Aula 15

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EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Capítulo 5: Análise através de 
volume de controle
� Equação de Bernoulli
�Outros casos especiais
�Seleção do VC
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Conservação de energia no VC
O princípio da conservação de energia para VC 
enuncia que:










−










=










t instante no )e"" (entrada VC
no entra que fluido do energia
de ciatransferên de total taxa
t instante no )s"" (saída VC
o deixa que fluido do energia
 de ciatransferên de total taxa
t instante no VC dointerior 
 no armazenada energia
da total variação de taxa
Superfície de controle
VC
Entrada “e” Saída “s”
es
VC memeE 



−



=
•••
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Conservação de energia no VC
• No caso do VC possuir várias entradas e saídas, o 
balanço da taxa de energia é:
∑∑ 





++−





++=−=
•••••
e e
e
s s
sVCVCVC gz
V
hmgz
V
hmWQE
22
22
e
e
s
sVCVCVC gz
V
hmgz
V
hmWQE 





++−





++=−=
•••••
22
22
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Casos especiais: escoamento em 
regime permanente
• VC contendo apenas uma entrada e uma saída: a 
equação de conservação de massa em RP é:
•••••
===−= mmmmm
dt
dm
sees
VC 0
• E a equação da conservação de energia é:
0=
•
VCE
es
VCVC gz
V
hmgz
V
hmWQ 





++−





++=−
••••
22
22
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Casos especiais: escoamento de 
gases perfeitos em RP
es
VCVC gz
V
hmgz
V
hmWQ 





++−





++=−
••••
22
22
• Se o fluido é um gás perfeito (ideal e com cp cte):
)( espes TTchh −=−
• O escoamento em RP do gás perfeito no VC é:
[ ]esesespVCVC gzgz
VV
TTc
m
W
m
Q
−+








−+−=−
•
••
• 22
22
)(
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Casos especiais: escoamento de 
líquidos em RP
• Sendo o escoamento em RP é:
e
e
s
sVCVCVC gz
V
Pumgz
V
PumWQE 





+++−





+++=−=
•••••
22
22
νν
• Quando o fluido for um líquido, é mais comum usar 
outra expressão.
• Lembrando-se que:














+++−





+++=−
•••
es
VCVC gz
V
Pugz
V
PumWQ
22
22
νν
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Casos especiais: escoamento de 
líquidos em RP
• Dividindo tudo por mg :
ρ
ν
1
=• Considerando que:
••••
−−+














++−





++=− VCes
es
VC Quumgz
VP
gz
VP
mW )(
22
22
ρρ
• Substituindo e reagrupando tem-se:
•








−−+





++−





++=
−
•
•
•
•
m
Q
uu
g
z
g
V
g
P
z
g
V
g
P
gm
W VC
es
es
VC 1
22
22
ρρ
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Casos especiais: escoamento de 
líquidos em RP
• Reagrupando tem-se:
Carga manométrica 
total entrando no 
VC (HTe)
gm
W
m
Q
uu
g
z
g
V
g
P
z
g
V
g
P VCVC
es
se
•
•
•
•
+








−−+





++=





++
1
22
22
ρρ
Carga manométrica 
total saindo no 
VC (HTs)
Carga manom. 
perdida por atrito e 
transf. de calor 
(hL)
Carga manométrica equivalente do 
trabalho realizado pelo fluido (hW)
WLTsTe hhHH ++=
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Mas o que representa exatamente a 
carga manométrica total (HT) ?
águaáguaatm hgP ∗∗= ρ
• A carga manométrica tem sua origem no campo da hidráulica e 
é forma de representar a pressão em um fluido.
• Considere, por exemplo, uma pressão atmosférica de 101 kPa
(1atm). Ela pode ser representada como a altura de uma coluna 
de líquido equivalente. Se o líquido for água, com ρρρρ = 998 kg/m3, 
tem-se:
água de m 10,32==
∗
=
)807,9(998
101000
g
P
h
água
atm
água
ρ
• Uma pressão atmosférica de 101 kPa é equivalente à força por 
unidade de área na base da coluna de água com altura de 10,32 
m. OU SEJA, uma pressão de 1 atm corresponde a uma carga 
manométrica de 10,32 m de coluna de água.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Casos especiais: escoamento de líquidos 
em RP
gm
W
hz
g
V
g
P
z
g
V
g
P VC
L
se
•
•
++





