FRACOES ALGEBRICAS-11

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Escola Marista de Manhiça Matemática 11aclasse 
Tema: Expressões algébricas racionais Prof. Germano/ Albert0 
3. Fracções Algébricas 
3.1. Definição 
Uma fracção é todo o número escrito na forma 
𝒂
𝒃
, onde 𝒂 é o numerador e o 𝒃 é o 
denominador. 
Da mesma forma, sendo 𝑨(𝒙) e 𝑩(𝒙) dois polinómios e 𝑩(𝒙) diferente de zero, chama-se 
fracção algébrica a expressão escrita na forma 
𝑨(𝒙)
𝑩(𝒙)
, onde 𝑨(𝒙) é o numerador e o 𝑩(𝒙) o 
denominador. 
Exemplo de fracção algébrica: 
𝑥
𝑥2−1
 ; 
𝑥+1
 𝑥2−3𝑥+2 (𝑥−5)
. 
3.2. Domínio de uma fracção algébrica 
Chama-se domínio da fracção algébrica ao conjunto de valores que a variável pode tomar, de 
modo que a fracção represente um número real. Ou chama-se domínio de uma fracção 
algébrica ao conjunto de valores (do universo) para os quais a fracção tem significado. 
Exemplo: determine o domínio das expressões seguintes. 
a) 
𝑥
𝑥2−1
 b) 
𝑥+3
𝑥
 c) 
2+𝑥
𝑥2+4
 
Resolução 
Para que uma fracção algébrica represente um número real, o seu denominador tem de ser 
diferente de zero. 
a) 
𝑥
𝑥2−1
 , Representa um numero real se 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ˄ 𝑥2 − 1 ≠ 0 ou 𝑥 ∈ 𝐼𝑅\ −1,1 ; 
b) 
𝑥+3
𝑥
 , Representa um numero real se 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 ˄ 𝑥 ≠ 0 ou 𝑥 ∈ 𝐼𝑅\ 0 ; 
c) 
2+𝑥
𝑥2+4
 , Representa um numero real se 𝑥 ∈ 𝐼𝑅. 
3.3. Expressões algébricas equivalência. Simplificação 
Simplificar uma fracção significa dividir sucessivamente o numerador e o numerador pelo 
mesmo valor, ou cortar sucessivamente factores comuns no numerador e no denominador, até 
se obter uma fracção irredutível (que não pode ser mais simplificada). 
Exemplo: comecemos por simplificar números naturais em jeito de recordar. 
a) 
12
20
=
12÷4
20÷4
=
3
4
 b) 
18
12
=
2×3×3
2×2×3
=
3
2
 
Assim como 
2
4
=
1
2
, porque 1 ∙ 4 = 2 ∙ 2, também dizemos que 
𝑥2
𝑥2+𝑥
=
𝑥
𝑥+1
 porque 𝑥2 𝑥 +
1 = 𝑥 𝑥2 + 1 . 
Temos, no entanto, de ter em atenção que esta equivalência só é válida no conjunto em que 
ambas as fracções representam um número real, ou seja, no conjunto em que ambas tem 
significado. Neste caso será em 𝐼𝑅\{−1,0}, pois 𝑥2 + 𝑥 ≠ 0 ˄ 𝑥 + 1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 𝑥 + 1 ≠
0 ˄ 𝑥 + 1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 0 ˄ 𝑥 ≠ −1. 
Duas fracções 
𝑨(𝒙)
𝑩 𝒙 
 e 
𝑪(𝒙)
𝑫(𝒙)
 são equivalentes, no conjunto em que ambas têm significados, e 
escreve-se. 
𝑨(𝒙)
𝑩 𝒙 
=
𝑪(𝒙)
𝑫(𝒙)
 se 𝑨 𝒙 ∙ 𝑫 𝒙 = 𝑩(𝒙) ∙ 𝑪(𝒙). 
3.3.1. Propriedades 
 Seja 
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
 uma fracção algébrica e 𝐶(𝑥) um polinómio não nulo. Então: 
 
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
=
𝐴(𝑥)∙𝐶(𝑥)
𝐵(𝑥)∙𝐶(𝑥)
 , (sempre que duas fracções representem um numero real). 
 
