Aulas20-22

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EMA 091 D ‐ MECÂNICA DOS FLUIDOS  ‐  Profa. Adriana Silva França 
 
1 
 
Análise Dimensional e Semelhança 
Estudo Dirigido 
1) Estudar o material a seguir (Referência: livro texto, capítulo 7): 
Para  escoamento  permanente,  incompressível  e  bidimensional  de  um  fluido 
Newtoniano, o princípio de conservação de massa pode ser escrito como: 
 
డ௨
డ௫
൅ డ௩
డ௬
ൌ 0             (1) 
 
e as equações de Navier‐Stokes reduzem‐se a: 
 
ߩ ቀݑ డ௨
డ௫
൅ ݒ డ௨
డ௬
ቁ ൌ െడ௉
డ௫
൅ ߤ ቀడ
మ௨
డ௫మ
൅ డ
మ௨
డ௬మ
ቁ        (2) 
 
ߩ ቀݑ డ௩
డ௫
൅ ݒ డ௩
డ௬
ቁ ൌ െߩ݃ െ డ௉
డ௬
൅ ߤ ቀడ
మ௩
డ௫మ
൅ డ
మ௩
డ௬మ
ቁ      (3) 
 
As  equações  (1),  (2)  e  (3)  constituem  um  conjunto  de  equações  diferenciais 
parciais acopladas para u, v, e P, e não lineares.  
Para  converter  estas  equações  em  equações  adimensionais,  utilizam‐se  os 
seguintes parâmetros adimensionais: 
 
ݔכ ൌ ௫
௅
; ݕכ ൌ ௬
௅
; ݑכ ൌ ௨
௏ಮ
; ݒכ ൌ ௩
௏ಮ
;  ݁ ݌כ ൌ ௣
ఘ௏ಮ
మ        (4) 
 
em que L é um comprimento de referência e  ஶܸ é uma velocidade de referência. 
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2 
 
Substituindo as equações (4) nas equações (1), (2) e (3): 
௏ಮ
௅
డ௨כ
డ௫כ
൅ ௏ಮ
௅
డ௩כ
డ௬כ
ൌ 0          (5) 
ఘ௏ಮమ
௅
ቀݑכ డ௨
כ
డ௫כ
൅ ݒכ డ௨
כ
డ௬כ
ቁ ൌ െఘ௏ಮ
మ
௅
డ௉כ
డ௫כ
൅ ఓ௏ಮ
௅మ
ቀడ
మ௨כ
డ௫כమ
൅ డ
మ௨כ
డ௬כమ
ቁ      (6) 
ఘ௏ಮమ
௅
ቀݑכ డ௩
כ
డ௫כ
൅ ݒכ డ௩
כ
డ௬כ
ቁ ൌ െߩ݃ െ ఘ௏ಮ
మ
௅
డ௉כ
డ௬כ
൅ ఓ௏ಮ
௅మ
ቀడ
మ௩כ
డ௫כమ
൅ డ
మ௩כ
డ௬כమ
ቁ    (7) 
Dividindo a equação (5) por  ஶܸ/ܮ e as equações (6) e (7) por ߩ ஶܸଶ/ܮ: 
డ௨כ
డ௫כ
൅ డ௩
כ
డ௬כ
ൌ 0            (8) 
ݑכ డ௨
כ
డ௫כ
൅ ݒכ డ௨
כ
డ௬כ
ൌ െ డ௉
כ
డ௫כ
൅ ఓ
ఘ௏ಮ௅
ቀడ
మ௨כ
డ௫כమ
൅ డ
మ௨כ
డ௬כమ
ቁ      (9) 
ݑכ డ௩
כ
డ௫כ
൅ ݒכ డ௩
כ
డ௬כ
ൌ െ ௚௅
௏ಮ
మ െ
డ௉כ
డ௬כ
൅ ఓ
ఘ௏ಮ௅
ቀడ
మ௩כ
డ௫כమ
൅ డ
మ௩כ
డ௬כమ
ቁ      (10) 
As equações (8), (9) e (10) são as formas adimensionais das equações originais (1), 
(2) e (3). As equações (9) e (10) contêm um número adimensional, 
ఓ
ఘ௏ಮ௅
, que é o 
inverso  de  um  número  adimensional  denominado  Número  de  Reynolds,  em 
frente aos termos de segunda ordem  (viscosos). As equações  (9) e (10) também 
contêm um outro coeficiente adimensional, 
௚௅
௏ಮ
మ , para os termos da gravidade. 
Da teoria das equações diferenciais, sabemos que a forma matemática da solução 
de tais equações é muito sensível aos valores dos coeficientes das equações. Estas 
equações  nos  informam  que  a  solução  e,  portanto,  a  configuração  real  do 
escoamento que elas descrevem, depende dos valores dos dois coeficientes. 
Se 
ఓ
ఘ௏ಮ௅
 é muito pequeno (isto é, o Número de Reynolds é alto), as diferenciais de 
segunda ordem,  representando  as  forças  viscosas,  podem  ser desconsideradas, 
pelo menos na maior parte do escoamento, e nos deparamos com a  forma das 
equações de Euler. Diz‐se “na maior parte do escoamento” porque sabemos que, 
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3 
 
