P1-PROBEST_2011-2 COM SOLUCAO

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P1 - Probabilidade e Estatística – 2011.2
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio.
Professores: Reinaldo & Roxana
Problema 1 (2.0 pts) 
(0.5 pt) Defina População e Amostra. Dê exemplo
SOLUÇÃO
População = coleção de todos os elementos cujas características desejamos conhecer. Os elementos (ou "indivíduos") na população não são necessariamente pessoas! 
Amostra = subconjunto da população cujas características serão medidas. A amostra será usada para descobrir características da população. 
Exemplos:
População = eleitores na cidade do Rio de Janeiro
Amostra = 650 eleitores escolhidos aleatoriamente (ao acaso)
População = automóveis produzidos no Brasil entre 1997 e 2002 
Amostra = 10000 carros escolhidos aleatoriamente dentre os sujeitos a “recall” das montadoras 
 (0.5 pt) Quais as restrições sobre uma função para que esta seja uma densidade de probabilidade de uma v.a. contínua;
SOLUÇÃO
(0.5 pt) Prove: VAR (aX+b)= a2VAR(X)
SOLUÇÃO
VAR (ax+b) = a2VAR(x)
VAR(ax+b) = E(ax+b)2 – E2(ax+b)
 = E[(ax)2+2abx+b2]-[E(ax+b)]2
 = E[(ax)2+2abx+b2]-[E(ax)+E(b)]2
 = E[(ax)2+2abx+b2]-[E2(ax)+2.E(ax).E(b)+E2(b)]
 = E[(ax)2]+2abE(x)+E(b2]-E2(ax)-2abE(x)-E2(b)
 = E(ax)2-E2(ax)
 = a2 VAR(x)
(0.5 pt) Seja X uma variável aleatória continua com densidade 
�, para, qual é o valor de “a” que faz uma função de densidade. 
SOLUÇÂO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2(2 pts) Observe a seguinte Estatística Descritiva referentes a uma determinada amostra:
Com relação a Estatística Descritiva acima, responda as perguntas abaixo:
(0.25 pt) Qual o coeficiente de variação da amostra?
SOLUÇÃO
 0,527
(0.25 pt) Qual a amplitude máxima da amostra?
SOLUÇÃO
Amplitude (max-min) = 115.730,00-9.181,00 = 106.549,00
(0.25 pt) Assimetria positiva indica que existem mais valores altos do que baixos? Sim ou não?
SOLUÇÃO
Não, Assimetria positiva indica que existem mais valores baixos do que altos. 
 Média >Mediana
 
 Mediana =27516,50
 Média= 33.249,01 
(0.25 pt) O que o coeficiente de curtose desta amostra nos permite dizer com relação a uma a “NORMAL”? 
SOLUÇÃO
A curtose é uma medida do “achatamento” de uma distribuição de probabilidade.
Excesso de curtose é quando a distribuição de probabilidade tem mais curtose do que a Normal.
A fórmula do excesso de curtose é:
Note que, se os seus dados são Normais a curtose é próxima a 3 e o excesso de curtose é próxima de zero.
Podemos verificar que a curtose da amosta é igual 0,84 tendo k=-2,16, então a distribuição de probabilidade tem menos curtose do que a normal, conforme gráfico abaixo:
A curva “B” corresponde a uma Normal
A curva “C” corresponde a da amostra
(0.25 pt) O que o percentil de 75% desta amostra nos permite dizer?
SOLUÇÃO
Permite dizer que 75% dos valores da amostra estão abaixo de 43.976,00. 
(0.25 pt) Qual é o valor que se repete mais vezes da amostra?
SOLUÇÃO
Moda = 13.599,00
(0.5pt) Na tabela abaixo, temos o diagrama de frequência de uma amostra de 50 elementos onde: os intervalos [Li-1-L1) são iguais; xi: é o ponto médio de cada classe (intervalo); fi: frequência absoluta simples; Fi: frequência cumulada.
Preencher os espaços vazios do diagrama de frequência.
	[Li-1-L1)
	xi
	fi
	Fi
	xifi
	 160-180
	170
	5
	5
	850
	180-200
	190
	9
	14
	1710
	200-220
	210
	13
	27
	2730
	220-240
	230
	9
	36
	2070
	 240-260
	250
	6
	42
	1500
	260-280
	270
	8
	50
	2160
Problema 3 (2 pts) :Em uma certa população foi constatado que a prevalência de diabetes é de 4%. Um determinado teste diagnostica que, se o paciente não é sadio existe 95% do resultado ser positivo, e, se o paciente não tem a doença existe 98% de não detectar no teste. 
Uma pessoa é diagnosticada. Qual é a probabilidade de que realmente ela está diabética, sabendo-se que o resultado do teste foi positivo (acusou a existencia da doença)? 
SOLUÇÃO:
D+ : A pessoa tem diabetes
D- : A pessoa não tem diabetes
G+ : Resultado do teste de glicose ser positivo
G- : Resultado do teste de glicose ser negativo
Pr(
) = 
Pr(
) = 
Pr() = 
Pr() = 
Pr() = 
Pr() = 
Sendo “
” o evento “Resultado do teste de glicose ser positivo”
Então:
Pr(
)= 
 
 
Pr(
) = x Pr(
) + x Pr(
) 
Pr(
)= (0,95x0,04) + (0,02x0,96) 
Pr(
)= 0,0572
 
 A pessoa ter a doença (
) : = 66,43%
Problema 4 ( 1.5 pts) Para a seguinte função: 
 
Determine a constante 𝑘 para que 𝑓(𝑥) seja uma função de probabilidade de uma variável aleatória 𝑋. 
Qual é a probabilidade quando 
SOLUÇÃO
 
 >0, qualquer que seja x = 2,3,4,….. se, somente se k>0 
Sabemos: 
	
 
 
 
 >0, qualquer que seja x = 2,3,4,….. 
Qual é a probabilidade quando 
P(x=2) = f(2) = 
P(x=3) = f(3) = 
F(3)=f(2)+f(3)= 
 
Problema 5.1( 1,0pts) O tempo em horas que um certo componente funciona pode ser representado por uma variável aleatória continua X, cuja função densidade de probabilidade é: 
f(x)=0 , se x<50
f(x)=
 , se x≥50
( 0.5 pt) Calcular o valor de k. 
( 0.5 pt) Quall a probabilidade que um destes componentes tenha que ser substituído após 75 horas de operação? 
SOLUÇÃO
Cálculo do valor de k
f(x)=
 , se x≥50
Densidade:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , x≥50
Cálculo f(x)≥75
 , onde 
 
 
 
 
Problema 5.2 ( 1.5 pts) A renda de uma pessoa numa população é uma variável aleatória contínua X com densidade , apenas para X ϵ [0,2].
( 0.5 pt) Calcule a função de distribuição de X = F(x).
( 1.0 pt) Calcule a média, variância e o desvio padrão de X.
II- Encontre a função de distribuição de X.
 , onde 
 
 
 
 , 
 0, se x<0
, se 0≤x≤2
, se x>2 
III- Ache a média, a variância e o desvio padrão de X.
Média
 , onde 
0≤x≤2
 
 
 
 
 
Variância
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
Ou
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desvio Padrão
 
 
 
BOA SORTE!
 FORMULÁRIO:
TEOREMA DE BAYES:
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Unknown ���
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