Relatório 4 - Teorema dos Eixos Paralelos

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Curso: Engenharia Mecânica
Disciplina: Física Experimental I		
Aluna: Joyce Ingrid Venceslau de Souto
EXPERIMENTO: TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
Dezembro de 2017
Campina Grande – PB
Índice
1. Introdução	3
1.1 Objetivos Gerais	3
1.2 Materiais Necessários	3
2. Procedimento Experimental	4
2.1 Procedimentos	4
2.2 Análises	4
2.3 Medidas/Tabelas	4
3. Conclusão	6
4. Anexos	7
1. Introdução
1.1 Objetivos Gerais
	Estudar as oscilações de uma haste delgada em torno de vários pontos ao longo de seu eixo. Através desse estudo, determinar uma expressão para o Teorema dos Eixos Paralelos.
1.2 Materiais Necessários
· Corpo Básico (1);
· Armadores (2.1);
· Manivela (2.4);
· Pêndulo Físico (2.8);
· Suporte para Pêndulo Físico (2.9);
· Balança (2.10);
· Conjunto de Massas Padronizadas (2.12);
· Escala Milimetrada (2.17);
· Cronômetro (2.21);
· Cordão e alfinete.
Figura 1 - Esquema de montagem do experimento
2. Procedimento Experimental
2.1 Procedimentos
Primeiramente, coloca-se o corpo básico na posição horizontal de trabalho com a balança já instalada, depois se mede e anota-se a massa do Pêndulo Físico. Depois, com o corpo básico agora na posição vertical de trabalho e com o suporte para pêndulo físico fixado no orifício da lingueta graduada situado entre as marcas de 15 e de 20 cm, são medidas e anotadas as distâncias entre os pequenos orifícios do pêndulo e o seu centro de massa (orifício do centro do pêndulo) na tabela I (Seção 3).
Após isso, introduz-se simultaneamente o alfinete no pequeno orifício do suporte e no orifício da extremidade do pêndulo físico (previamente colocado no furo do suporte). É importante ter cautela para que o pêndulo não toque nas paredes internas do suporte, no ato de coloca-lo para oscilar. Isso é feito de forma que seu ponto inferior não sofra deslocamentos muito maiores que a largura da lingueta. Com isso, o deslocamento angular máximo (em relação ao ponto de equilíbrio) é bem menor que 15º e o movimento pode ser considerado harmônico simples. Deve-se medir e anotar o intervalo de tempo gasto em dez oscilações completas e anotar o seu período T.
Dando prosseguimento, coloca-se o alfinete nos vários orifícios do pêndulo físico (de cima para baixo) e são repetidos os passos necessários para completar a tabela I. Para tal, retira-se o gancho central do T da lingueta e, ao final, recoloca-o na posição original.
2.2 Análises
	A partir do estudo do movimento do pêndulo feito na experiência do pêndulo físico, conclui-se que o momento de inércia do mesmo (em relação ao eixo em torno do qual as oscilações ocorrem) é dado por:
.
	Utilizando a expressão acima e através dos cálculos que se encontram no Anexo I, preenche-se a tabela abaixo que dá a relação entre I e .
2.3 MEDIDAS / TABELAS
Massa do pêndulo Físico 🡪 m = 40,333g
TABELA I
	L(cm)
	32,90
	29,60
	26,30
	23,00
	19,80
	16,60
	13,30
	9,90
	6,60
	3,30
	T(s)
	1,353
	1,324
	1,287
	1,277
	1,263
	1,255
	1,265
	1,399
	1,631
	2,190
Utilizando a equação e usando os dados da Tabela I, construímos a nova tabela, intitulada de Tabela II.
TABELA II
	I(Kg.m2)
	0,0060
	0,0052
	0,0044
	0,0038
	0,0032
	0,0026
	0,0022
	0,0019
	0,0018
	0,0016
	L(m)
	0,3290
	0,2960
	0,2630
	0,2300
	0,1980
	0,1660
	0,1330
	0,0990
	0,0660
	0,0330
A partir da tabela II, traçam-se o gráfico de I versus L; na qual está em anexo.
Observando o gráfico, notou-se que é viável fazer a suposição que a curva seja descrita por uma expressão do tipo:
Para confirmar esta suposição, foi feita a seguinte substituição:
Criando-se assim uma nova tabela:
TABELA III
	