na realidade, para este caso teremos uma camada  limite na qual existem efeitos 
significativos de viscosidade. 
Matemática:  perigoso  desprezar  derivadas  de  segunda  ordem  ou  superior, 
mesmo que os coeficientes  sejam de pequena ordem de magnitude, porque ao 
reduzir a ordem da equação, condições de contorno são perdidas! 
Portanto, se 
ఓ
ఘ௏ಮ௅
 é grande ou pequeno, as forças viscosas serão significativas ou 
não, respectivamente. Se 
௚௅
௏ಮ
మ  é grande ou pequeno, pode‐se prever se as forças da 
gravidade serão significativas ou não, respectivamente. 
Condições  de  contorno  adimensionalizadas:  originam  outros  coeficientes 
adimensionais! 
 
Equações adimensionais: compreensão dos fenômenos físicos e identificação das 
forças dominantes. 
Dois  escoamentos  geometricamente  semelhantes,  mas  em  escalas  diferentes, 
satisfazendo as equações (8), (9) e (10) (ex., modelo e protótipo): as soluções das 
equações somente terão os mesmos resultados se os dois escoamentos tivessem 
os  mesmo  valores  para  os  dois  coeficientes  adimensionais,  isto  é,  se  os 
escoamentos  apresentassem  a  mesma  importância  relativa  da  gravidade,  das 
forças de viscosidade e das forças de inércia. 
Formulação adimensional: ponto de partida de métodos numéricos. 
Como  encontrar  agrupamentos  adimensionais  apropriados  para  descrição  de 
fenômenos físicos? → Análise dimensional 
 
 
 
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4 
 
 
 
Fenômenos em Mecânica dos Fluidos:  dependência  de  parâmetros 
geométricos e do escoamento!! 
 
Força de arrasto sobre esfera lisa imersa em escoamento:  dependência  de 
que parâmetros? 
Tamanho da esfera?  → Diâmetro D 
Velocidade do fluido?  → V 
Viscosidade do fluido?  → μ 
Densidade do fluido?  → ρ 
 
Pode‐se escrever:    ܨ ൌ ݂ሺܦ, ܸ, ߤ, ߩሻ 
 
Formula‐se  o  problema  de  determinação  de  força  de  arrasto  para  uma  esfera 
estacionária em  função de quantidades que  são  controláveis e mensuráveis em 
laboratório! 
 
Para cada parâmetro selecionado ser  influente,  teríamos que gerar uma grande 
quantidade de dados experimentais, pois o número de experimentos necessários 
para que os dados sejam estatisticamente representativos seria exorbitante  (em 
torno de 104 experimentos!), mesmo  sendo o  fenômeno de  arrasto  sobre uma 
esfera relativamente simples. 
 
Felizmente, não há a necessidade de se fazer todos estes experimentos! 
 
Os  dados  de  arrasto  sobre  uma  esfera  lisa  podem  ser  expressos  como  uma 
simples relação entre dois parâmetros adimensionais na forma 
 
ܨ
ߩܸଶܦଶ
ൌ ݂ ൬
ߩܸܦ
ߤ
൰ 
 
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Com  isto,  o  número  de  experimentos  a  se  realizar  seria  aproximadamente  10! 
Somente o parâmetro 
ఘ௏஽
ఓ
 deve ser avaliado neste caso! 
Teorema  Pi  de  Buckingham:  procedimento  formalizado  para  deduzir  grupos 
adimensionais  apropriados  para  um  problema  de mecânica  dos  fluidos  ou  de 
engenharia. 
 
