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Unidade I
ESTUDOS DISCIPLINARES 
Resolução de Problemas – Formação Matemática I
Profa. Alessandra Teixeira
Orientações de estudo
1. Leitura da questão.
2. Introdução teórica do conceito.
3. Retomada da questão com a resposta correta.
4. Análise da questão.
5. Indicações bibliográficas.
Questão 1
Entre os procedimentos envolvidos na modelagem de uma
situação-problema estão sua tradução para a linguagem
matemática e a resolução do problema utilizando-se de
conhecimentos matemáticos. Nessa perspectiva, um professor
propôs a seguinte situação-problema para seus alunos:
Escolha o nome para uma empresa, que possa ser lido da
mesma forma, de qualquer um dos lados de uma porta de
vidro transparente.
Questão 1 (continuação) 
A solução desse problema pressupõe encontrar:
a) Letras do alfabeto que sejam simétricas com relação a um
ponto.
b) Letras do alfabeto que tenham simetria com relação a um
eixo horizontal.
c) Letras do alfabeto que tenham simetria com relação a um
eixo vertical.
d) Palavras que sejam simétricas com relação a um ponto.
e) Palavras que sejam simétricas com relação a um eixo
horizontal.
Introdução teórica: situações-problema – conceitos e 
principais objetivos 
As situações-problema surgem de casos relacionados com
questões cotidianas ou vinculados a diversas áreas do
conhecimento. A resolução de situações-problema auxilia
na construção de conceitos, procedimentos e atitudes
relacionados à Matemática.
Segundo Dante (2003), situações-problema retratam casos
do dia a dia. Procura-se matematizar uma situação concreta,
organizando dados em tabelas, traçando gráficos, fazendo
operações etc. Há problemas que exigem a pesquisa e o
levantamento de dados. Podem ser apresentados como projetos
a serem desenvolvidos usando conhecimentos e princípios de
outras áreas que não a Matemática, despertando o interesse
dos discentes.
Introdução teórica: situações-problema – conceitos e 
principais objetivos 
O professor deve considerar que a teoria e a prática precisam
estar conectadas e os objetivos a serem alcançados devem estar
bem claros quando propuser uma situação-problema. Desse
modo, o aluno poderá tomar as suas próprias decisões e fazer
uso dos dispositivos didáticos fornecidos pelo professor. O ideal
seria que todas as situações-problema fossem um processo de
construção entre os alunos e o professor, desde a formulação e
a escrita do problema (linguagem verbalizada versus linguagem
matemática da situação), a discussão em grupo para obter a
resolução, até a descoberta de novos conhecimentos.
Introdução teórica: situações-problema – conceitos e 
principais objetivos 
O papel do professor é fazer as devidas intervenções a fim
de que ele e seus alunos busquem, juntos, a solução de uma
situação. O aluno deve contribuir com seus conhecimentos
prévios e suas vivências cotidianas. Segundo Nuñez (2004),
“como características da situação-problema, consideramos a
necessidade de representar algo novo na atividade intelectual
do estudante e a possibilidade de motivar a atividade deste na
tarefa de busca e construção do conhecimento”.
Introdução teórica: situações-problema – conceitos e 
principais objetivos 
As situações-problema têm como meta fazer com que o aluno
aprenda conceitos e técnicas e utilize a linguagem matemática
para comunicar ideias. Trata-se de evidenciar os processos de
pensamento e de aprendizagem dos conteúdos matemáticos. De
acordo com Valdés e Ramírez (2000), o professor alcançará seus
objetivos se proporcionar ao aluno:
 situações-problema próximas da sua realidade;
 ajuda necessária para a compreensão dos enunciados,
exercitando a capacidade mental e refletindo sobre o próprio
processo de pensamento;
Introdução teórica: situações-problema – conceitos e 
principais objetivos 
 estímulo necessário para que o aluno confie em si mesmo e
use a sua criatividade no intuito de que ele explore e descubra
novas estratégias de resoluções;
 preparação para resolver situações-problema da Matemática
ou de cunho científico, que não estejam apenas na escola, mas
sim no seu cotidiano;
 tempo necessário para que ele elabore seu pensamento na
busca de soluções.
Diante do exposto, verificamos a importância da participação
do professor, uma vez que cabe a ele a mediação de todo
o processo.
Retomada da questão 1 – com a resposta
Entre os procedimentos envolvidos na modelagem de uma
situação-problema, estão sua tradução para a linguagem
matemática e a resolução do problema, utilizando-se
conhecimentos matemáticos. Nessa perspectiva, um professor
propôs a seguinte situação-problema para seus alunos:
Escolha o nome para uma empresa que possa ser lido da
mesma forma de qualquer um dos lados de uma porta de
vidro transparente.
Retomada da questão 1 – com a resposta
A solução desse problema pressupõe encontrar:
a) Letras do alfabeto que sejam simétricas com relação a um
ponto.
b) Letras do alfabeto que tenham simetria com relação a um
eixo horizontal.
c) Letras do alfabeto que tenham simetria com relação a um
eixo vertical.
d) Palavras que sejam simétricas com relação a um ponto.
e) Palavras que sejam simétricas com relação a um eixo
horizontal.
Resposta
A solução desse problema pressupõe encontrar:
a) Letras do alfabeto que sejam simétricas com relação a um
ponto.
b) Letras do alfabeto que tenham simetria com relação a um
eixo horizontal.
c) Letras do alfabeto que tenham simetria com relação a um
eixo vertical.
d) Palavras que sejam simétricas com relação a um ponto.
e) Palavras que sejam simétricas com relação a um eixo
horizontal.
Vejamos a explicação – análise da questão
c) Letras do alfabeto que tenham simetria com relação a um
eixo vertical.
c) Afirmativa correta.
Justificativa
Para que uma letra possa ser vista da mesma forma de qualquer
um dos lados de uma porta de vidro, ao rotacioná-la, deverá
manter essa forma. Logo, dever ser simétrica com relação a um
eixo vertical.
Indicações bibliográficas
CARVALHO, M. Problemas? Mas que problemas?! Estratégias
de resolução de problemas matemáticos em sala de aula.
Petrópolis: Vozes, 2005.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de
matemática. 1ª a 5ª séries. 12. ed. São Paulo: Ática, 2003.
NUNÊZ, I. B.; RAMALHO, B. L. O uso de situações-problema no
ensino de ciências. In.: Fundamentos do ensino-aprendizagem
das Ciências Naturais e da Matemática: O novo Ensino Médio.
Porto Alegre: Sulina, 2004.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro:
Interciências, 1986.
VALDÉS, J. E. N.; RAMÍREZ, M. C. La resolución de problemas
en la escuela. Algunas reflexiones. Educação Matemática em
Revista-RS. Ano II, n. 2, nov. 2000. 51- 65 p.
INTERVALO
Questão 2
Com o objetivo de chamar a atenção para o desperdício de
água, um professor propôs a seguinte tarefa para seus alunos
da 6.ª série do ensino fundamental:
Sabe-se que, em média, um banho de 15 minutos consome 136
L de água, o consumo de água de uma máquina de lavar roupas
é de 75 L em uma lavagem completa e uma torneira pingando
consome 46 L de água por dia. Considerando o número de
banhos e o uso da máquina de lavar, compare a quantidade de
água consumida por sua família durante uma semana com a
quantidade de água que é desperdiçada por 2 torneiras
pingando nesse período. Analise e comente os resultados.
Questão 2 (continuação) 
No que se refere ao trabalho do aluno na resolução do problema
proposto, assinale a opção incorreta.
a) Elabora modelos matemáticos para resolver problemas.
b) Analisa criticamente a situação-problema, levando em conta
questões sociais.
c) Pode representar os resultados graficamente.
d) Aciona estratégias de resolução de problemas.
e) Examina consequências do uso de diferentes definições.
Introdução teórica: tipos de situações-problema no 
ensino de Matemática 
Segundo Carvalho (2005), as situações-problema podem ser
classificadas de acordo com os critérios a seguir.
 Não convencionaisou heurísticas: para resolver esse tipo de
problema há a necessidade da elaboração de um raciocínio
mais complexo, pois as operações não estão evidenciadas
no enunciado.
 Do cotidiano ou de aplicação: envolvem o contexto real do
aluno e o levantamento de dados, a confecção de gráficos,
tabelas e desenhos e a aplicação das operações.
Introdução teórica: tipos de situações-problema no 
ensino de Matemática 
O professor deve verificar se a redação do enunciado está
adequada, observando se os dados fornecidos são necessários
e suficientes e se as situações propostas são consistentes.
Não é necessário apresentar ao aluno um enunciado
demasiadamente extenso e incluir dados supérfluos. A
linguagem deve ser acessível, de acordo com as vivências
dos alunos, priorizando a clareza e exigindo a capacidade
de raciocínio e o uso de conhecimentos adquiridos dentro
e fora da escola.
Introdução teórica: resolução de situações-problema 
Para Polya (1986), a proposta de um problema é um desafio e um
descobrimento, uma vez que não existe um método rígido que o
aluno possa sempre seguir para encontrar a solução. O autor
afirma que existem quatro passos de pensamento: compreensão
do problema, estabelecimento de um plano de resolução,
execução do plano e retrospecto, conforme segue.
 Compreensão do problema: é a primeira etapa de resolução,
na qual se deve interpretar o que sugere a situação-problema,
extrair os dados relevantes, verificar o que está sendo
perguntando e o que precisa ser usado em termos de
conhecimentos matemáticos.
Introdução teórica: resolução de situações-problema 
 Estabelecimento do plano de resolução: essa segunda etapa
exige que o aluno faça mentalmente ou por escrito a conexão
― teoria-prática-problema. O aluno pode traçar vários planos
ou estratégias e trocar ideias com os demais componentes
do grupo.
 Execução do plano: nessa terceira etapa, o aluno executa o
plano elaborado na etapa anterior, com o propósito de tentar
obter a solução.
