AULA 3 - VELOCIDADE E ACELERAÇÃO

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Física Júnior 1 
 
 
AULA 4 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO 
 
Nesta aula vamos definir e aplicar os conceitos de velocidade e aceleração de um movem em movimento 
unidimensional. 
 
1. VELOCIDADE 
 
Velocidade é uma grandeza vetorial que tem como finalidade medir a alteração do deslocamento de um 
móvel com o tempo. Como veremos adiante, o vetor é uma grandeza física que possui intensidade, 
direção e sentido. No entanto, faremos um tratamento escalar da velocidade, ou seja, se preocupando 
apenas em determinar sua intensidade. 
 
1.1 VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA E VELOCIDADE MÉDIA 
 
A velocidade escalar média e a velocidade média representam a rapidez de um movimento, entre o seu 
início e o fim. 
 
1.1.1 Velocidade Escalar Média 
 
A velocidade escalar média |𝑣𝑚| é a razão entre a distância percorrida 𝑑𝑝 e o intervalo de tempo ∆𝑡 
“gasto” no percurso. 
|𝑣𝑚| =
𝑑𝑝
∆𝑡
 
 
A velocidade escalar é o módulo da velocidade, isto é, é a velocidade sem qualquer indicação de direção 
e sentido. 
 
1.1.2 Velocidade Média 
 
A velocidade escalar média (𝒗𝒎), mede a variação da posição de um móvel para um intervalo de tempo 
relativamente “grande”. Sua intensidade é definida como o quociente entre a variação da posição ∆𝒙 e 
o intervalo de tempo ∆𝒕. 
 
𝑣𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑥 − 𝑥0
𝑡 − 𝑡0
 {
𝑆𝑒, 𝑥 > 𝑥0 ⇒ ∆𝑥 > 0 ⇒ 𝑣𝑚 > 0
𝑆𝑒, 𝑥 = 𝑥0 ⇒ ∆𝑥 = 0 ⇒ 𝑣𝑚 = 0
𝑆𝑒, 𝑥 < 𝑥0 ⇒ ∆𝑥 < 0 ⇒ 𝑣𝑚 < 0
 
 
Quando o móvel se movimenta no mesmo sentido da trajetória, a velocidade é positiva (𝒗 > 0), o 
movimento é chamado de progressivo. 
 
Figura 1: Carro se movendo no sentido da trajetória, movimento progressivo. 
Quando o móvel se movimenta no sentido contrário ao da trajetória, a velocidade é negativa ( 𝒗 < 𝟎), 
o movimento é chamado de retrógrado. 
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Figura 2: Carro se movendo contrário ao sentido da trajetória, movimento retrógrado. 
A unidade de velocidade no SI é o metro por segundo (
𝒎
𝒔
). Veja a equação dimensional. 
 
[𝑣] =
[𝑥]
[𝑡]
=
𝐿
𝑇
=
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 ⇒ 
𝑚
𝑠
 
 
No movimento retilíneo, a distância percorrida e a variação da posição (deslocamento escalar) são 
idênticos. Logo, só existirá diferença entre a velocidades média e a velocidade escalar média nos 
movimentos bi e tridimensionais. 
 
Na cinemática adotamos como grandezas fundamentais o comprimento (L) e o tempo (T). Qualquer 
grandeza da cinemática pode ser escrita em função de L e T. Denomina-se equação dimensional de uma 
grandeza cinemática G, a sua expressão em função das grandezas L e T. A equação dimensional é 
simbolizada por um colchete [𝐺], e lê-se, equação dimensional de G. Sendo [𝐺] = 𝐿𝑥𝑇𝑦, os expoentes 
x e y são chamados de dimensões de G em relação a L e T respectivamente. Então a velocidade tem 
equação dimensional dada por: 
[𝑣] =
[𝑥]
[𝑡]
=
𝐿
𝑇
= 𝐿1𝑇−1 
 
Outra unidade muito usual de velocidade é o quilometro por hora 
𝒌𝒎
𝒉
. Quando for necessário transformar 
de 
𝒌𝒎
𝒉
 para 
𝒎
𝒔
 ou vice versa, podemos usar a seguinte regra prática: 
 
Figura 3: Fator de conversão de km/h para m/s e vice-versa. 
 
