Matemática Financeira: Juros Compostos e Investimentos

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Universidade Veiga de Almeida
Gestão Financeira – Polo Nova Iguaçu
AVA 1 – MATEMÁTICA FINANCEIRA
Jéssica da Conceição de Freitas
São João de Meriti – 2021
Introdução
Os juros compostos são a base atualmente do sistema financeiro. Ele consiste em somar os juros obtidos ao final de cada período ao capital inicialmente investido. Esse processo ocorre vez após vez até atingir o prazo de aplicação do investimento. 
Situação problema:
Sobre a aplicação de Juros Compostos, regime de capitalização mais utilizado no sistema financeiro, e conhecido como: “JUROS SOBRE JUROS”, vamos resolver as seguintes situações:
 
Situação 1:
Uma pessoa aplicou um capital de R$ 50.000,00 durante 40 meses no regime de capitalização composto. Sabendo que nos 10 primeiros meses a taxa foi de 2% a.m, nos 15 meses seguintes foi de 1,5% a.m e nos últimos 15 meses foi de 2,5% a.m, qual o valor de resgate deste capital aplicado?
	P = 50.000
n =10
i = 2% = 0,02
Fn = ?
Fn = P (1+i.n)
Fn = 50.000.(1+0,02)10
Fn =50.000 (1+0,02)10
Fn = 50.000 . 1,2 10
Fn = 50.000 . 1.21899441999
Fn = 60.949,7209997
	P = 60.949,72
n =15
i = 1,5% = 0,015
Fn = ?
Fn = P (1+i.n)
Fn = 60.949,72 . (1+0,015)15
Fn = 60.949,72 . 1,015 15
Fn = 60.949,72 . 1,25023206665
Fn = 76.201,2956475
	P = 76.201,29
n =15
i = 2,5% = 0,025
Fn = ?
Fn = P (1+i.n)
Fn = 76.201,29 . (1+0,025)15
Fn = 73.500 . 1,025 15
Fn = 76.201,29 . 1.4482981665
Fn = 110.362,196771
RESPOSTA: O valor recebido após os 40 meses será 110.362,20.
Situação 2:
A Concessionário Vende Tudo S/A está oferecendo um automóvel por R$ 35.000,00 à vista, ou entrada de R$ 20% e mais uma parcela de R$ 31.000,00, no fim de 5 meses. Sabendo-se que outra opção seria aplicar esse capital à taxa de 3,5% ao mês no mercado financeiro, determinar a melhor opção para o interessado que possua os recursos disponíveis, comprá-lo pelo método do valor presente e pelo método do valor futuro.
 
1ª opção
Entrada + 1 parcela em 5 meses
P = 35.000 x 20%
P = 7.000 +31.000
P = 38.000
2ª opção
Aplicar o capital à taxa de 3,5% a.m.
P = 28.000
n = 5
i = 3,5 = 0,035 
Fn = ?
Fn = 28.000. (1+0,035)5
Fn = 28.000 . 1,035 5
Fn = 28.000 . 1.18768630565
Fn = 33.255,2165581
RESPOSTA: A melhor opção é dar a entrada, investir o valor restante, e ao final dos 5 meses retirar o valor investido e pagar o que falta do financiamento. Desse modo, ainda restará R$2.255,22.
Situação 3:
Um investidor resgatou a importância de R$ 255.000,00 nos bancos Alfa e Beta. Sabe-se que resgatou 38,55% do Banco Alfa e o restante no banco Beta, com as taxas mensais de 8% e 6%, respectivamente. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Quais foram os valores aplicados nos Bancos Alfa e Beta?
Banco Alfa 
Fórmula: VF = VP.(1+i) n
38,55% = 0,3855
255.000 . 0,3855 = 98.302,50
98.302,50 = VP . (1=0,08) 1
98.302,50 = VP . 1,08
VP = 98.302,50 : 1,08 
VP = 91.020,83
Banco Beta
61,45% = 0,6145
255.000 . 0,6145 = 156,697,50
156.697 = VP . (1 + 0,06) 1
156.697,50 = VP.1,06
VP = 156.697,50 : 1,06
VP = 147.827,83
RESPOSTA: Valor aplicado no Banco Alfa: R$91.020,83.
Valor aplicado no Banco Beta: 147.827,83.
 
Situação 4:
Quantos dias serão necessários para que um investidor consiga triplicar uma aplicação financeira de 6% ao ano, pelo regime de juros compostos? E quantos meses seriam necessários para duplicar um capital investido a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao semestre?
1º Problema
Formula: VF = VP . (1+ i) n
150 = 50.(1+ 0,06) n 
150 = 50 . 1,06 n
150 : 50 = 1,06 n 
3 = 1,06 n 
0,4771212 : 0,253058 = n
n = 18,8541766 
18,8541766 . 360 = 6.787,503605
RESPOSTA: Para triplicar um capital de R$50,00 com juros de 6% ao ano são necessários aproximadamente 6.787 dias.
2º Problema
Formula: VF = VP . (1+ i) n
100 = 50 . (1+0,035) n
100 = 50 . 1,035 n
100 : 50 = 1,035 n
2 = 1,035 n
0.30102999 : 0.01494034
n = 20,1487916876
n = 20,1487916876 . 6 = 120,8927501261
RESPOSTA: São necessários aproximadamente 120 meses para duplicar os investimentos com taxas de 3,5% ao semestre.
Situação 5:
Um investidor aplicou R$100.000,00 em um CDB prefixado e resgatou R$110.000,00 após 63 dias úteis. Determine a taxa anual de juros desta aplicação, de acordo com o regime composto de capitalização.
Formula: VF = VP . (1+ i) n
110.000 = 100.000 . (1+i) 0,25
110.000 : 100.000 = (1 + i) 0,25
1,1 = (1 + i) 0,25
 1,1 1/0,25 = 1 + i
1,1 4 = 1= i
1,4641 = 1 = i
i = 1,4641 – 1
i = 0,4641 . 100 = 46,41%
RESPOSTA: A taxa anual desse investimento é de 46,41%.