 Retrospecto: o aluno verifica se a solução que encontrou
é realmente a que foi solicitada pelo enunciado. O
professor deve ser um agente participante, fazendo as
interferências necessárias.
Introdução teórica: resolução de situações-problema 
A resolução de situações-problema deve ser uma prática
frequente nas aulas de Matemática, pois contribui para o ensino
de conceitos, tornando a aprendizagem prazerosa e baseada na
conscientização dos processos de pensamento e na relação
entre a formalização matemática e a resolução de problemas
do cotidiano.
Retomada da questão 2 – com a resposta
Com o objetivo de chamar a atenção para o desperdício de
água, um professor propôs a seguinte tarefa para seus alunos
da 6.ª série do ensino fundamental:
Sabe-se que, em média, um banho de 15 minutos consome 136
L de água, o consumo de água de uma máquina de lavar roupas
é de 75 L em uma lavagem completa e uma torneira pingando
consome 46 L de água por dia. Considerando o número de
banhos e o uso da máquina de lavar, compare a quantidade de
água consumida por sua família durante uma semana com a
quantidade de água que é desperdiçada por 2 torneiras
pingando nesse período. Analise e comente os resultados.
Retomada da questão 2 – com a resposta
No que se refere ao trabalho do aluno na resolução do problema
proposto, assinale a opção incorreta.
a) Elabora modelos matemáticos para resolver problemas.
b) Analisa criticamente a situação-problema, levando em conta
questões sociais.
c) Pode representar os resultados graficamente.
d) Aciona estratégias de resolução de problemas.
e) Examina consequências do uso de diferentes definições.
Resposta
No que se refere ao trabalho do aluno na resolução do problema
proposto, assinale a opção incorreta.
a) Elabora modelos matemáticos para resolver problemas.
b) Analisa criticamente a situação-problema, levando em conta
questões sociais.
c) Pode representar os resultados graficamente.
d) Aciona estratégias de resolução de problemas.
e) Examina consequências do uso de diferentes definições.
Vamos analisar cada uma das respostas?
a) Elabora modelos matemáticos para resolver problemas.
a) Alternativa correta.
Justificativa
Com a proposta desse tipo de problema, o aluno elabora
modelos matemáticos para a sua resolução.
Vamos analisar cada uma das respostas?
b) Analisa criticamente a situação-problema levando em conta
questões sociais.
b) Alternativa correta.
Justificativa
Com a proposta desse tipo de problema, o aluno analisa
criticamente a situação-problema, levando em conta aspectos
sociais e discutindo questões relativas à cidadania e ao
meio ambiente.
Vamos analisar cada uma das respostas?
c) Pode representar os resultados graficamente.
c) Alternativa correta.
Justificativa
Os resultados gerados a partir do problema podem ser
utilizados na construção de gráficos que facilitam a proposição
de conjecturas pelos alunos.
Vamos analisar cada uma das respostas?
d) Aciona estratégias de resolução de problemas.
d) Alternativa correta.
Justificativa
Por ser uma situação-problema, a proposta lançada pelo
professor faz com que os alunos acionem estratégias de
resolução de problemas.
Vamos analisar cada uma das respostas?
e) Examina consequências do uso de diferentes definições.
e) Alternativa incorreta.
Justificativa
Essa situação-problema não dá suporte aos alunos para o
exame de consequências do uso de diferentes definições
matemáticas. A situação-problema proposta exibe rica polêmica
para diferentes questões quantitativas que influenciam o
contexto social e a realidade atual.
Indicações bibliográficas
CARVALHO, M. Problemas? Mas que problemas?! Estratégias
de resolução de problemas matemáticos em sala de aula.
Petrópolis: Vozes, 2005.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de
matemática. 1ª a 5ª séries. 12. ed. São Paulo: Ática, 2003.
NUNÊZ, I. B.; RAMALHO, B. L. O uso de situações-problema no
ensino de ciências. In.: Fundamentos do ensino-aprendizagem
das Ciências Naturais e da Matemática: O novo Ensino Médio.
Porto Alegre: Sulina, 2004.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro:
Interciências, 1986.
VALDÉS, J. E. N.; RAMÍREZ, M. C.. La resolución de problemas
en la escuela. Algunas reflexiones. Educação Matemática em
Revista-RS. Ano II, n. 2, nov. 2000. 51- 65 p.
INTERVALO
Questão 3
Julgue os itens a seguir, relativos ao ensino e à aprendizagem
de porcentagens.
I. O ensino de porcentagem deve ter o contexto sociocultural
como motivação de aprendizagem.
II. O primeiro contato dos estudantes com o cálculo percentual
deve ocorrer quando se estudam juros compostos.
III. O ensino de frações centesimais e o de frações de
quantidade devem ser articulados com o ensino de
porcentagens.
IV. O conteúdo de porcentagens favorece um trabalho integrado
entre diferentes blocos de conteúdos, tais como números,
medidas, geometria e tratamento da informação.
Questão 3 (continuação) 
Estão certos apenas os itens:
a) I e II.
b) II e III.
c) III e IV.
d) I, II e III.
e) I, III e IV.
Introdução teórica: o ensino de frações 
A Matemática faz parte de variadas situações do dia a dia, como
a organização de atividades de trabalho e de estudo, as
contagens, os cálculos relativos a salários, pagamentos, gastos
e custos e a organização de horários. A partir dessa perspectiva,
há diversas alternativas que proporcionam ao aluno melhor
compreensão sobre frações, além de estimular os professores na
minimização das dificuldades no ensino dos números
fracionários.
O ensino de frações deve ser gradativo e relacionado,
simultaneamente, com outros conteúdos, como os números
decimais e as porcentagens.
Introdução teórica: o ensino de porcentagem 
É importante a realização de um estudo sobre a aquisição do
conceito de porcentagem, explorando os diferentes registros
de representação: numéricos (percentual, fracionário, decimal
e proporcional), geométrico, em línguanatural e em tabelas e
gráficos, com o objetivo de conceituar porcentagem enquanto
proporção, abordando aspectos relativos ao sentido e ao
significado operatório (OLIVEIRA, 2011).
Ao conceito matemático de proporções corresponde,
segundo Piaget, um esquema psicológico, o esquema da
proporcionalidade, que é uma das características do pensamento
no período operatório formal.
Introdução teórica: o ensino de porcentagem 
Há pesquisas que sugerem o estudo da transferência de
aprendizagem no contexto de sala de aula, investigando o
efeito das interações entre diferentes conteúdos, com a
finalidade de desenvolver estratégias mais eficientes de
resolução de problemas. Esses estudos mostram diferentes
aspectos relativos à proporção: proporção como conteúdo
matemático, proporção como ferramenta para o cálculo de
porcentagem e proporção como obstáculo epistemológico para
o conceito de função. Esse momento deve ser uma oportunidade
para a troca de experiências sobre a resolução de problemas e
desafios matemáticos, motivando os estudantes.
Retomada da questão 3 – com a resposta
Julgue os itens a seguir, relativos ao ensino e à aprendizagem
de porcentagens.
I. O ensino de porcentagem deve ter o contexto sociocultural
como motivação de aprendizagem.
II. O primeiro contato dos estudantes com o cálculo percentual
deve ocorrer quando se estudam juros compostos.
III. O ensino de frações centesimais e o de frações de quantidade
devem ser articulados com o ensino de porcentagens.
IV. O conteúdo de porcentagens favorece um trabalho integrado
entre diferentes blocos de conteúdos, tais como números,
medidas, geometria e tratamento da informação.
Retomada da questão 3 – com a resposta
Estão certos apenas os itens:
a) I e II.
b) II e III.
c) III e IV.
d) I, II e III.
e) I, III e IV.
Resposta
Estão certos apenas os itens:
a) I e II.
b) II e III.
c) III e IV.
d) I, II e III.
e) I, III e IV.
Vamos analisar cada uma das respostas?
I. O ensino de porcentagem deve ter o contexto sociocultural
como motivação de aprendizagem.
I. Alternativa correta.
Justificativa
O contexto sociocultural é uma motivação de aprendizagem
para qualquer conteúdo em qualquer nível de ensino, pois o
aprendizado ganha significado.
Vamos analisar cada uma das respostas?
II. O primeiro contato dos estudantes com o cálculo percentual
deve ocorrer quando se estudam juros compostos.
II. Alternativa incorreta.
Justificativa
O primeiro contato dos estudantes com o cálculo de
porcentagens não deve ocorrer quando se estudam juros
compostos. Esse contato deve vir desde a infância, já no
aprendizado de frações e de proporções, passando pelo
estudo de juros simples antes do estudo de juros compostos.
Vamos analisar cada uma das respostas?
III. O ensino de frações centesimais e o de frações de
quantidade devem ser articulados com o ensino de
porcentagens.
III. Alternativa correta.
Justificativa
O ensino de porcentagens deve ser articulado com vários
conteúdos, como contagens, frações de quantidades e frações
centesimais, mostrando semelhanças entre os diversos
conceitos e definições matemáticas.
Vamos analisar cada uma das respostas?
IV. O conteúdo de porcentagens favorece um trabalho integrado
entre diferentes blocos de conteúdos, tais como números,
medidas, geometria e tratamento da informação.
IV. Alternativa correta.
Justificativa
O conteúdo de porcentagens favorece um trabalho integrado
entre diversos blocos, como números, medidas, geometria e
tratamento da informação. Mas, para isso, o professor tem de
ser bem preparado para saber explorar os conteúdos e articulá-
los da forma mais proveitosa possível.
Indicações bibliográficas
CASTRO, D. M. et. al. Projeto de investigação sobre o ensino de 
frações. Disponível em: 
<http://ensino.univates.br/~4iberoamericano/trabalhos/trabalho02
5.pdf>. Acesso em 22 jun. 2011. 