𝐴(𝑥)
𝐵(𝑥)
=
𝐴(𝑥)÷𝐶(𝑥)
𝐵(𝑥)÷𝐶(𝑥)
 , (sempre que duas fracções representem um numero real). 
Para simplificar uma fracção factoriza-se o numerador e o denominador e dividem-se os os 
dois termos pelos factores comuns. 
Exemplo 
Simplifica as fracções: 
a) 
𝑥2−4
𝑥2−2𝑥
 b) 
2𝑥3+9𝑥2+𝑥−12
𝑥2−1
 
Resolução 
a) 
𝑥2−4
𝑥2−2𝑥
=
 𝑥−2 (𝑥+2)
𝑥(𝑥−2)
, Dividindo ou multiplicando ambos os membros por (𝑥 − 2), vem: 
 
𝑥2−4
𝑥2−2𝑥
=
𝑥+2
𝑥
. 
Esta simplificação é valido no conjunto onde ambas as fracções têm significado, ou seja, em 
𝐼𝑅\{0,2} pois: 𝑥2 − 2𝑥 ≠ 0 ˄ 𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 𝑥 − 2 ≠ 0 ˄ 𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 0 ˄ 𝑥 ≠ 2. 
b) 
2𝑥3+9𝑥2+𝑥−12
𝑥2−1
=
2𝑥3+9𝑥2+𝑥−12
 𝑥+1 (𝑥−1)
. 
Como o numerador é um polinómio do 30 grau, para decompormos em factores teremos de 
conhecer uma das raízes. As únicas raízes que nos interessam são as raízes comuns aos dois 
polinómios. 
Aplicando a regra de Ruffini vamos verificar se −1e 1 são raízes do numerador. 
 
 2 9 1 −12 
1 2 11 12 
 2 11 12 0 
 Como resto é 0, então 1 é raiz do numerador. Nesse caso teremos: 
 
2𝑥3+9𝑥2+𝑥−12
𝑥2−1
=
 𝑥−1 (𝑥2+11𝑥+12)
 𝑥+1 (𝑥−1)
=
2𝑥2+11𝑥+12
𝑥+1
. Esta simplificação é valida no conjunto 
𝐼𝑅\{−1,1} pois, 𝑥 − 1 ≠ 0 ˄ 𝑥 + 1 ≠ 0. 
3.4. Operações com fracções algébricas 
As operações com fracções algébricas efectuam-se de uma forma semelhante às operações 
com fracções onde não aparecem variáveis. Isto é como se trata-se de fracções de números 
naturais. Comecemos por operara fracções de números naturais. 
3.4.1. Adição e subtracção de fracções algébricas 
Para adicionar ou subtrair fracções com denominadores diferentes utiliza-se o 𝑚. 𝑚. 𝑐. Para 
obter fracções equivalentes com o mesmo denominador e depois adicionam-se ou subtraem-
se os numeradores, mantendo-se o denominador. 
Exemplo 
1. Efectue as operações: 
a) 
5
8
+
2
8
=
7
8
 b) 
8
7
−
2
3
=
8
7(3)
−
2
3(7)
=
24
21
−
14
21
=
24−14
21
=
10
21
 
2. Efectue: 
a) 
𝑥
3+𝑥
+
2𝑥+1
3+𝑥
 b) 
𝑥
𝑥+1
−
3
𝑥(𝑥+1)
. 
Resolução 
a) 
𝑥
3+𝑥
+
2𝑥+1
3+𝑥
=
𝑥+2𝑥+1
3+𝑥
=
3𝑥+1
3+𝑥
. Como os denominadores são iguais, mantêm-se o 
denominador e adicionam-se os numeradores. Logo, 
𝑥
3+𝑥
+
2𝑥+1
3+𝑥
=
3𝑥+1
3+𝑥
. 
b) 
𝑥
𝑥+1
−
3
𝑥(𝑥+1)
 , Estas fracções não tem o mesmo denominador, nesse caso achemos o 
𝑚. 𝑚. 𝑐. ou vamos escrever uma fracção equivalente a 
𝑥
𝑥+1
 mas com denominador 
𝑥 𝑥 + 1 . 
 
