítulo.
3.3 Equacionando o problema
Um conjunto é uma coleção bem definida de distintos objetos. No problema colocado, te-
mos um primeiro importante conjunto, chamado de conjunto dos consumidores. Dele fazem parte 
todas as pessoas, mulheres e homens, que frequentaram uma determinada loja em certo dia. No 
problema, esse conjunto foi relatado como tendo 1.000 elementos. 
Um conjunto é, portanto, formado por elementos que tenham uma característica de interes-
se em comum. No caso, são pessoas que entraram na loja naquele dia.
Se esses elementos podem ser divididos por características comuns entre eles, em dis-
tintos novos conjuntos, esses novos conjuntos são parte do conjunto original e são chamados 
de subconjuntos. 
Os consumidores podem ser divididos em vários novos subconjuntos, como: o subconjunto 
dos homens e o subconjunto das mulheres; o subconjunto dos que compraram alguma mercadoria 
e o dos que não compraram nada; e ainda o subconjunto dos que abriram um crediário e o dos que 
não o abriram.
Cada um desses três grupos de subconjuntos apresentados divide o conjunto original, também 
chamado de conjunto universo (U), em duas partes excludentes: homens e mulheres; compradores e 
não compradores; e aqueles que abriram crediário e os que não o abriram. Cada um desses subcon-
juntos, dois a dois, não têm elementos em comum. O subconjunto das mulheres só tem mulheres e 
o subconjunto dos homens só tem homens. Esses subconjuntos são também chamados de conjuntos 
disjuntos. Sua representação gráfica por meio do Diagrama de Venn pode ser apresentada como a 
seguir:
Figura 1 – Diagrama de Venn: mulheres e homens
Mulheres Homens
U
Fonte: Elaborada pelo autor.
No entanto, como as características desses três grupos de subconjuntos são diferentes, pode 
haver interseção entre eles. Mulheres podem comprar ou não, assim como podem abrir crediário 
Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 43
ou não. Assim, uma representação completa do problema pode ser feita por meio do seguinte 
Diagrama de Venn:
Figura 2 – Diagrama de Venn: representação completa
A C
M
H
U = 1 000
40
Fonte: Elaborada pelo autor.
Cada um dos espaços dentro do diagrama tem um significado. Por exemplo, as mulheres 
que não compraram, mas abriram crediário (40), estão representadas no diagrama pela cor cinza. 
3.4 Conceitos e regras
3.4.1 Teoria dos Conjuntos
3.4.1.1 O conceito de conjunto, subconjunto e seus elementos
Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos distintos. Nós estamos todos familiariza-
dos com tais noções de um “conjunto” de pratos ou um “conjunto” de clubes de futebol. Mas os ob-
jetos contidos em um conjunto não precisam ser tão concretos como os dos exemplos mencionados. 
Conceitos abstratos – como todos os inteiros positivos, todos os pontos em um intervalo [a, b] de uma 
reta e todos os números racionais não negativos – também podem ser encontrados em um conjunto. 
Os itens que pertencem a um conjunto, então, podem ser de qualquer tipo: pessoas, coisas, 
localizações geográficas, figuras geométricas, resultados de pesquisas. Cada objeto de um conjunto 
é chamado de elemento ou membro do conjunto.
Para se formar um conjunto, a coleçãode objetos deve encontrar dois requerimentos. 
Primeiro, o agregador deve estar bem definido. Os itens individuais devem ter uma caracte-
rística ou características que os façam pertencer a um conjunto particular. Uma regra ou um méto-
do deve existir para que seja possível determinar se um objeto, seja ele qual for, é ou não membro 
do conjunto em questão. 
Segundo, os elementos de um conjunto são distintos. Nenhum conjunto pode ter o mesmo 
elemento duas vezes. Quando um objeto já estiver listado como elemento de um conjunto, não 
poderá mais ser repetido. O conjunto de letras da palavra CURITIBA, por exemplo, não é um con-
junto que contém oito letras, mas sim um conjunto com sete letras distintas: C, U, R, I, T, B, A. A 
sequência na qual os elementos são listados quando são enumerados é insignificante.