OLIVEIRA, K. R. D. Resolução de problemas como estratégia do 
ensino da porcentagem. Disponível em: 
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1957
-8.pdf>. Acesso em 22 jun. 2011. 
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro:
Interciências, 1986.
INTERVALO
Questão 4
Na discussão relativa a funções exponenciais, um professor
propôs a seguinte questão: para que valores não nulos de k e m
a função f(x) = mekx é uma função crescente?
Como estratégia de trabalho para que os alunos respondam à
questão proposta, é adequado e suficiente o professor sugerir
que os alunos:
Questão 4 (continuação) 
a) Considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletrônica
para calcular valores da função f em muitos pontos e
comparem os valores obtidos.
b) Considerem m = 1 e k = 1, m = -1 e k = 1, esbocem os gráficos
da função f e, em seguida, comparem esses dois gráficos.
c) Formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deve
esboçar o gráfico de uma das funções y = m.ex, para m = 1, 2,
3, 4 ou 5 e comparem, em seguida, os gráficos encontrados.
d) Esbocem os gráficos das funções y=ex e y=e-x e analisem o
que acontece com esses gráficos quando a variável e a função
forem multiplicadas por constantes positivas ou negativas.
e) Construam uma tabela com os valores de f para x número
inteiro variando de -5 a 5, fixando m = 1 e k = 1 e, em seguida,
comparem os valores encontrados.
Introdução teórica: a função exponencial 
A função exponencial é definida como
 e .
Para representarmos graficamente uma função exponencial,
podemos atribuir alguns valores para x, montar uma tabela com
os respectivos valores de f(x), localizar os pontos no plano
cartesiano e traçar a curva.
As funções exponenciais podem ser classificadas como
crescentes ou decrescentes, de acordo com o fato de a base
a ser maior ou menor que 1.
Introdução teórica: a função exponencial 
Se a > 1, temos uma função exponencial crescente, qualquer
que seja o valor real de x: se x aumenta, f(x) também aumenta.
Graficamente, temos a curva mostrada na figura 1.
Introdução teórica: a função exponencial 
Se 0 < a < 1, temos uma função exponencial decrescente em
todo o seu domínio: se x aumenta, f (x) diminui. Graficamente,
temos a curva mostrada na figura 2.
Introdução teórica: a função exponencial 
A função exponencial não apresenta raiz real, ou seja, o seu
gráfico não toca ou corta o eixo das abscissas (eixo x).
Para verificarmos o que acontece com a função exponencial cuja
base é maior do que 1 ( a > 1) quando multiplicamos a função e o
expoente por números reais, podemos considerar a função de
forma geral y = f(x) = m.ekx. Vejamos as considerações a seguir.
a) Se m > 0 e k > 0 , a função é crescente.
b) Se m > 0 e k < 0, a função é decrescente.
c) Se m < 0 e k > 0, a função é decrescente.
d) Se m < 0 e k < 0, a função é crescente.
Introdução teórica: a função exponencial 
Logo, se m e k têm mesmos sinais, a função é crescente; e se
m e k têm sinais contrários, a função é decrescente.
A função exponencial é útil como modelo de situações em que
a taxa de crescimento (ou decrescimento) de uma grandeza é
proporcional à quantidade existente em cada momento. Vejamos
alguns exemplos: o crescimento populacional, o resfriamento de
um corpo em função do tempo, a desintegração radiativa e a
absorção de um medicamento em função do tempo.
Introdução teórica: a função exponencial 
No estudo da função exponencial, o aluno deve ser capaz de:
a) identificar exponenciais crescentes e decrescentes;
b) resolver problemas que envolvam funções do tipo y =
f(x) = m.akx;
c) reconhecer uma progressão geométrica como uma função da
forma y = f(x) = m.akx, definida no conjunto dos números
inteiros positivos;
d) reconhecer e aplicar a propriedade fundamental da função
exponencial de transformar somas em produtos;
Introdução teórica: a função exponencial 
e) determinar as constantes envolvidas na expressão da função
exponencial a partir de dois pontos dados;
f) resolver equações exponenciais.
A função exponencial pode teruma forma especial, cuja base é
o número irracional de Euler e, aproximadamente igual a 2,718.
Essa função pode ser escrita como y = f(x) = ex.
Retomada da questão 4 – com a resposta
Na discussão relativa a funções exponenciais, um professor
propôs a seguinte questão: para que valores não nulos de k e m
a função f(x) = mekx é uma função crescente?
Como estratégia de trabalho para que os alunos respondam à
questão proposta, é adequado e suficiente o professor sugerir
que os alunos.
Retomada da questão 4 – com a resposta
a) Considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletrônica
para calcular valores da função f em muitos pontos e
comparem os valores obtidos.
b) Considerem m = 1 e k = 1, m = -1 e k = 1, esbocem os gráficos
da função f e, em seguida, comparem esses dois gráficos.
c) Formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deve
esboçar o gráfico de uma das funções y = m.ex, para m = 1, 2,
3, 4 ou 5 e comparem, em seguida, os gráficos encontrados.
d) Esbocem os gráficos das funções y = ex e y = e-x e analisem o
que acontece com esses gráficos quando a variável e a função
forem multiplicadas por constantes positivas ou negativas.
e) Construam uma tabela com os valores de f para x número
inteiro variando de -5 a 5, fixando m = 1 e k = 1 e, em seguida,
comparem os valores encontrados.
Resposta
a) Considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletrônica
para calcular valores da função f em muitos pontos e
comparem os valores obtidos.
b) Considerem m = 1 e k = 1, m = -1 e k = 1, esbocem os gráficos
da função f e, em seguida, comparem esses dois gráficos.
c) Formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deve
esboçar o gráfico de uma das funções y = m.ex, para m = 1, 2,
3, 4 ou 5 e comparem, em seguida, os gráficos encontrados.
d) Esbocem os gráficos das funções y = ex e y = e-x e analisem o
que acontece com esses gráficos quando a variável e a função
forem multiplicadas por constantes positivas ou negativas.
e) Construam uma tabela com os valores de f para x número
inteiro variando de -5 a 5, fixando m = 1 e k = 1 e, em seguida,
comparem os valores encontrados.
Vamos analisar cada uma das respostas?
a) Considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletrônica
para calcular valores da função f em muitos pontos e
comparem os valores obtidos.
a) Alternativa incorreta.
Justificativa
Para analisar se a função exponencial é crescente ou
decrescente, não basta utilizar uma planilha eletrônica para
calcular valores da função f em muitos pontos e compará-los. O
importante é variar os valores de m e k na função exponencial
do tipo y = f(x) = m.akx e, ainda, usar valores de a nos intervalos
a > 1 e 0 < a < 1.
Vamos analisar cada uma das respostas?
b) Considerem m = 1 e k = 1, m = -1 e k = 1, esbocem os gráficos
da função f e, em seguida, comparem esses dois gráficos.
b) Alternativa incorreta.
Justificativa
Para analisar se a função exponencial é crescente ou
decrescente, não basta considerar os valores de m e k
como somente m = 1 e k = 1 e m = -1 e k = 1 em uma função
exponencial do tipo y = f(x) = m.akx. O importante é verificar o
comportamento da função quando m e k têm sinais contrários
e quando m e k têm mesmo sinais.
Vamos analisar cada uma das respostas?
c) Formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deve
esboçar o gráfico de uma das funções y = m.ex, para m = 1, 2,
3, 4 ou 5 e comparem, em seguida, os gráficos encontrados.
c) Alternativa incorreta.
Justificativa
Não adianta os alunos variarem o valor de m utilizando somente
números positivos. Eles têm que variar os valores de m e k da
função exponencial do tipo y = f(x) = m.akx utilizando valores
positivos e negativos.
Vamos analisar cada uma das respostas?
d) Esbocem os gráficos das funções y = ex e y = e-x e analisem o
que acontece com esses gráficos quando a variável e a
função forem multiplicadas por constantes positivas ou
negativas.
d) Alternativa correta.
Justificativa
Os alunos devem esboçar os gráficos das funções y = f(x) = ex e
y = f(x) = e-x e analisar o que acontece com esses gráficos
quando a variável x e a função forem multiplicadas por
constantes positivas ou negativas, ou seja, multiplicadas,
respectivamente, por k e m, considerando-se a função
exponencial na forma y = f(x) = m.akx.
Vamos analisar cada uma das respostas?
e) Construam uma tabela com os valores de f para x número
inteiro variando de -5 a 5, fixando m = 1 e k = 1 e, em seguida,
comparem os valores encontrados.
e) Alternativa incorreta.
Justificativa
Os alunos devem verificar o comportamento da função
exponencial de forma geral y = f(x) = m.akx utilizando valores
positivos e negativos para m e k, e não fixando m e k. Fixando m
e k em 1, temos uma função crescente.
Indicações bibliográficas 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática: 2º grau. São
Paulo: FTD, 1992, v. 2.
MATEMÁTICA DIDÁTICA. Função exponencial. Disponível em: 
<http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.asp
x>. Acesso em 20 jun. 2011. 
ATÉ A PRÓXIMA!
Unidade I
ESTUDOS DISCIPLINARES
Resolução de Problemas – Formação Matemática I
Profa. Alessandra Teixeira
Orientações de estudo
1. Leitura da questão.
2. Introdução teórica do conceito.
3. Retomada da questão com a resposta correta.
4. Análise da questão.
5. Indicações bibliográficas.
Questão 5
A Matemática no Ensino Médio tem papel formativo – contribui
para o desenvolvimento de processos de pensamento e para a
aquisição de atitudes – e caráter instrumental – pode ser
aplicada às diversas áreas do conhecimento, mas deve ser vista
também como ciência, com suas características estruturais
específicas (OCNEM, com adaptações).
