Aula 03 - Anuidades de Sobrevivência (Constantes)

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Matemática Atuarial I – Período 2011/01 
 
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Professora: Tayana Rigueira 
 
ANUIDADES DE SOBREVIVÊNCIA 
 
1 – Capital Diferido 
A mais simples operação de seguro de sobrevivência é relativa a um capital diferido 
comprado através de prêmio único. Trata-se de verificar quanto vale hoje (qual o valor 
atual) um determinado capital pagável no prazo de � anos, desde que o segurado (�) 
esteja vivo. 
Denomina-se esse valor atual como prêmio único puro dessa operação. O adjetivo puro 
decorre de que esse prêmio único é calculado sem levar em conta os gastos necessários 
a realização da operação e o adjetivo único decorre de que esse prêmio é pago de uma 
só vez na contratação da operação. 
Os fatores que contribuem para o cálculo deste prêmio são: 
• capital segurado diferido; 
• fator de desconto financeiro, que traz a valor presente o referido capital; 
• probabilidade de que dentro de � anos (�) ainda esteja vivo. 
Denomina-se ��� o valor atual (prêmio único puro) que corresponde a um capital 
diferido de 1 u.m.. Sendo 	� o valor atual financeiro (fator de desconto financeiro) de 1 
u.m. pagável dentro de � anos e sendo 
�� a probabilidade de que dentro de � anos (�) 
esteja vivo, temos que: 
��� = 	� ∗ 
�� = 	� ∗ 
���
� 
conhecido como valor atual atuarial ou fator de desconto atuarial. 
O inverso do fator de desconto financeiro, 1 	�� = (1 + �)�, é conhecido como fator de 
capitalização financeira. Da mesma forma, temos que: 
1��� = 1	� ∗ 
�� = (1 + �)� ∗ 
�
��� 
corresponde ao valor futuro atuarial ou fator de capitalização atuarial. 
Para facilitar os cálculos se imaginou a construção de tábuas auxiliares, chamadas de 
tábuas de comutação visto que transformam os cálculos. 
Temos: 
��� = 	� ∗ 
�� = 	�	� ∗ 	� ∗ 
���
� = 	��� ∗ 
���	� ∗ 
� = ������ 
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onde �� = 	� ∗ 
� e ���� = 	��� ∗ 
���, ou seja, ���� = 	��� ∗ 
��� 
A primeira coluna da tábua de comutações é formada por todos os produtos �� desde � = 0 até � = � (sendo � a primeira idade onde não há mais sobreviventes). 
2 – Anuidades de Sobrevivência com Pagamentos Anuais 
Considere uma anuidade de sobrevivência de 1 u.m. pagável anualmente a (�) numa 
série de pagamentos anuais de 1 u.m. começando no final do primeiro ano se (�) estiver 
vivo e continuando ao longo da duração da sua vida (vitaliciamente). O valor atual 
(atuarial) dessa série de pagamentos, denotado por ��, pode ser expresso como o 
somatório dos valores de uma série de capitais diferidos puros: 
�� = ��� + ��� +⋯+ ������� = � ����������� 
Este somatório também pode ser escrito de outras formas: 
�� = � 	� ∗ 
���������� = � ������
�����
��� 
Definindo uma nova comutação: 
�� = � ������������ 
a fórmula de �� torna-se: 
�� = ������ 
A anuidade �� é conhecida como renda vitalícia unitária postecipada. 
Outro tipo de anuidade de sobrevivência tem pagamento limitado num período máximo 
determinado. Esta é uma anuidade (renda unitária) de sobrevivência (postecipada) 
temporária por � anos, a qual provê pagamentos no final de cada ano, durante � anos, 