Métodos quantitativos matemáticos44
3.4.1.2 Notação dos conjuntos
Normalmente, as letras maiúsculas, tais como A, B, X e Y, são usadas para denotar os con-
juntos, enquanto as letras minúsculas, tais como a, b, x e y, são usadas para representar os elemen-
tos individuais de um conjunto.
Os conjuntos podem ser descritos de duas formas:
• Listagem dos elementos: todos os elementos do conjunto são listados, separados por 
vírgulas e fechados por chaves.
• Regra: a regra que pode ser usada para determinar se um objeto pertence ou não a um 
conjunto é iniciada e encerrada por chaves.
Assim, o conjunto A, que contém os inteiros entre 5 e 10, pode ser escrito como:
A = {6, 7, 8, 9}
Essa notação é lida “O conjunto A cujos elementos são 6, 7, 8 e 9”.
O mesmo conjunto pode ser denotado pela regra como:
A = {x|x é um inteiro e está entre 5 e 10}
A = {x|5 < x < 10}
Essa notação pode ser lida “A é um conjunto de todos os as, tal que a seja um inteiro entre 
5 e 10”.
3.4.1.3 Elementos de um conjunto
Na notação de conjunto, o símbolo ∈ significa “é um elemento de”, ou “pertence a”, ou “é um 
membro de” um conjunto. Já o símbolo ∉ significa “não é um elemento de” ou “não pertence a” 
um conjunto.
Exemplo 1
O conjunto X = {x|x é um inteiro positivo menor que 10 e x é exatamente divisível por 4}. 
Então, 8 ∈ X, mas 7 ∉ X.
Exemplo 2
A letra a representa o Sr. Costa, e a letra B representa o conjunto de diretores do Banco do 
Brasil. Então a ∈ B indica que o Sr. Costa é um membro da diretoria do banco; a ∉ B indica que o 
Sr. Costa não é um membro da diretoria do banco.
3.4.1.4 Conjuntos finitos e infinitos
Se um conjunto tem um número definido de elementos, ele é chamado de conjunto finito. 
É perfeitamente possível que um conjunto tenha um número exageradamente grande de elementos 
e ainda seja um conjunto finito. 
Se o número de elementos de um conjunto não tem limite, o conjunto é chamado de conjunto 
infinito. Um exemplo simples de um conjunto infinito é o conjunto de números inteiros positivos.
Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 45
Conjuntos finitos e infinitos enumeráveis são chamados de conjuntos discretos. Um conjunto 
contínuo é um conjunto infinito não enumerável.
3.4.1.5 Conjuntos iguais
Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, cada um deles contiver exatamente os 
mesmos elementos. A igualdade entre conjuntos é simbolizada da seguinte forma: A = B ou B = A. 
Se um dos conjuntos tiver pelo menos um elemento que não pertença ao outro conjunto, então, os 
dois conjuntos não são iguais. Essa desigualdade é simbolizada da seguinte forma: A ≠ B ou B ≠ A.
3.4.1.6 Conjunto universo
Em qualquer análise, quando a Teoria dos Conjuntos é empregada, um conjunto básico que 
contém todos os elementos a serem considerados naquela investigação está tacitamente assumido 
de existir. Esse conjunto é chamado de conjunto universo e é denotado pelo símbolo U. Todos os 
outros conjuntos considerados na investigação são definidos nesse conjunto básico.
Observe que um conjunto universo diferente é definido para cada problema ou investi-
gação diferente.
3.4.1.7 O conjunto vazio
O conjunto que não contém elementos é chamado de conjunto vazio e é denotado pelo sím-
bolo ∅ ou por { }. 
Exemplo 3
O conjunto de todos os corredores que regularmente fazem 100 metros em menos de 5 se-
gundos é um exemplo de conjunto vazio.
3.4.1.8 Subconjuntos
Se todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B, A é chamado 
de subconjunto de B. A relação é simbolizada por A ⊂ B, e se lê “A é subconjunto de B” ou “A está 
contido em B”. Também A ⊂ B indica que todo elemento pertencente ao conjunto A é também um 
elemento de B. Todos os elementos de B podem ou não estar incluídos em A para que a sentença 
“A é um subconjunto de B” seja verdadeira.
