Apontamentos de Topografia 1 - rev 01

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APONTAMENTOS DAS AULAS 
DE TOPOGRAFIA 1 
Sumário 
 
UNIDADE 1 ................................................................................................................................. 5 
1. FORMA DA TERRA ............................................................................................................ 6 
2. SUPERFÍCIES DA TERRA ................................................................................................. 6 
2.1. Os data altimétricos e geodésicos ................................................................................. 6 
2.2. Os potenciais Gravitacional e Gravífico ....................................................................... 6 
2.2.1. O Potencial Gravitacional ......................................................................................... 6 
2.2.2. O Potencial Gravífico ................................................................................................ 7 
2.2.2.1. Superfície geopotencial (geoidal) .......................................................................... 8 
2.2.2.2. Superfície topográfica (ou física) ........................................................................ 10 
2.2.2.3. Superfície Elipsoidal (geométrica) ...................................................................... 10 
3. DEFINIÇÃO DA TOPOGRAFIA ...................................................................................... 11 
4. FINALIDADE E OBJETO DE ESTUDO DA TOPOGRAFIA ......................................... 11 
4.1. Finalidade .................................................................................................................... 11 
4.2. Objeto de estudo da Topografia .................................................................................. 12 
5. ESCALAS ........................................................................................................................... 12 
5.1. Módulo da Escala ........................................................................................................ 12 
5.1.1. Escala de Ampliação ............................................................................................... 12 
5.1.2. Escala Natural ......................................................................................................... 12 
5.1.3. Escala de Redução ................................................................................................... 13 
5.2. Erro de grafismo .......................................................................................................... 13 
5.3. Principais Escalas ........................................................................................................ 14 
6. O RELEVO DO SOLO E SUA REPRESENTAÇÃO ........................................................ 15 
6.1. O Relevo ...................................................................................................................... 15 
6.2. As Formas Elementares do Relevo ............................................................................. 15 
6.3. O declive ..................................................................................................................... 16 
6.4. As Leis de Brisson....................................................................................................... 16 
7. ORIENTAÇÃO DAS PLANTAS TOPOGRÁFICAS E GEORREFERENCIAMENTO .. 17 
7.1. Sistema de projeção UTM e OPS ................................................................................ 17 
7.2. Convergência de meridiano ......................................................................................... 18 
5.1.1. Dedução geométrica, aproximada, da equação da convergência de meridiano ...... 20 
7.3. Azimute ....................................................................................................................... 23 
UNIDADE 2 ............................................................................................................................... 24 
8. MÉTODOS DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO................................................... 25 
8.1. Método do irradiamento .............................................................................................. 25 
8.2. Método da interseção .................................................................................................. 25 
8.3. Método da poligonação ............................................................................................... 26 
9. CLASSIFICAÇÃO DAS POLIGONAIS ............................................................................ 26 
9.1. Tipos de poligonais ..................................................................................................... 26 
9.1.1. Poligonal fechada .................................................................................................... 26 
9.1.2. Poligonal aberta ....................................................................................................... 28 
9.2. Transporte de coordenadas .......................................................................................... 29 
9.3. Cálculos dos ângulos externos .................................................................................... 29 
9.4. Cálculos dos azimutes de uma poligonal .................................................................... 29 
10. CÁLCULO DE ÁREA .................................................................................................... 31 
10.1. Método geométrico ................................................................................................. 31 
10.1.1. Método mecânico .................................................................................................... 31 
10.1.2. Divisão de área ........................................................................................................ 31 
10.1.3. Método computacional ............................................................................................ 31 
10.1.4. Método analítico ...................................................................................................... 31 
10.1.4.1. Método dos triângulos radiais e das coordenadas polares ................................... 31 
10.1.4.2. Método de Gauss – cálculo da área pelas coordenadas retangulares totais ......... 32 
UNIDADE 3 ............................................................................................................................... 34 
11. AS SUPERFÍCIES DE NÍVEL ....................................................................................... 35 
11.1. Métodos de Nivelamento ........................................................................................ 35 
11.1.1. O Método Trigonométrico ...................................................................................... 35 
11.1.2. O Método Geométrico ............................................................................................. 38 
11.1.2.1. Nivelamento geométrico simples ........................................................................ 39 
11.1.2.2. Nivelamento geométrico composto ..................................................................... 41 
11.1.2.2.1. Nivelamento geométrico composto por caminhamento simples ..................... 41 
11.1.2.2.2. Nivelamento geométrico composto por caminhamento misto ........................ 41 
 
 
Relação de figuras 
Figura 1: O potencial gravitacional criado por 𝑛 massas no ponto 𝑃 ........................................... 7 
Figura 2: O potencial gravitacional ............................................................................................... 7 
Figura 3: As superfícies de nível e as linhas de fio de prumo (linhas de força) ............................ 8 
Figura 4: Superfícies de nível (terrestre, geoidal e elipsoidal) ...................................................... 9 
Figura 5: Superfície de nível (geoidal) ..........................................................................................9 
Figura 6: Superfícies de nível (geoide e elipsoide) ..................................................................... 10 
Figura 7: Projeção no plano topográfico ..................................................................................... 11 
Figura 8: Limite do olho humano ................................................................................................ 13 
Figura 9: As unidades elementares do relevo .............................................................................. 15 
Figura 10: Combinações das unidades elementares do relevo .................................................... 16 
Figura 11: Declive ou pendor ...................................................................................................... 16 
Figura 12: Cilindro transverso..................................................................................................... 17 
Figura 13: Convergência de meridiano – sistema parcial ........................................................... 18 
Figura 14: Esboço do sistema parcial dos pontos 𝑃 e 𝑊 ........................................................... 19 
Figura 15: Convergência de Meridiano ....................................................................................... 20 
Figura 16: Azimute de um ponto P para um ponto Q, ambos na superfície terrestre.................. 23 
Figura 17: Método do irradiamento ............................................................................................ 25 
Figura 18: Método da interseção ................................................................................................. 26 
Figura 19: Poligonal geometricamente fechada e topograficamente fechada ............................. 27 
Figura 20: Poligonal geometricamente aberta e topograficamente apoiada ................................ 28 
Figura 21: Método analítico – triângulos radiais ......................................................................... 32 
Figura 22: Nivelamento trigonométrico ...................................................................................... 35 
Figura 23: Elementos geométrico do nivelamento trigonométrico ............................................. 37 
Figura 24: Elementos geométrico do nivelamento geométrico ................................................... 38 
Figura 25: Nivelamento geométrico simples com n leitura a vante ............................................ 39 
Figura 26: Nivelamento geométrico composto – caminhamento simples ................................... 41 
Figura 27: Nivelamento geométrico composto – caminhamento misto ...................................... 42 
 
 
UNIDADE 1 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 6 
1. FORMA DA TERRA 
A Geodésia (do grego 𝛾𝜂 + 𝛿𝛼𝜄𝜎𝜄𝛼 = 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 + 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 = 𝐴𝑔𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑟𝑎) é definida, por 
Friedrich Robert Helmert (1880), como “a ciência que se ocupa da medição do campo gravífico 
da Terra e da representação cartográfica da sua superfície”. É atualmente uma disciplina do ramo 
da Geofísica que integra os modelos da Física da Terra na Geometria convencional. 
A superfície de nível que se obtém a partir da posição média da superfície do nível do mar 
prolongada sob os continentes, descontando a ondulação e a influência dos potenciais 
gravitacionais lunar, solar, etc., designa-se por geoide e desempenha um papel fundamental da 
referenciação altimétrica. 
O termo geoide foi introduzido em 1878 por J. B. Listing, e veio substituir a designação 
"superfície matemática da Terra", anteriormente utilizada por Gauss e Bessel. (Casaca, 2007) 
2. SUPERFÍCIES DA TERRA 
2.1. Os data altimétricos e geodésicos 
Em geodésia são utilizados com frequência os conceitos de datum1 altimétrico e datum geodésico. 
Um datum altimétrico é usado como base para a determinação de altitudes ortométricas dos 
pontos do terreno numa dada região. Um datum geodésico é usado como base para a 
determinação das coordenadas geodésicas (latitudes, longitudes e altitudes geodésicas) e 
cartográficas, dos pontos do terreno, numa dada região. (Casaca, 2007). 
Os data altimétricos podem ser locais, regionais ou globais. Em regra, estão associados a 
marégrafos instalados em estações de maré. 
Os data geodésicos também podem ser locais, regionais ou globais. Um datum local é definído 
por um elipsoide de referência, posicionado numa só estação terrestre, cujas coordenadas naturais 
são determinadas com rigor. A posição do elipsoide é tal que as coordenadas elipsoidais da 
estação se tornam iguais às suas coordenadas naturais. (Casaca, 2007). 
Os data altimétricos e geodésicos são utilizados, portanto, para a implantação de uma rede de 
pontos com coordenadas referenciadas a esses data. Essa rede pode ser chamada de Sistema de 
Referência Geodésica. (Silva e Segantine, 2015). 
2.2. Os potenciais Gravitacional e Gravífico 
2.2.1. O Potencial Gravitacional 
De acordo com a lei da gravitação universal, estabelecida por Isaac Newton na sua obra 
“Princípios da Natureza da Matemática” (1687), um conjunto de 𝑛 massas pontuais 
(𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑛) situadas em n pontos 𝑃𝑖 de coordenadas (𝑥𝑖, 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖) relativas a um referencial 
cartesiano inercial, isto é, um referencial em repouso ou animado em movimento uniforme, dá 
origem a um campo escalar (𝑉) que é designado por potencial gravitacional. (Casaca 2007). 
O potencial gravitacional originado pelas 𝑛 massas pontuais é dado por: 
𝑉(𝑃) = 𝐺 ∑
𝑚𝑖
𝑠𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
1 Datum é o singular de data (termo de origem latina) 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 7 
onde P é um ponto genérico exterior às massas de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) onde 𝑠𝑖 =
√(𝑥 − 𝑥𝑖)
2 + (𝑦 − 𝑦𝑖)
2 + (𝑧 − 𝑧𝑖)
2 é a distância euclidiana entre os pontos 𝑃 e 𝑃𝑖 e 𝐺 =
6,872 × 10−11 × 𝑚2 𝑠2⁄ × 𝑘𝑔 é a constante de gravitação universal. (Casaca 2007) 
Figura 1: O potencial gravitacional criado por 𝑛 massas no ponto 𝑃 
m2
mn
m1
s2
s1
s
n
P
 