Teorema Pi de Buckingham → enunciado da relação entre uma  função expressa 
em  termos  de  parâmetros  dimensionais  e  uma  função  correlata  expressa  em 
termos de parâmetros adimensionais. 
 
Problema  físico:  o  parâmetro  dependente  é  função  de  n‐1  parâmetros 
independentes → pode‐se expressar a relação entre as variáveis como: 
 
ݍଵ ൌ ݂ሺݍଵ,  ݍଶ, ݍଷ,ڮ , ݍ௡ሻ 
 
em  que  q1  é  o  parâmetro  dependente,  e  q2,  q3,  ...,  qn  são  os  n‐1  parâmetros 
independentes.  Matematicamente,  pode‐se  expressar  a  relação  funcional  na 
forma equivalente 
 
݃ሺݍଵ,  ݍଶ, ݍଷ,ڮ , ݍ௡ሻ ൌ 0 
 
O Teorema Pi de Buckingham declara que: dada uma relação entre n parâmetros 
da  forma ݃ሺݍଵ,  ݍଶ, ݍଷ,ڮ , ݍ௡ሻ ൌ 0, podem‐se  agrupar os n parâmetros em n‐m 
razões  adimensionais  independentes,  ou  parâmetros  Π,  expressos  na  forma 
funcional por 
 
ܩሺΠଵ,  Πଶ,ڮ , Π௡ି௠ሻ ൌ 0 
ou 
Πଵ ൌ ܩଵሺΠଶ,  Πଷ,ڮ , Π௡ି௠ሻ 
 
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6 
 
O  número  m  é,  em  geral,  mas  não  sempre,  igual  ao  número  mínimo  r  de 
dimensões independentes necessárias para especificar as dimensões de todos os 
parâmetros q1, q2, q3, ..., qn. 
 
 
Determinação dos grupos Π 
 
Ex. 1. 
Conforme  visto,  a  força  de  arrasto,  F,  sobre  uma  esfera  lisa  em  escoamento 
depende da velocidade relativa, V, do diâmetro da esfera, D, da massa específica 
do  fluido,  ρ  e  da  viscosidade  do  fluido,  μ.  Obter  um  conjunto  de  grupos 
adimensionais que possam ser usados para correlacionar dados experimentais. 
 
Dados:  ܨ ൌ ݂ሺܦ, ܸ, ߤ, ߩሻ 
Solução: 
1. F, V, D, ρ e μ: n = 5 parâmetros dimensionais 
2. Selecionar as dimensões primárias M, L e t: r = 3 dimensões primárias 
 
F  V  D  ρ  μ 
ܯܮ
ݐଶ
 
ܮ
ݐ
 
ܮ  ܯ
ܮଷ
 
ܯ
ܮݐ
 
3. Selecionar como parâmetros repetentes ρ, V e D: 
m = r = 3 parâmetros repetentes 
4. n – m = 2 grupos adimensionais serão formados: 
Πଵ ൌ ρୟVୠDୡF    e     ൬
M
Lଷ
൰
ୟ
൬
L
t
൰
ୠ
ሺLሻୡ ൬
ML
tଶ
൰ ൌ M଴L଴t଴ 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
EMA 091 D ‐ MECÂNICA DOS FLUIDOS  ‐Profa. Adriana Silva França 
 
7 
 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
ܽ ൅ 1 ൌ 0
െ3ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ ൅ 1 ൌ 0
െܾ െ 2 ൌ 0
      
ܽ ൌ െ1
ܿ ൌ െ2
ܾ ൌ െ2
    Portanto, Πଵ ൌ
ி
ఘ௏మ஽మ
 
 
De modo análogo, 
Πଶ ൌ ρୢVୣD୤µ    e     ൬
M
Lଷ
൰
ୢ
൬
L
t
൰
ୣ
ሺLሻ୤ ൬
M
Lt
൰ ൌ M଴L଴t଴ 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
݀ ൅ 1 ൌ 0
െ3݀ ൅ ݁ ൅ ݂ െ 1 ൌ 0
െ݁ െ 1 ൌ 0
      
݀ ൌ െ1
݂ ൌ െ1
݁ ൌ െ1
    Portanto, Πଶ ൌ
ఓ
ఘ௏஽
 
 
Verificando‐se as dimensões, conclui‐se que Π1 e Π2 são adimensionais! 
 
