Aula 5

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Prof. Otto H M Silva
Aula 5
Cálculo Diferencial
e Integral a Uma 
Variável
Conversa Inicial
Veremos, nessa
aula, a definição de 
Integral Riemann, o 
teorema fundamental 
do cálculo e suas 
aplicações
Cálculo integral
Soma de Riemann
Seja f uma função 
definida em [a,b] 
(dividido em uma 
partição P, com 
largura ∆� � ���� )
Soma de Riemann
A Soma de Riemann 
é dada por:
∑ 	
��∗
∆����� , em
que ��∗ pertence
ao subintervalo 
�����, ���
2
Seja 	 uma função 
definida em um 
intervalo ��, �� e C
uma constante real.
A soma de Riemann 
de 	 tenderá a C 
quando ∆� → � e 
escrevemos
lim∆�→�∑ 	
��∗
∆����� � �
Integral de Riemann
Riemann demonstrou 
que se a constante C 
existir no limite com 
∆� → �, ela será única
Assim, definimos a 
integral da função 	
no intervalo ��, �� pela 
expressão:
� 	 � ���� �
lim�→�∑ 	
��∗
∆�����
Resolver pelo método 
da soma de Riemann:
� ��� � lim�→�∑ 	
��∗
∆�����
�
� , 
em que 	 � � �, ∆� � ���� ��
� e ��∗ � �
�
�
� ��� � lim�→� ∑ �
�
�
���� . ��
�
�
� ��� � lim�→�
�
�
� ∑ ����� 	��
Exercícios 1b, p. 140
 ��� � lim�→�
�
�
� �
� ! �
� 	
�
�
 ��� � lim�→�
��
�²
�² ! �
� 	
�
�
 ��� � lim�→�
��
� � !
�
�
�
�
 ��� � ���
�
�
Antiderivada e 
integral definida
3
Uma função
#
$
 é chamada 
antiderivada da 
função %
$
 no 
intervalo & se, para 
todo $ ∈ &, tem-se:
#( $ � %
$
Antiderivada
Seja % $ � $³, então 
F $ � *+, é uma 
antiderivada de % em 
-, pois #( $ � $. � % $ . 
Na verdade,
# $ � *+, ! /, ∀/ ∈ - é 
primitiva de %, 
pois	#( $ � % $
Exemplo
Encontrando uma 
antiderivada F, da 
função % $ � $1/. ! $, 
que satisfaça # 1 � 1.
# $ � � $1/. ! $44 5$ �
*6/7
6
7
! *²1 ! /
# 1 � .8 !
9
1 ! / � 1
/ � 1 : .8 :
9
1;/ �
�9
9;
Integral definida
A integral definida
de f de a até b é 
denotada por:
� % $ 5$<=
Integral definida
Teorema fundamental 
do cálculo
4
Seja %: �?, @� → - uma 
função contínua. A 
função A $ � � % B 5B*= é 
derivável em 
?, @
, e:
A( $ � % $ , ou 
A( $ � 55$ % B 5B � %
$
*
=
Se % é uma função 
integrável em �?, @� e 
admite uma primitiva 
#
$
 em �?, @�, então:
 % $ 5$ � # @ : #
?
<
=
Corolário
Calcule I � � $1 ! 2$ 5$19
I � *³. ! $² 9
1
I � 1³. ! 2² :
9³
. ! 1²
E
. ! 4 :
9
. ! 1 �
9G
.
Exemplo
Integrais indefinidas
Seja #
$
 uma 
primitiva da função 
%
$
 no intervalo &. A 
expressão # $ ! c, c ∈
- é chamada integral 
indefinida da função 
% e é denotada por:
Integral indefinida � % $ 5$ � # $ ! /44
Isto é:
 % $ 5$ � # $ ! /
4
4
⟺ #( *
� % $
Em particular: 
 %′ $ 5$ � % $ ! /
4
4
5
Tabela de integrais
��K � K ! L44 ;						� �KK � MN	
K
 ! L
4
4
�KO�K � KOP�OQ� ! L
4
4
��K�K � �KMN	
�
! L
4
4
� RK�K � RK ! L44
� SR� K �K�:TUV	
K
	!L44
� LWS K �K � VXN	
K
	! L44
� SRL² K �K � YZ	
K
	! L44
� LWSRL� K �K � :LWYZ	
K
	! L44
� SRL K YZ
K
�K � SRL	
K
	! L44
� LWSRL K LWYZ K �K �44
:LWSRL	
K
	! L
� [\9�\²4 � ?]/^_` a ! /
4
4
� [\9Q\²4 � ?]/BA a ! /
4
4
� [\\ \b�94 � ?]^_/ a ! /
4
4
Calcule a integral:
& � ��^_/ $ BA $ !44cos $ �$
& �
� ^_/ $ BA $ 5$ ! � cos $ 5$4444
& � sec $ ! ^_` $ ! /
Exemplo
Calcule I � � 9$1 ! 9*³4 5$
4
4
� 9$1 ! 9*³4 5$
4
4 � � 9$1 ! $
g7
b 5$44
I � 9 *³. !
*ghb
gh
b
�
I � 9 *³. :
1
*4 ! /
Na Prática
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Um móvel inicialmente 
encontra-se na origem 
das posições, possui 
uma velocidade dada 
por i Y � jY1 : Y ! �, 
sendo i a velocidade 
(m/s) e t o tempo (s). 
Determine a posição
do móvel depois
de 5 segundos
Finalizando
Foi estudado, nessa 
aula, o conceito de 
Integral de Riemann
e do teorema 
fundamental do 
cálculo e a obtenção 
de fórmulas de 
integração a partir 
desse teorema
Referências
FACCIN, G. M. Elementos de 
cálculo diferencial e 
integral. Curitiba: 
Intersaberes, 2015.
GEOGEBRA. Disponível em: 
<https://www.geogebra.or
g/?lang=pt_BR015>. 
Acesso em: 05 de dez. 
2017.
FÍSICA + MATEMÁTICA. 
Disponível em: 
<http://fisicamaismatemat
ica.blogspot.com.br>. 
Acesso em: 05 dez. 2017.