Fonte: Casaca 
A força gravitacional a que se encontra sujeita uma massa pontual 𝑚 situada no ponto 𝑃 é dada 
por: 
�⃗�(𝑃) = 𝑚�⃗⃗�𝑉(𝑃) = 𝑚 [
𝜕𝑣
𝜕𝑥
,
𝜕𝑣
𝜕𝑦
,
𝜕𝑣
𝜕𝑧
]
(𝑃)
 
onde �⃗⃗� simboliza o operador de gradiente. 
O potencial gravitacional originado por um corpo material 𝑘, com densidade 𝜇 variável num ponto 
𝑃 do espaço obtem-se pela integral: 
𝑉(𝑃) = 𝐺 ∫
𝜇
𝑠𝑘
𝑑𝑣 
onde 𝑠 é a distância de 𝑃 ao elemento de volume 𝑑𝑣. Quando o ponto 𝑃 se encontra no interior 
do corpo, a integral torna-se imprópria, pois a distância 𝑠 anula-se em 𝑃, mas é convergente. 
Pode-se então calcular o potencial no interior do corpo material. (Casaca 2007) 
Figura 2: O potencial gravitacional 
P
dv
K
s
 
Fonte: Casaca 
A força gravitacional exercida pelo corpo sobre uma massa pontual é igualmente dada pelo vetor: 
�⃗�(𝑃) = 𝑚�⃗⃗�𝑉(𝑃) 
2.2.2. O Potencial Gravífico 
Um ponto situado sobre a superfície terrestre encontra-se sujeito a ação de vários potenciais 
gravitacionais originados pelas massas da Terra 𝑉𝑇(𝑃), do Sol 𝑉𝑆(𝑃), da Lua 𝑉𝐿(𝑃), pelo 
potencial Centrífugo devido a rotação da Terra 𝑉𝐶(𝑃) pelo potencial exercido pelos planetas, etc. 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 8 
O potencial total num ponto P situado na superfície terrestre é a soma dos vários potênciais 
anteriormente referidos: 
𝑉(𝑃) = 𝑉𝑇(𝑃) + 𝑉𝑠(𝑃) + 𝑉𝐿(𝑃) + 𝑉𝐶(𝑃) + ⋯ 
dos quais, os mais significativos e com menores variações temporais são: O potencial 
gravitacional terrestre 𝑉𝑇(𝑃) e o Potencial Centrífugo 𝑉𝐶(𝑃). A soma dos potenciais gravitacional 
terrestre e centrífugo designa-se por potencial gravífico, e é dado por: 
𝑉(𝑃) = 𝑉𝑇(𝑃) + 𝑉𝐶(𝑃) 
onde: 
𝑉𝑇(𝑃) = 𝐺 ∭
𝜇
𝑠𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
e 
𝑉𝐶(𝑃) =
𝜔2𝛿2
2
 
onde 𝜔(𝑃) é a velocidade angular de 𝑃 e onde 𝛿(𝑃) é a distância de 𝑃 ao eixo de rotação. 
As superfícies equipotenciais do potencial gravífico (𝑉)são designadas por superfícies de nível 
ou superfícies geopotenciais, e as suas linhas de força são designadas por linhas de fio de 
prumo. O conceito de superfície de nível foi introduzido por Colin MacLaurin, em 1742. A 
integração dos conceitos de superfície de nível e de fio de prumo deve-se a Alexis Claude Clairaut, 
em 1743. (Casaca 2007). 
O potencial total é variável no tempo, dependendo essencialmente das posições relativas da Lua, 
do Sol, da Terra e dos outros planetas. A variação dessas posições relativas dá origem às marés 
propriamente ditas, assim como as marés terrestres. A superfície do mar, num dado instante, 
ignorando a ondulação provocada pelo vento, assume uma forma muito próxima de uma 
superfície equipotencial do potencial total. (Casaca 2007) 
Figura 3: As superfícies de nível e as linhas de fio de prumo (linhas de força) 
Linhas de força
(linhas de fio de prumo)
Superfície geopotencial
(superfície de nível)
 
Fonte: Casaca 
2.2.2.1. Superfície geopotencial (geoidal) 
O termo geoide foi introduzido em 1878 por J. B. Listing e veio substituir a designação “superfície 
matemática da Terra”, anteriormente utilizada por Gauus e Bessel (Casaca, 2007). 
A superfície geoidal é, portanto, uma referência de nível utilizada para a determinação da altitude 
ortométrica de qualquer ponto na superfície terrestre (Casaca, 2007). 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 9 
A superfície que passa pelo nível médio do mar, determinada em várias estações de maré, embora 
muito próxima, não coincide perfeitamente com uma equipotencial do campo gravífico. Devido 
à influência de muitos fatores, tais como as componentes meteorológicas das marés, as correntes 
dominantes e a forma dos fundos oceânicos na vizinhança das estações de maré, verificam-se 
diferenças entre a chamada superfície do nível médio do mar e a superfície de nível (equipotencial 
do campo gravífico) mais próxima (o geoide), que pode atingir um a dois metros (Torge, 1980) – 
ver Figura 4. Durante muito tempo, esta diferença foi considerada pouco importante, e a superfície 
do nível médio do mar foi tomada pelo geoide. Atualmente existem métodos de posicionamento 
espacial e modelos matemáticos que permitem determinar o geoide, sobre o mar, com uma 
precisão altimétrica de poucos centímetros. O geoide pode ser assim definido como a superfície 
de nível que melhor se ajusta à superfície do nível médio do mar. (Casaca, 2007). 
O geoide é a superfície de nível fundamental, usada como referência para a definição das altitudes 
ortométricas de pontos na superfície da Terra usadas nos projetos de engenharia. Por essa razão, 
é sugerido ao engenheiro que dê atenção especial a esse assunto, devido a sua função relevante 
para os projetos e obras de engenharia (Silva e Segantine, 2015, 2015) – ver Figura 5. 
Definição: A altitude ortométrica (𝐻) do ponto 𝑃 é o comprimento do arco da linha 
de fio de prumo que contém 𝑃, entre a superfície de nível 𝑆 (ou superfície do terreno) 
e a superfície geoidal (superfície geopotencial). (Casaca 2007) – ver Figura 3 e 
Figura 4. Na Figura 4, a altitude ortométrica (𝐻) é representada pela linha de fio de 
prumo (curva) de 𝑃 à superfície geoidal. 
Diferente da superfície geoidal, a superfície elipsoidal é uma superfície matemática que define a 
altitude geométrica entre a superfície 𝑆 e a superfície do elipsoide de referência. 
A distância vertical entre a superfície geopotencial (superfície de nível) e a superfície elipsoidal 
é definida como ondulação geoidal (𝑁) e pode ser calculada através da seguinte expressão: 𝑁 =
ℎ − 𝐻, sendo ℎ a altitude geométrica ou elipsoidal e 𝐻 a altitude ortométrica. (Casaca 2007) 
Figura 4: Superfícies de nível (terrestre, geoidal e elipsoidal) 
 
Fonte: Autor 
 
Figura 5: Superfície de nível (geoidal) 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 10 
Superfície geopotencial
(superfície geoidal)
ESTAÇÃO DE
BOMBEAMENTO
ADUTORA
CIDADE
RESERVATÓRIO
H1
H2
dH
 
Fonte: Autor 
2.2.2.2. Superfície topográfica (ou física) 
A superfície topográfica é àquela que é representada nas plantas topográficas por meio das curvas 
de nível de superfície. É a superfície do relevo da Terra, onde acontece a indiscutível maioria das 
atividades humanas. (Figura 4). 
2.2.2.3. Superfície Elipsoidal (geométrica) 
Como a superfície geoidal é indeterminada matematicamente, com a finalidade de se ajustar o 
mais próximo possível da superfície geoidal, foi proposta, a partir do século XVII, a adoção de 
uma superfície mais simples, matematicamente bem definida. Esta superfície é denominada de 
Superfície Elipsoidal devido ao fato de o raio equatorial (𝑎) ser maior do que o raio polar (𝑏), 
gerando, portanto, um elipsoide de revolução2. – ver Figura 6 (Silva e Segantine, 2015, 2015) 
Figura 6: Superfícies de nível (geoide e elipsoide) 
 
Fonte: Autor 
Definição: A altitude geométrica ℎ do ponto 𝑃 (Figura 4) é o comprimento de um 
segmento de reta normal a superfície elipsoidal entre a superfície de nível 𝑆 (ou 
superfície do terreno) e a superfície do elipsoide de referência. (Casaca 2007). – ver 
Figura 4 
 
 
 