Exemplo 4
Dado A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4}, o conjunto A é um subconjunto do conjunto B, 
mas A não é subconjunto de C. Isto é, A ⊂ B mas A ⊄ C.
3.4.1.9 Representação gráfica de conjunto
Quando consideramos o conjunto universo e seus subconjuntos, é útil fazer uma represen-
tação geométrica desses conjuntos e as relações entre eles. Diagramas de Venn são usados para 
ilustrar de forma descritiva os conjuntos.
Métodos quantitativos matemáticos46
Um grande retângulo é comumente empregado para simbolizar o conjunto universo U, en-
quanto os círculos ou as elipses, ou outras formas simples, são desenhadas dentro do retângulo 
para descrever subconjuntos de U. 
A única condição é que os símbolos usados para representar os subconjuntos devem estar 
dentro da caixa que representa o conjunto universo. O tamanho e a forma das configurações não 
têm nenhuma influência direta com o número de elementos do conjunto e dos subconjuntos.
A Figura 3 mostra os subconjuntos A, B e C definidos em um conjunto universo U e ilustra 
que B ⊂ A, A ⊄ B e B ⊄ C.
Figura 3 – Diagrama de Venn
A
B
C
Fonte: Elaborada pelo autor.
3.4.1.10 Número de subconjuntos de um conjunto
Uma vez que o conjunto universo U tenha sido definido em uma análise particular, todos os 
conjuntos que podem ser formados de elementos de U são conhecidos como subconjuntos de U. 
O número total de possíveis subconjuntos depende do número de elementos de U.
Um conjunto com n elementos tem 2n possíveis subconjuntos.
Assim, um conjunto com 3 elementos tem 23 = 8 possíveis subconjuntos. Por exemplo, o 
conjunto A = {1,2,3} tem os subconjuntos {1,2,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1}, {2}, {3} e o conjunto vazio 
{ }. Um conjunto de 10 elementos tem 210 = 1.024 subconjuntos.
3.4.2 Produto cartesiano de conjuntos
Um par ordenado é um par de objetos no qual a sequência em que os objetos aparecem deve 
ser considerada. A notação (a, b) é usada para representar um par ordenado em que a é o primeiro 
componente e b é o segundo componente. 
O par ordenado (a, b) é muito diferente do conjunto {a, b}, que contém dois elementos a e b. 
No conjunto {a, b} não existe o “primeiro componente”, porque a ordem na qual os elementos do 
conjunto são listados é irrelevante. Assim, apesar de o conjunto {a, b} ser igual ao conjunto {b, a}, 
o par ordenado (a, b) não é igual ao par ordenado (b, a). Dois pares ordenados são iguais se, e so-
mente se, seus primeiros e segundos componentes forem os mesmos.
Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 47
Sempre que tivermos dois conjuntos, podemos formar pares ordenados pegando o pri-
meiro componente dos elementos de um conjunto e o segundo componente dos elementos do 
segundo conjunto. 
Se A e B são dois conjuntos, o conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro 
componente é pego do conjunto A e o segundo componente é pego do conjunto B é chamado de 
produto cartesiano de A por B (referência ao matemático René Descartes) e é denotado A x B, nor-
malmente lido como “A por B”. Em notação simbólica: A x B = {(a, b)| a ∈ A e b ∈ B}.
Se A e B são conjuntos finitos tal que A contém m elementos a1, a2, ... , am e B contém n ele-
mentos b1, b2, ... , bn, A x B é um conjunto que contém os seguintes m x n elementos:
(a1, b1) (a1, b2) ... (a1, bn)
(a2, b1) (a2, b2) ... (a2, bn)
 
(am,b1) (am, b2) ... (am, bn)
Se o primeiro elemento do par ordenado é pego do conjunto B e o segundo elemento do 
conjunto A, o conjunto produto cartesiano será B por A, denotado B x A.