𝑥
𝑥+1(𝑥)
−
3
𝑥(𝑥+1)(1)
=
𝑥2
𝑥(𝑥+1)
−
3
𝑥(𝑥+1)
=
𝑥2−3
𝑥(𝑥+1)
 se 𝑥 ∈ 𝐼𝑅\{−1,0}. 
3.4.2. Multiplicação e divisão de fracções algébricas 
3.4.2.1. Multiplicação 
Para multiplicar fracções, multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores 
também entre si, simplificando o resultado sempre que possível. Por questões didácticas, 
começaremos por multiplicar fracções com números inteiros. 
Exemplo: 
Calcula, simplificando o resultado sempre que possível. 
a) 
8
15
×
3
4
 b) 
1
13
×
5
3
×
26
15
 c) 
3
10
× 2 ×
6
5
×
11
12
 
Resolução 
a) 
8
15
×
3
4
=
8×3
15×4
=
2×2×2×3
3×5×2×2
=
2
5
 , (decompor os numeradores e os denominadores em 
factores primos e de seguida simplificar os factores comuns). 
b) 
1
13
×
5
3
×
26
15
=
1×5×26
13×3×15
=
1×5×2×13
13×3×5×3
=
1×2
3×3
=
2
9
 , (aplicamos o mesmo procedimento da 
alínea a). 
c) 
3
10
× 2 ×
6
5
×
11
12
=
3×2×6×11
10×5×12
=
3×2×2×3×11
2×5×2×2×3
=
3×11
5×2
=
33
10
 . 
Exemplos: 
1. Efectue as multiplicações, simplifique os resultados e indique os valores da variável 
para os quais a simplificação é válida. 
a) 
𝑥+2
𝑥2−4
×
𝑥−2
𝑥
 b) 
5𝑥+10
𝑥2−1
×
𝑥+1
3𝑥+6
 c) 
2𝑥
𝑥2+2𝑥+1
×
1−𝑥2
𝑥2
 
Resolução 
a) 
𝑥+2
𝑥2−4
×
𝑥−2
𝑥
=
 𝑥+2 ∙(𝑥−2)
(𝑥2−22)∙𝑥
=
1∙ 𝑥+2 ∙(𝑥−2)
 𝑥−2 ∙(𝑥+2)∙𝑥
=
1
𝑥
, para 𝑥2 − 4 ≠ 0 ˄ 𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠
−2 ˄ 𝑥 ≠ 2 ˄ 𝑥 ≠ 0 
A simplificação é válida para 𝑥 ∈ 𝐼𝑅\ −2,0,2 . 
b) 
5𝑥+10
𝑥2−1
×
𝑥+1
3𝑥+6
=
5 𝑥+2 ∙(𝑥+1)
 𝑥−1 ∙ 𝑥+1 ∙3∙(𝑥+2)
=
5
3(𝑥+1)
 , para 𝑥 ≠ −1 ˄ 𝑥 ≠ 1 ˄ 𝑥 ≠ −2. 
Logo a simplificação é valida para 𝑥 ∈ 𝐼𝑅\ −2, −1,1 . 
c) 
2𝑥
𝑥2+2𝑥+1
×
1−𝑥2
𝑥2
=
2∙𝑥∙ 1−𝑥 ∙(1+𝑥)
 𝑥+1 ∙(𝑥+1)∙𝑥∙𝑥
=
2(1−𝑥)
𝑥(𝑥+1)
 , para 𝑥 ≠ 0 ˄ 𝑥 ≠ −1, logo 𝑥 ∈ 𝐼𝑅\ −1,0 . 
 Então a multiplicação de duas fracções algébricas é dada por: 
𝑨(𝒙)
𝑩(𝒙)
×
𝑪(𝒙)
𝑫(𝒙)
=
𝑨(𝒙)∙𝑪(𝒙)
𝑩(𝒙)∙𝑫(𝒙)
 com 𝑩 𝒙 ≠ 𝟎 ˄ 𝑫(𝒙) ≠ 𝟎 
4.3.2.2. Divisão de Fracções 
Para dividir duas fracções multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor. 
Exemplo : 
a) 
6
7
÷
3
4
=
6
7
×
4
3
=
6×4
7×2
=
2×3×2×2
7×3
=
8
7
 ; b) 
12
7
÷ 4 =
12
7
×
1
4
=
12×1
7×4
=
3×4
7×4
=
3
7
 
