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ROTEIRO DE PRÁTICA Tema Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no GeoGebra Unidade 01 Disciplina (s) ▪ Álgebra Linear Computacional Data da última atualização 03/02/2020 I. Instruções e observações LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 1. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial. 2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 3. II. Materiais Descrição Quantidade Software GeoGebra 3D Online Roteiro da prática 1 Calculadora científica 1 III. Introdução A compreensão dos conceitos, bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas Produto Escalar e Produto Vetorial são de suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/Ciências. Tal importância surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de problemas típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar: ▪ Cálculo de ângulos, áreas e volumes. ▪ Determinação do momento de uma força. ▪ Trabalho realizado por uma força. ▪ Fluxo de água através de uma mangueira. Nessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (https://www.geogebra.org/) para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo. IV. Objetivos de Aprendizagem ▪ Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial. ▪ Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além disso, usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo. https://www.geogebra.org/ V. Experimento ETAPA 1: determinação do ângulo entre dois vetores PASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores �⃗� = (1,1,1) e 𝑣 = (1,1,3). O Geogebra reconhece os vetores a partir de letras minúsculas. PASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas cartesianas e as extremidades dos vetores já representados: 𝐴 = (0,0,0), 𝐵 = (1,1,1) e 𝐶(1,1,3). Esses pontos servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 , conforme PASSO 3 abaixo. PASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO , clique sequencialmente nos pontos 𝐵→𝐴→𝐶. Qual o ângulo apresentado? O ângulo que foi apresentado no GeoGebra, conforme mostra afigura abaixo, é de 29,5º graus. PASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 e compare o resultado com o valor encontrado no PASSO 3. �⃗� ∙ 𝑣 = |�⃗� | |𝑣| cos (�⃗� , 𝑣 ) Realizando o cálculo conforme utilizando a formula apresentada no passo 4 abaixo segue a resolução. O resultado obtido após realização do calculo foi o mesmo do experimento feito no GeoGebra. ETAPA 2: determinação do produto vetorial PASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores �⃗� e 𝑣 . O problema dos vetores pode ser calculado conforme mostra a resolução do determinante abaixo: PASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor �⃗⃗� = �⃗� × 𝑣 . Para isso, digite a função �⃗⃗� = �⃗� ⊗ 𝑣 . Compare o resultado com o vetor determinado no PASSO 5. Observação: o operador ⊗ pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento: O mesmo Resultado do cálculo do PASSO 5 foi obtido através do GeoGebra como apresentado na imagem abaixo, conforme solicitado no PASSO 6. PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de vetores (�⃗� , �⃗⃗� ) e (𝑣 , �⃗⃗� ). O resultado verificado era previsível? Por quê? Os valores para ângulos encontrados são iguais a 90º, precisamente como o esperado, já que o produto vetorial gera um vetor ortogonal aos vetores que lhe deram origem: ETAPA 3: determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial PASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos , clique nos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 para representar o triângulo 𝐴𝐵�̂�. PASSO 9: Identifique a área do polígono 𝐴𝐵�̂�, clicando na ferramenta de medição de área e, em sequência, no polígono representado. Qual o valor da área encontrada? O valor da área do polígono 𝐀𝐁�̂� encontrado é de 1,41 como mostra a imagem abaixo. PASSO 10: Utilize produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: 𝐴 = 1 2 |�⃗� × 𝑣 |. Realizando o cálculo temos que: Após realização do cálculo foi observado que a área da figura possui o mesmo valor do produto vetorial, ou seja, a área do paralelogramo dividido por 2. VII. Referências ▪ PAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392. ▪ SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.
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