1.2 VELOCIDADE ESCALAR INSTÂNTANEA 
 
A velocidade escalar instantânea representam a rapidez de um móvel em um dado momento (instante). 
Isso é, ela mede a variação temporal do deslocamento de um objeto em um intervalo de tempo 
muitíssimo pequeno, ou seja, num determinado instante. 
 
Como definido anteriormente, a velocidade escalar instantânea representa apenas o módulo da 
velocidade, sem qualquer indicação de direção e sentido. A velocidade escalar de um objeto, que está se 
movendo a +5
𝑚
𝑠
, é a mesma que a de outro que está a −5
𝑚
𝑠
 . O velocímetro de um carro informa a 
velocidade escalar instantânea e não a velocidade vetorial, já que não mostra a direção e o sentido do 
movimento. 
 
Considere determinar a velocidade escalar instantânea de um móvel num instante t, em que passa pela 
posição P de sua trajetória. 
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Figura 4: O vetor velocidade é tangente quando o intervalo de tempo tende a zero (∆𝒕 → 𝟎). 
Para a velocidade escalar média entre as posições P (instante t) e P’ (instante 𝒕 + ∆𝒕), fazendo o intervalo 
de tempo ∆𝑡 tender a zero (∆𝒕 → 𝟎), o valor da velocidade escalar média (𝒗𝒎 =
∆𝒙
∆𝒕
) vai tender para o 
valor da velocidade escalar no instante 𝑡. A velocidade escalar instantânea é o limite da velocidade 
escalar média quando o intervalo de tempo tende a zero. 
 
𝑣 = lim
∆𝑡→0
𝑣𝑚 = lim
∆𝑡→0
∆𝑥
∆𝑡
 
 
O cálculo desse limite é a definição da derivada da posição em relação ao tempo. Portanto, a velocidade 
escalar instantânea é definida como a derivada da posição no tempo. 
 
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 
1.2.3 Derivada de uma Função Polinomial 
 
Como as equações cinemáticas são polinomiais, vamos definir a derivada de funções polinomiais. 
Considere a função 𝒙(𝒕) = 𝒂 + 𝒃𝒕 + 𝒄𝒕𝒏, com a, b, c e n constantes. Dado, 𝒗 =
𝒅𝒙
𝒅𝒕
, onde 𝒙 é uma função 
em t, derivando cada termo, termos: 
 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑎 +
𝑑
𝑑𝑡
𝑏𝑡 +
𝑑
𝑑𝑡
𝑐𝑡𝑛 
 
 A derivada de qualquer constante é nula  
𝒅
𝒅𝒕
𝒂 = 𝟎 
 A derivada do termo 𝑏𝑡 é 𝑏  
𝒅
𝒅𝒕
𝒃𝒕 = 𝒃 
 A derivada do termo 𝑐𝑡𝑛 é 𝑛. 𝑐𝑡𝑛−1  
𝒅
𝒅𝒕
𝒄𝒕𝒏 = 𝒏. 𝒄𝒕𝒏−𝟏 
 
Exemplo: Determine a velocidade 𝑣(𝑡) de uma partícula que se movimenta em trajetória retilínea 
segundo a equação 𝑥 = 5𝑡3 + 8𝑡2 − 9𝑡 + 10. 
 
Solução: derivando temporalmente a equação 𝑥(𝑡) = 5𝑡3 + 8𝑡2 − 9𝑡 + 10, temos: 
 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
= 3.15𝑡3−1 + 2.8𝑡2−1 − 9𝑡1−1 + 0 
 
 ∴ 𝒗(𝒕) = 𝟏𝟓𝒕𝟐 + 𝟏𝟔𝒕 − 𝟗 
 
2. ACELERAÇÃO 
 
A aceleração é uma grandeza vetorial que tem como objetivo informar a variação da velocidade de um 
objeto no decorrer do tempo. Isto é, ela nos dá informações sobre como a velocidade de um móvel varia 
em módulo, direção e sentido com o tempo. Entretanto, aqui será feito um tratamento escalar da 
aceleração, ou seja, trataremos em determinar apenas sua intensidade. 
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2.1 ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA 
 
A aceleração escalar média 𝒂𝒎, é a aceleração em um intervalo de tempo “grande”. Sua intensidade 
é definida como o quociente entre a variação da velocidade ∆𝒗 e o intervalo de tempo ∆𝒕. 
 