Questão 5 (continuação)
Ao planejar o estudo de funções no Ensino Médio, o(a)
professor(a) deve observar que:
a) o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros
dessas funções.
b) as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar
soma em produto.
c) as funções trigonométricas devem ser apresentadas após o
estudo das funções exponenciais.
d) a função quadrática é exemplo típico de comportamento de
fenômenos de crescimento populacional.
e) o estudo de funções polinomiais deve contemplar
propriedades de polinômios e de equações algébricas.
Introdução teórica: o conhecimento em Matemática 
A Matemática no Ensino Médio tem valor formativo, auxiliando a
estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo. Também
desempenha papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve
para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase
todas as atividades humanas.
Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o
desenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisição
de atitudes, capacitando o aluno a resolver problemas genuínos,
gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e
desprendimento para analisar e enfrentar situações novas,
propiciando a formação de uma visão ampla e científica da
realidade, a percepção da beleza e da harmonia e o
desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais
(PCNs do Ensino Médio, 2011).
Introdução teórica: o conhecimento em Matemática 
No que diz respeito ao caráter instrumental da Matemática no
Ensino Médio, esta deve ser vista pelo aluno como um conjunto
de técnicas e estratégias para serem aplicadas a outras áreas do
conhecimento e para a atividade profissional. Não se trata
de os alunos possuírem muitas e sofisticadas estratégias,
mas sim de desenvolverem a iniciativa e a segurança para
adaptá-las a diferentes contextos, usando-as adequadamente no
momento oportuno.
Introdução teórica: o conhecimento em Matemática 
É preciso que o aluno perceba a Matemática como um
sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem
de comunicação de ideias, permitindo modelar e interpretar
a realidade.
A Matemática no Ensino Médio não tem apenas o caráter
formativo ou instrumental, devendo ser vista como ciência, com
suas características estruturais específicas.É importante que o
aluno perceba que as definições, as demonstrações e os
encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir
novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem
para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas.
Retomada da questão 5 – com a resposta
A Matemática no Ensino Médio tem papel formativo – contribui
para o desenvolvimento de processos de pensamento e para a
aquisição de atitudes – e caráter instrumental – pode ser
aplicada às diversas áreas do conhecimento, mas deve ser vista
também como ciência, com suas características estruturais
específicas (OCNEM, com adaptações).
Retomada da questão 5 – com a resposta
Ao planejar o estudo de funções no Ensino Médio, o(a)
professor(a) deve observar que:
a) o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros
dessas funções.
b) as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar
soma em produto.
c) as funções trigonométricas devem ser apresentadas após o
estudo das funções exponenciais.
d) a função quadrática é exemplo típico de comportamento de
fenômenos de crescimento populacional.
e) o estudo de funções polinomiais deve contemplar
propriedades de polinômios e de equações algébricas.
Resposta
Ao planejar o estudo de funções no Ensino Médio, o(a)
professor(a) deve observar que:
a) o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros
dessas funções.
b) as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar
soma em produto.
c) as funções trigonométricas devem ser apresentadas após o
estudo das funções exponenciais.
d) a função quadrática é exemplo típico de comportamento de
fenômenos de crescimento populacional.
e) o estudo de funções polinomiais deve contemplar
propriedades de polinômios e de equações algébricas.
Vamos analisar cada uma das respostas?
a) o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar
os zeros dessas funções.
a) Alternativa incorreta.
Justificativa:
Não há zeros ou raízes para funções exponenciais.
Observe os gráficos na figura 1.
Vamos analisar cada uma das respostas?
Vamos analisar cada uma das respostas?
Vamos analisar cada uma das respostas?
a) o objetivo do estudo de exponenciais é encontrar
os zeros dessas funções.
a) Alternativa incorreta.
Justificativa:
Podemos verificar que as quatro curvas apresentadas na
figura 1 não tocam o eixo x (não existe solução, por
exemplo, para ex = 0 ), ou seja, não há zeros ou raízes para
funções exponenciais.
Vamos analisar cada uma das respostas?
b) as funções logarítmicas podem ser usadas para transformar
soma em produto.
b) Alternativa incorreta.
Justificativa:
As funções logarítmicas podem ser utilizadas para transformar
produto em soma, e não soma em produto.
O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos
fatores, tomados na mesma base, ou seja, logb(a.c) = logba +
logbc, com a > 0, c > 0 e 1 ≠ b > 0.
Vamos analisar cada uma das respostas?
Demonstração:
Substituindo (I) e (II) em (III), temos:
Dessa última igualdade:
Vamos analisar cada uma das respostas?
Vejamos um exemplo de aplicação: sabendo que log2 = 0,301 e
log3 = 0,477, determine o log6.
Utilizando a propriedade do logaritmo de um produto, fazemos:
log6 = log(2.3) = log2 + log3 = 0,301 + 0,477 = 0,778
Então, log6 = 0,778.
Vamos analisar cada uma das respostas?
c) as funções trigonométricas devem ser apresentadas
após o estudo das funções exponenciais.
c) Alternativa incorreta.
Justificativa:
As funções trigonométricas podem ser apresentadas
antes ou depois das funções exponenciais.
Vamos analisar cada uma das respostas?
d) a função quadrática é exemplo típico de comportamento
de fenômenos de crescimento populacional.
d) Alternativa incorreta.
Justificativa:
A função quadrática não é exemplo típico de comportamento de
fenômenos de crescimento populacional. Um exemplo típico de
gráfico que representa o fenômeno de crescimento populacional
é o gráfico de uma função exponencial, como o apresentado
na figura 2 a seguir.
Vamos analisar cada uma das respostas?
Vamos analisar cada uma das respostas?
e) o estudo de funções polinomiais deve contemplar
propriedades de polinômios e de equações algébricas.
e) Alternativa correta.
Justificativa:
O estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades
de polinômios e equações algébricas. A determinação dos zeros
ou das raízes de uma função polinomial exige a resolução de
uma equação.
Por exemplo, podemos calcular as raízes do polinômio de
terceiro grau dado por f(x) = x3 – 5x2 + 6x. Para tanto, fazemos:
x3 – 5x2 + 6x = 0.
Vamos analisar cada uma das respostas?
Podemos escrever:
Assim:
Vamos analisar cada uma das respostas?
O polinômio do terceiro grau apresentado tem como raízes
os elementos pertencentes ao conjunto solução V = {0, 2, 3}.
Observe na figura 3 a seguir que o gráfico da função polinomial
f(x) = x3 – 5x2 + 6x cruza o eixo x em três pontos,
cujas abscissas são as raízes da função.
Vamos analisar cada uma das respostas?
Indicações bibliográficas
MACHADO, N. J. Cidadania e educação. São Paulo:
Escrituras, 2002.
PCN Ensino Médio. Parâmetros Curriculares Nacionais
do Ensino Médio – Reflexões. Disponível em
<http://www.principiavalinhos.com.br/prof/pcn5.html>.
Acesso em 10 ago. 2011.
INTERVALO
Questão 6
Algumas civilizações utilizavam diferentes métodos para
multiplicar dois números inteiros positivos. Por volta de 1400
a.C., os egípcios utilizavam uma estratégia para multiplicar dois
números que consistia em dobrar e somar. Por exemplo, para
calcular 47 × 33, o método pode ser descrito do seguinte modo:
• escolha um dos fatores – por exemplo, 47;
• na 1ª linha de uma tabela, escreva o número 1 na 1ª coluna
e o fator escolhido na 2ª coluna;
• em cada linha seguinte da tabela, escreva o dobro dos números
da linha anterior até encontrar, na 1ª coluna, o menor número
cujo dobro seja maior ou igual ao outro fator – no caso, 33;
Questão 6 (continuação)
• selecione os números da 1ª coluna cuja soma seja igual a 33,
conforme indicado na tabela, ou seja, 1 + 32 = 33;
• adicione os números correspondentes da 2ª coluna,
ou seja, 47 + 1.504 = 1.551;
• tome como resultado da multiplicação o valor 1.551.
Com base nessas informações, analise as asserções a seguir.
Questão 6 (continuação)
Utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer
dois números inteiros positivos, porque todo número inteiro
positivo pode ser escrito como uma soma de potências de 2.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta:
a) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda
é uma justificativa correta da primeira.
b) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a
segunda não é uma justificativa correta da primeira.
c) A primeira asserção é uma proposição verdadeira e a
segunda é falsa.
d) A primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda é
verdadeira.
e) Ambas as asserções são proposições falsas.
Introdução teórica: a multiplicação egípcia 
Algumas civilizações utilizavam diferentes métodos para
multiplicar dois números inteiros positivos. Por volta de 1400
a.C., os egípcios usavam uma estratégia para multiplicar dois
números que consistia em dobrar e somar. Pelo método egípcio,
empregamos duas colunas para fazermos multiplicações. Por
exemplo, para calcularmos 17x8, na primeira coluna colocamos
duplicações a partir do um até um valor que não passe o
multiplicador (o dezessete); e, na segunda coluna, duplicações a
partir do multiplicando (o oito), conforme indicado a seguir.
Introdução teórica: a multiplicação egípcia 
Vejamos, abaixo, outro exemplo:
Introdução teórica: a multiplicação egípcia 
No papiro de Rhind, mostra-se o método utilizado pelos
egípcios para calcular 12x12:
Introdução teórica: a multiplicação egípcia 
Em ambas as colunas são feitas duplicações sucessivas,
ou seja:
Retomada da questão 6 – com a resposta
Algumas civilizações utilizavam diferentes métodos paramultiplicar dois números inteiros positivos. Por volta de 1400
a.C., os egípcios utilizavam uma estratégia para multiplicar dois
números que consistia em dobrar e somar. Por exemplo, para
calcular 47 × 33, o método pode ser descrito do seguinte modo:
• escolha um dos fatores – por exemplo, 47;
• na 1ª linha de uma tabela, escreva o número 1 na 1ª coluna
e o fator escolhido na 2ª coluna;
• em cada linha seguinte da tabela, escreva o dobro dos números
da linha anterior até encontrar, na 1ª coluna, o menor número
cujo dobro seja maior ou igual ao outro fator – no caso, 33;
Retomada da questão 6 – com a resposta
• selecione os números da 1ª coluna cuja soma seja igual a 33,
conforme indicado na tabela, ou seja, 1 + 32 = 33;
• adicione os números correspondentes da 2ª coluna,
ou seja, 47 + 1.504 = 1.551;
• tome como resultado da multiplicação o valor 1.551.