Exemplo: 
Efectue as operações indicadase simplifique o resultado. 
a) 
5𝑥+10
𝑥2−1
÷
3𝑥+6
𝑥+1
 b) 
𝑥2−25
15𝑥
÷
𝑥2+10𝑥+25
9𝑥2
 c) 
𝑥
2
÷
2𝑥2−2𝑥
2𝑥
×
3𝑥+2
𝑥−1
 
Resolução 
a) 
5𝑥+10
𝑥2−1
÷
3𝑥+6
𝑥+1
=
5𝑥+10
𝑥2−1
∙
𝑥+1
3𝑥+6
=
5∙ 𝑥+2 ∙(𝑥+1)
 𝑥+1 ∙(𝑥−1)∙3∙(𝑥+2)
=
5
3(𝑥−1)
. 
Como se trata de uma divisão teremos de excluir os valores que tornam o divisor nulo. 
 𝑥2 − 1 ≠ 0 ˄ 𝑥 + 1 ≠ 0 ˄ 3𝑥 + 6 ≠ 0 
 ⟺ 𝑥 − 1 ∙ 𝑥 + 1 ≠ 0 ˄ 𝑥 ≠ −1 ˄ 𝑥 ≠ −2 
 ⟺ 𝑥 ≠ −1 ˄ 𝑥 ≠ 1 ˄ 𝑥 ≠ −2. 
Logo 
5𝑥+10
𝑥2−1
÷
3𝑥+6
𝑥+1
=
5𝑥+10
𝑥2−1
∙
𝑥+1
3𝑥+6
=
5
3(𝑥−1)
 para 𝑥 ∈ 𝐼𝑅\ −2, −1,1 . 
b) 
𝑥2−25
15𝑥
÷
𝑥2+10𝑥+25
9𝑥2
=
𝑥2−25
15𝑥
∙
9𝑥2
𝑥2+10𝑥+25
=
 𝑥−5 ∙ 𝑥+5 ∙(3𝑥)∙3𝑥
(3𝑥)∙5. 𝑥+5 ∙(𝑥+5)
=
3𝑥(𝑥−5)
5(𝑥+5)
. 
Nesse caso devemos excluir os números que anulam o denominador. 
 15𝑥 ≠ 0 ˄ 9𝑥2 ≠ 0 ˄ 𝑥2 + 10𝑥 + 25 ≠ 0 
 ⟺ 𝑥 ≠ 0 ˄ 𝑥 + 5 ≠ 0 ˄ 𝑥 + 5 = 0 
 ⟺ 𝑥 ≠ 0 ˄ 𝑥 ≠ −5 
Logo, 
𝑥2−25
15𝑥
÷
𝑥2+10𝑥+25
9𝑥2
=
𝑥2−25
15𝑥
∙
9𝑥2
𝑥2+10𝑥+25
=
3𝑥(𝑥−5)
5(𝑥+5)
, para 𝑥 ∈ 𝐼𝑅\ −5,0 . 
c) 
𝑥
2
÷
2𝑥2−2𝑥
2𝑥
×
3𝑥+2
𝑥−1
=
𝑥
2
∙
2𝑥
2𝑥2−2𝑥
∙
3𝑥+2
𝑥−1
=
𝑥∙(2𝑥)∙(3𝑥+2)
2∙(2𝑥)∙ 𝑥−1 (𝑥−1)
=
𝑥∙(3𝑥+2)
2 𝑥−1 ∙(𝑥−1)
, para 𝑥 ∈
𝐼𝑅\ 0,1 . 
 Então a divisão de duas fracções algébricas é dada por: 
𝑨(𝒙)
𝑩(𝒙)
÷
𝑪(𝒙)
𝑫(𝒙)
=
𝑨(𝒙)
𝑩(𝒙)
×
𝑫(𝒙)
𝑪(𝒙)
 com 𝑩 𝒙 ≠ 𝟎 ˄ 𝑪 𝒙 ≠ 𝟎 ˄ 𝑫(𝒙) ≠ 𝟎. 
3.5. Racionalização de denominadores 
Racionalizar um denominador é escrever uma expressão equivalente mas sem radicais no 
denominador. 
Por exemplo, 
1
 2
 tem um radical no denominador. Para dar a resposta sem radical no 
denominador, deve-se racionalizar o denominador, pelo que: 
1
 2
=
1× 2
 2× 2
=
 2
 4
=
 2
2
, 
(multiplicou-se ambos os termos da fracção por 2 que é o radical que aparece no 
denominador). 
Assim, a resposta deve ser 
 2
2
 e não 
1
 2
. 
a) Para a racionalização dos denominadores recorre-se com frequência às propriedades 
de potenciação e às identidades notáveis. 
b) Para as fracções algébricas do tipo 
𝑞
 𝑎𝑚
𝑛 , o factor racionalizante é 𝑎𝑛−𝑚
𝑛
 , 
porque 𝑎𝑚
𝑛
× 𝑎𝑛−𝑚
𝑛
= 𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎. 
c) Para as fracções do tipo 
𝑞
 𝑎 ± 𝑏
 , o factor racionalizante é 𝑎 ∓ 𝑏 . 
Exemplos: 
a) 
8
 22
3 =
8 21
3
 22
3
 × 21
3 =
8 2
3
 22+1
3 =
8 2
3
 23
3 =
8 2
3
2
= 4 2
3
 