 
2 Gerado por uma elipse geratriz em torno do eixo polar com achatamento dado por 𝑓 =
𝑎−𝑏
𝑎
 sendo 𝑓 o 
achatamento nos polos; 𝑎 o raio equatorial; e, 𝑏 o raio polar. 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 11 
3. DEFINIÇÃO DA TOPOGRAFIA 
Atualmente a Topografia é uma disciplina englobada pela Geomática que é um termo mais 
abrangente e que engloba, não somente a Topografia mais também a Geodésia, a Cartografia, a 
Hidrografia, a Fotogrametria, dentre outras (Silva e Segantine, 2015). 
A Topografia (do grego 𝜏𝜊𝜋𝜊𝜁 + 𝛾𝜌𝛼𝜑𝜊𝜁 = 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 + 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖çã𝑜) é definida 
tradicionalmente como a disciplina que se ocupa da arte de representar, de maneira 
minuciosa, o terreno localmente, isto é, numa vizinhança da superfície terrestre, 
(Casaca, 2007). 
Outro autor designa à Topografia como a ciência que estuda a representação e a 
descrição das irregularidades da superfície física (topográfica, terrestre) a partir das 
técnicas e métodos topográficos, utilizando instrumentos ou equipamentos 
topográficos. (Silva e Segantine, 2015, 2015). 
A Topografia continua a ocupar-se da representação minuciosa do terreno, embora em grandes 
extensões da superfície terrestre, com apoio da rede de referência e viabilizada pelas coordenadas 
cartográficas dos vértices da rede geodésica. O termo Topografia é também utilizado para 
designar a hipsografia3, a hidrografia, a vegetação e os objetos artificiais que ocupam o terreno. 
(Casaca, 2007). 
4. FINALIDADE E OBJETO DE ESTUDO DA TOPOGRAFIA 
4.1. Finalidade 
A topografia tem por finalidade representar graficamente, através de projeção ortogonal cotada, 
uma porção limitada da superfície terrestre. Os acidentes e detalhes de uma área em estudo são 
representados graficamente num plano horizontal de referência, ortogonal a vertical do lugar, 
chamado plano topográfico. Na hipótese do plano topográfico, as verticais verdadeiras 
𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝑒 𝐸 são substituídas pelas verticais 𝑉𝐴, 𝑉𝐵, 𝑉𝐶 , 𝑉𝐷 𝑒 𝑉𝐸, projetadas no plano 𝐻𝐻′, são 
perpendiculares ao plano 𝐻𝐻′ (ver Figura 7) e consideradas paralelas entre si dentro da área a 
representar. (Garcia, 1984) 
Figura 7: Projeção no plano topográfico 
A
B C
E
D
H H'
PLANO TOPOGRÁFICO
H - H' (PLANO DE
PROJEÇÃO)
PONTO TOPOGRÁFICO
Superfície
Terrestre
O
VA VB VC VD VE
 
Fonte: Adaptada de G. Garcia, 1984 
 
3 Ramo da geografia que trata da medição e do mapeamento das variações de altura (normalmente com 
cores diferentes – mapa hipsográfico) da crosta terrestre. 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 12 
4.2. Objeto de estudo da Topografia 
De acordo com o seu objetivo, a topografia divide-se em: topometria, topologia, taqueometria 
e fotogrametria. 
A topometria tem seusprocessos de medição baseados na geometria aplicada e divide-se em 
planimetria e altimetria. A planimetria preocupa-se em obter medidas lineares e angulares num 
plano horizontal, enquanto que a altimetria se preocupa em obter medidas lineares e angulares 
em planos verticais que contém a vertical do lugar definido pela direção do fio de linha de prumo. 
A topologia baseia-se na geometria analítica aplicada e desenvolve processos auxiliares para a 
topometria, tendo por objeto de estudo as formas exteriores da superfície terrestre e das leis a que 
deve obedecer ao modelo matemático. Sua principal aplicação está na representação cartográfica 
do terreno pelas curvas de nível. 
A taqueometria, através da resolução de triângulos retângulos, possibilita medições verticais em 
regiões montanhosas, permitindo medições indiretas das distâncias e diferenças de nível, dando 
origem as chamadas plantas planialtimétricas. 
A fotogrametria permite avaliações tanto através da fotogrametria terrestre como através da 
aerofotogrametria. Constitui atualmente o principal método para representar a área e o relevo do 
terreno, principalmente de grandes extensões. (Garcia, 1984) 
5. ESCALAS 
5.1. Módulo da Escala 
A notação ou representação de uma escala, é usualmente aceita escrevendo-se a unidade sobre o 
módulo 𝑀 (𝐸 =
1
𝑀
 𝑜𝑢 𝐸 = 1: 𝑀) da escala, dessa forma, o módulo de uma escala é definido pela 
relação entre a dimensão real (𝐿𝑖) do objeto original a ser representado e a dimensão do modelo 
(𝑙𝑖), isto é, 𝑀 =
𝐿𝑖
𝑙𝑖
, e, consequentemente a escala é: 𝐸𝑠 =
1
𝑀
. 
Assim sendo, pela equação 𝐸𝑠 =
1
𝑀
, define-se por escala as relações constantes entre a unidade e 
as dimensões reais do terreno ou de um objeto e as dimensões do modelo que o representa no 
papel. As escalas podem ser de Ampliação, Natural, e de Redução. 
5.1.1. Escala de Ampliação 
Diz-se que a escala é de ampliação, quando as dimensões de um modelo (𝑙𝑖), são maiores que as 
dimensões homólogas (𝐿𝑖) do objeto original (objeto real), e, nesse caso, 𝐸𝑠 =
𝑙𝑖
𝐿𝑖
>
1 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒), ou seja, 𝐸 é maior que a unidade. 
5.1.2. Escala Natural 
Diz-se que a escala é natural, quando as dimensões de um modelo (𝑙𝑖), são iguais as dimensões 
homólogas (𝐿𝑖) do objeto original (objeto real), e, nesse caso, 𝐸𝑠 =
𝑙𝑖
𝐿𝑖
= 1 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒), ou seja, 
𝐸 é igual a unidade. 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 13 
5.1.3. Escala de Redução 
Diz-se que a escala é de redução, quando as dimensões de um modelo (𝑙𝑖), são menores que as 
dimensões homólogas (𝐿𝑖) do objeto original (objeto real), e, nesse caso, 𝐸𝑠 =
𝑙𝑖
𝐿𝑖
<
1 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒), ou seja, 𝐸 é menor que a unidade. 
Na elaboração de desenhos (modelos) da topografia são usadas sempre, com raras exceções, 
escala de redução. 
5.2. Erro de grafismo 
Ao representa um modelo o projetista deve estar atento a não cometer erros de fechamento de 
poligonais além do que se consegue enxergar a olho nu, sendo assim, o conceito de erro de 
grafismo leva em consideração a capacidade que o olho humano tem de enxergar um objeto. 
Nesse sentido, o projetista deve elaborar o modelo de maneira tal que os erros não possam ser 
vistos pelo leitor do modelo. O olho humano é capaz de enxergar objetos com dimensões de até 
100 micrômetros (0,0001m) com uma distância de 250mm. A Figura 8 ilustra a dimensão que 
pode ser vista pelo olho à 25cm de distância. 
Figura 8: Limite do olho humano 
 
Fonte: Autor 
 
A topografia tem por finalidade representar graficamente, através de projeção ortogonal cotada, 
uma porção limitada da superfície terrestre. Os acidentes e detalhes de uma área em estudo são 
representados graficamente num plano horizontal de referência, ortogonal a vertical do lugar. 
________________________________________ 
Exercícios: 
i. Calcular o comprimento real no terreno (𝐿𝑖), sendo o comprimento gráfico (𝑙𝑖) de 138mm 
(0,138m) 
a. Na escala de E=1:100.000 
b. Na escala de E=1:25.000 
Equação básica: 
𝑀 =
𝐿𝑖
𝑙𝑖
 
Solução: 
a. 𝐿𝑖 = 𝑀 × 𝑙𝑖= 13.800m; 
b. 𝐿𝑖 = 𝑀 × 𝑙𝑖= 3.450m 
 
ii. O comprimento real no terreno (𝐿𝑖), entre dois pontos no terreno é igual a 3.522m, calcule 
o comprimento gráfico, entre esses pontos na escala: 
a. de E=1:50.000 
b. de E=1:250.000 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 14 
Solução: 
a. 𝑙𝑖 =
𝐿𝑖
𝑀
 = 0,07044m=70,44mm; 
b. 𝑙𝑖 =
𝐿𝑖
𝑀
 = 0,014088m=14,088mm 
 
iii. Considere o erro de grafismo 𝑒𝑔 = 0,08𝑚𝑚, qual deve ser o erro cometido no terreno: 
a. Para o modelo ser elaborado na E=1:25.000 
b. Para o modelo ser elaborado na de E=1:100.000 
𝑀 =
𝐿𝑖
𝑒𝑔
 
Solução: 
a. 𝐿𝑖 = 𝑀 × 𝑒𝑔= 2,00m; 
b. 𝐿𝑖 = 𝑀 × 𝑒𝑔= 8.0m 
 
iv. Em uma carta elaborada na E=1:50.000, a distância entre dois pontos A e B é de 12cm. 
Em outra carta, de escala desconhecida, essa mesma distância é de 2,4cm. Qual é a escala 
da carta desconhecida? 
Solução: 
a. 𝐿𝑖 = 𝑀𝐶 × 𝑙𝑖, 𝐿𝑖 = 𝑀𝐷 × 𝑙𝑖; 𝐿𝑖 = 6.000𝑚; 𝑀𝐷 = 250.000; 𝐸𝐷=1:250.000 
________________________________________ 
5.3. Principais Escalas 
Uma das cartas padrão mais importantes é a Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo –
CIMM, que é utilizada para mapear cartograficamente cada "folha" ou "carta" na posição do globo 
terrestre, cuja escala é 𝐸𝑠 = 1: 1.000.000. Pode-se afirmar que essa carta é formada por um 
‘retângulo esférico’, e é limitada ao oriente e ocidente por dois planos meridianos consecutivos 
(6º) e seus limites setentrional e meridional por dois paralelos, também consecutivos (4º). Uma 
ilustração da CIMM pode ser vista (retângulo vermelho) na Figura 12 e na Figura 16. 
Escalas de algumas cartas que também são muito utilizadas: 
• Escala 1:1.000.000 
• Escala 1:500.000 
• Escala 1:250.000 
• Escala 1:100.000 
• Escala 1:50.000 
• Escala 1:25.000 
 