Com base nessas informações, analise as asserções a seguir.
Retomada da questão 6 – com a resposta
Utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer
dois números inteiros positivos, porque todo número inteiro
positivo pode ser escrito como uma soma de potências de 2.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta:
a) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda
é uma justificativa correta da primeira.
b) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a
segunda não é uma justificativa correta da primeira.
c) A primeira asserção é uma proposição verdadeira e a
segunda é falsa.
d) A primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda é
verdadeira.
e) Ambas as asserções são proposições falsas.
Resposta
Utilizando o método egípcio, é possível multiplicar quaisquer
dois números inteiros positivos, porque todo número inteiro
positivo pode ser escrito como uma soma de potências de 2.
A respeito dessa afirmação, assinale a opção correta:
a) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda
é uma justificativa correta da primeira.
b) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a
segunda não é uma justificativa correta da primeira.
c) A primeira asserção é uma proposição verdadeira e a
segunda é falsa.
d) A primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda é
verdadeira.
e) Ambas as asserções são proposições falsas.
Resolução da Questão
Quando os egípcios faziam 1 + 32 relacionando com 47 + 1.504,
estavam usando as propriedades multiplicativa e aditiva: 1 x 47
+ 32 x 47 = 47 + 1.504. Logo, as duas proposições apresentadas
são verdadeiras.
Indicações bibliográficas
A multiplicação dos egípcios. Disponível em
<http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/a-multiplicacao-
dos-egipcios.htm>. Acesso em 22 ago. 2011.
A multiplicação egípcia. Disponível em
<http://educamat.ese.ipcb.pt/0607/images/PDF/Mater_1C/sessao
_06_multiplicacao_egipcia.pdf>. Acesso em 22 ago. 2011.
INTERVALO
Questão 7
Um grupo de alunos de 7ª série resolveu brincar de fazer
cálculos utilizando uma calculadora não científica. Em
determinado momento, eles realizaram a seguinte sequência
de procedimentos:
Os alunos ficaram surpresos com o número que apareceu no
visor – “2.9999999996” – e resolveram questionar o professor
sobre o acontecido. Afinal, a resposta não deveria ser 3?
Questão 7 (continuação)
Assinale a opção que mais adequadamente descreve
um procedimento a ser adotado pelo professor:
a) Confrontar a resposta obtida com a de uma calculadora
científica, discutindo a diferença entre os conceitos de
números racionais, aproximações e números irracionais.
b) Dizer que a calculadora não científica comete erros e,
por isso, não deve ser utilizada na escola, mas apenas no
comércio, para se fazer contas simples, que não envolvam
cálculos aproximados.
c) Montar a expressão numérica que representa a situação,
mostrando que, na verdade, há erros procedimentais por
parte dos alunos ao operarem com a calculadora.
Questão 7 (continuação)
d) Provar que, se a calculadora não científica tivesse o dobro de
casas decimais, ao final, ela arredondaria para 3, dando a
resposta esperada.
e) Dizer que a calculadora científica faz os devidos
arredondamentos para que a resposta seja algebricamente
correta; por isso, é considerada “científica”.
Introdução teórica: a calculadora na sala de aula 
Usualmente, no âmbito escolar, associamos o uso da
calculadora à inibição do raciocínio ou à preguiça. Porém,
ao explorarem a calculadora, os estudantes podem desenvolver
habilidades vinculadas ao cálculo mental, à decomposição
e à estimativa.
As orientações didáticas para a utilização da calculadora
atendem a três aspectos básicos: desenvolvimento de conceitos
e habilidades de pensamento (análise, inferência e previsão),
resolução de problemas e atitudes frente ao ensino e
aprendizagem de Matemática.
Introdução teórica: a calculadora na sala de aula 
O uso da calculadora pode ser um meio para a busca de
soluções, funcionando como ferramenta para facilitar e agilizar
os cálculos, permitindo que as atenções do aluno sejam mais
destinadas à compreensão dos conceitos ou à estratégia de
resolução do problema.
As atividades com calculadora podem ser de natureza
investigativa. É possível verificar regularidades, investigar
propriedades dos números, realizar estimativas, formular
hipóteses e verificar resultados.
Introdução teórica: a calculadora na sala de aula 
O trabalho com a calculadora deve levar o aluno a refletir sobre
como e quando a usar, identificando os cálculos mais
apropriados para serem feitos na máquina. É importante que o
aluno faça estimativas prévias, favorecendo a determinação da
ordem da grandeza, e que seja capaz de avaliar os resultados
obtidos na calculadora.
Retomada da questão 7 – com a resposta
Um grupo de alunos de 7ª série resolveu brincar de fazer
cálculos utilizando uma calculadora não científica. Em
determinado momento, eles realizaram a seguinte sequência
de procedimentos:
Os alunos ficaram surpresos com o número que apareceu no
visor – “2.9999999996” – e resolveram questionar o professor
sobre o acontecido. Afinal, a resposta não deveria ser 3?
Retomada da questão 7 – com a resposta
Assinale a opção que mais adequadamente descreve
um procedimento a ser adotado pelo professor:
a) Confrontar a resposta obtida com a de uma calculadora
científica, discutindo a diferença entre os conceitos de
números racionais, aproximações e números irracionais.
b) Dizer que a calculadora não científica comete erros e,
por isso, não deve ser utilizada na escola, mas apenas no
comércio, para se fazer contas simples, que não envolvam
cálculos aproximados.
c) Montar a expressão numérica que representa a situação,
mostrando que, na verdade, há erros procedimentais por
parte dos alunos ao operarem com a calculadora.
Retomada da questão 7 – com a resposta
d) Provar que, se a calculadora não científica tivesse o dobro de
casas decimais, ao final, ela arredondaria para 3, dando a
resposta esperada.
e) Dizer que a calculadora científica faz os devidos
arredondamentos para que a resposta seja algebricamente
correta; por isso, é considerada “científica”.
Resposta
Assinale a opção que mais adequadamente descreve
um procedimento a ser adotado pelo professor:
a) Confrontar a resposta obtida com a de uma calculadora
científica, discutindo a diferença entre os conceitos de
números racionais, aproximações e números irracionais.
b) Dizer que a calculadora não científica comete erros e,
por isso, não deve ser utilizada na escola, mas apenas no
comércio, para se fazer contas simples, que não envolvam
cálculos aproximados.
c) Montar a expressão numérica que representa a situação,
mostrando que, na verdade, há erros procedimentais por
parte dos alunos ao operarem com a calculadora.
Resolução da Questão
Com a calculadora, ao fazermos , temos .
Se a máquina determina o valor de , temos para um
valor decimal finito.
Ao encontrarmos 3, podemos utilizar as propriedades dos
radicais nos programas da máquina.Ao encontrarmos
2,9999999996, estamos utilizando o produto de dois números
decimais finitos.
Resolução da Questão
É interessante observarmos que, se escrevermos
como infinitas casas decimais não periódicas e multiplicarmos o
resultado obtido pelo mesmo valor, teremos um número com
infinitas casas decimais tendendo a 3 (limite). Assim, estaremos
discutindo as diferenças entre os conceitos de números
racionais, irracionais e aproximações.
Indicações bibliográficas
Explorando o uso da calculadora no ensino de Matemática para
jovens e adultos. Disponível em
<http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_p
ublicados.asp?aux=Calculadoras#Anchor-JJ>. Acesso em 24
ago. 2011.
Grupo de estudos de Educação Matemática e Científica.
Disponível em
<http://www.caxias.rs.gov.br/geemac/_upload/encontro_31.pdf>.
Acesso em 24 ago. 2011.
INTERVALO
Questão 8
As questões I e II abaixo fizeram parte das provas de Matemática
do Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB), em 2003,
para participantes que terminaram, respectivamente, a 8ª série
do Ensino Fundamental e o 3º ano do Ensino Médio. Na questão
I, 56% dos participantes escolheram como correta a opção C, e
na questão II, 61% dos participantes escolheram como correta a
opção A.
Questão 8 (continuação)
Questão 8 (continuação)
Analisando os dados apresentados, assinale a opção que não
justifica o erro que os estudantes cometeram na escolha de
suas respostas.
a) Na questão I, a maioria dos respondentes considera
que a representação do número decimal 0,ab na forma
de fração é a/b.
b) Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera
que as frações a/b e b/a são equivalentes.
Questão 8 (continuação)
c) Na questão I, a maioria dos respondentes considera que 0,25
e ¼ são representações de números diferentes.
d) Na questão II, a maioria dos respondentes considera que -2/5
e -0,4 são representações de números diferentes.
e) Na questão II, a maioria dos respondentes considera que a
representação decimal da fração a/b é a,b.
Introdução teórica: frações e números decimais 
Uma fração decimal é aquela cujo denominador é uma potência
de 10. Alguns exemplos de frações decimais são 1/10, 3/100,
23/100, 1/1000 e 1/103.
Toda fração decimal pode ser representada por um número
decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte
decimal. A fração 127/100 pode ser escrita como 1,27, sendo que
1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal.
Nessa notação, subentende-se 127/100 que a fração pode ser
decomposta na seguinte forma:
Introdução teórica: frações e números decimais 
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, sendo que 0 é a
parte inteira e 8 é a parte decimal. Esse número decimal é menor
do que 1, pois o numerador é menor do que o denominador
da fração.