𝑎𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
=
𝑣 − 𝑣0
𝑡 − 𝑡0
 {
𝑆𝑒, 𝑣 > 𝑣0 ⇒ ∆𝑣 > 0 ⇒ 𝑎𝑚 > 0
𝑆𝑒, 𝑣 = 𝑣0 ⇒ ∆𝑣 = 0 ⇒ 𝑎𝑚 = 0
𝑆𝑒, 𝑣 < 𝑣0 ⇒ ∆𝑣 < 0 ⇒ 𝑎𝑚 < 0
 
 
Unidade da aceleração no SI é metro por segundo ao quadrado (
𝒎
𝒔𝟐
). Sua equação dimensional é: 
 
[𝑎] =
[𝑣]
[𝑡]
=
𝐿
𝑇
𝑇
=
𝐿
𝑇2
=
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑒𝑑𝑒
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
 ⇒ 
𝑚
𝑠2
 
 
A aceleração pode ser expressa por outras unidades, por exemplo, 
𝒌𝒎
𝒉𝟐
 e o 
𝒄𝒎
𝒔𝟐
 dentre outras, onde 
relacionamos unidades de velocidade com as de tempo, mas elas não são muito usuais. 
 
2.1.1 Classificação do Movimento Quando ao Módulo da Velocidade 
 
Quanto ao módulo da velocidade o movimento pode ser classificado em: 
 
 Acelerado, quando o módulo da velocidade aumenta com o tempo. Isso ocorre quando a velocidade 
e a aceleração tem os mesmos sentidos, neste caso o produto entre eles é positivo 𝑣. 𝑎 > 0. 
 
 
Figura 5: Na imagem (1), (𝑣 > 0 𝒆 𝑎 > 0 ⇒ 𝑣. 𝑎 > 0), o movimento é progressivo e acelerado. Na imagem (2), 𝑣 < 0 𝒆 𝑎 <
0 ⇒ 𝑣. 𝑎 > 0), o movimento é retrógrado e acelerado. 
 
 Retardado, quando o módulo da velocidade diminui com o tempo. Isso ocorre quando a velocidade 
e a aceleração tem sentidos contrários, neste caso o produto entre eles é negativo, 𝑣. 𝑎 < 0. 
 
 
Figura 6: Na imagem (1), (𝑣 > 0 𝒆 𝑎 < 0 ⇒ 𝑣. 𝑎 < 0), o movimento é progressivo e retardado. Na imagem (2), 𝑣 < 0 𝒆 𝑎 >
0 ⇒ 𝑣. 𝑎 < 0), o movimento é retrógrado e retardado. 
 
2.2 ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA 
 
A aceleração escalar instantânea, representada por 𝒂, é aaceleração em um intervalo de tempo muito 
“pequeno”. Isto é, é o limite da aceleração escalar média quando o intervalo de tempo tende a zero ∆𝑡 →
0. 
𝑎 = lim
∆𝑡→0
𝑎𝑚 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
 
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Portanto, a aceleração escalar instantânea fica definida como sendo a derivada da velocidade escalar em 
relação ao tempo. 
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
 
Para determinarmos a aceleração escalar instantânea a partir da equação da posição 𝑥(𝑡), devemos 
derivar duas vezes, onde a primeira derivada é a velocidade 𝑣(𝑡), e a segunda, a aceleração 𝑎(𝑡). 
 