Cada escala será escolhida em função dos projetos que se deseja desenvolver ou elaborar e 
também da sua disponibilidade4. 
Por exemplo, no planejamento de estudos hidrográficos de grandes bacias hidrográficas, como a 
bacia do Rio São Francisco, pode-se, inicialmente, utilizar uma carta CIMM (E = 1:1.000.000), a 
medida em que os estudos vão exigindo um maior nível de detalhes, como por exemplo, definição 
 
4 Nem sempre se tem ao dispor uma carta na escala desejada 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 15 
de contribuição de vazões de sub-bacias menores, pode-se adicionar aos estudos cartas em escalas 
maiores, podendo chegar até a cartas na E = 1:100.000. 
Com relação às escalas, devemos atentar para as diferentes nomenclaturas utilizadas para as suas 
representações gráficas como segue: 
MAPA: Nome dado à representação gráfica de uma superfície que compreende uma região 
geográfica político-administrativa bem definida, tal como um país, um estado ou município, como 
mapa-múndi. 
CARTA: Nome dado à representação gráfica parcelada de um mapa, como as cartas do IBGE, 
que estão, por exemplo, na escala de 1:50.000. 
PLANTA: Nome dado à representação gráfica de área parcelada de uma carta, tais como chácaras, 
sítios, fazendas, jazidas minerais, obras civis (estradas, edifícios, barragens, túneis) e outros. 
6. O RELEVO DO SOLO E SUA REPRESENTAÇÃO 
6.1. O Relevo 
6.2. As Formas Elementares do Relevo 
As formas apresentadas pela superfície do terreno podem ser classificadas em três grandes 
categorias: planícies, elevações e depressões. A superfície do terreno pode, de um modo 
simplista, ser aproximada por um conjunto de faces planas que se interceptam. Os ângulos diedros 
das faces (menor ângulo inscrito nas faces) são denominados côncavos quando a sua abertura 
encontra-se virada para o exterior da Terra (para o zênite), e convexos quando a sua abertura 
encontra-se voltada para o nadir. Numa elevação ou numa depressão, um par de faces (encostas, 
flancos, margens) convexas é designado por tergoou dorso, e em um par de encostas côncavas 
é designado por vale. As arestas dos tergos constituem linhas de separação das águas da chuva e 
são designadas por linhas de festo ou cumeeiras. As arestas dos vales são linhas de reunião das 
águas da chuva e são chamadas de talvegues, linhas de córrego ou linha de água (Casaca, 2007). 
As formas elementares do relevo são o tergo e o vale. As águas que caem nas suas encostas correm 
para os talvegues, onde constituem linhas ou cursos de água. Todas as formas de terreno resultam 
da combinação de tergos e vales: uma colina resulta da combinação de dois tergos; o colo, 
portela, sela ou garganta resulta da combinação de dois tergos e dois vales (Figura 10). – Casaca, 
2007. 
Figura 9: As unidades elementares do relevo 
 
Fonte: Casaca 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 16 
Figura 10: Combinações das unidades elementares do relevo 
 
Fonte: Casaca 
6.3. O declive 
Consideramos que em cada ponto (P) do terreno o plano horizontal e o plano tangente à superfície 
do terreno. Designa-se por direção de maior declive em P a direção definida pelas retas do plano 
tangente, que são perpendiculares à interseção deste com o plano horizontal. 
Designa-se por declive (δ) ou pendor, do terreno no ponto P a tangente 
trigonométrica da inclinação do terreno, isto é, do ângulo diedro do plano tangente 
com o plano horizontal (Figura 11). 
Em cada ponto da superfície do terreno, a tangente à curva de nível é perpendicular à direção de 
maior declive. Em cada ponto de um talvegue a linha de maior declive coincide com a tangente 
ao talvegue. – Casaca, 2007. 
Figura 11: Declive ou pendor 
 
Fonte: Autor 
6.4. As Leis de Brisson 
A morfologia do terreno respeita um conjunto de regras conhecidas por leis de Brisson, das quais 
citamos um pequeno número, a título de exemplo: 
i. As linhas de festo de uma região encontram-se todas ligadas numa rede com a forma de 
uma árvore sem tronco, que enquadra as bacias hidrográficas formadas pelas redes de 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 17 
talvegues. Os talvegues desembocam em outros talvegues, criando redes em forma de 
árvore, cujo tronco é o curso de água principal da bacia hidrográfica. 
ii. O declive de um curso de água diminui da nascente para a foz. Se forem traçados, num 
mesmo plano, os perfis dos talvegues em uma bacia hidrográfica, o perfil do curso de 
água principal é dominado pelos perfis de seus afluentes. 
iii. Quando duas linhas de água se encontram, a linha de festo do tergo que as separa está 
sensivelmente no prolongamento do curso de água resultante. 
iv. Quando uma linha de água se divide em ramos, formando ilhas irregulares, é possível 
concluir que, o vale é largo e os talvegues pouco inclinados. Quando existe um único 
percurso retilíneo e estreito o vale é apertado e o talvegue inclinado. – (Casaca, 2007) 
7. ORIENTAÇÃO DAS PLANTAS TOPOGRÁFICAS E 
GEORREFERENCIAMENTO 
7.1. Sistema de projeção UTM e OPS 
O sistema de projeção UTM (Universal Transverso de Mercator)5 é um sistema polissuperficial. 
O Elipsóide de referência é dividido em 60 fuso (𝑓), em que cada fuso tem uma amplitude angular 
de 6º (∆𝜆), limitados por 30 planos meridianos que dividem a Terra em hemisférios oriental e 
ocidental. 
Esse modelo estabelece um princípio, o de que cada carta ocupa somente uma posição na 
superfície do globo devendo estar devidamente georreferenciada, estabelece ainda que, cada folha 
está corretamente orientada, mas que, como a projeção do retângulo “esférico” no cilindro 
transverso é planificada, as bordas dos planos meridianos extremos de um fuso, projetas no 
cilindro, aparecem como curvas (ver item 7.2). Isso gera os chamados ângulos convergentes, ou 
convergências de planos meridianos. – ver Figura 12. 
Figura 12: Cilindro transverso 
 
Fonte: Autor 
 
5 Proposta por Gerardus Mercator (cartógrafo flamenco) em 1569. 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 18 
7.2. Convergência de meridiano 
Quando uma carta “esférica” é projetada no cilindro transverso, o fuso que contém a carta é 
convergente nos polos do geoide, com isso as bordas dos planos meridianos extremos do fuso são 
divergentes, a partir do polo sul (na faixa do hemisfério sul) até o plano do equador e, a partir daí 
para o polo Norte (na faixa do hemisfério norte), são convergentes, e isso gera as chamadas 
convergências de meridiano (γ) que podem apresentar sinais negativos ou positivos dependendo 
do quadrante a que se encontrem, afastadas do equador. – ver Quadro 1. 
A convergência de meridiano pode ser definida como o ângulo plano, na projeção do cilindro 
transverso, formado entre a direção do norte astronômico ou verdadeiro (𝑁𝑉), em um ponto 
qualquer, e a direção do alinhamento do norte do plano cartesiano (designado de norte da 
quadrícula – 𝑁𝑄) que passa no mesmo ponto. – ver Figura 13. 
Quadro 1: Relação entre quadrante e convergência de meridiano 
Quadrante Convergência de Meridiano Sinal 
𝑁𝐸 𝛾𝑁𝐸 + 
𝑆𝐸 𝛾𝑆𝐸 – 
𝑆𝑂 𝛾𝑆𝑂 + 
𝑁𝑂 𝛾𝑁𝑂 – 
 
Figura 13: Convergência de meridiano – sistema parcial 
 
Fonte: Adaptado de Casaca, 2007 
A convergência de meridiano (γ) em um dado ponto na superfície terrestre é dada por: 
𝛾 = (𝜆0 − 𝜆) × 𝑠𝑒𝑛(𝜑) → (ver dedução no 5.1.1) 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 19 
onde: 
𝛾 é a convergência de meridiano 
𝜆0 é a longitude no meridiano central do fuso 
𝜆 é a longitude do ponto considerado 
𝜑 é a latitude do ponto considerado 
________________________________________ 
Exemplo: 
Apresente as equações literais que definam a longitude (𝜆), a latitude (𝜑) e a convergência de 
meridiano (𝛾) de um ponto 𝑊 simétrico a um ponto 𝑃. Desenhe um esboço ilustrativo do sistema 
parcial a que pertencem os pontos 𝑃 e 𝑊, indicando as direções dos azimutes verdadeiro (𝑁𝑉) e 
da quadrícula (𝑁𝑄) em cada ponto. 
Dados: Longitude de 𝑃 = 𝜆𝑃; Longitude do Meridiano Centra = 𝜆0; Latitude de 𝑃 = 𝜑𝑃; e, 𝑃 
está no quadrante Sudoeste (𝑆𝑂) 
Solução: 
Considerações iniciais: Se 𝑊 é simétrico em relação a 𝑃, 𝑊 tem o mesmo afastamento angular 
Δ𝜆 e Δφ em relação ao ponto 𝑃, e ainda, se 𝑃 está no 𝑆𝑂, 𝑊 está no 𝑁𝐸. 
então: 
i. 𝜆𝑊 = [𝜆0 + (𝜆0 − 𝜆𝑃)] 
e, 
ii. 𝜑𝑊 = [𝜑0 + (𝜑0 − 𝜑𝑃)] 
assim: 
iii. 𝛾𝑊 = {[𝜆0 − [𝜆0 + (𝜆0 − 𝜆𝑃)]] × 𝑠𝑒𝑛[𝜑0 + (𝜑0 − 𝜑𝑃)]} ou, 
 