Retomada da questão 8 – com a resposta
As questões I e II abaixo fizeram parte das provas de Matemática
do Sistema de Avaliação da Educação Básica (SAEB), em 2003,
para participantes que terminaram, respectivamente, a 8ª série
do Ensino Fundamental e o 3º ano do Ensino Médio. Na questão
I, 56% dos participantes escolheram como correta a opção C, e
na questão II, 61% dos participantes escolheram como correta a
opção A.
Retomada da questão 8 – com a resposta
Retomada da questão 8 – com a resposta
Analisando os dados apresentados, assinale a opção que não
justifica o erro que os estudantes cometeram na escolha de
suas respostas.
a) Na questão I, a maioria dos respondentes considera
que a representação do número decimal 0,ab na forma
de fração é a/b.
b) Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera
que as frações a/b e b/a são equivalentes.
Retomada da questão 8 – com a resposta
c) Na questão I, a maioria dos respondentes considera que 0,25
e ¼ são representações de números diferentes.
d) Na questão II, a maioria dos respondentes considera que -2/5
e -0,4 são representações de números diferentes.
e) Na questão II, a maioria dos respondentes considera que a
representação decimal da fração a/b é a,b.
Resposta
Analisando os dados apresentados, assinale a opção que não
justifica o erro que os estudantes cometeram na escolha de
suas respostas.
a) Na questão I, a maioria dos respondentes considera
que a representação do número decimal 0,ab na forma
de fração é a/b.
b) Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera
que as frações a/b e b/a são equivalentes.
Vamos analisar cada uma das respostas?
a) Na questão I, a maioria dos respondentes considera que a
representação do número decimal 0,ab na forma de fração é
a/b.
a) Alternativa incorreta.
Justificativa:
Na questão I, a maioria dos participantes considera que a
representação do número decimal 0,ab na forma de fração é a/b,
por isso assinalou a alternativa 2/5 como representação do
número 0,25.
Vamos analisar cada uma das respostas?
b) Nas questões I e II, a maioria dos respondentes considera
que as frações a/b e b/a são equivalentes.
b) Alternativa correta.
Justificativa:
Na questão I, a maioria dos participantes respondeu que 0,25
equivale à fração 2/5 e, na questão II, que a fração -2/5 é
localizada como -2,5. Logo, esses participantes não
consideraram que a/b = b/a.
Vamos analisar cada uma das respostas?
c) Na questão I, a maioria dos respondentes considera que 0,25
e ¼ são representações de números diferentes.
c) Alternativa incorreta.
Justificativa:
Os participantes consideram que -2/5 e -0,4 são representações
diferentes, assim como 1/4 e 0,25.
Vamos analisar cada uma das respostas?
d) Na questão II, a maioria dos respondentes considera que -2/5
e -0,4 são representações de números diferentes.
d) Alternativa incorreta.
Justificativa:
Os participantes consideram que -2/5 e -0,4 são representações
diferentes, assim como 1/4 e 0,25.
Vamos analisar cada uma das respostas?
e) Na questão II, a maioria dos respondentes considera que a
representação decimal da fração a/b é a,b.
e) Alternativa incorreta.
Justificativa:
Na questão II, a maioria dos participantes considera que a
representação do número a,b na forma de fração é a/b. Por isso,
assinalou a alternativa -2,5 como representação da fração -2/5.
Indicações bibliográficas 
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3ª ed.
São Paulo: Edgard Blucher, 2006.
LIMA, E. et al. A Matemática do ensino médio.
Rio de Janeiro: SBM, 1996.
ATÉ A PRÓXIMA!
Unidade I
ESTUDOS DISCIPLINARES 
Resolução de Problemas – Formação Matemática I
Profa. Alessandra Teixeira
Orientações de estudo
1. Leitura da questão.
2. Introdução teórica do conceito.
3. Retomada da questão com a resposta correta.
4. Análise da questão.
5. Indicações bibliográficas.
Questão 9
 Não se pode negar que, embora bastante presentes em
problemas envolvendo valores monetários e medidas, os
números decimais constituem uma dificuldade no processo
da aprendizagem matemática nas escolas. Uma das causas
desse problema está na estrutura do currículo da matemática
na escola básica. Julgue os itens a seguir, acerca do ensino
dos números decimais no currículo da educação básica.
I. Os números decimais representam uma expansão do sistema
de numeração decimal como base decimal e, por isso, seu
conceito e representação no currículo precisam vir articulados
à expansão da estrutura do sistema decimal.
II. O ensino dos números decimais deve preceder o ensino do
sistema monetário, uma vez que o conhecimento dos
decimais no currículo da educação básica é um pré-requisito
para a aprendizagem desse conteúdo.
Questão 9 (continuação)
III. O currículo de matemática da escola básica deve propor,
inicialmente, o ensino das frações com qualquer denominador, para
então tratar das frações decimais como um caso específico,
introduzindo, então, os números decimais.
IV. A ação do aluno em contextos de significado envolvendo valores
monetários e medidas é fonte geradora de aprendizagem dos
números decimais e, portanto,de ensino na escola, em um
processo de resgate dos conhecimentos prévios dos alunos.
São reflexões apropriadas para a superação da problemática da baixa
aprendizagem dos números decimais na escola apenas as contidas
nos itens:
a) I e II.
b) I e III.
c) I e IV.
d) II e III.
e) II, III e IV.
Introdução teórica: Frações e números decimais 
 Uma fração decimal é aquela cujo denominador é uma potência
de 10. Alguns exemplos de frações decimais são 1/10, 3/100,
23/100, 1/1000 e 1/103.
 Toda fração decimal pode ser representada por um número
decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma
parte decimal. A fração 127/100 pode ser escrita como 1,27;
sendo que 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte
decimal. Nessa notação, subentende-se 127/100 que a fração
pode ser decomposta na seguinte forma:
Introdução teórica: Frações e números decimais 
 A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8; sendo que 0 é a
parte inteira e 8 é a parte decimal. Esse número decimal é
menor do que 1, pois o numerador é menor do que o
denominador da fração.
Retomada da questão 9 com a resposta
 Não se pode negar que, embora bastante presentes em problemas
envolvendo valores monetários e medidas, os números decimais
constituem uma dificuldade no processo da aprendizagem
matemática nas escolas. Uma das causas desse problema está na
estrutura do currículo da matemática na escola básica. Julgue os
itens a seguir, acerca do ensino dos números decimais no currículo
da educação básica.
I. Os números decimais representam uma expansão do sistema de
numeração decimal como base decimal e, por isso, seu conceito e
representação no currículo precisam vir articulados à expansão da
estrutura do sistema decimal.
II. O ensino dos números decimais deve preceder o ensino do sistema
monetário, uma vez que o conhecimento dos decimais no currículo
da educação básica é um pré-requisito para a aprendizagem desse
conteúdo.
Retomada da questão 9 com a resposta
III. O currículo de matemática da escola básica deve propor,
inicialmente, o ensino das frações com qualquer denominador, para
então tratar das frações decimais como um caso específico,
introduzindo, então, os números decimais.
IV. A ação do aluno em contextos de significado envolvendo valores
monetários e medidas é fonte geradora de aprendizagem dos
números decimais e, portanto, de ensino na escola, em um
processo de resgate dos conhecimentos prévios dos alunos.
São reflexões apropriadas para a superação da problemática da baixa
aprendizagem dos números decimais na escola apenas as contidas
nos itens:
a) I e II.
b) I e III.
c) I e IV.
d) II e III.
e) II, III e IV.
Vamos analisar cada uma das respostas?
I. Os números decimais representam uma expansão do sistema
de numeração decimal como base decimal e, por isso, seu
conceito e representação no currículo precisam vir articulados
à expansão da estrutura do sistema decimal.
I. Alternativa correta.
Justificativa:
O fato de o conceito e a representação dos números decimais
estarem articulados à expansão da estrutura do sistema decimal
auxilia na superação da baixa aprendizagem dos números
decimais na escola.
Vamos analisar cada uma das respostas?
II. O ensino dos números decimais deve preceder o ensino do
sistema monetário, uma vez que o conhecimento dos
decimais no currículo da educação básica é um pré-requisito
para a aprendizagem desse conteúdo.
II. Alternativa incorreta.
Justificativa:
É apropriado que o ensino dos números decimais esteja
atrelado a problemas envolvendo valores monetários.
Vamos analisar cada uma das respostas?
III. O currículo de matemática da escola básica deve propor,
inicialmente, o ensino das frações com qualquer
denominador, para então tratar das frações decimais como
um caso específico, introduzindo, então, os números
decimais.
III. Alternativa incorreta.
Justificativa:
O que se afirma não é apropriado para superar a baixa
aprendizagem, mas muitos programas apresentam o estudo de
frações decimais de forma independente e posterior ao estudo
de frações de quantidades quaisquer.
Vamos analisar cada uma das respostas?
IV. A ação do aluno em contextos de significado envolvendo
valores monetários e medidas é fonte geradora de
aprendizagem dos números decimais e, portanto, de ensino
na escola, em um processo de resgate dos conhecimentos
prévios dos alunos.
IV. Alternativa correta.
Justificativa:
A inserção do aluno em contextos envolvendo valores
monetários e medidas resgata conhecimentos prévios dos
estudantes e auxilia na aprendizagem dos números decimais.
Indicações bibliográficas 
 ÁVILA, G. “Análise matemática para licenciatura”. 3. ed. São
Paulo: Edgard Blucher, 2006.
 LIMA, E. et al. “A Matemática do ensino médio”. Rio de
Janeiro: SBM, 1996.
INTERVALO
Questão 10
 Considere o retângulo Q0, ilustrado acima, e, a partir dele,
construa a sequência de quadriláteros Q1, Q2, Q3, ..., de tal
modo que, para i ≥ 1, os vértices de Qi são os pontos médios
dos lados de Qi-1. Representando por a (Qi) a área do
quadrilátero Qi, julgue os itens que se seguem.