++=





++
22
22
ρρ
• A carga manométrica total (HT), seja na entrada ou saída, é
definida como a soma da carga manométrica de pressão 
(P/ρρρρg), da carga manométrica de velocidade (V2/2g) e da 
carga manométrica potencial gravitacional (z) por unidade 
de vazão mássica.
• HT tem as dimensões de um comprimento (m ou ft).
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Patm= 100kPa 
Pvap= 2,3kPa
h = z2-z1=?
Q = 0,03 m3/s 
Exemplo: Um sistema de sifão com diâmetro interno d=0,075m 
é utilizado para remover água de um recipiente A para outro B, 
conforme figura abaixo. Quando em operação, a vazão em RP 
através do sifão é de 0,03 m3/s. A temperatura da água é de 
25oC e ρρρρ=998,3 kg/m3. Calcule qual a elevação do sifão acima da 
superfície da água do reservatório A, ∆∆∆∆z, na qual a pressão
mínima do sifão seja igual à
pressão de vapor da água (Pv = 
2,339 kPa). Admite-se que a 
perda de carga devido ao atrito 
e à transferência de calor pode 
ser desprezada, ou seja, hL=0. 
Admitir que o nível de água no 
reservatório é mantido 
constante.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Patm= 100kPa
D 
Pvap= 2.3kPa
O VC foi escolhido de forma 
a incluir a superfície da água 
no reservatório e ser 
perpendicular ao escoamento 
através do sifão. A equação 
da conservação da energia 
em RP entre os ponto 1 
(superfície do reservatório) e 
2 (ponto de máxima elevação 
é: 
gm
W
hz
g
V
g
P
z
g
V
g
P VC
L
se
•
•
++





++=





++
22
22
ρρ
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Patm= 100kPa 
D 
Pvap= 2,3kPa
Pois o reservatório é
grande quando comparado 
com o sifão.








++=





+ 2
2
22
1
1
2
z
g
V
g
P
z
g
P
ρρ
m/s 6,791
4
0,075
π
0,03
A
)VVazão(
2
2
=






==
•
2V
Pois não há bomba ou 
turbina no sistema do sifão.
01 =V
0=
•
VCW
g
V
g
P
g
P
z
2
2
221 −−=∆
ρρ
m 7,73=∆z
gm
W
hz
g
V
g
P
z
g
V
g
P VC
L
se
•
•
++





++=





++
22
22
ρρ
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
• Ela é um caso particular da equação de conservação 
de energia, válida quando o escoamento for:
– Incompressível
– Em regime permanente
– Adiabático (sem transferência de calor) e reversível (sem 
dissipação viscosa ou invíscido) 
– Sem realização de trabalho
Casos especiais: Equação de 
Bernoulli
0=
•
VCE
constante=





++=





++
se
z
g
V
g
P
z
g
V
g
P
22
22
ρρ
0=Lh
0=
•
VCW
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Casos especiais: Equação de 
Bernoulli
• A equação de Bernoulli representa as formas de 
energia presentes em um escoamento.
• Ela afirma que essa energia se conserva entre dois 
pontos, uma vez que não há dissipação viscosa, 
trabalho e calor atravessando as fronteiras.
• É a primeira solução que relaciona campo de 
velocidade com campo de pressão.
• Ela pode ser empregada também para gases. 
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Casos especiais: Equação de 
Bernoulli
2
2
1
2
22 