𝛾𝑊 = (𝜆0 − 𝜆𝑊) × 𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑊) 
 
iv. Esboço ilustrativo: a Figura 16 ajuda a visualizar as posições dos pontos 𝑃, 𝑊 e das suas 
respectivas convergências de meridiano (𝜆𝑃 e 𝜆𝑊). Nota-se que em cada ponto se fez 
passar um plano meridiano (simétricos em relação ao plano do Meridiano Central – 𝑀𝐶) 
e um plano paralelo (simétricos em relação ao plano do equador). 
Figura 14: Esboço do sistema parcial dos pontos 𝑃 e 𝑊 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 20 
 
________________________________________ 
5.1.1. Dedução geométrica, aproximada, da equação da convergência de 
meridiano 
Figura 15: Convergência de Meridiano 
 
Fonte: Autor 
Os argumentos a seguir são baseados na Figura 15. 
As retas 𝐴𝑇̅̅ ̅̅ e 𝐴0𝑇̅̅ ̅̅ ̅ são tangentes aos planos meridianos 𝜆 no ponto 𝐴 e 𝜆0 (plano meridiano 
central) no ponto 𝐴0, respectivamente, e são geratrizes de um cone reto cuja base é o paralelo com 
centro em 𝑂1. 
As tangentes 𝐴0𝑇̅̅ ̅̅ ̅ e 𝐴𝑇1̅̅ ̅̅ ̅, paralelas por construção, definem um plano (𝐴𝑇1𝑇𝐴0) ao qual pertence 
a tangente 𝐴𝑇̅̅ ̅̅ e, sendo assim, os pontos 𝐴 e 𝑇 pertencem ao mesmo plano. Assim sendo, o ângulo 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 21 
𝑇1𝐴�̂�, convergência de meridiano em 𝐴, ângulo formado pela tangente ao plano meridiano 𝜆 o 
ponto 𝐴 com a reta paralela 𝐴𝑇1̅̅ ̅̅ ̅, é igual ao ângulo 𝐴0𝑇�̂�, por serem ângulos alternos internos. 
Então, o ângulo 𝐴0𝑇�̂�, com vértice em 𝑇, é um ângulo centralde um círculo de raio 𝐴0𝑇̅̅ ̅̅ ̅, expresso 
em radianos com arco de comprimento 𝐴0𝐴, então, pela Figura 15 temos: 
𝐴0𝐴 = 𝛾 × 𝐴0𝑇̅̅ ̅̅ ̅, logo, ( [𝐴0𝐴 = 𝛾 × 𝐴0𝑇̅̅ ̅̅ ̅] ≡ [𝑠 = 𝜃 × 𝑟], 
𝛾 =
𝐴0𝐴
𝐴0𝑇̅̅ ̅̅ ̅
 
(eq. 1) 
mas 
𝐴0𝐴 = (𝜆0 − 𝜆) × 𝑂1𝐴0̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ (eq. 2) 
como no triângulo retângulo 𝑂𝐴0𝑂1̂ temos 
𝑂1𝐴0̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑟 (eq. 3) 
substituindo a (eq. 3 na eq. 2) fica: 
𝐴0𝐴 = (𝜆0 − 𝜆) × 𝑟 (eq. 4) 
No triângulo retângulo 𝑂𝐴0𝑂1̂ temos que 
𝑂𝐴0 = 𝑅, então: 
𝑟 = 𝑅 × 𝑠𝑒𝑛(90° − 𝜑), (eq. 5) ou 
𝑟 = 𝑅 × 𝑐𝑜𝑠(𝜑) (eq. 6) 
substituindo a (eq. 6 na eq. 4) fica: 
𝐴0𝐴 = (𝜆0 − 𝜆) × 𝑅 × 𝑐𝑜𝑠(𝜑) (eq. 7) 
No triângulo retângulo 𝑂𝐴0�̂� temos 
𝐴0𝑇̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑅 × tan(90° − 𝜑) (eq. 8) ou 
𝐴0𝑇̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑅 × 𝑐𝑜tan(𝜑) (eq. 9) 
como: 
𝛾 =
𝐴0𝐴
𝐴0𝑇̅̅ ̅̅ ̅
 
(eq. 1) 
Substituindo a (eq. 7 e a eq. 9 na eq. 1) fica: 
então: 
𝛾 =
(𝜆0 − 𝜆) × 𝑅 × cos(𝜑)
𝑅 × 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝜑)
 
(eq. 10) 
como: 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 22 
cos (𝜑)
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝜑)
= 𝑠𝑒𝑛(𝜑) 
(eq. 11) 
então, substituindo a (eq. 11 na eq. 10) fica: 
𝛾 = (𝜆0 − 𝜆) × 𝑠𝑒𝑛(𝜑) 
(eq. 12) 
Assim a equação está demonstrada. Essa equação calcula valores aproximados, se mostrando mais 
precisa quando 𝜑 se aproxima do plano do equador. 
Por outro lado, aceitando o arco 𝐴0𝐴 como uma reta 𝐴0𝐴̅̅ ̅̅ ̅, teremos: 
𝛾 =
𝐴0𝐴
𝐴0𝑇̅̅ ̅̅ ̅
 
(eq. 1) 
Fazendo (𝐴0𝐴) igual a (𝐸0 − 𝐸) (eq. 13) e substituindo a eq. 13 e a eq. 9 na eq. 1 fica: 
𝛾 =
𝐸0 − 𝐸
𝑅 × 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝜑)
 
(que. 14) 
como: 
1
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝜑)
= tan(𝜑) 
(eq. 15) 
então, substitui-se a eq. 15 na eq. 14 par se obter: 
𝛾 = [
(𝐸0 − 𝐸)
𝑅
] × tan(𝜑) 
(eq. 16) 
onde: 
𝐸0 = coordenada E UTM no plano meridiano central do fuso; 
𝐸 = a coordenada E UTM do ponto procurado; 
𝑅 = ao raio do elipsoide de referência no ponto de latitude (𝜑) e de coordenada E; e, 
(𝜑) = a latitude (em radianos) no E. 
A convergência também pode ser definida por: 
𝛾 = (𝐴𝐵)𝑉 − (𝐴𝐵) 
(eq. 17) 
onde: 
(𝐴𝐵)𝑉 = ao azimute verdadeiro ou astronômico; e, 
CTEC – UFAL: TOPOGRAFIA 1 – APONTAMENTOS DE SALA DE AULA 23 
(𝐴𝐵) = ao azimute da quadrícula 
7.3. Azimute 
Define-se azimute astronômico ou natural de um ponto P, da superfície terrestre, 
para um ponto Q, também da superfície terrestre, como o ângulo diedro do plano 
meridiano astronômico de P com o plano vertical em P que contém o ponto Q. Os 
azimutes astronômicos são grandezas observáveis diretamente e são contatos, no 
sistema sexagesimal, no sentido horário, variando de 0º a 360º, a partir do norte. 
A Figura 16 ilustra o azimute entre um ponto P e um ponto Q na superfície terrestre onde se pode 
notar o ângulo diedro entre os planos meridiano e vertical, ilustra também um retângulo esférico 
orientado e georreferenciado, destaca também a convergência de meridiano no ponto P. (Casaca, 
2007). 
A Figura 16 ilustra a definição de azimute onde se observa os pontos P e Q e a direção do azimute 
entre os planos meridiano6 (em amarelo) e vertical (em cinza). 
Figura 16: Azimute de um ponto P para um ponto Q, ambos na superfície terrestre 
 
Fonte: Autor 
 
6 Nota-se que o plano meridiano divide o globo em dois hemisférios, hemisfério oriental e hemisfério 
ocidental, a borda do antimeridiano aparece tracejada em vermelho. 
 
UNIDADE 2 
 
8. MÉTODOS DE LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO 
8.1. Método do irradiamento 
É um método de levantamento empregado para pequenas áreas e relativamente planas. É também 
chamado de método das coordenadas polares. Tem sua maior aplicação com o auxílio do 
levantamento pelo método da poligonação. É bastante utilizado para perímetros curvos. É um 
método simples, de precisão relativamente boa, mas não permite controle dos erros que possam 
ocorrer, ficando na dependência da experiência e cuidados do topógrafo/engenheiro, dos 
auxiliares de topografia e da precisão do instrumento utilizado. O método consiste em escolher 
dois pontos de referências (com locais escolhidos dentro ou fora da área a ser levantada – 
mapeada), sendo um o ponto de estação e o outro, o ponto de azimute (os pontos devem ser 
intervisíveis). O ponto de estação deve ser escolhido de tal forma que permita o observador visar 
todos, ou a maioria, dos pontos da área a ser levantada. 
________________________________________ 
Procedimento de campo: (descreva) 
________________________________________ 
Figura 17: Método do irradiamento 
M - 02-A
M - 01
Cerca
(limite)
Limite
Ilha
Área de proteção
ambiental
(mata ciliar)
ROD
OVIA
A
C
E
S
S
O
Sede
Árvore
FAZENDA LARANJA
1
2
3
4
5
n
d 1
d
n
V1
6
11
13
8
Referência azimutal
a1
an
 
Fonte: Autor 
8.2. Método da interseção 
O método da interseção ou das coordenadas bipolares também só pode ser utilizado para pequenas 
áreas e relativamente planas. É o único método que se pode utilizar quando alguns vértices da 
área são inacessíveis, como por exemplo, no caso de áreas alagadas. É um método simples e 
 
rápido, mas também não permite controle de erro, ficando a sua precisão na dependência da 
experiência e cuidados do topógrafo/engenheiro, dos auxiliares de topografia e da precisão do 
instrumento utilizado. 
O método tem seu princípio de funcionamento baseado na construção de um triângulo no qual se 
conhece um lado e seus dois ângulos adjacentes. 
________________________________________ 
Procedimento de campo: (descreva) 
________________________________________ 
Figura 18: Método da interseção 
 