Questão 10 (continuação)
I. A subsequência de quadriláteros Q1, Q3, Q5, ...,
correspondente aos índices ímpares, é formada somente por
paralelogramos.
II. O quadrilátero Q6 é um retângulo.
III. Para:
Assinale a opção correta.
a) Apenas um item está certo.
b) Apenas os itens I e II estão certos.
c) Apenas os itens I e III estão certos.
d) Apenas os itens II e III estão certos.
e) Todos os itens estão certos.
Introdução teórica: O quadrilátero e o paralelogramo
 O quadrilátero é um polígono de quatro lados. O quadrilátero
que tem lados paralelos dois a dois (lados opostos paralelos) é
chamado de paralelogramo. O quadrado (figura 1a) é um
paralelogramo que apresenta todos os lados iguais e todos os
ângulos internos retos. O retângulo (figura 1b) é um
paralelogramo que apresenta lados opostos iguais e todos os
ângulos internos retos.
 Podemos dividir um quadrado e um retângulo em dois
triângulos retângulos iguais (congruentes). As áreas do
quadrado, do retângulo e do triângulo são calculadas pelas
fórmulas apresentadas na figura 1d, sendo h a medida da
altura; l, a medida do lado e b, a medida da base.
Introdução teórica: O quadrilátero e o paralelogramo
Retomada da questão 10 com a resposta
 Considere o retângulo Q0, ilustrado acima, e, a partir dele,
construa a sequência de quadriláteros Q1, Q2, Q3, ..., de tal
modo que, para i ≥ 1, os vértices de Qi são os pontos médios
dos lados de Qi-1. Representando por a (Qi) a área do
quadrilátero Qi, julgue os itens que se seguem.
Retomada da questão 10 com a resposta
I. A subsequência de quadriláteros Q1, Q3, Q5, ...,
correspondente os índices ímpares, é formada somente por
paralelogramos.
II. O quadrilátero Q6 é um retângulo.
III. Para
Assinale a opção correta.
a) Apenas um item está certo.
b) Apenas os itens I e II estão certos.
c) Apenas os itens I e III estão certos.
d) Apenas os itens II e III estão certos.
e) Todos os itens estão certos.
Resposta
Assinale a opção correta.
a)Apenas um item está certo.
b)Apenas os itens I e II estão certos.
c)Apenas os itens I e III estão certos.
d)Apenas os itens II e III estão certos.
e) Todos os itens estão certos.
Vamos analisar cada uma das respostas?
I. A subsequência de quadriláteros Q1, Q3, Q5, ..., correspondente
aos índices ímpares, é formada somente por paralelogramos.
I.Alternativa correta.
Justificativa:
Construindo imagens de acordo com as regras do enunciado da
questão, temos a figura 2.
Vamos analisar cada uma das respostas?
I. A subsequência de quadriláteros Q1, Q3, Q5, ...,
correspondente aos índices ímpares, é formada somente por
paralelogramos.
I.Alternativa correta.
Justificativa:
De acordo com a figura 2, Q0, Q2, Q4, Q6,... são paralelogramos
retângulos e Q1, Q3, Q5, Q7,... são paralelogramos não
retângulos. Todas as figuras são paralelogramos.Vamos analisar cada uma das respostas?
II. O quadrilátero Q6 é um retângulo.
II. Alternativa correta.
Justificativa:
Construindo imagens de acordo com as regras do enunciado da
questão, temos a figura 2.
Vamos analisar cada uma das respostas?
II. O quadrilátero Q6 é um retângulo.
II. Alternativa correta.
Justificativa:
De acordo com a figura 2, Q0, Q2, Q4, Q6,... são paralelogramos
retângulos e Q1, Q3, Q5, Q7,... são paralelogramos não
retângulos. Todas as figuras são paralelogramos.
Vamos analisar cada uma das respostas?
III. Para
III. Alternativa correta.
Justificativa:
Construindo um modelo para os dois primeiros paralelogramos
Q0 e Q1, verificamos que a área de Q1 é igual à área de Q0,
subtraída de quatro triângulos retângulos congruentes
formados entre as figuras Q0 e Q1. Assim, para o retângulo Q0
com lados 2 e 4, a área é a(Q0) = 8. A área de cada
triângulo é
Como há quatro triângulos congruentes, a área de Q1 é a(Q1)=8-
4.1=4. Ou seja, . Isso também é válido para as outras
situações genéricas escritas como
Indicações bibliográficas
 GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. “Matemática: 2o grau”. v. 2.
São Paulo: FTD, 1992.
 “Quadriláteros”. Disponível em
http://www3.pucrs.br/pucrs/files/uni/poa/ fau/pdf/17.pdf>.
Acesso em 07 set. 2011.
INTERVALO
Questão 11
 Os gráficos abaixo mostram informações a respeito da área
plantada e da produtividade das lavouras brasileiras de soja
com relação às safras de 2000 a 2007.
Questão 11 (continuação)
 Com base nessas informações, resolva o que se pede nos
itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de
Respostas, nos locais devidamente indicados.
a) Considerando I = área plantada (em milhões de ha), II =
produtividade (em kg/ha) e III = produção total de soja (em
milhões de toneladas), preencha a tabela abaixo.
Questão 11 (continuação)
b) Faça o esboço do ―gráfico de linhas‖ que representa a
quantidade de quilogramas de soja produzidos no Brasil, em
milhões de toneladas, no período de 2000 a 2007. Nomeie as
variáveis nos eixos de coordenadas e dê um título adequado
para seu gráfico.
Introdução teórica: Construção de gráficos 
Para construirmos um gráfico, devem ser observados os
seguintes itens:
 inserção de título e de legenda;
 escolha de escalas adequadas;
 representação das grandezas nos eixos com suas respectivas
unidades;
 indicação dos valores das grandezas apenas com os números
necessários à leitura;
 distinção de diversas séries de medidas, quando houver, com
diferentes símbolos (■, ▲, ● e outros).
Introdução teórica: Construção de gráficos 
Retomada da questão 11 com a resposta 
 Os gráficos abaixo mostram informações a respeito da área
plantada e da produtividade das lavouras brasileiras de soja
com relação às safras de 2000 a 2007.
Retomada da questão 11 com a resposta 
 Com base nessas informações, resolva o que se pede nos
itens a seguir e transcreva suas respostas para o Caderno de
Respostas, nos locais devidamente indicados.
a) Considerando I = área plantada (em milhões de ha), II =
produtividade (em kg/ha) e III = produção total de soja (em
milhões de toneladas), preencha a tabela abaixo.
Retomada da questão 11 com a resposta 
b) Faça o esboço do ―gráfico de linhas‖ que representa a
quantidade de quilogramas de soja produzidos no Brasil, em
milhões de toneladas, no período de 2000 a 2007. Nomeie as
variáveis nos eixos de coordenadas e dê um título adequado
para seu gráfico.
Resolução da questão
a) Para preenchermos as colunas I (área plantada, em milhões
de hectares) e II (produtividade, em kg/ha), basta lermos os
valores dados nos gráficos do enunciado. A coluna III deve
conter a produção total de soja, em milhões de toneladas. Se
multiplicarmos as grandezas da coluna I pela coluna II, temos:
Resolução da questão
Para conseguirmos o resultado em milhões de toneladas, como
pedido no enunciado, devemos fazer:
A coluna III é obtida multiplicando os valores da coluna I pela
coluna II e dividindo esse resultado por 1000, conforme indicado
na tabela a seguir.
Resolução da questão
Resolução da questão
b) O título deve informar o conteúdo do gráfico de forma clara e
concisa. No caso, ele pode ser “Produção de soja no Brasil de
2000 a 2007”. Conforme mostrado na figura 2, no eixo x
representamos os anos, de 2000 a 2007; e no eixo y, a produção
total de soja, em milhões de toneladas (coluna III).
Resolução da questão
Indicações bibliográficas
 GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JR, J. R.
“Matemática: 2o grau”. São Paulo: FTD, 1988.
 IEZZI, G.; MURAKAMI, C. “Fundamentos de Matemática
Elementar: conjuntos e funções”. 8. ed. São Paulo: Atual,
2004.
INTERVALO
Questão 12
 Em uma classe da 6ª série do Ensino Fundamental, o
professor de matemática propôs aos alunos a descoberta de
planificações para o cubo, que fossem diferentes daquelas
trazidas tradicionalmente nos livros didáticos. Um grupo de
alunos produziu a seguinte proposta de planificação:
Questão 12
 Ao tentar montar o cubo, o grupo descobriu que isso não era
possível. Muitas justificativas foram dadas pelos participantes
e estão listadas nas opções abaixo. Assinale aquela que tem
fundamento matemático.
a) Não se podem alinhar três quadrados.
b) Tem de haver quatro quadrados alinhados, devendo estar os
dois quadrados restantes um de cada lado oposto dos
quadrados alinhados.
Questão 12
c) Quando três quadrados estão alinhados, não se pode mais ter
os outros três também alinhados.
d) Cada ponto que corresponderá a um vértice deverá ser o
encontro de, no máximo, três segmentos, que serão as arestas
do cubo.
e) Tem de haver quatro quadrados alinhados, e não importa a
posição de justaposição dos outros dois quadrados.
Introdução teórica: Planificações e planificação do 
cubo 
 Os sólidos geométricos são frequentemente observados no
nosso dia a dia em diferentes formas. Uma caixa de sapatos, a
caixa de água, uma pirâmide, uma lata de óleo e a casquinha
de sorvete, entre outras formas, são exemplos de sólidos
geométricos.
 Todos os sólidos são formados pela união de figuras planas,
identificadas por meio da planificação.
 Uma planificação possível do cubo é mostrada da figura 1(a).