se (�) estiver vivo. O valor atual dessa série de pagamentos, denotado por ��:�|""", pode ser 
expresso como: 
��:�|""" =� ������� =�������
�
��� 
Visto que 
��������� = ���� − ������ 
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temos que: 
��:�|""" = ���� − �������� 
Um terceiro tipo de anuidade de sobrevivência é a anuidade vitalícia diferida por � anos. 
Essa anuidade provê a (�) pagamentos vitalícios a partir da idade � + $ + 1. O valor 
atual dessa série de pagamentos, denotada por ���| , pode ser expresso como: 
���| = � ������������� = � ������
�����
����� = �������� 
ou 
���| = �� − ��:�|""" = ������ − ���� − �������� = �������� 
ou 
���| = ��� ∗ ���� = ������ ∗ ���������� = �������� 
Uma série de pagamentos anuais a (�) a partir da idade � + $ + 1 e até a idade � + $ +% 
enquanto (�) sobreviver é chamada de anuidade de sobrevivência diferida por � anos e 
temporária por & anos ou de anuidade de sobrevivência interceptada. O valor atual 
dessa série de pagamentos, denotado por 
���|' = � �����'����� = � ������
��'
����� = ������ − �����'���� 
ou 
���|' = ���| − ����'| = �������� − �����'���� = ������ − �����'���� 
As anuidades de sobrevivência definidas até aqui consideram o pagamento no final do 
ano ou período. Qualquer anuidade deste tipo é denominada de anuidade imediata, ou 
como mais usual, anuidade postecipada. Quando a série de pagamentos começa no 
início do ano ou período, a anuidade é chamada de anuidade vencida, ou como mais 
usual, anuidade antecipada e, sua denotação difere da postecipada pela colocação de 
um trema, por exemplo,	�)�. 
Quando os pagamentos são feitos anualmente, o pagamento da anuidade antecipada 
começa um ano antes que a correspondente anuidade postecipada. As seguintes 
fórmulas são imediatamente verificadas: 
�)� = ���� �)�:�|""" = �� − ������ 
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�)��| = ������ �)��|' = ���� − �����'�� 
As seguintes relações entre as anuidades postecipadas e anuidades antecipadas são 
evidentes: 
�)� = 1 + �� �)�:�|""" = 1 + ��:���|""""""" 
�)��| = �����| �)��|' = �����|' 
Eventualmente as anuidades de sobrevivência correspondem a pagamentos a serem 
feitos anualmente no final da fração 1 *� do ano. Essas anuidades podem ser vistas 
como anuidades antecipadas diferidas por 1 *� anos. O valor atual,	 �)�� +� , , desse tipo de 
anuidade pode ser considerado aproximadamente igual ao valor obtido por interpolação 
linear entre �)� e ��. Assim: 
�)�� +� , ≅ .1 − 1*/ �)� + 1* �� 
ou 
�)�� +� , ≅ �)� − 1* 
3 – Anuidades Pagáveis de Forma Fracionária no Ano 
O objetivo é calcular uma anuidade igual a 1 u.m. paga fracionadamente a razão de 1 %� 
no final de cada sub-período 1 %� do ano, de forma vitalícia. 
Sabemos que: 
�)� = 1 + �� 
�)��| = �� 
Consideraremos agora uma renda anual postecipada igual a unidade que venha a ser 
antecipada pela fração (% − 1) %� do ano, ou seja, uma renda antecipada igual a 
unidade que venha a ser diferida pelo prazo complementar 1 %� do ano. Por interpolação 
linear podemos representar essas rendas da seguinte forma: 
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3 �)��| = �� +% −%% = ���)�('��) '� 4 = �� +% − (% − 1)% = �� + 1%……�)�� '� , = �� +% − (2)% = �� +% − 2%�)�� '� , = �� +% − (1)% = �� +% − 1%
 