Fonte: Autor 
8.3. Método da poligonação 
É o levantamento mais utilizado na prática, principalmente para áreas relativamente grandes e 
acidentadas. É um método trabalhoso, mas muito bom quanto a precisão. Permite o controle do 
erro. O método da poligonação normalmente é utilizado em associação com o método do 
irradiamento e até mesmo com o método da interseção. 
9. CLASSIFICAÇÃO DAS POLIGONAIS 
9.1. Tipos de poligonais 
Quanto a natureza geométrica, as poligonais podem ser classificadas em: poligonal fechada e 
poligonal aberta. 
9.1.1. Poligonal fechada 
Uma poligonal é considerada geometricamente e topograficamente fechada quando inicia em um 
ponto de coordenadas conhecidas e termina no mesmo ponto (Figura 19). A poligonal fechada é 
 
aplicada frequentemente em obras de engenharia civil e para mapeamentos cadastrais rurais, 
principalmente nos trabalhos de agrimensura rural. Seu principal inconveniente é que, embora 
geometricamente definida, não é possível eliminar os erros sistemáticos das medições angulares 
e lineares. 
O caminhamento para a medição de uma poligonal fechada pode ser realizado no sentido horário, 
com observação dos ângulos externos do polígono, ou no sentido anti-horário, com observação 
dos ângulos internos do polígono. 
O ideal nesse tipo de poligonal é que os pontos dos seus vértices tenham distâncias entre si 
semelhantes para evitar erros grosseiros de medição angular e linear. Para que se consiga isso, a 
equipe de topografia deve fazer um bom planejamento de escritório usando, se tiver, alguma 
planta da área, ou, caso não disponha de nenhum material (desenho), se faça um reconhecimento 
em campo, definindo, antecipadamente, as posições aproximadas dos vértices, em função, 
também, de outros fatores a serem considerados no levantamento, como o uso do método do 
irradiamento associado ao método da poligonação, para levantamento de detalhes. – ver Figura 
17 e Figura 19. 
________________________________________ 
Procedimento de campo: (descreva) 
________________________________________ 
Figura 19: Poligonal geometricamente fechada e topograficamente fechada 
 
 
Fonte: Autor 
9.1.2. Poligonal aberta 
Uma poligonal é considerada geometricamente aberta quando ela parte de um ponto conhecido e 
chega em um outro ponto distinto, conforme a Figura 20 (Silva e Segantine, 2015).Uma poligonal caracteriza-se geometricamente aberta quando ela está apoiada em dois pontos 
iniciais de partida de coordenadas conhecidas (adotadas ou georreferenciadas) e a sua 
extremidade está finalizada em um ponto distinto e de coordenadas desconhecidas. 
Se a poligonal partir de dois pontos de coordenadas conhecidas georreferenciadas ou adotadas e 
fechar sobre outra base topográfica do mesmo tipo, isto é, em dois pontos, distintos dos primeiros, 
mas também de coordenadas conhecidas (georreferenciadas ou adotadas), diz-se que ela é 
topograficamente apoiada embora geometricamente aberta, conforme ilustrado na Figura 20. 
(Silva e Segantine, 2015). 
________________________________________ 
Procedimento de campo: (descreva) 
________________________________________ 
Figura 20: Poligonal geometricamente aberta e topograficamente apoiada F igura 15
Sede
M - 01
M - 02-A
R
e
fe
rê
nc
ia
V 1
V n
V 2
a
z
im
ut
al
M - 03
M - 04
3
1
n
2
4
5
6
9 17 18
13
14
29
38
41
27
10
35
12
30
d
 1
7
d
 4
1
d n
 41
 n
 
 
Fonte: Autor 
Apresenta-se a seguir os detalhes de cada uma delas. 
Poligonal fechada 
9.2. Transporte de coordenadas 
𝑁𝑛 = 𝑁𝑛−1 + 𝑑"𝑛−1"→𝑛 × cos(𝐴𝑍"𝑛−1"→𝑛) 
𝐸𝑛 = 𝐸𝑛−1 + 𝑑"𝑛−1"→𝑛 × sen(𝐴𝑍"𝑛−1"→𝑛) 
________________________________________ 
Exemplo: 
Calcular as coordenadas UTM do ponto 𝑃2 sabendo que as coordenadas UTM do ponto 𝑃1, o 
azimute e a distância de 𝑃1 para 𝑃2 são: 
𝑁𝑃1= 8.963.166,0952m 
𝐸𝑃1 = 614.889,7053m 
𝐴𝑍𝑃1−𝑃2 = 25º 20’ 18,0” 
𝑑𝑃1−𝑃2 = 285,10m 
Solução: 
𝑁𝑃2 = 8.963.423,767582m 
𝐸𝑃2 = 615.011,717406m 
________________________________________ 
9.3. Cálculos dos ângulos externos 
O somatório dos ângulos externos de um polígono qualquer é dado por: 
∑ 𝑃𝑜𝑙𝑒𝑥𝑡 = 180° × (𝑛 + 2) 
onde: 
∑ 𝑃𝑜𝑙𝑒𝑥𝑡 é o somatório dos ângulos externos da poligonal 
𝑛 é o número de vértices ou de lados da poligonal 
9.4. Cálculos dos azimutes de uma poligonal 
A partir do azimute anterior 
a. Azimute plano 
(𝑃𝑛𝑃𝑛+1) = (𝑃𝑛−1𝑃𝑛) + (𝐻𝑛 − 180°); 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜: 𝑠𝑒 > 360° (𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖 360°) 
b. Azimute verdadeiro 
(𝑃𝑛𝑃𝑛+1)𝑉 = (𝑃𝑛−1𝑃𝑛) + (𝐻𝑛 − 180°); 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜: 𝑠𝑒 > 360° (𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖 360°) 
 
A partir das coordenadas fornecidas 
 
(𝑃𝑛−1𝑃𝑛) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝐸𝑛 − 𝐸𝑛−1
𝑁𝑛 − 𝑁𝑛−1
) 
O Quadro 2 estabelece a relação entre o quadrante que um ponto se encontra em relação a um 
ponto a RÉ7 e o Azimute. 
Quadro 2: Relação entre quadrante e azimute 
Quadrante ∆𝐸 ∆𝑁 (𝑃𝑛−1𝑃𝑛) 
NE + + = (𝐴𝑧) 
SE + – = (𝐴𝑧) + 180° 
SO – – = (𝐴𝑧) + 180° 
NO – + = (𝐴𝑧) + 360° 
________________________________________ 
Exemplo: 
Calcule o ângulo no vértice �̂�, a distância 𝑑𝐴𝐶 e a distância 𝑑𝐵𝐶 considerando os dados 
seguintes e a Figura 18 pelo método da interseção 
(sugestão: para calcular as distâncias use a Lei do seno) 
Dados: 
𝑑𝐴𝐵 = 100,00m 
𝛼 = 30º 
𝛽 = 60º 
𝛾 = ? 
Solução: 
180° = 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 
𝛾 = 90º 
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
𝑑𝐴𝐵
=
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑑𝐴𝐶
 → 𝑑𝐴𝐶 =
𝑑𝐴𝐵 × 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
 
𝑑𝐴𝐶 = 86,60m 
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
𝑑𝐴𝐵
=
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑑𝐵𝐶
 → 𝑑𝐵𝐶 =
𝑑𝐴𝐵 × 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
 
𝑑𝐵𝐶 = 50,00m 
________________________________________ 
 
7 Considerando uma sequência de pontos topográficos, materializados ou não, refere-se a um ponto 
anterior no sentido dos cálculos, das observações, das medições, etc. 
 
10. CÁLCULO DE ÁREA 
O cálculo da área de um polígono pode ser realizado por métodos diferentes como podemos citar 
alguns. 
10.1. Método geométrico 
Esse método se caracteriza pela utilização de figuras geométricas definidas como triângulos, 
trapézios, quadriláteros, etc. A área de um polígono produzido por um levantamento topográfico 
pode ser decomposta em uma ou várias das figuras geométricas citadas e então definida a área 
total de interesse. 
Em muitos casos as áreas podem ter a forma de uma figura geométrica definida ficando mais fácil 
o seu cálculo direto. 
10.1.1. Método mecânico 
Para determinação da área pelo método mecânico pode ser utilizado um instrumento denominado 
Planímetro Polar, que permite avaliar áreas de polígonos quaisquer desenhados em escalas 
conhecidas. Ainda hoje é uma técnica de medição bem utilizada e simples de operar. 
10.1.2. Divisão de área 
Se assemelha ao método geométrico, nesse método, um polígono regular qualquer pode ser 
dividido em áreas regulares facilitando a medição da área total do polígono principal considerado. 
10.1.3. Método computacional 
Atualmente, a maioria dos cálculos de áreas são realizadas por meio de programas 
computacionais, que são simples de usar e produz resultados precisos. Nesse caso, o polígono que 
se deseja calcular sua área já deve estar desenhado na tela do computador. 
Caso a planta esteja desenhada em papel, primeiro precisará ser digitalizada e vetorizada, na tela 
do computador, para depois ser efetuada a medição da área utilizando o comando corretor do 
programa ou aplicativo. Nesse caso, a precisão da área calculada dependerá da escala em que ela 
foi desenhada no papel, do método de digitalização utilizado, do tipo de papel em que a área foi 
plotada (desenhada) e da perícia do digitalizador. 
10.1.4. Método analítico 
Um método é definido como analítico, quando não se utiliza equações definidas de polígonos 
regulares elementares conhecidos, ao invés disso, são utilizados os dados do levantamento de 
campo (ângulos e distâncias), ou as coordenadas conhecidas dos vértices do polígono. Destacam-
se os seguintes métodos: 
10.1.4.1. Método dos triângulos radiais e das coordenadas polares 
Esse método exige que o instrumento topográfico (estação total ou teodolito), seja estacionado 
em um ponto origem (𝑂) dentro da área de interesse (método dos triângulos radiais) ou fora da 
área de interesse (método das coordenadas polares) e sejam realizadas as leituras angulares (𝛼) e 
lineares8 (𝐿) para cada vértice (𝑉) do polígono a ser medido. A Figura 21 ilustra o método dos 
triângulos radiais e das coordenadas polares, respectivamente. 
 