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	I(Kg.m2)
	0,0063
	0,0052
	0,0043
	0,0038
	0,0032
	0,0026
	0,0022
	0,0019
	0,0018
	X(m2)
	0,1096
	0,0876
	0,0692
	0,0538
	0,0392
	0,0276
	0,0177
	0,0098
	0,0042
Pode-se perceber a partir do gráfico de I versus x, que a função para 
, é uma reta.
A partir do gráfico obtido da TABELA III, podem-se achar dois pontos que passam pela reta e encontrar os parâmetros da reta 
.
Assim, b=m e a=Icm; sendo:
 ICM = 1,5x10-3 Kg.m2
Com o parâmetro b já determinado vemos que ele pode ser comparado a massa do pêndulo físico com um erro percentual de:
ε% = | 0,042 - 0,0408 | x100 = 2,94%
 0,0408
Pode-se escrever a expressão literal para o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo qualquer como:
y = a + bl2 => como a = ICM e b é a massa do pêndulo físico, então I = ICM + ml2, onde l é a distância de um eixo qualquer ao eixo que passa pelo centro de massa.
Através de argumentações teóricas pode-se encontrar a expressão do Teorema dos Eixos Paralelos;
Iaa = 2dm
Iaa = (r+l)2dm
Iaa = (r2+2lr+l2)dm
Iaa = Icm+ml2
L
r
l
dm
4. Conclusões
Concluímos que através da expressão I = (T2/42 )mgl e da expressão Iaa = Icm+ml2 , igualando as duas expressão obtemos “T” em função de “l” :
T = 2
Que oscila de acordo com o gráfico, porque quando”l” tente para 0 ou infinito, “T” tende sempre para infinito e quando “l” tende para finito “T” também:
O gráfico de T x l fica assim:
O gráfico obtido de I(kg/m2) x l(m) quase nos levou a supor que a curva pudesse ser descrita pela expressão I= AeBl , porque ao traçarmos percebemos deu mais ou menos uma curva.
Por integração achamos uma expressão para o momento de inércia, e vamos calcula-lo com o comprimento da barra como sendo o dobro de “l”.
Iaa = 2dm
Iaa = (r+l)2dm
Iaa = (r2+2lr+l2)dm
Iaa = Icm+ml2 
Como o l=0 no centro de massa temos:
ICM = 1,5x10-3 Kg.m2
comprimento da barra como sendo o dobro de “l”.
Iaa = Icm+4ml2
Iaa = 1,25x10-3 + 0,0408x(2x33.1)2
Iaa = 0,22 Kg.m2
Comparando os dois momentos de inércia acima, concluímos que quanto maior seja ele, menor será sua velocidade.
Os erros sistemáticos encontrados foram a resistência do ar, o pequeno pedaço do pêndulo físico acima do 1º orifício que foi desprezado, o atrito com o alfinete ,etc. Caso o sistema fosse descrito por I= a+bx , os parâmetros A e B seriam descobertos pelo alinhamento dos pontos num papel dilog. Finalmente concluímos que a exatidão do experimento foi boa, pois os valores teóricos foram próximos dos experimentais, que teve um erro percentual de 2,94% e a precisão experimental também.
	
5. ANEXOS
CÁLCULOS PARA O GRAFICO NO PAPEL MILIMETRADO – TABELA II
PARA “I”
Estudo da inclusão da origem
Primeiro ponto (0,0016) na primeira metade (0,006/2) Inclui-se a origem.
Módulo 				Degrau e Passo
 
 
		 
Equação da Escala
 
PARA “L”
Estudo da inclusão da origem
Como o menor valor estar mais próximo da origem, então ela é inclusa. 0 0,1655 	0,3310
Módulo				 Degrau e Passo
			