Exemplo 1
Seja o conjunto A que representa os resultados dos lançamentos de uma moeda, A = {C, K}, 
onde C é cara e K é coroa. Seja o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, os possíveis resultados do lançamen-
to de um dado. Os conjuntos que seguem são alguns dos conjuntos de produtos cartesianos que 
podem ser formados:
A x B = {(C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6), (K, 1), (K, 2), (K, 3), (K, 4), (K, 5), (K, 6)}
B x A = {(1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, K), (2, K), (3, K), (4, K), (5, K), (6, K)}
A x A = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}
Esse conceito pode ser estendido para o produto cartesiano de n conjuntos. Se A, B e C 
forem conjuntos, várias construções podem ser feitas. O produto cartesiano A x B pode ser usado 
para formar um novo conjunto, o qual pode ser combinado com C para formar (A x B) x C. Ou 
B e C podem ser combinados para formar B x C e uma segunda combinação (B x C) x A pode ser 
feita, e assim por diante.
3.4.2.1 Relações
A relação entre o conjunto A e o conjunto B, denotado por R, é qualquer subconjunto do 
produto cartesiano A x B. O número de relações em qualquer produto cartesiano depende do nú-
mero de pares ordenados naquele conjunto em particular. Se o número de pares ordenados for p, 
o número de relações será 2p.
Exemplo 2
Se A = {a1, a2} e B = {b1, b2}, o conjunto produto cartesiano A x B = Y contém 2 . 2 = 4 pares 
ordenados, como segue:
Métodos quantitativos matemáticos48
Y = A x B = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}
Todo subconjunto de pares ordenados desse produto cartesiano é uma relação. Aqui temos 
24 = 16 relações, como segue:
R1 = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}
R2 = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1)}
R3 = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b2)}
R4 = {(a1, b1), (a2, b1), (a2, b2)}
R5 = {(a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}
R6 = {(a1, b1), (a1, b2)}
R7 = {(a1, b1), (a2, b1)}
R8 = {(a1, b1), (a2, b2)}
R9 = {(a1, b2), (a2, b1)}
R10 = {(a1, b2), (a2, b2)}
R11 = {(a2, b1), (a2, b2)}
R12 = {(a1, b1)}
R13 = {(a1, b2)}
R14 = {(a2, b1)}
R15 = {(a2, b2)}
R16 = ∅
Exemplo 3
Um dado branco e um dado preto são lançados. B representa os possíveis resultados do dado 
branco, e P os possíveis resultados do dado preto. Então, B = P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No conjunto pro-
duto cartesiano B x P existirão 6 . 6 = 36 elementos que são pares ordenados. O produto pode ser 
denotado simbolicamente como:
X = B x P = {(b, p)| b ∈ B e p ∈ P}
Existem 236 possíveis relações. Exemplos específicos para essas relações que podem ser de 
especial interesse são:
R1 = {(b, p)| b = p e (b, p) ∈ B x P}
Os pares ordenados dessa relação são:
R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
Ou nós podemos estar especialmente interessados na relação:
R2 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}
O conjunto acima representa os pares ordenados em que os valores do dado branco são 
sempre maiores que os valores do dado preto.
Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 49
3.4.2.2 Domínio e contradomínio de uma relação
O domínio da relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados 
em R. O contradomínio da relação R é o conjunto de todos os segundos elementos dos pares or-
denados em R.
3.4.2.3 Funções
Uma função é um caso especial de uma relação. Qualquer subconjunto de A x B é uma rela-
ção. A relação é uma função de A para B onde para cada elemento do conjunto A existe um único 
elemento do conjunto B.
Em outras palavras, se cada elemento do domínio estiver associado a um elemento no con-
tradomínio, a associação é chamada de função. Observe, então, que o número de pares ordenados 
em uma função é igual ao número de elementos no conjunto A, o conjunto que fornece o primeiro 
componente dos pares ordenados.