8 Se as leituras forem feitas inclinadas, primeiro precisam ser calculadas as distâncias em projeção 
(horizontais), para então a área poder ser calculada. 
 
Figura 21: Método analítico – triângulos radiais 
 
Fonte: Adaptada de Silva e Segantine, 2015, 2015 
O cálculo da área é dado pela equação (tanto para o método dos triângulos radias como das 
coordenadas polares): 
𝐴 =
1
2
∑[𝐿𝑖 × 𝐿𝑖+1 × 𝑠𝑒𝑛(𝛼𝑖+1 − 𝛼𝑖)] 
onde: 
𝐿𝑖 = distância topográfica lida em campo 
𝛼𝑖 = ângulo lido em campo 
10.1.4.2. Método de Gauss – cálculo da área pelas coordenadas 
retangulares totais 
Nesse método, a área de um polígono qualquer, é calculada com as informações das coordenadas 
retangulares dos seus vértices (x, y ou E, N). 
𝐴 =
1
2
∑[𝑁𝑖 × (𝐸𝑖+1 − 𝐸𝑖−1)]
𝑛
1=1
 
Outra maneira de se calcular a área de um polígono qualquer que tenha as coordenadas dos 
vértices fornecidas é a partir da regra mnemônica, que consiste em se calcular a soma algébrica 
dos produtos cruzados das coordenadas retangulares dos vértices do polígono e dividi-la por dois, 
conforme ilustrado no exemplo do Quadro 3. 
Quadro 3: Regra mnemônica – cálculo cruzado 
Vértice Coordenadas retangulares 
1 E1 N1 
2 E2 N2 
3 E3 N3 
4 E4 N4 
1 E1 N1 
 
Seguindo essa regra, o cálculo a área é dado pela equação: 
 
𝐴 =
1
2
∑[(𝐸𝑖 × 𝑁𝑖+1) + (𝐸𝑖+1 × 𝑁𝑖)]
 
UNIDADE 3 
 
11. AS SUPERFÍCIES DE NÍVEL 
Como já estudado antes, existem três superfícies de níveis de importância topográfica que são 
levadas em consideração nos trabalhos de topografia. 
11.1. Métodos de Nivelamento 
Em Topografia são usados tradicionalmente dois métodos para transporte de altitudes (ou cotas) 
ortométricas, a partir de um ponto de altitude conhecida (ou de cota arbitrada): i. o nivelamento 
trigonométrico, ou nivelamentoindireto, que embora sendo um método relativamente rápido, não 
garante boa precisão; ii. o método geométrico, ou nivelamento direto, que é o método mais preciso 
utilizado em Topografia, embora muito trabalhoso (Casaca, 2007). Ambos os métodos devem ser 
realizados de forma muito cuidadosa. 
Mais recentemente começaram a ser utilizados outros métodos de nivelamento, baseados em 
tecnologia GNSS9 e também em radares ou sistemas de varredura laser, estacionados em 
plataformas aéreas (aviões) ou orbitais (satélites artificiais), que embora de precisão inferior aos 
métodos convencionais permitem percorrer o terreno de forma contínua, com grande rapidez 
(Casaca, 2007 e Silva e Segantine, 2015, 2015). 
Um ponto topográfico está completo quando tem as informações das suas três dimensões, suas 
coordenadas planas (N e E) e também a sua altitude ortométrica (H). A representação de um ponto 
com as três dimensões pode ser do seguinte modo: P(N, E, H), coordenadas absolutas de um 
sistema parcial ou P(y, x, z), coordenadas arbitradas. 
11.1.1. O Método Trigonométrico 
Em Topografia, a observação de ângulos verticais, que se baseia no percurso da luz solar entre 
pontos intervisíveis da superfície terrestre, é afetada pela curvatura da trajetória das ondas 
luminosa devida à não-homogeneidade da atmosfera. A curvatura introduz desvios nos ângulos 
verticais observados que são iguais ao valor do ângulo de refração no extremo da trajetória onde 
se encontra estacionado o teodolito (ponto-estação). – Casaca, 2007. 
Definição: Designa-se por ângulo de refração vertical, no ponto-estação, da 
trajetória óptica da luz entre o ponto-estação e o ponto visado, o ângulo 𝛽 formado 
pela tangente à trajetória óptica do ponto-estação e o segmento de reta que une o 
ponto-estação ao ponto visado (Linha tracejada da Figura 4). O ângulo de refração 
da trajetória óptica no ponto visado é definido de modo semelhante. Os ângulos de 
refração vertical são positivos quando a concavidade da trajetória óptica se encontra 
voltada para o nadir, e negativos, no caso contrário, ou seja, volta para o zênite (ver 
Figura 4). – Casaca, 2007. 
Figura 22: Nivelamento trigonométrico 
 
9 Sistema Global de Navegação por Satélite 
 
 
Fonte: Adaptada de Casaca, 2007 
Admitindo que os gradientes verticais de pressão e temperatura atmosféricas são constantes, a 
trajetória da luz, entre a estação e o ponto visado, transforma-se num arco de circunferência de 
raio 𝑟. Ao quociente: 
𝜅 =
𝑅
𝑟
 
entre o raio de curvatura médio do elipsoide de referência (𝑅) e o raio de curvatura da trajetória 
óptica entre o ponto-estação e o ponto visado (𝑟) dá-se o nome de coeficiente de refração vertical 
(𝜅10) da trajetória. O coeficiente de refração vertical é positivo quando a concavidade da trajetória 
se encontra voltada para o nadir, e negativo quando se encontra orientada para o zênite (Casaca, 
2007). 
Em trajetórias afastadas da superfície terrestre o coeficiente de refração vertical é relativamente 
estável. 
A equação que determina a altitude ortométrica de um ponto visado a partir de um ponto-estação 
pelo método do nivelamento trigonométrico é: 
𝐻𝑉 = 𝐻𝐸 + [𝑆𝐸𝑉 × 𝑐𝑜𝑠(𝑍𝐸𝑉)] + {𝑆𝐸𝑉
2 × 𝑠𝑒𝑛2(𝑍𝐸𝑉) × [
1 − 𝜅
2 × 𝑅
]} + 𝑎𝐸 − 𝑎𝑉 
onde: 
𝐻𝑉 = a altitude do ponto Visado 
𝐻𝐸 = a altitude do ponto Estação 
𝑆𝐸𝑉 = a distância inclinada entre o ponto Estação e o ponto Visado 
𝑍𝐸𝑉 = o ângulo Zenital entre o ponto estação e o ponto visado 
𝜅 = o coeficiente de curvatura relativo à refração atmosférica 
𝑅 = ó Raio de curvatura do elipsoide de referência no ponto considerado 
𝑎𝐸 = a altura do instrumento (estação total ou teodolito) 
𝑎𝑉 = a altura do alvo de visada (prisma ou a leitura na régua, caso se utilize um teodolito) 
 
10 O valor de 0,12 é bem adequado na maioria das regiões aqui no território brasileiro. 
 
a expressão: 
𝑆𝐸𝑉
2 × 𝑠𝑒𝑛2(𝑍𝐸𝑉) × [
1 − 𝜅
2 × 𝑅
] 
é o ajuste da curvatura do elipsoide de referência e da refração atmosférica, se aplica quando a 
distância entre o ponto-estação e o ponto visado é superior a 200m. 
Sendo assim, para visadas com distâncias inferiores a 100m, a equação do nivelamento 
geométrico pode ser simplificada e os elementos geométrico do nivelamento trigométrico podem 
ser vistos na Figura 23. Nesse caso, os efeitos de refração do ar e de curvatura geoidal são 
desprezíveis. 
𝐻𝑉 = 𝐻𝐸 + [𝑆𝐸𝑉 × 𝑐𝑜𝑠(𝑍𝐸𝑉)] + 𝑎𝐸 − 𝑎𝑉 
Figura 23: Elementos geométrico do nivelamento trigonométrico 
 
Fonte: Autor 
________________________________________ 
Exercícios: 
1. Calcule a altitude ortométrica de 𝐻𝑉 utilizando os seguintes dados de campo 
Dados: 
𝐻𝐸 = 282,65𝑚 
𝑆𝐸𝑉 = 1.525,85𝑚 
𝑍𝐸𝑉 = 82º 32
′ 26" 
𝜅 = 0,12 
𝑅 = 6.378,135𝑘𝑚 
𝑎𝐸 = 1,451𝑚 
𝑎𝑉 = 2,50𝑚 
𝐻𝑉 = ? 
Solução: 
 