Equação da Escala
 
CÁLCULOS PARA O GRAFICO NO PAPEL MILIMETRADO – TABELA III
PARA “I”
Estudo da inclusão da origem
Como o menor valor estar mais próximo da origem, então ela é inclusa. 0 0,0031 	0,0063
Módulo 				Degrau e Passo
		 
Equação da Escala
 
PARA “X”
Estudo da inclusão da origem
Como o menor valor estar mais próximo da origem, então ela é inclusa. 0 0,0548 	0,1096
Módulo				 Degrau e Passo
			
Equação da Escala
 
 
CÁLCULO DOS PARÂMETROS
P1 = (0;0,0015)
P2 = (0,125;0,00675)
l
l
g
mgl
Icm
/
+
ò
r
ò
)
(
o
x
x
x
x
m
l
-
=
mm
l
mm
l
mm
l
86
)
0043
,
0
(
20000
104
)
0052
,
0
(
20000
126
)
,0063
0
(
20000
3
2
1
=
=
=
=
=
=
mm
l
mm
l
mm
l
52
)
0026
,
0
(
20000
64
)
0032
,
0
(
20000
76
)
0038
,
0
(
20000
6
5
4
=
=
=
=
=
=
mm
l
mm
l
mm
l
36
)
0018
,
0
(
20000
38
)
0019
,
0
(
20000
44
)
0022
,
0
(
20000
9
8
7
=
=
=
=
=
=
m
mm
m
m
m
L
m
x
x
x
x
x
/
500
49
,
785
3310
,
0
260
0
80
=
Þ
=
=
-
=
m
x
x
mX
mm
mm
x
m
l
x
x
04
,
0
/
500
20
=
D
D
=
D
=
D
l
mg
T
I
2
2
4
p
=
mm
l
mm
l
mm
l
x
x
x
5
,
131
)
0
2630
,
0
(
500
0
,
148
)
0
2960
,
0
(
500
5
,
165
)
0
3310
,
0
(
500
3
2
1
=
-
=
=
-
=
=
-
=
mm
l
mm
l
mm
l
x
x
x
0
,
83
)
0
1660
,
0(
500
0
,
99
)
0
1980
,
0
(
500
0
,
116
)
0
2320
,
0
(
500
6
5
4
=
-
=
=
-
=
=
-
=
mm
l
mm
l
mm
l
x
x
x
5
,
32
)
0
0650
,
0
(
500
5
,
49
)
0
0990
,
0
(
500
5
,
66
)
0
1330
,
0
(
500
9
8
7
=
-
=
=
-
=
=
-
=
2
.
/
20000
25396
0063
,
0
160
0
0063
,
0
m
Kg
mm
m
m
m
L
m
x
x
x
x
x
=
=
=
-
=
2
2
.
001
,
0
.
/
20000
20
m
Kg
x
x
X
m
Kg
mm
mm
x
m
l
x
x
=
D
D
=
D
=
D
2
/
2000
2372
1096
,
0
260
0
80
m
mm
m
m
m
L
m
x
x
x
x
x
=
Þ
=
=
-
=
2
2
01
,
0
/
2000
20
m
x
x
X
m
mm
mm
x
m
l
x
x
=
D
D
=
D
=
D
mm
l
mm
l
mm
l
4
,
138
)
0692
,
0
(
2000
2
,
175
)
0876
,
0
(
2000
2
,
219
)
1096
,
0
(
2000
3
2
1
=
=
=
=
=
=
mm
l
mm
l
mm
l
2
,
55
)
0276
,
0
(
2000
4
,
78
)
0392
,
0
(
2000
6
,
107
)
0538
,
0
(
2000
6
5
4
=
=
=
=
=
=
mm
l
mm
l
mm
l
4
,
8
)
0042
,
0
(
2000
6
,
19
)
0098
,
0
(
2000
4
,
35
)
0177
,
0
,
0
(
2000
9
8
7
=
=
=
=
=
=
0015
,
0
125
,
0
042
,
0
00675
,
0
042
,
0
0
125
,
0
0015
,
0
00675
,
0
=
-
=
=
-
-
=
+
=
a
x
a
b
b
bX
a
I
p