+=





+
VPVP
ρρ
• Considerando o escoamento em uma tubulação (com 
paredes paralelas) no plano horizontal (z1=z2):
• Rearrumando tem-se:
22
2
2
2
2
1
1
V
P
V
P
ρρ
+=+
• Cada termo desta forma da Eq. Bernoulli representa 
uma pressão.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Casos especiais: Equação de 
Bernoulli
cte
V
P
V
P =+=+
22
2
2
2
2
1
1
ρρ• O termo P é a pressão termodinâmica, chamada de 
pressão estática.
• À medida que V2 aumenta, P deve diminuir.
• Analogamente, a medida que V2 diminui, P deve 
aumentar.
• Logo, existirá uma pressão estática mesmo que não 
haja escoamento.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Casos especiais: Equação de 
Bernoulli
)(constanteTP
V
P
V
P =+=+
22
2
2
2
2
1
1
ρρ
• O termo ρρρρV2/2 é a pressão dinâmica e existe apenas 
quando há escoamento.
• Fora da camada limite de escoamento, o escoamento 
se comporta como se fosse invíscido e a Eq. 
Bernoulli estabelece que a soma das pressões 
estática e dinâmica é constante ao longo da linha de 
corrente horizontal.
• Esta pressão constante é chamada de pressão total 
ou pressão de estagnação.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Casos especiais: Equação de 
Bernoulli
)(constanteTP
V
P
V
P =+=+
22
2
2
2
2
1
1
ρρ
• Fisicamente a pressão de estagnação representa a 
pressão estática que agirá em um ponto do fluido 
quando este for colocado em repouso (V=0) através 
de um processo adiabático reversível.
• A pressão estática de um escoamento pode ser 
obtida através de um manômetro ou de um sensor de 
pressão estática, chamada de tubo de Pitot.
• O tubo de Pitot mede também a pressão de 
estagnação do escoamento.
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Manômetros
• São medidores de pressão que operam em 
condições HIDROSTÁTICAS (ou seja, não há
velocidade).
• Regra: mesmo fluido à mesma altura apresenta 
mesma pressão. Por quê? 
• Porque a pressão só varia com a densidade (ρρρρ) e a 
altura (z). 
21
P
gz 
P
gz 





