AULA 3 2sem 2020

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PROJETOS 
BASEADOS NA 
TRANSFORMAÇÃO 
BILINEAR
O PROJETO BASEADO NA TRANSFORMAÇÃO BILINEAR
Fluxo de ações:
As transformações das funções protótipos nas funções de especificação:
Passa baixa passa baixa
Passa baixa passa alta
As transformações das funções protótipos nas funções de especificação:
Passa baixa passa faixa
Passa baixa rejeita faixa
Exemplo:
Dada a função protótipo de um filtro passa baixa, obter
a) Um filtro passa alta com frequência de corte analógico de 40 rad.
b) Um filtro passa faixa com frequência central de 100 rad e banda 
passante de 20 radianos. 
𝑯𝒑𝒔 =
𝟏
𝒔 + 𝟏
Solução a)
H 𝒔 = ඏ𝑯𝒑(𝒔) 𝒔=𝟒𝟎
𝒔
=
𝟏
𝒔
𝟒𝟎
+𝟏
=
𝒔
𝒔+𝟒𝟎
Solução b)
𝑯(𝒔) = ඏ𝑯𝒑(𝒔)
𝒔=
𝒔𝟐+𝟏𝟎𝟎𝟐
𝟐𝟎𝒔
=
𝟏
𝒔𝟐 + 𝟏𝟎𝟎𝟐
𝟐𝟎𝒔
+ 𝟏
=
𝟐𝟎𝒔
𝒔𝟐 + 𝟐𝟎𝒔 + 𝟏𝟎𝟎𝟐
A TRANSFORMAÇÃO BILINEAR
A área sob a curva x(t) até o ponto nT pode ser 
calculada pela integral:
𝑦(𝑡) = න
0
𝑛𝑇
𝑥 𝑡 𝑑𝑡
Cuja transformada 
de Laplace é:
ℒ 𝑦 𝑡 = ℒ 0׬
𝑛𝑇
𝑥 𝑡 𝑑𝑡 =
1
𝑠
ℒ 𝑥 𝑡
Calculando a mesma área na forma de componentes discretas obtemos:
𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛 − 1 +
𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛 − 1)
2
𝑇 ⇒ 𝑌 𝑧 = 𝑧−1𝑌(𝑧_ +
𝑇
2
𝑋 𝑧 + 𝑧−1𝑋(𝑧)
De onde se obtem que: 𝑮 𝒔 =
𝒀(𝒔)
𝑿(𝒔)
=
𝟏
𝒔
Portanto: 𝐻 𝑧 =
𝑌(𝑧)
𝑋(𝑧)
=
𝑇
2
1 + 𝑧−1
1 − 𝑧−1
=
𝑇
2
𝑧 + 1
𝑧 − 1
1
𝑠
=
𝑇
2
𝑧 + 1
𝑧 − 1
⇒ 𝑠 =
2
𝑇
𝑧 − 1
𝑧 + 1
𝑯 𝒔 = 𝑯(𝒛)
Como:
𝑠 =
2
𝑇
𝑧 − 1
𝑧 + 1
TRANSFORMAÇÃO BILINEAR
z=
1+𝑠𝑇/2
1−𝑠𝑇/2
TRANSFORMAÇÃO BILINEAR INVERSA
A especificação do projeto baseado na
transformação bilinear
Dada a especificação de um filtro digital devemos usar o prewarp para a 
frequência equivalente analógica.
Para filtros passa baixa e passa alta:
𝜔𝑎 =
2
𝑇
𝑡𝑎𝑛
𝜔𝑑𝑇
2
Para filtros passa faixa e rejeita faixa:
𝜔𝑎𝐻 =
2
𝑇
𝑡𝑎𝑛
𝜔𝑑𝐻𝑇
2
𝜔𝑎𝐿 =
2
𝑇
𝑡𝑎𝑛
𝜔𝑑𝐿𝑇
2
Nesse caso:
𝜔0 = 𝜔𝑎𝐿 × 𝜔𝑎𝐻 𝑊 = 𝜔𝑎𝐻 − 𝜔𝑎𝐿
n (ordem) Hp(s)
1 𝟏
𝐬 + 𝟏
2 𝟏
𝐬𝟐 + 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝐬 + 𝟏
3 𝟏
𝐬𝟑 + 𝟐𝐬𝟐 + 𝟐𝐬 + 𝟏
4 𝟏
𝐬𝟒 + 𝟐, 𝟔𝟏𝟑𝟏𝐬𝟑 + 𝟓, 𝟐𝟑𝟔𝟏𝐬𝟐 + 𝟐, 𝟔𝟏𝟑𝟏𝐬 + 𝟏
Funções de transferência para o protótipo passa baixas de ButterworthF
n (ordem) Hp(s)
1 𝟐, 𝟖𝟔𝟐𝟖
𝐬 + 𝟐, 𝟖𝟔𝟐𝟖
2 𝟏, 𝟒𝟑𝟏𝟒
𝐬𝟐 + 𝟏, 𝟒𝟐𝟓𝟔𝐬 + 𝟏, 𝟓𝟏𝟔𝟐
3 𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕
𝐬𝟑 + 𝟏, 𝟐𝟓𝟓𝟗𝐬𝟐 + 𝟏, 𝟓𝟑𝟒𝟗𝐬 + 𝟎, 𝟕𝟏𝟓𝟕
4 𝟎, 𝟑𝟓𝟕𝟗
𝐬𝟒 + 𝟏, 𝟏𝟗𝟕𝟒𝐬𝟑 + 𝟏, 𝟕𝟏𝟔𝟗𝐬𝟐 + 𝟏, 𝟎𝟐𝟓𝟓𝐬 + 𝟎, 𝟑𝟕𝟗𝟏
Funções de transferência para o protótipo passa baixas de Chebyschev
com 0,5 dB de ripple 𝜺 = 𝟎, 𝟑𝟒𝟗𝟑
n (ordem) Hp(s)
1 𝟏. 𝟗𝟔𝟓𝟐
𝐬 + 𝟏. 𝟗𝟔𝟓𝟐
2 𝟎, 𝟗𝟖𝟐𝟔
𝐬𝟐 + 𝟏, 𝟎𝟗𝟐𝟕𝐬 + 𝟏, 𝟏𝟎𝟐𝟓
3 𝟏
𝐬𝟑 + 𝟎, 𝟗𝟖𝟖𝟑𝐬𝟐 + 𝟏, 𝟐𝟑𝟖𝟒𝐬 + 𝟎, 𝟒𝟗𝟏𝟑
4 𝟏
𝐬𝟒 + 𝟎, 𝟗𝟓𝟐𝟖𝐬𝟑 + 𝟏, 𝟒𝟓𝟑𝟗𝐬𝟐 + 𝟎, 𝟕𝟒𝟐𝟔𝐬 + 𝟎, 𝟐𝟕𝟓𝟔
Funções de transferência para o protótipo passa baixas de Chebyschev
com 1 dB de ripple 𝜺 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟖𝟖
F