 
b) 
𝑥3
 𝑥3
5 =
𝑥3 ∙ 𝑥2
5
 𝑥3
5
 ∙ 𝑥2
5 =
𝑥3 ∙ 𝑥2
5
 𝑥3+2
5 =
𝑥3 𝑥2
5
 𝑥5
5 =
𝑥3 𝑥2
5
𝑥
= 𝑥2 𝑥2
5
 
c) 
2
 2 + 3
=
2( 2 – 3 )
 2 − 3 ∙ ( 2 + 3 )
=
2( 2 − 3 )
( 2 )2− ( 3 )2
=
2( 2 – 3 )
2−3
= −2 2 − 3 . 
 
d) 
4
 𝑥 − 5
=
4( 𝑥 – 5)
 𝑥 − 5 ∙( 𝑥+ 5 )
=
4( 𝑥 − 5)
( 𝑥)2−( 5 )2
=
4( 𝑥 − 5)
𝑥−5
 
e) 
𝑏
 𝑥
3
−𝑎
=
𝑏∙ ( 𝑥
3
)2+𝑎 𝑥
3
+𝑎2 
( 𝑥
3
−𝑎)∙ ( 𝑥
3
)2+𝑎 𝑥
3
+𝑎2 
=
𝑏∙ ( 𝑥
3
)2+𝑎 𝑥
3
+𝑎2 
( 𝑥
3
)3−𝑎3
=
𝑏∙ ( 𝑥
3
)2+𝑎 𝑥
3
+𝑎2 
𝑥−𝑎3
. Para este ultimo 
caso, aplicou-se identidade notável diferença de cubos, 
 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2.