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 
 
Exemplo: Determina a aceleração 𝑎(𝑡) da partícula que descreve o movimento dado por: 𝑥(𝑡) = 2𝑡3 +
3𝑡2 − 4𝑡 + 5. 
Solução: sabendo que 𝑎 =
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
, temos: 
 
Primeiro derivamos a 𝑥(𝑡) temporalmente para determinar 𝑣(𝑡). 
 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3.2𝑡3−1 + 2.3𝑡2−1 − 1.4𝑡1−1 + 0 
 
∴ 𝑣(𝑡) = 6𝑡2 + 6𝑡 − 4 
 
E finalmente, derivamos a 𝑣(𝑡) temporalmente para encontrar a(𝑡). 
 
𝑎(𝑡) =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 2.6𝑡2−1 + 1.6𝑡1−1 − 0 
 
∴ 𝒂(𝒕) =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝟏𝟐𝒕 + 𝟔 
 
Nota: A aceleração não provoca alteração na velocidade. Quem é capaz de produzir variação na 
velocidade é a ação de uma força. A aceleração tem como papel de informar quanto varia a velocidade 
com o tempo. 
 
EXERCICIO DE APLICAÇÃO 
 
01. A velocidade escalar média de um ônibus que se moveu sempre no mesmo sentido foi de 10 m/s, 
num certo intervalo de tempo. Isso significa que: 
a) O ônibus percorreu necessariamente 10 m em cada segundo. 
b) O ônibus iniciou o movimento na posição 10 m. 
c) É possível que o ônibus tenha percorrido 10 m em cada segundo. 
d) Certamente o ônibus nunca parou durante o intervalo de tempo considerado. 
e) O ônibus não pode ter percorrido 15 m em algum segundo. 
 
02. Ao realizar uma viagem, o motorista observa que seu relógio marca 13 ℎ ao passar pelo km 20 e 
15 ℎ ao passar pelo km 130 da mesma rodovia. Calcule a velocidade escalar média do veículo, em 
km/h, entre os dois instantes considerados. 
 
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03. Em um treino de formula 1, a velocidade média de um carro é igual a 240 km/h. Supondo que o 
treino dura 30 min e que o comprimento da pista (uma volta) seja de 5 km, quantas voltas foram 
dadas pelo piloto durante os treinos? 
 
04. Uma partícula, deslocando-se em uma trajetória retilínea, tem a função horária das posições dada 
pela equação 𝑥 = 3,0𝑡2 − 2,0, no SI. A velocidade escalar média entre os instantes t1 = 0 e t2 = 2,0 
s vale: 
a) zero 
b) 4,0 m/s 
c) 1,0 m/s 
d) 6,0 m/s 
e) 2,0 m/s 
 
05. (MEC-PROVÃO DO ENSINO MÉDIO) Um automóvel percorre uma estrada de 400 km que liga 
duas cidades. Nos 300 km iniciais, devido às boas condições da estrada, o motorista desenvolve uma 
velocidade escalar média de 100 km/h, mas nos 100 km restantes, devido às erosões provocadas 
pelas chuvas, só conseguem manter a velocidade escalar média de 40 km/h. O tempo gasto no 
percurso entre as duas cidades foi de: 
a) 5,50 h 
b) 5,36 h 
c) 3,50 h 
d) 3,30 h 
e) 2,30 h 
 
06. (VUVESP) Um automóvel desloca-se com velocidade escalar média de 80 km/h durante os 
primeiros quarenta e cinco minutos de uma viagem de uma hora e com velocidade escalar média de 
60 km/h durante o tempo restante. A velocidade escalar média do automóvel, nessa viagem, em 
km/h, foi igual a: 
a) 60 
b) 65 
c) 70 
d) 75 
e) 80 
 
07. (UFPE) Durante um teste de desempenho de um novo modelo de automóvel, o piloto percorreu a 
primeira metade da pista com velocidade escalar média de 60 km/h e a segunda metade com 
velocidade escalar média de 90 km/h. Qual a velocidade escalar média, em m/s, desenvolvida durante 
o teste completo? 
 