A relação funcional buscada é Πଵ ൌ ݂ሺΠଶሻ, ou seja, 
 
ܨ
ߩܸଶܦଶ
ൌ ݂ ൬
ߤ
ߩܸܦ
൰ 
 
Ex.2. 
A queda de pressão Δp para escoamento permanente,  incompressível e viscoso, 
através de um tubo retilíneo horizontal depende do comprimento do tubo,  l, da 
velocidade média,  തܸ  , da viscosidade, μ, do diâmetro do tubo, D, da densidade do 
fluido, ρ, e da altura média da rugosidade do tubo, e. Determinar um conjunto de 
grupos  adimensionais  que  possa  ser  usado  para  correlacionar  os  parâmetros 
influentes. 
 
Dados:  ∆݌ ൌ ݂ሺ݈, ܦ, തܸ , ߤ, ߩ, ݁ሻ 
Solução: 
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8 
 
1. Δp,  തܸ , D, ρ, μ, ݈ e ݁: n = 7 parâmetros dimensionais 
2. Selecionar as dimensões primárias M, L e t: r = 3 dimensões primárias 
 
∆࢖  ࢂഥ  D  ρ  μ  ࢒  ࢋ 
ܯ
ܮݐଶ
 
ܮ
ݐ
 
ܮ  ܯ
ܮଷ
 
ܯ
ܮݐ
 
ܮ  ܮ 
3. Parâmetros repetentes ρ,  തܸ  e D: 
m = r = 3 parâmetros repetentes 
4. n – m = 4 grupos adimensionais serão formados: 
ߎଵ ൌ ߩ௔ തܸ௕ܦ௖∆݌    ݁     ൬
ܯ
ܮଷ
൰
௔
൬
ܮ
ݐ
൰
௕
ሺܮሻ௖ ൬
ܯ
ܮݐଶ
൰ ൌ ܯ଴ܮ଴ݐ଴ 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
ܽ ൅ 1 ൌ 0
െ3ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ െ 1 ൌ 0
െܾ െ 2 ൌ 0
      
ܽ ൌ െ1
ܾ ൌ െ2
ܿ ൌ 0
    Portanto, Πଵ ൌ
∆௣
ఘ௏ഥమ
 
De modo análogo, 
ߎଶ ൌ ߩௗ തܸ௘ܦ௙ߤ    ݁     ൬
ܯ
ܮଷ
൰
ௗ
൬
ܮ
ݐ
൰
௘
ሺܮሻ௙ ൬
ܯ
ܮݐ
൰ ൌ ܯ଴ܮ଴ݐ଴ 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
݀ ൅ 1 ൌ 0
െ3݀ ൅ ݁ ൅ ݂ െ 1 ൌ 0
െ݁ െ 1 ൌ 0
      
݀ ൌ െ1
݂ ൌ െ1
݁ ൌ െ1
    Portanto, Πଶ ൌ
ఓ
ఘ௏ഥ஽
 
Para Π3: 
ߎଷ ൌ ߩ௚ തܸ௛ܦ௜݈    ݁     ൬
ܯ
ܮଷ
൰
௚
൬
ܮ
ݐ
൰
௛
ሺܮሻ௜ሺܮሻ ൌ ܯ଴ܮ଴ݐ଴ 
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9 
 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
݃ ൌ 0
െ3݃ ൅ ݄ ൅ ݅ ൅ 1 ൌ 0
െ݄ ൌ 0
      
݃ ൌ 0
݄ ൌ 0
݅ ൌ െ1
     Portanto, Πଷ ൌ
௟
஽
 
 
Para Π4: 
ߎସ ൌ ߩ௝ തܸ௞ܦ௟݁    ݁     ൬
ܯ
ܮଷ
൰
௝
൬
ܮ
ݐ
൰
௞
ሺܮሻ௟ሺܮሻ ൌ ܯ଴ܮ଴ݐ଴ 
Equacionando os expoentes de M, L e t: 
ܯ:
ܮ:
ݐ:
  
݆ ൌ 0
െ3݆ ൅ ݇ ൅ ݈ ൅ 1 ൌ 0
െ݇ ൌ 0
      
݆ ൌ 0
݇ ൌ 0
݈ ൌ െ1
     Portanto, Πସ ൌ
௘
஽
 
 
Verificando‐se as dimensões, conclui‐se que Π1, Π2, Π3 e Π4 são adimensionais! 
 
