Resumo de Conteúdo - Integrais Iteradas

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RESUMO DE CONTEÚDO 
CAPÍTULO 15.2 - INTEGRAIS ITERADAS 
 
O cálculo de integrais duplas pela definição, geralmente, é bastante complicado, porém, é possível a 
expressar uma integral dupla como uma integral iterada, cujo valor pode ser obtido calculando-se 
duas integrais unidimensionais. Vejamos a seguir: 
Suponha que 𝑓 seja uma função de duas variáveis contínua no retângulo 𝑅 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑]. 
Considerando a notação ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
, onde 𝑥 é mantido fixo e 𝑓(𝑥, 𝑦) é integrada em relação a 
𝑦 𝑑𝑒 𝑦 = 𝑐 𝑎𝑡é 𝑦 = 𝑑, temos que ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 depende do valor de 𝑥, logo 
𝐴(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
Nesse sentido, se integrarmos a função 𝐴 com relação à variável 𝑥 𝑑𝑒 𝑥 = 𝑎 𝑎𝑡é 𝑥 = 𝑏, obteremos a 
chamada integral iterada: 
∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Onde, primeiro integramos com relação a 𝑦 𝑑𝑒 𝑐 𝑎 𝑑 e depois em relação a 𝑥 𝑑𝑒 𝑎 𝑎𝑡é 𝑏. 
Da mesma forma, a integral iterada 
∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑦
𝑑
𝑐
= ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
] 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
significa que primeiro integramos com relação a 𝑥 (fixando 𝑦) de 𝑥 = 𝑎 𝑎𝑡é 𝑥 = 𝑏 e, em seguida, 
integramos a função de 𝑦 resultante com relação a 𝑦 de 𝑦 = 𝑐 𝑎𝑡é 𝑦 = 𝑑. 
Em geral, as duas integrais iteradas resultam nos mesmos resultados, portanto a ordem da integração 
não é importante. Nesse sentido, o seguinte teorema fornece um método prático para calcular uma 
integral dupla, expressando-a como uma integral iterada, qualquer que seja sua ordem: 
 
TEOREMA DE FUBINI 
 
Se 𝑓 for contínua no retângulo 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}, então: 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝑑
𝑐
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
De modo mais geral, esse resultado vale se supusermos que 𝑓 seja limitada em 𝑅, 𝑓 
tenha descontinuidades apenas em um número finito de curvas lisas e que a integral 
iterada exista. 
 
 
 
 STEWART, James. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010