Substituindo os dados de campo na equação do nivelamento trigonométrico → 𝐻𝑉 = 𝐻𝐸 +
[𝑆𝐸𝑉 × 𝑐𝑜𝑠(𝑍𝐸𝑉)] + {𝑆𝐸𝑉
2 × 𝑠𝑒𝑛2(𝑍𝐸𝑉) × [
1−𝜅
2×𝑅
]} + 𝑎𝐸 − 𝑎𝑉, obteremos: 
𝐻𝑉 = 479,851𝑚 
2. Calcule o erro devido à curvatura geoidal e à refração atmosférica dado por: 
𝑆𝐸𝑉
2 × 𝑠𝑒𝑛2(𝑍𝐸𝑉) × [
1−𝜅
2×𝑅
]. Usar os dados da questão 1. 
Solução: 
Substituindo os dados de campo da questão 1. na equação dada teremos: 
𝑒 = 0,1579𝑚 
________________________________________ 
11.1.2. O Método Geométrico 
Método direto de nivelamento utilizado para transportar altitude de um ponto de altitude 
ortométrica (ou cota arbitrada) conhecida, na superfície da Terra para um ponto objeto, também 
na superfície da terra, de altitude (ou cota) desconhecida. 
É definido como um método operacional utilizado em Geodésia e Topografia para 
mensurar o desnível ortométrico entre dois pontos na superfície do terreno (Casaca, 
2007). 
O instrumento utilizado para realizar essa operação é o nível topográfico (nível óptico ou nível 
laser) e os acessórios são uma régua graduada e um tripé11. 
A equação básica utilizada no nivelamento geométrico para determinar a altitude ortométrica de 
um ponto desconhecido é: 
𝐻𝑊 = 𝐻𝑅 + 𝐿𝑅 − 𝐿𝑊 
onde: 
𝐻𝑊 = a altitude ortométrica do ponto a ser definido (ponto objeto) 
𝐻𝑅 = a altitude ortométrica do ponto de referência (RN
12) 
𝐿𝑅 = a leitura da régua a RÉ no ponto de referência (RN) 
𝐿𝑊 = a leitura da régua a vante
13 no ponto objeto 
A Figura 24 ilustra os elementos geométricos do nivelamento geométrico onde podemos observar 
um nível óptico calado sobre um tripé, uma régua de apoio inferior verticalizada com auxílio de 
um bipé e de um nível esférico de cantoneira no ponto de referência (R) e uma régua de apoio 
inferior verticalizada com auxílio de um bipé e de um nível esférico de cantoneira no ponto objeto 
(W). 
Figura 24: Elementos geométrico do nivelamento geométrico 
 
11 Sapatas, sombrinha, piquetes de madeira, tinta, marreta, etc. 
12 Referência de Nível 
13 Considerando uma sequência de pontos topográficos, materializados ou não, refere-se a um ponto 
posterior no sentido dos cálculos, das observações, das medições, etc. 
 
 
Fonte: Adaptada de Casaca, 2007 
O nivelamento geométrico de precisão é aplicado em algumas atividades da engenharia como na 
rede de nivelamento geodésico, em algumas obras hidráulicas como àquelas que funcionam por 
gravidade (extensas redes de esgotamento sanitário, canais e até mesmo rede de drenagem, túneis 
hidráulicos, etc.), observação no comportamento de grandes obras de engenharia (barragens, 
pontes, etc.). No nivelamento geométrico de precisão são utilizadas réguas de ínvar14 e o nível é 
munido de um micrômetro o que permite se fazer leitura de um décimo de milímetro (Casaca, 
2007). 
No nivelamento geométrico de precisão, deve-se considerar e analisar as condições atmosféricas 
locais antes de se iniciar as atividades de campo para o transporte de altitude ortométrica. As 
condições ideias são de temperatura próxima a 22ºC. Temperaturaselevadas podem causar erros 
grosseiros devido a dilatação térmica, tanto do instrumento topográfico como dos seus acessórios. 
11.1.2.1. Nivelamento geométrico simples 
Esse tipo de nivelamento limita-se a áreas pequenas, com visadas inferiores a 60m e com 
desníveis inferiores a extensão da régua utilizada. 
Definição: o nivelamento geométrico simples é caracterizado por se estacionar o 
nível topográfico numa única posição com o plano de visada do observador (plano 
de referência) sempre na mesma altura15, visando a régua à RÉ num mesmo ponto 
de referência, no entanto a leitura a vante, pode ser realizada em um único ponto 
(Figura 24) ou em n pontos (Figura 25). 
A Figura 25 apresenta um exemplo de nivelamento geométrico simples onde o nível (N) foi 
estacionado na posição N e desse único ponto, sem alterar o plano de referência (ver Figura 24), 
foi realizada uma leitura a RÉ com a régua apoiada na RN e foram realizadas as leituras a vante 
nos n vértices de um lote. 
Figura 25: Nivelamento geométrico simples com n leitura a vante 
 
14 Liga metálica com baixo coeficiente de dilatação térmica 
15 Define-se por altura nesse texto a distância vertical a partir da superfície do solo a um plano de 
referência, a um objeto no espaço, ao topo de um corpo a partir da sua base. 
 
 
Fonte: Autor 
________________________________________ 
Exercício resolvido: 
Admitindo que o lote da Figura 25 tenha seis vértices e que foi realizado o nivelamento de todos 
os vértices conforme as leituras apresentadas na Tabela 1. Calcule a altura do plano de referência, 
as altitudes ortométricas dos vértices de 1 a 6 e a diferença de nível entre a RN e cada vértice. 
Descreva o método de nivelamento geométrico utilizado e os procedimentos de campo para a 
realização dos trabalhos. 
Solução: 
Equações básicas utilizadas 
i. Cálculo da altura do plano de referência: ℎ𝑃𝑅 = 𝐻𝑅𝑁 + 𝐿𝑅𝑁 
ii. Cálculo das altitudes ortométricas: 𝐻𝑉𝑖 = 𝐻𝑅𝑁 + 𝐿𝑅𝑁 − 𝐿𝑉𝑖 ou 𝐻𝑉𝑖 = ℎ𝑃𝑅 − 𝐿𝑉𝑖 
iii. Cálculo da diferença de nível entre a RN e cada vértice: ∆𝐻𝑖 = 𝐻𝑅𝑁 − 𝐻𝑉𝑖 
 
Tabela 1: Anotações de nivelamento geométrico simples 
PONTO 
LRE 
(mm) 
LV 
(mm) 
PLANO16 
(m) 
ALTITUDE 
(m) 
ΔH 
(m) 
RN 865 87,369 
V1 925 
V2 1.120 
V3 1.090 
V4 986 
V5 980 
V6 901 
 
iv. O método utilizado para realizar esse nivelamento foi o método geométrico simples 
v. Procedimento de campo: com base na Figura 25 apresentada, a equipe de topografia 
estacionou o nível topográfico sobre o tripé no ponto N; um auxiliar de topografia 
verticalizou a régua à RÉ na RN, certamente tomando os cuidados de ancorá-la com 
 
16 Plano de Referência (ver Figura 24) 
 
auxílio de um bipé ou de um tripé; em seguida foi realizada a leitura a RÉ (LRE) na 
régua verticalizada sobre a RN; e, na sequência, foram realizadas as leitura a vante (LV) 
em cada vértice indicado na Figura 25 e realizadas as anotações na Tabela 1. 
________________________________________ 
11.1.2.2. Nivelamento geométrico composto 
Quando há um trecho longo a ser nivelado (maior que 100m, centenas de metros ou vários 
quilômetros) ou quando a topografia é muito ondulada, de tal modo que para se nivelar um ponto 
desejado haja necessidade de se mudar o instrumento topográfico (nível topográfico) de posição 
e se instala em posições diferentes para se obter os resultados, o nivelamento é denominado de 
nivelamento composto. Esse método requer que o operador realize apenas uma leitura a RÉ e uma 
ou mais leituras a vante em cada mudança do instrumento de posição. O nivelamento geométrico 
composto por se de dois tipos: nivelamento composto por caminhamento simples e nivelamento 
composto por caminha misto. A seguir descreve-se cada tipo. 
11.1.2.2.1. Nivelamento geométrico composto por caminhamento 
simples 
Esse método de nivelamento se compõe por sucessivos nivelamentos simples referenciados entre 
si pelas leituras de Vante e RÉ numa mesma régua com nível em posições distintas. Nesse método 
são realizadas leituras de RÉ e Vante ao longo de um trecho sendo a régua de Vante sempre 
utilizada para uma subsequente leitura a RÉ com o nível numa nova posição e, nesse caso, a última 
régua a ser lido em toda a extensão do nivelamento será com uma leitura a Vante (Figura 26). 
Em resumo: quando o operador faz apenas uma leitura a RÉ e uma leitura a vante em cada posição 
ao longo de um trecho longo (centenas de metros ou vários quilômetros), diz-se que o operador 
realiza um caminhamento simples (Figura 26). 
Figura 26: Nivelamento geométrico composto – caminhamento simples 
 
Fonte: Autor 
11.1.2.2.2. Nivelamento geométrico composto por caminhamento 
misto 
Quando o operador, após ter realizado uma leitura a RÉ, realiza mais de uma leitura a Vante num 
tramo ou em vários tramos de um trecho, diz-se que o caminhamento é misto. A Figura 27 ilustra 
esse tipo de nivelamento geométrico. Inicialmente equipe de topografia realiza uma leitura a RÉ 
 
na régua que está apoiada e verticalizada sobre a RN, posiciona o nível entre a RN e o ponto 
auxiliar 1 (representado por um triângulo vermelho) e realiza uma leitura a Vante na régua que 
está apoiada e verticalizada sobre o auxiliar 1; com o nível na posição 2, entre os pontos auxiliares 
1 e 2, realiza-se uma leitura a RÉ na régua que está apoiada no ponto auxiliar 1 e realiza-se duas 
leituras a Vante, a primeira deve ser realizada na régua que está apoiada verticalmente no ponto 
auxiliar 2, ponto que é parte do circuito do nivelamento composto e a segunda leitura será 
realizada na régua que está apoiada verticalmente no ponto A, caracterizando assim o nivelamento 
composto com caminhamento misto. 
Se a poligonal for geometricamente e topograficamente fechada ou topograficamente apoiada, os 
cálculos das altitudes dos pontos A, B, C e D só deverão ser realizados após os ajustes (correções) 
dos auxiliares imediatamente a RÉ de cada ponto nivelado, ou seja, o ponto A, após o ajuste do 
ponto auxiliar 1; os pontos B e C, após o ajuste do auxiliar 3, e assim sucessivamente. 
Figura 27: Nivelamento geométrico composto – caminhamento misto 
 
Fonte: Autor