A relação funcional buscada é Πଵ ൌ ݂ሺΠଶ, Πଷ, Πସሻ, ou seja, 
 
∆݌
ߩ തܸଶ
ൌ ݂ ቆ
ߤ
ߩ തܸܦ
,
݈
ܦ
,
݁
ܦ
ቇ 
 
   
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10 
 
Grupos adimensionais relevantes na Mecânica dos Fluidos 
 
O  entendimento  do  significado  físico  de  grupos  adimensionais  melhora  a 
percepção dos fenômenos que se estudam em Mecânica dos Fluidos. 
 
As forças encontradas nos fluidos em escoamentos: de inércia, de viscosidade, de 
pressão, de tensão superficial e de compressibilidade. 
 
A razão entre duas forças quaisquer será adimensional!!! 
 
Podemos expressar cada uma das forças como se segue: 
ܨ݋ݎçܽ ݀݁ ݅݊éݎܿ݅ܽ ן ߩܸଶܮଶ 
ܨ݋ݎçܽ ݒ݅ݏܿ݋ݏܽ ൌ ߬ܣ ൌ ߤ
݀ݑ
݀ݕ
ܣ ן ߤ
ܸ
ܮ
ܮଶ ൌ ߤܸܮ 
ܨ݋ݎçܽ ݀݁ ݌ݎ݁ݏݏã݋ ן ሺ∆݌ሻܣ ן ሺ∆݌ሻܮଶ 
ܨ݋ݎçܽ ݀݁ ݃ݎܽݒ݅݀ܽ݀݁ ൌ ݉݃ ן ݃ߩܮଷ 
ܨ݋ݎçܽ ݀݁ ݐ݁݊ݏã݋ ݏݑ݌݁ݎ݂݈݅ܿ݅ܽ ൌ ߪܮ 
ܨ݋ݎçܽ ݀݁ ܿ݋݉݌ݎ݁ݏݏܾ݈݅݅݅݀ܽ݀݁ ൌ ܧ௩ܣ ן ܧ௩ܮଶ 
As  forças  de  inércia  são  de  suma  relevância  na  maioria  dos  problemas  de 
mecânica dos  fluidos. A  razão entre as  forças de  inércia e cada uma das outras 
anteriormente  listadas  leva  à  formação  de  cinco  grupos  adimensionais 
fundamentais encontrados na mecânica dos fluidos. 
Número de Reynolds, Re:  
ܴ݁ ൌ
ߩܸܮ
ߤ
 
Em que L é um comprimento característico descritivo da geometria do campo de 
escoamento. 
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11 
 
Re é a razão entre forças de inércia e forças viscosas! 
Re  é  usado  como  critério  para  determinação  do  regime  de  escoamento: 
escoamentos com Re elevado, em que as forças de inércia predominam, são, em 
geral turbulentos; e escoamentos com Re baixos, em que as forças viscosas têm 
efeitos significativos, são típicos de escoamentos laminares. 
 
Número de Euler, Eu: 
ܧݑ ൌ
∆݌
1
2 ߩܸ
ଶ
 
em  que  ∆݌  é  a  pressão  local menos  a  pressão  da  corrente  livre,  e  ρ  e  V  são 
propriedades do escoamento na corrente livre (não perturbado). 
Eu é a razão entre forças de pressão e forças inércia! 
O Número de Euler é comumente chamado de coeficiente de pressão, Cp. 
 
Número de Froude, Fr: 
ܨݎ ൌ
ܸ
ඥ݃ܮ
 
Fr é a razão entre forças de inércia e forças de gravidade! 
 
