Econometria Aula - 15

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Econometria
Aula 15
Marta AreosaMarta Areosa
marta@econ.puc-rio.br
Distribuição Asintótica de MQO
 
• Propriedades do estimador de MQO quando n é grande 
(propriedades assintóticas) 
 
o Consistência 
2
o Consistência 
 
o Normalidade assintótica 
Distribuição amostral conforme n ↑
n3 n1 < n2 < n3
3
β1
n1
n2
Consistência
 
11
ˆplim ββ =
4
Consistência
5
( ) ( )1,111ˆplim xVaruxCov+= ββ
Normalidade assintótica de MQO
• Como a distribuição de t se aproxima a uma normal para 
grandes amostras, também podemos dizer que: 
 
 
 ( ) ( )~ˆˆ − taep βββ
6
 
 
 
• Note que aqui não assumimos Normalidade, mas ainda 
estamos assumindo homocedasticidade 
 
( ) ( ) 1~ˆˆ −−− kntjepjj βββ
Erro padrão assintótico
• Quando u não é distribuído de forma Normal, nos referimos ao 
erro padrão como um EP assintótico já que: 
 
 
 
( ) ( )jep = σβ ,2
2
ˆ
ˆ
7
 
 
 
 
• Assim, esperamos que o EP diminuísse numa taxa que é 
inversamente proporcional ao tamanho da amostra (n1/2). 
( ) ( )
( ) njcjep
jRjSTQ
jep
≈
−
=
β
β
ˆ
,21
ˆ
Outros testes: estatística do multiplicador
de Lagrange
• Quando não assumimos que u tem distribuição Normal e 
fazemos análise assintótica (n grande), podemos usar outras 
estatísticas para fazer testes de hipóteses (além de t e F). 
 
 
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Outros testes: estatística do multiplicador
de Lagrange
• Quando não assumimos que u tem distribuição Normal e 
fazemos análise assintótica (n grande), podemos usar outras 
estatísticas para fazer testes de hipóteses (além de t e F). 
 
• O teste de multiplicador de Lagrange (LM) é um teste 
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• O teste de multiplicador de Lagrange (LM) é um teste 
alternativo que pode ser usado para testar múltiplas restrições 
de exclusão. 
 
• Obs: este teste supõe homocedasticidade 
Outros testes: estatística do multiplicador
de Lagrange
• Quando não assumimos que u tem distribuição Normal e 
fazemos análise assintótica (n grande), podemos usar outras 
estatísticas para fazer testes de hipóteses (além de t e F). 
 
• O teste de multiplicador de Lagrange (ML) é um teste 
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• O teste de multiplicador de Lagrange (ML) é um teste 
alternativo que pode ser usado para testar múltiplas restrições 
de exclusão. 
 
• Como vamos ver, ele só usa uma regressão auxiliar. Por isso, 
as vezes ele permite uma implementação mais fácil. 
 
 
Multiplicador de Lagrange
• Suponha que temos um modelo dado por: 
 
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u 
 
 
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Multiplicador de Lagrange
• Suponha que temos um modelo dado por: 
 
y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u 
 
• Nossa hipótese nula está dada por: 
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• Nossa hipótese nula está dada por: 
 
H0: bk-q+1 = 0, ... , bk = 0 
 
 
Multiplicador de Lagrange
• Primeiro, vamos rodar uma regressão assumindo o modelo 
restrito: 
 
 
 
uxxy qkqk ~
~
...
~~
110 ++++= −−βββ
13
 
 
 
 
 
Multiplicador de Lagrange
• Primeiro, vamos rodar uma regressão assumindo o modelo 
restrito: 
 
 
• Segundo, vamos estimar o resíduo dessa regressão. 
uxxy qkqk ~
~
...
~~
110 ++++= −−βββ
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• Segundo, vamos estimar o resíduo dessa regressão. 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicador de Lagrange
• Primeiro, vamos rodar uma regressão assumindo o modelo 
restrito: 
 
 
• Segundo, vamos estimar o resíduo dessa regressão. 
uxxy qkqk ~
~
...
~~
110 ++++= −−βββ
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• Segundo, vamos estimar o resíduo dessa regressão. 
 