Todas as possíveis planificações do cubo são mostradas na
figura 1(b).
Introdução teórica: Planificações e planificação do 
cubo 
Retomada da questão 12 com a resposta
 Em uma classe da 6ª série do Ensino Fundamental, o
professor de matemática propôs aos alunos a descoberta de
planificações para o cubo, que fossem diferentes daquelas
trazidas tradicionalmente nos livros didáticos. Um grupo de
alunos produziu a seguinte proposta de planificação:
Retomada da questão 12 com a resposta
 Ao tentar montar o cubo, o grupo descobriu que isso não era
possível. Muitas justificativas foram dadas pelos participantes
e estão listadas nas opções abaixo. Assinale aquela que tem
fundamento matemático.
a) Não se podem alinhar três quadrados.
b) Tem de haver quatro quadrados alinhados, devendo estar os
dois quadrados restantes um de cada lado oposto dos
quadrados alinhados.
Retomada da questão 12 com a resposta
c) Quando três quadrados estão alinhados, não se pode mais ter
os outros três também alinhados.
d) Cada ponto que corresponderá a um vértice deverá ser o
encontro de, no máximo, três segmentos, que serão as arestas
do cubo.
e) Tem de haver quatro quadrados alinhados e não importa a
posição de justaposição dos outros dois quadrados.
Resposta
a) Não se podem alinhar três quadrados.
b) Tem de haver quatro quadrados alinhados, devendo estar os
dois quadrados restantes um de cada lado oposto dos
quadrados alinhados.
c) Quando três quadrados estão alinhados, não se pode mais
ter os outros três também alinhados.
d) Cada ponto que corresponderá a um vértice deverá ser o
encontro de, no máximo, três segmentos, que serão as
arestas do cubo.
e) Tem de haver quatro quadrados alinhadose não importa a
posição de justaposição dos outros dois quadrados.
Vamos analisar cada uma das respostas?
 O cubo tem 11 planificações possíveis e a planificação
apresentada pelos alunos não está entre essas 11
planificações possíveis, logo, não é possível montar o cubo.
Quando uma afirmação tem base matemática, podemos dizer
que tem explícito um fundamento matemático. Os alunos, ao
verificarem que não poderiam montar o cubo a partir da
planificação apresentada, apresentaram diversas
justificativas, que devem ser analisadas.
Vamos analisar cada uma das respostas?
a) Não se podem alinhar três quadrados.
a) Alternativa incorreta.
Justificativa:
Podemos ter alinhamento de três e mais três quadrados para
planificar o cubo.
Vamos analisar cada uma das respostas?
b) Tem de haver quatro quadrados alinhados, devendo estar os
dois quadrados restantes um de cada lado oposto dos
quadrados alinhados.
b) Alternativa incorreta.
Justificativa:
Podemos ter uma planificação com quatro quadrados alinhados
e dois quadrados, um de cada lado oposto dos quadrados
alinhados, mas faltou a fundamentação matemática.
Vamos analisar cada uma das respostas?
c) Quando três quadrados estão alinhados, não se pode mais ter
os outros três também alinhados.
c) Alternativa incorreta.
Justificativa:
Podemos ter três quadrados alinhados e, ao lado do último,
mais três alinhados.
Vamos analisar cada uma das respostas?
d) Cada ponto que corresponderá a um vértice deverá ser o
encontro de, no máximo, três segmentos, que serão as
arestas do cubo.
d) Alternativa correta.
Justificativa:
Ao afirmarem que cada ponto que corresponde a um vértice
deverá ser o encontro de, no máximo, três segmentos, que
serão arestas do cubo, os alunos fizeram uma proposição
verdadeira e com fundamentação matemática.
Vamos analisar cada uma das respostas?
e) Tem de haver quatro quadrados alinhados e não importa a
posição de justaposição dos outros dois quadrados.
e) Alternativa incorreta.
Justificativa:
Não podemos ter quatro quadrados alinhados e os outros dois
do mesmo lado.
Indicações bibliográficas 
 GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JR, J. R.
“Matemática: 2o grau”. São Paulo: FTD, 1988.
 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE. “Planificações”.
Disponível em <http://www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/info-
br.html>. Acesso em 18 set. 2011.
ATÉ A PRÓXIMA!
Unidade I
ESTUDOS DISCIPLINARES 
Resolução de Problemas – Formação Matemática I
Profa. Alessandra Teixeira
Orientações de estudo
1. Leitura da questão.
2. Introdução teórica do conceito.
3. Retomada da questão com a resposta correta.
4. Análise da questão.
5. Indicações bibliográficas.
Questão 13
Um aluno de 5ª série, ao fazer a operação 63787 ÷ 3 na resolução
de um problema, foi considerado em “situação de dificuldade”,
ao apresentar o seguinte registro:
Questão 13 (continuação)
a) a análise do procedimento desse aluno revela que ele não
sabe o algoritmo da divisão, o que indica problemas de
aprendizagem oriundos das séries iniciais.
b) o procedimento aplicado não traz contribuições para o
desenvolvimento matemático do aluno, uma vez que ele não
poderá realizá-lo em outras situações matemáticas.
c) o aluno terá dificuldade de compreender os processos
operatórios dos colegas e os feitos pelo professor ou
apresentados no livro didático.
d) o aluno compreendeu tanto a estrutura do número quanto
o conceito da operação de divisão.
e) deverá ser incentivada a utilização de tal procedimento
somente em produções individualizadas, como em atividades
para casa.
Introdução teórica: O algoritmo tradicional da divisão 
A representação da figura 1 refere-se ao algoritmo tradicional
da divisão. A fim de facilitar a compreensão desse algoritmo,
os professores de Matemática utilizam materiais didáticos
aplicados, como o ábaco e o material dourado, para diferenciar
unidades, dezenas, centenas e milhares.
Introdução teórica: A pedagogia construtivista 
O construtivismo propõe que o aluno participe ativamente do
próprio aprendizado, mediante a experimentação, a pesquisa em
grupo, o estímulo à dúvida e o desenvolvimento do raciocínio.
Rejeita a apresentação de conhecimentos prontos ao estudante e
utiliza, de modo inovador, técnicas tradicionais como a
memorização. Daí o termo “construtivismo”, indicando que uma
pessoa aprende melhor quando toma parte de forma direta na
construção do conhecimento. O construtivismo enfatiza a
importância do erro não como um tropeço, mas como um
trampolim na rota da aprendizagem. O construtivismo condena a
rigidez nos procedimentos de ensino, as avaliações
padronizadas e a utilização de material didático demasiadamente
estranho ao universo pessoal do aluno.
Retomada da questão 13 com a resposta
Um aluno de 5ª série, ao fazer a operação 63787 ÷ 3 na resolução
de um problema, foi considerado em “situação de dificuldade”,
ao apresentar o seguinte registro:
Retomada da questão 13 com a resposta
a) a análise do procedimento desse aluno revela que ele não
sabe o algoritmo da divisão, o que indica problemas de
aprendizagem oriundos das séries iniciais.
b) o procedimento aplicado não traz contribuições para o
desenvolvimento matemático do aluno, uma vez que ele não
poderá realizá-lo em outras situações matemáticas.
c) o aluno terá dificuldade de compreender os processos
operatórios dos colegas e os feitos pelo professor ou
apresentados no livro didático.
d) o aluno compreendeu tanto a estrutura do número quanto
o conceito da operação de divisão.
e) deverá ser incentivada a utilização de tal procedimento
somente em produções individualizadas, como em atividades
para casa.
Resposta
a) a análise do procedimento desse aluno revela que ele não
sabe o algoritmo da divisão, o que indica problemas de
aprendizagem oriundos das séries iniciais.
b) o procedimento aplicado não traz contribuições para o
desenvolvimento matemático do aluno, uma vez que ele não
poderá realizá-lo em outras situações matemáticas.
c) o aluno terá dificuldade de compreender os processos
operatórios dos colegas e os feitos pelo professor ou
apresentados no livro didático.
d) o aluno compreendeu tanto a estrutura do número quanto
o conceito da operação de divisão.
e) deverá ser incentivada a utilização de tal procedimento
somente em produções individualizadas, como em atividades
para casa.
Vamos analisar cada uma das respostas?
a) a análise do procedimento desse aluno revela que ele não
sabe o algoritmo da divisão, o que indica problemas de
aprendizagem oriundos das séries iniciais.
b) o procedimento aplicado não traz contribuições para o
desenvolvimento matemático do aluno, uma vez que ele não
poderá realizá-lo em outras situações matemáticas.
c) o aluno terá dificuldade de compreender os processos
operatórios dos colegas e os feitos pelo professor ou
apresentados no livro didático.
a, b e c. Alternativas incorretas.
Justificativa:
As afirmações das alternativas “a”, “b” e “c” contrariam a
justificativa da alternativa correta (“d”).
Vamos analisar cada uma das respostas?
d) o aluno compreendeu tanto a estrutura do número quanto o
conceito da operação de divisão.
d) Alternativa correta.
Justificativa:
O aluno dividiu 63787 usando, inicialmente, a divisão de cada
ordem por 3, gerando 21222. O aluno utilizou corretamente o
procedimento de divisão quando, ao dividir 7 (centena simples)
por 3, obteve resto 1 (centena simples), que representa 10 na
ordem da dezena simples e que, somado ao 2 de resto da divisão
de 8 (dezena simples) por 3, resulta 12, que, dividido por 3
resulta 4 e que, somado com 2 gerado pela divisão de 8 por 3,
resulta 6. Ao dividir 7 (unidade simples) por 3, encontrou 2 e
resto 1. Ao fazer a divisão, o estudante encontrou corretamente
o quociente 21262 e resto 1. Logo, o aluno compreendeu tanto a
estrutura do número quanto o conceito da operação de divisão.
Vamos analisar cada uma das respostas?
e) deverá ser incentivada