ቆܨݎଶ ൌ
ܸଶ
݃ܮ
ൌ
ߩܸଶܮଶ
ߩ݃ܮଷ
ቇ 
   
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12 
 
Número de Cavitação, Ca: 
ܥܽ ൌ
݌ െ ݌௩
1
2 ߩܸ
ଶ
 
em que ݌ é a pressão na corrente líquida e ݌௩ é a pressão de vapor do líquido na 
temperatura de teste. 
Quanto  menor  o  número  de  cavitação,  maior  a  probabilidade  de  ocorrer 
cavitação. Este fenômeno é quase sempre indesejável. 
Número de Weber, We: 
ܹ݁ ൌ
ߩܸଶܮ
ߪ
 
em que σ é a tensão superficial do líquido. 
We é a razão entre forças de inércia e forças de tensão superficial! 
O valor do Número de Weber é um  indicativo da existência e da  freqüência de 
ondas capilares em uma superfície livre. 
Número de Mach, M: 
ܯ ൌ
ܸ
ܿ
 
em que V é a velocidade do escoamento e c é a velocidade do som naquele meio. 
ܯ ൌ
ܸ
ܿ
ൌ
ܸ
ට݀݌݀ߩ
ൌ
ܸ
ටܧ௩ߩ
  ՜   ܯଶ ൌ
ߩܸଶܮଶ
ܧ௩ܮଶ
 
M é a razão entre forças de inércia e forças de compressibilidade! 
Parâmetro  chave  que  caracteriza  os  efeitos  de  compressibilidade  em  um 
escoamento. 
EMA 091 D ‐ MECÂNICA DOS FLUIDOS  ‐  Profa. Adriana Silva França 
 
13 
 
Semelhança de escoamento e estudos de modelos 
Para ser de utilidade, um  teste de modelo deve resultar em dados que possam, 
por meio  de  transposição  de  escalas,  fornecerem  forças,  momentos  e  cargas 
dinâmicas que existiriam no protótipo em tamanho real. 
Que  condições  devem  ser  atendidas  para  assegurar  a  semelhança  entre  os 
escoamentos de modelo e de protótipo: 
1. Modelo e protótipo devem ser geometricamente semelhantes! 
A semelhança geométrica requer que ambos tenham a mesma forma geométrica 
e  que  todas  as  dimensões  lineares  do  modelo  sejam  relacionadas  com  as 
correspondentes dimensões do protótipo por um fator de escala constante. 
2.  Modelo  e  protótipo  devem  apresentar  escoamentos  cinematicamente 
semelhantes! 
Dois escoamentos são cinematicamente semelhantes quando as velocidades em 
pontos correspondentes têm a mesma direção e sentido, diferindo apenas em sua 
magnitude  por  um  fator  de  escala  constante.  Escoamentos  cinematicamente 
semelhantes devem ser também geometricamente semelhantes! 
A semelhança cinemática exige que os regimes de escoamento sejam os mesmos 
para o modelo e para o protótipo. 
Quando  dois  escoamentos  apresentam  distribuições  de  forças  tais  que  tipos 
idênticos de forças são paralelos e relacionam‐se em magnitude por um fator de 
escala constante em todos os pontos correspondentes entre modelo e protótipo, 
então os dois escoamentos são dinamicamente semelhantes. 
 
Para estabelecer as condições necessárias para a completa semelhança dinâmica, 
todas as forças de relevância na situação do escoamento devem ser consideradas. 
As condições de teste do modelo devem ser estabelecidas de tal forma que todas 
as forças de relevância estejam relacionadas pelo mesmo fator de escala entre os 
escoamentos de modelo e de protótipo. 
EMA 091 D ‐ MECÂNICA DOS FLUIDOS  ‐  Profa. Adriana Silva França 
 
14 
 
Quais  são, então, as  condições para assegurar a  semelhança dinâmica entre os 
escoamentos de modelo e de protótipo? 
 
Deve‐se garantir que cada grupo adimensional independente tem o mesmo valor 
para os escoamentos do modelo e do protótipo. 
 