++++====





++++
ρρρρρρρρ
P
Z
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Manômetro: Tubo U
pA
Patm
32 PP =
( )1A2mAtmA hhgPP ρ−ρ⋅=−
1AA2 hgPP ⋅⋅ρ+=
2mAtm3 hgPP ⋅⋅ρ+=
Mesma altura e mesmo 
fluido, portanto 
pressões iguais
Z
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Manômetro Diferencial
pA
pB
Reservatório
Reservatório
Regra: mesmo fluido e 
mesma altura 
apresentam mesma 
pressão. 
P2 = P3 → PA – PB = ρρρρBgh3 + ρρρρMgh2 - ρρρρAgh1
Medidor de Pressão tipo Bourbon
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Tubo de Pitot
• Foi desenvolvido para realizar medidas locais da 
velocidade de correntezas em rios.
• Até hoje é muito utilizado na indústria aeronáutica, 
em instalações industriais (linhas de vapor, gases 
e líquidos) em sistemas de ventilação e laboratórios 
de pesquisa.
• Permite realizar uma medida local da velocidade do 
escoamento a partir da pressão de estagnação e da 
pressão estática.
• Pode ser empregado tanto para fluidos 
compressíveis como para incompressíveis.
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Princípio básico do tubo de Pitot
• O escoamento livre é desacelerado de modo 
reversível até a estagnação.
• A energia total se conserva.
(((( ))))
ρρρρ
−−−−
====⋅⋅⋅⋅ρρρρ====−−−−⇒⇒⇒⇒
1PP2
V ou V
2
1
PP 21
2
112
2
222
2
111 V
2
1
 P V
2
1
 P ρρρρ++++====ρρρρ++++
P. Estat P. Din P. Estag. = 0 
(1) 
Corrente 
Livre
(2) 
Estagnação; 
V=0
• Primeira solução que relaciona campo de 
velocidade com campo de pressão.
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Tubo de Pitot
Corrente Livre: 
P, V, T
Manômetro 
Diferencial
Pressão Estática: 
4 a 8 furos igualmente 
espaçados na 
circunferência
Pressão Estagnação 
ou 
Pressão Total
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: A figura abaixo mostra o escoamento de água, a 5oC, através da 
seção de testes horizontal de um túnel de água. Um tubo de Pitot é
colocado no escoamento além da camada limite da parede da seção de 
testes. A sonda é conectada a um manômetro em U com mercúrio cujos 
ramos mostram uma diferença na coluna de mercúrio de ∆∆∆∆zHg= 52 mm. 
Determinar a velocidade da água no ponto onde está a sonda.
Água a 5oC
P
PT
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Água a 5oC
P
• Como o tubo de Pitot está localizado além da camada limite de 
escoamento, pode-se usar a equação de Bernoulli para analisar o 
escoamento e V será: ( )
água
T PP
ρ
−
=
2
V
PT
• Para determinar PT-P analisa-se o manômetro em U (estática do 
fluido).
• No ponto A: 
AáguaTA gzPP ρ+=
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Água a 5oC
P
• No ponto B:
HgHgHgAáguaAáguaT zgzzgPgzP ∆+∆−+=+ ρρρ )(
( )
HgAáguaB zzgPP ∆−+= ρ
HgHgBAC zgPPP ∆+== ρ
PT
• Igualando:
• No ponto C:
• Rearrumando:
)( águaHgHgT zgPP ρρ −∆=− 