Efetuando a soma dessas parcelas, temos & rendas iguais a 1 pagas no final de cada 
sub-periodo 1 %� do ano. Representando por ��(') a renda total anual igual a 1 paga à 
razão de 1 %� no final de cada período 1 %� do ano, temos que as & rendas anteriores são 
equivalentes a & vezes a renda que consideramos. Portanto, podemos escrever que: 
% ∗ ��(') = �� + .�� + 1%/ + ⋯+ .�� +% − 2% / + .�� +%− 1% / 
% ∗ ��(') = % ∗ �� + 1 + 2 +⋯+ (% − 2) + (% − 1)% 
Aplicando a fórmula da soma de uma P.A., onde �� = 1, �� = % − 1 e $ = % − 1, obtemos 
o seguinte somatório: 
7 = $2 ∗ (�� + ��) = % − 12 ∗ (1 +% − 1) = (% − 1) ∗ %2 
Dessa forma, obtemos: 
% ∗ ��(') = % ∗ �� + (% − 1) ∗ %2 ∗ % ∴ ��(') = �� +% − 12 ∗ % 
Se a anuidade fracionária fosse antecipada, teríamos, por interpolação linear, que: 
�)�(') = ��(') + 1% = �� +% − 12 ∗ % + 1% = �� +% + 12 ∗ % 
�)�(') = �)� − 1 + % + 12 ∗ % = �)� −% − 12 ∗ % 
Se a renda unitária for diferida, teremos que: 
��(')�| = ��� ∗ ����(') = ��� ∗ .���� +% − 12 ∗ %/ 
��(')�| = ��� ∗ ���� + ��� ∗ % − 12 ∗ % ∴ ��(')�| = ���| +% − 12 ∗ % ∗ ��� 
(renda postecipada) 
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�)�(')�| = ��� ∗ �)���(') = ��� ∗ .���� +% + 12 ∗ %/ 
�)�(')�| = ��� ∗ ���� + ��� ∗ % + 12 ∗ % ∴ ��(')�| = ���| +% + 12 ∗ % ∗ ��� 
(renda antecipada) 
Logo: 
�)�(')�| − ��(')�| = .% − 12 ∗ % −% + 12 ∗ %/ ∗ ��� = 1% ∗ ��� 
Se a renda unitária for temporária,obtemos imediatamente pela seguinte relação: 
��:�|"""(') = ��(') − ��(')�| = .�� +% − 12 ∗ %/ − . ���| +% − 12 ∗ % ∗ ��� / 
��:�|"""(') = 9�� − ���| : + % − 12 ∗ % −% − 12 ∗ % ∗ ��� 
��:�|"""(') = ��:�|""" +%− 12 ∗ % ∗ 91 − ��� : 
(renda postecipada) 
�)�:�|"""(') = ��:�|""" +%+ 12 ∗ % ∗ 91 − ��� : 
(renda antecipada) 
4 – Anuidades Contínuas 
É um caso especial de anuidades de sobrevivência. Se reduzirmos cada vez mais a 
fração do tempo que separa dois pagamentos consecutivos, os pagamentos vão 
ocorrendo cada vez com maior freqüência, e menores, visto que o total pago no ano deve 
ser 1. Se o intervalo entre 2 pagamentos consecutivos tende a zero, temos uma 
anuidade chamada de contínua. 
4.1 – Vitalícia 
;�"� = lim'→@ .�� +% − 12 ∗ %/ = lim'→@ .�� + 12 − 12 ∗ %/ = �� + 12�)"� = lim'→@ .�� +% + 12 ∗ %/ = lim'→@ .�� + 12 + 12 ∗ %/ = �� + 12 
Logo, 
�"� = �)"� = �� + 12 
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4.2 – Diferida 
�"��| = �)"��| = ���| + 12 ∗ ��� 
4.3 – Temporária 
�"�:�|""" = �)"�:�|""" = ��:�|""" + 12 ∗ 91 − ��� : 
5 – Comutações (Anuidades) 
Em termos de comutações, as anuidades de sobrevivência fracionadas mais utilizadas 
têm as expressões a seguir. 
5.1 – Postecipadas 
��(') = ���� +% − 12 ∗ % ∗ ���� 
��(')�| = ������ +% − 12 ∗ % ∗ ������ 
��:�|"""(') = ���� − ������ +% − 12 ∗ % ∗ (�� − ����)�� 
��:+|"""(')�| = ������ − �����+�� +% − 12 ∗ % ∗ (���� − �����+)�� 
5.2 – Antecipadas 
�)�(') = �� −% − 12 ∗ % ∗ ���� 
�)�(')�| = ���� −% − 12 ∗ % ∗ ������ 
�)�:�|"""(') = �� − ���� −% − 12 ∗ % ∗ (�� − ����)�� 
�)�:+|"""(')�| = ���� − �����+ −% − 12 ∗ % ∗ (���� − �����+)��