Para  o  problema  de  força  de  arrasto  sobre  um  esfera  lisaem  escoamento,  o 
teorema Pi de Buckingham previu a relação funcional 
 
ܨ
ߩܸଶܦଶ
ൌ ݂ ൬
ߤ
ߩܸܦ
൰ 
 
Portanto,  considerando escoamentos de modelo  e protótipo  em  torno de uma 
esfera  (escoamentos  geometricamente  semelhantes!),  estes  serão  também 
dinamicamente  semelhantes  se  o  valor  do  parâmetro  independente, 
ఘ௏஽
ఓ
,  for 
repetido entre o escoamento do modelo e do protótipo, isto é, 
 
൬
ߩܸܦ
ߤ
൰
௠௢ௗ௘௟௢
ൌ ൬
ߩܸܦ
ߤ
൰
௣௥௢௧ó௧௜௣௢
 
Além disso, se 
ܴ݁௠௢ௗ௘௟௢ ൌ ܴ݁௣௥௢௧ó௧௜௣௢ 
 
então o valor do parâmetro dependente, 
ி
ఘ௏మ஽మ
, será duplicado entre o modelo e 
o protótipo, isto é, 
൬
ܨ
ߩܸଶܦଶ
൰
௠௢ௗ௘௟௢
ൌ ൬
ܨ
ߩܸଶܦଶ
൰
௣௥௢௧ó௧௜௣௢
 
 
E os  resultados determinados a partir do estudo do modelo podem  ser usados 
para a predição do arrasto sobre o protótipo em tamanho real. 
 
 
 
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15 
 
Ex.3. 
O arrasto sobre um transdutor de sonar (Figura 1) deve ser previsto com base em 
testes em túnel de vento. O protótipo, uma esfera de 1 ft de diâmetro, deve ser 
rebocado a 5 nós (milhas náuticas por hora) na água do mar a 5 oC. O modelo tem 
6 in de diâmetro. Determine a velocidade de teste requerida no ar. Se a força de 
arrasto  sobre  o modelo  nas  condições  de  teste  for  5,58  lbf,  estime  a  força  de 
arrasto sobre o protótipo. 
 
computador
transdutor de sonar
Barco
 
 
Figura 1. Barco com transdutor de sonar em destaque. 
 
Solução: 
Uma vez que o protótipo opera em água e o teste de modelo deve ser feito com 
ar, os resultados serão úteis somente quando não houver efeito de cavitação no 
escoamento  do  protótipo  e  não  houver  efeito  de  compressibilidade  nos  testes 
com o modelo. Sob estas condições, 
 
ܴ݁௠௢ௗ௘௟௢ ൌ ܴ݁௣௥௢௧ó௧௜௣௢ 
 ou 
൬
ߩܸܦ
ߤ
൰
௠௢ௗ௘௟௢
ൌ ൬
ߩܸܦ
ߤ
൰
௣௥௢௧ó௧௜௣௢
 
 
Para assegurar a semelhança dinâmica. 
EMA 091 D ‐ MECÂNICA DOS FLUIDOS  ‐  Profa. Adriana Silva França 
 
16 
 
Para a água do mar a 5 oC, ρ = 1,99 slug/ft3 e ν = 1,69×10‐5 ft2/s. Nas condições do 
protótipo, 
 
௣ܸ ൌ 5 ݊óݏ ൌ 8,44 ݂ݐ/ݏ 
e 
ܴ݁௣ ൌ
௣ܸܦ௣
ߥ௣
ൌ
8,44 ൈ 1
1,69 ൈ 10ିହ
ൌ 4,99 ൈ 10ହ 
 
As condições do teste com o modelo devem reproduzir este Número de Reynolds: 
 
ܴ݁௠ ൌ
௠ܸܦ௠
ߥ௠
ൌ 4,99 ൈ 10ହ 
 
Para o ar na condição padrão, ρ = 0,00238 slug/ft3 e ν = 1,57×10‐4 ft2/s. O túnel de 
vento deve ser operado a 
 
௠ܸ ൌ ܴ݁௠
ߥ௠
ܦ௠
ൌ
4,99 ൈ 10ହ ൈ 1,57 ൈ 10ିସ
0,5
ൌ 157 ݂ݐ/ݏ 
 
Esta  velocidade  é  baixa  o  suficiente  para  desprezar  os  efeitos  de 
compressibilidade. 
 