Exemplo 4
Nós vimos no Exemplo 2 que se A = {a1, a2} e B = {b1, b2}, temos 16 relações (ou subconjun-
tos) possíveis no conjunto de produto cartesiano A x B. Dessas relações, somente quatro estão em 
conformidade com a definição de uma função. Essas quatro funções são:
R7 = {(a1, b1), (a2, b1)}
R8 = {(a1, b1), (a2, b2)}
R9 = {(a1, b2), (a2, b1)}
R10 = {(a1, b2), (a2, b2)}
Cada uma dessas funções consiste em dois pares ordenados, ou n (A) pares ordenados. a1 
aparece como o primeiro elemento uma vez, e a2 aparece como primeiro elemento uma vez, em cada 
função. Não há distintos pares ordenados de uma função que têm a mesma primeira coordenada.
3.4.3 Operações com conjuntos
Como os números podem ser combinados pelas operações básicas da matemática – adição, 
subtração, multiplicação e divisão – para formar um novo número, os conjuntos também podem 
ser combinados para formar um novo conjunto. 
Todos os conjuntos envolvidos na combinação são subconjuntos do mesmo conjunto uni-
verso. O novo conjunto formado será também subconjunto do mesmo conjunto universo.
As operações básicas usadas com conjuntos são: complemento, interseção e união entre conjuntos. 
3.4.3.1 Complemento de conjuntos
O complemento do conjunto A em relação ao conjunto universo U é o 
conjunto que contém todos os elementos de U que não estão em A.
Métodos quantitativos matemáticos50
Exemplo 1
Suponha que o conjunto universo U tenha como seus elementos todas as 23 letras do alfa-
beto. Se A é o subconjunto de U, que contém todas as vogais, então todas as consoantes formam 
outro subconjunto, também um subconjunto de U, que é conhecido como o complemento de A 
com relação a U. O símbolo Ac, que se lê “não A” ou “o complemento de A”, é usado para representar 
o complemento de A (ver Figura 4). A relação pode ser simbolizada como:
Ac = {x|x ∈ U e x ∉ A}
Figura 4 – Complemento de conjuntos
A
Ac
U
Fonte: Elaborada pelo autor.
Exemplo 2
O complemento do conjunto de todos os números racionais com relação ao conjunto uni-
verso de todos os números reais é o conjunto de todos os números irracionais.
Exemplo 3
O complemento do conjunto de empregados da Companhia XYZ que têm 45 anos de idade 
ou mais com relação ao conjunto universo de todos os empregados da Companhia XYZ é o conjunto 
cujos elementos são aqueles empregados da Companhia XYZ que têm menos de 45 anos de idade.
Exemplo 4
O complemento do conjunto universo com relação a ele mesmo é o conjunto vazio ∅, e o com-
plemento do conjunto vazio ∅ com relação ao conjunto universo é o próprio conjunto universo U.
3.4.3.2 Interseção
A interseção de dois conjuntos A e B, denotada por A ∩ B – lê-se “A 
interseção com B” ou “A inter B” –, é o conjunto dos elementos que per-
tencem a ambos os conjuntos A e B. Simbolicamente,
A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}
A interseção de dois conjuntos é mostrada na Figura 5. A ∩ B (a interseção de A e B é mos-
trada pela área mais escura).
Tópicos em Teoria dos Conjuntos e relações matemáticas 51
Figura 5 – Interseção de conjuntos
U
B
A
A ∩ B
U
B
A
A ∩ B
Fonte: Elaborada pelo autor.
Exemplo 5
Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {3, 4, 7} , então A ∩ B = {4}.
Exemplo 6
Se o conjunto A é um conjunto cujos elementos são todos os carros amarelos estacionados 
em um estacionamento particular, e os elementos do conjunto B são todos os da marca M estacio-
nados no mesmo estacionamento, a interseção de A e B, A ∩ B, é o conjunto de todos os carros da 
marca M e amarelos estacionados no estacionamento particular.
Exemplo 7
Se o conjunto A contém todos os carros amarelos estacionados em um determinado estaciona-
mento, e o conjunto B contém todos os carros da marca M estacionados no mesmo estacionamento, 
então, Bc contém todos os carros que não são da marca M, e A ∩ Bc contém todos os carros amarelos, 
exceto os da marca M e amarelos (ver Figura 6).
Figura 6 – Intersecção dos conjuntos A e B
B
A
U
Fonte: Elaborada pelo autor.
A notação da interseção pode facilmente