08. (MACKENZIE) Em experiências efetuadas em laboratórios de física de alta energia, observam-se 
determinadas partículas elementares com altíssimas velocidades. Entre os valores abaixo, 
certamente, a única velocidade possível para tais partículas é: 
a) 2 x 108 m/s 
b) 4 x 108 m/s 
c) 6 x 108 m/s 
d) 8 x 108 m/s 
e) 1 x 109 m/s 
 
09. (USF) Um ponto material tem seu movimento regido pela função horária das posições 𝑥 = 5,0 +
2,0. 𝑡 − 2,0. 𝑡2, em unidades do SI. A sua velocidade escalar no instante 𝑡 = 2,0 𝑠 vale: 
a) -6,0 m/s 
b) -2,0 m/s 
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c) Zero 
d) 10 m/s 
e) 6,0 m/s 
 
10. A coordenada de posição de um atleta, em uma corrida de extensão de 50 m, é dada. Em função do 
tempo pela equação 𝑥 = 0,5. 𝑡2, no SI. Determine: 
a) O tempo gasto pelo atleta para completar a corrida. 
b) A velocidade escalar com que o atleta cruza a linha de chegada. 
c) A velocidade escalar média do atleta nessa corrida. 
 
11. Uma pessoa caminha em linha reta com equação horária das posições dada por 𝑥 = 1,0𝑡2 − 4,0, 
válida para 0t e em unidades do SI. No instante em que a pessoa passa pela origem das posições, 
sua velocidade escalar é igual a: 
a) zero 
b) 2,0 m/s 
c) 4,0 m/s 
d) 6,0 m/s 
e) 8,0 m/s 
 
12. Uma partícula em movimento tem equação horária das posições dada por 𝑥 = 1,0𝑡2 − 4,0𝑡, no SI. 
Considere as proposições que se seguem e dê como resposta a soma dos números associados às 
proposições corretas: 
(01) A trajetória da partícula é parabólica porque a equação horária das posições é do 2º grau. 
(02) Na origem dos tempos, a partícula está localizada na origem das posições. 
(04) Na origem dos tempos, a velocidade escalar da partícula é nula. 
(08) A partícula inverte o sentido de seu movimento a partir do instante t = 2,0 s. 
SOMA: _____ 
 
13. (EFOMM) Um móvel com aceleração escalar constante de 10 m/s2. Isso significa que: 
a) Em cada segundo, ele percorre 10 m. 
b) Em cada segundo, sua velocidade escalar varia de 102 m/s. 
c) Em cada segundo, ele percorre 102 m. 
d) Em cada segundo, sua velocidade escalar varia de 10 m/s. 
e) A velocidade escalar não varia, pois a aceleração escalar é constante. 
 
14. (CESGRANRIO) Numa pista de prova, um automóvel, partindo do repouso, atinge uma velocidade 
escalar de 108 km/h em 6,0 s. Qual a sua aceleração escalar média? 
a) 4,0 m/s2 
b) 5,0 m/s2 
c) 8,0 m/s2 
d) 9,0 m/s2 
e) 18 m/s2 
 
15. Em uma viagem com a família, o pai, motorista, ao ver um animal na pista, aciona imediatamente 
os freios do carro para não colidir com o animal. Sabendo que a velocidade que o carro se encontrava 
era de 90 km/h e que ele demorou 10 s para, determine a desaceleração exercida pelos freios do 
automóvel? 
 
16. Um projétil lançado verticalmente para cima, tem altura 𝑦, relativa ao solo, variando com o tempo 
conforme a equação 𝑦 = 30𝑡 − 5𝑡2, no SI. No instante 𝑡 = 3 𝑠 a velocidade escalar e a aceleração 
escalar do projétil são, respectivamente, iguais a: 
a) Zero e zero 
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b) Zero e -5,0 m/s2 
c) Zero e -10 m/s2 
d) 30 m/s e zero 
e) 30 m/s e -10 m/s2 
 
17. Uma partícula se desloca, em trajetória retilínea, com equação horária das posições dada, em 
unidades do SI, por 𝑥 = 𝑡3 − 3𝑡2 + 3𝑡. Calcule: 
a) A velocidade escalar e a aceleração escalar no instante 𝑡1 = 1 𝑠. 
b) A aceleração escalar média entre os instantes 𝑡0 = 0 e 𝑡1 = 3 𝑠.