−∆=− 1
água
Hg
águaHgT zgPP
ρ
ρ
ρ
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Água a 5oC
P
• Na Tabela A-9 tem-se que ρρρρágua = 1000 kg/m3 e na Tabela A-11 sabe-se 
que ρρρρHg/ρρρρágua =13,55
PT
• Logo V será:
( ) Pa 6400=−∗∗=− − 155,13100010.52807,9 3PPT
( )
m/s 3,58V =
∗
=
−
=
1000
640022
água
T PP
ρ
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Teorema de Transporte de Reynolds
Teorema utilizado para transformar as equações 
válidas para um sistema termodinâmico em 
equações válidas para um volume de controle.
[ ] [ ]
es mm
dt
&& ϕϕ
φ
−=sist
d
[ ] [ ]
dt
dM
..
dt
dM VCsist =−= ss mm && 11
φφφφsist=propriedade genérica do 
sistema, a qual será
conservada
ϕϕϕϕ = propriedade específica = φφφφ/M
[ ] [ ]
dt
d(MV)
..
dt
d(MV) VCsist =−= ss mVmV &&
[ ] [ ]
dt
d(E)
..
dt
d(E) VCsist =−= ss meme &&
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Força de empuxo
• A existência de diferença de pressão na superfície 
de um objeto resultará numa força sobre o objeto.
• Uma força adicional em fluidos em repouso ocorre 
quando um objeto é submergido no fluido.
• Essa força é chamada de força de empuxo e é
determinada pelo Princípio de Arquimedes:
“Um objeto submergido sofre a atuação de uma força 
no sentido vertical para cima que é proporcional ao 
peso do fluido que o objeto submergido desloca.”
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Força de empuxo
• A força resultante do objeto é a força de 
empuxo menos o peso do objeto.
• Se a força de empuxo for maior, o objeto 
flutuará na superfície do fluido.
• Se for menor, o objeto afundará.
• Se for igual, o objeto permanecerá em 
qualquer profundidade que for colocado. 
Essa condição é chamada de empuxo neutro.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: Uma esfera com 1 m de diâmetro é enchida com benzeno e 
submergida no oceano até uma profundidade de 100 m. Qual deve ser o 
peso da esfera (vazia) apenas para que ela permaneça a 100 m de 
profundidade ?
• Da Tabela A-11 obtém-se as densidades relativas do benzeno e da água 
salgada: 3
aáguasalgad 1000kg/m=== águabenzeno ρρρ 025,1879,0
esfera) da (volumeaáguasalgad gFempuxo ρ=
esfera) da (volumebenzeno gWbenzeno ρ=
• A força empuxo da água é:
• A força peso do benzeno é:
• Para que a esfera se mantenha na profundidade de 100 m, a força 
resultante será:
0)( =+−= esferabenzenoempuxores WWFF
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: Uma esfera com 1 m de diâmetro é enchida com benzeno e 
submergida no oceano até uma profundidade de 100 m. Qual deve ser o 
peso da esfera (vazia) apenas para que ela permaneça a 100 m de 
profundidade ?
• Logo, a força peso da esfera será:
esfera) da (volume-esfera) da (volume benzenoaáguasalgad ggWesfera ρρ=
água
água
benzeno
água
aáguasalgad
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
π )(
3
4 3 −∗= rgWesfera
benzenoempuxoesfera WFW −=
N 749=−∗= 1000)879,0025,1()5,0(
3
4
807,9 3πesferaW
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Seleção de um volume de controle (VC)
• A seleção do VC é fundamental para se 
resolver um problema.
• O melhorVC é normalmente determinado 
pela experiência e por uma análise cuidadosa 
das variáveis conhecidas e desconhecidas 
para o problema particular.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
60 m
1 km
1 m1 m
W
Exemplo: Dadas as alturas entre reservatórios, o diâmetro da 
tubulação e o fluxo de massa (140 kg/s) deseja-se determinar a 
potência da bomba para transferir um volume de fluido na 
unidade de tempo.
•
1-VC: a bomba (com entrada e saída).
As variáveis relacionadas à equação de 
energia neste VC são:
• Pe e Ps (desconhecidas)
•Ve e Vs (desconhecidas)
•Ze e Zs (desconhecidas, mas 
poderiam ser desprezadas)
•hL (desconhecida mas tb poderia ser 
desprezada)
•W (o que se quer determinar).
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
60 m
1 km
1 m1 m
W
Exemplo: Dadas as alturas entre reservatórios, o diâmetro da 
tubulação e o fluxo de massa (140 kg/s) deseja-se determinar a 
potência da bomba para transferir um volume de fluido na 
unidade de tempo.
•
2-VC: o sistema todo.
As variáveis relacionadas à
equação de energia neste VC são:
• Pe e Ps (conhecidas Patm)
•Ve e Vs (são desprezíveis pois as 
reservatórios são muito maiores 
que a tubulação)
•Ze e Zs (conhecidas)
•hL (desconhecida mas tb poderia 
ser desprezada)
•W (o que se quer determinar).
1
2
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
60 m
1 km
1 m1 m
W
Neste caso a equação da energia será:
•
)( seVC zzgmW −=
••
gm
W
z
g
P
z
g
P VC
se
•
•
+





+=





+
ρρ
• Substituindo as variáveis:
1
2
kW 83,7)(, −=−∗=
•
6108079140VCW
Esta é a potência realizada 
sobre o fluido caso a eficiência 
fosse de 100%.
Para se obter a potência real, 
deve-se levar em conta a 
eficiência da bomba.
EM-524 Fenômenos de Transporte Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
60 m
1 km
1 m1 m
W
Desta forma, a potência fornecida ao fluido (ou requerida ao eixo da 
bomba) será:
•
kW 98,5
,
,
==
•
850
783
sW
b
s
W
W
η
•
•
=)requerida eixo de potência(
Caso a eficiência da bomba seja 
de 85%, a potência real 
requerida será:
1
2