• Terceiro, vamos estimar uma nova regressão desse resíduo em 
todos os regressores do modelo completo. 
 
 
 
 
 ,...,, em ~ 21 kxxxu
Multiplicador de Lagrange
• Qual é a intuição deste teste? Estamos assumindo que os 
coeficientes populacionais de algumas variáveis é zero. 
 
 
 
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Multiplicador de Lagrange
• Qual é a intuição deste teste? Estamos assumindo que os 
coeficientes populacionais de algumas variáveis é zero. 
 
• Se esses coeficientes populacionais forem realmente zero, 
então o resíduo não deve estar correlacionado com cada uma 
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então o resíduo não deve estar correlacionado com cada uma 
dessas variáveis na amostra. 
 
 
 
 
Multiplicador de Lagrange
• Qual é a intuição deste teste? Estamos assumindo que os 
coeficientes populacionais de algumas variáveis é zero. 
 
• Se esses coeficientes populacionais forem realmente zero, 
então o resíduo não deve estar correlacionado com cada uma 
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então o resíduo não deve estar correlacionado com cada uma 
dessas variáveis na amostra. 
 
• Isso sugere rodar uma regressão do resíduo nesses regressores 
excluídos sob a hipótese H0. 
 
 
 
Multiplicador de Lagrange
• É quase o que o teste faz. Mas para obter uma estatística que 
podemos usar, temos que rodar essa regressão incluindo todos 
os regressores (dada a correlação entre os X da regressão). 
 
 
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Multiplicador de Lagrange
• É quase o que o teste faz. Mas para obter uma estatística que 
podemos usar, temos que rodar essa regressão incluindo todos 
os regressores (dada a correlação entre os X da regressão). 
 
• Se a hipótese nula for verdadeira, o R2 da regressão do resíduo 
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• Se a hipótese nula for verdadeira, o R2 da regressão do resíduo 
deve ser próximo de zero e a estatística deve ser próxima de 
zero—ou seja, não rejeitamos a hipótese nula. 
 
Multiplicador de Lagrange
• Desta regressão vamos calcular a estatística do teste LM 
como: 
 
 
 
21
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicador de Lagrange
• Desta regressão vamos calcular a estatística do teste LM 
como: 
 
 
 
uu RnRLM
~
de regressão da vem onde , 22=
22
 
 
 
 
 
 
 
 
kxxxu ,...,, em 
~
21
Multiplicador de Lagrange
• Desta regressão vamos calcular a estatística do teste LM 
como: 
 
 
 
uu RnRLM
~
de regressão da vem onde , 22=
23
 
 
 
 
 
 
 
 
kxxxu ,...,, em 
~
21
2
~ q
a
LM χ
Multiplicador de Lagrange
• Desta regressão vamos calcular a estatística do teste ML 
como: 
 
 
 
uu RnRLM
~
de regressão da vem onde , 22=
24
 
 
 
 
 
• Podemos usar o valor crítico c ou calcular o p-valor associado 
ao teste. 
 
kxxxu ,...,, em 
~
21
2
~ q
a
LM χ
Multiplicador de Lagrange
• Cuidado a ser tomado, na primeira regressão temos que 
lembrar de estimar o modelo restrito. 
 
 
 
25
 
 
 
 
 
Multiplicador de Lagrange
• Cuidado a ser tomado, na primeira regressão temos que 
lembrar de estimar o modelo restrito. 
 
• Os graus de liberdade para o teste estão dados somente por q 
(número de restrições no modelo). 
26
(número de restrições no modelo). 
 
 
 
 
 
 
 
Teste de Multiplicador de Lagrange
• Cuidado a ser tomado, na primeira regressão temos que 
lembrar de estimar o modelo restrito. 
 
• Os graus de liberdade para o teste estão dados somente por q 
(número de restrições no modelo). 
27
(número de restrições no modelo). 
 
• Por que o teste é útil? Ele nos permite estimar somente o 
modelo restrito.