Nestas  condições,  os  escoamentos  de modelo  e  protótipo  são  dinamicamente 
semelhantes. Portanto, 
 
൬
ܨ
ߩܸଶܦଶ
൰
௠௢ௗ௘௟௢
ൌ ൬
ܨ
ߩܸଶܦଶ
൰
௣௥௢௧ó௧௜௣௢
 
 
e  
ܨ௣ ൌ ܨ௠
ߩ௣
ߩ௠
௣ܸ
ଶ
௠ܸ
ଶ
ܦ௣ଶ
ܦ௠ଶ
ൌ
5,58 ൈ 1,99 ൈ ሺ8,44ሻଶ ൈ ሺ1ሻଶ
0,00238 ൈ ሺ157ሻଶ ൈ ሺ0,5ሻଶ
ൌ 53,9 ݈ܾ݂ 
 
 
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2) Resolver os seguintes problemas: 
 
1) Experimentos mostram que a queda de pressão devida ao escoamento 
através de uma  contração  súbita num duto  circular pode  ser expressa 
como  ∆݌ ൌ ݌ଵ െ ݌ଶ ൌ ݂ሺߩ, ߤ, ܸ, ݀, ܦሻ.  Considerando  ߩ, ܸ, ܦ  como 
parâmetros repetentes, obtenha os adimensionais resultantes. 
 
2) A tensão de cisalhamento na parede, ߬௪, numa camada limite, depende 
da  distância  em  relação  à  borda  de  ataque  do  objeto,  x,  da  massa 
específica, ߩ, da viscosidade do  fluido, ߤ, e da velocidade de  corrente 
livre do escoamento, U. Obtenha os grupos adimensionais e expresse a 
relação funcional entre eles. 
 
3) Determine  um  conjunto  de  parâmetros  adimensionais  para  organizar 
dados de um experimento de laboratório no qual um tanque é drenado 
por meio de um orifício, partindo de uma altura  inicial de  líquido ho. O 
tempo,  ߬,  para  esvaziar  o  tanque  depende  do  seu  diâmetro,  D,  do 
diâmetro  do  orifício,  d,  da  aceleração  da  gravidade,  g,  da  massa 
específica  do  líquido,  ߩ,  e  da  viscosidade  do  líquido,  ߤ.  Quantos 
parâmetros  adimensionais  resultarão?  Quantas  variáveis  repetentes 
devem ser selecionadas para determinar os parâmetros adimensionais? 
Determine o parâmetro Π que contém a viscosidade. 
 
4) Observe  na  figura  um  jato  de  ar  descarregado  verticalmente. 
Experimentos mostram  que  uma  bola  colocada  no  jato  fica  suspensa 
EMA 091 D ‐ MECÂNICA DOS FLUIDOS  ‐  Profa. Adriana Silva França 
 
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numa posição estável. A altura de equilíbrio da bola no jato depende de 
D,  d,  V, ߩ, ߤ  e  W  (peso  da  bola).  Determine  os  parâmetros  Π  que 
caracterizam este fenômeno 
 
5) Considere  a  bomba  de  jato  mostrada.  Uma  análise  dimensional  é 
necessária  para  organizar  os  dados  de  desempenho  medidos  para  a 
bomba  de  jato.  A  dependência  funcional  é  ∆݌ ൌ ݂ሺߩ, ߤ, ܸ, ݀, ܦ, ܳሻ. 
Determine  o  número  de  grupos  adimensionais  necessários  para 
caracterizar  a  bomba  de  jato.  Obtenha  os  grupos  adimensionais  que 
contenham a vazão em volume, Q, e a viscosidade, ߤ. 
 
6) Uma aeronave deve operar a 20 m/s no ar em  condições padrão. Um 
modelo é construído na escala 1/20 e testado num túnel de vento com o 
ar  à mesma  temperatura  a  fim  de  determinar  o  arrasto. Que  critério 
deve ser considerado para se obter semelhança dinâmica? Se o modelo 
for testado a 75m/s, que pressão deve ser usada no túnel de vento? Se a 
força de arrasto sobre o modelo for 250N, qual será a força de arrasto 
sobre o protótipo? 
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7) Considere uma esfera de superfície  lisa, de diâmetro D,  imersa em um 
fluido  que  se desloca  com  velocidade V. A  força de  arrasto  sobre  um 
balão meteorológico com 3m de diâmetro, movendo‐se no ar a 1,5 m/s, 
deve  ser  calculada  partindo‐se  de  dados  de  teste.  O  teste  deve  ser 
realizado na água, utilizando um modelo com 50 mm de diâmetro. Sob 
condições de semelhança dinâmica, a força de arrasto sobre o modelo é 
de 3,78N. Avalie a velocidade de  teste do modelo e a  força de arrasto 
esperada sobre o balão real.