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ALC - P1 - Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no Geogebra

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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no 
GeoGebra 
Unidade 01 
Disciplina (s) ▪ Álgebra Linear Computacional 
Data da última 
atualização 
03/02/2020 
 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial. 
2. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos. 
3. 
 
II. Materiais 
Descrição Quantidade 
Software GeoGebra 3D Online 
Roteiro da prática 1 
Calculadora científica 1 
III. Introdução 
A compreensão dos conceitos, bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas Produto Escalar e 
Produto Vetorial são de suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/Ciências. Tal importância 
surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de problemas 
típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar: 
▪ Cálculo de ângulos, áreas e volumes. 
▪ Determinação do momento de uma força. 
▪ Trabalho realizado por uma força. 
▪ Fluxo de água através de uma mangueira. 
Nessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (https://www.geogebra.org/) para determinação do ângulo e 
do produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo. 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
▪ Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois 
vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial. 
▪ Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além disso, 
usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo. 
 
 
 
https://www.geogebra.org/
 
 
 
 
 
 V. Experimento 
 
ETAPA 1: determinação do ângulo entre dois vetores 
 
PASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores �⃗� = (1,1,1) e 𝑣 = (1,1,3). O Geogebra reconhece os vetores a partir 
de letras minúsculas. 
 
PASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas e as extremidades dos vetores já representados: 𝐴 = (0,0,0), 𝐵 = (1,1,1) e 𝐶(1,1,3). Esses pontos 
servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 , conforme PASSO 3 abaixo. 
PASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO , clique sequencialmente nos pontos 𝐵→𝐴→𝐶. Qual o 
ângulo apresentado? 
 
O ângulo que foi apresentado no GeoGebra, conforme mostra afigura abaixo, é de 29,5º graus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 e compare o resultado com o valor 
encontrado no PASSO 3. 
�⃗� ∙ 𝑣 = |�⃗� | |𝑣| cos (�⃗� , 𝑣 ) 
 
Realizando o cálculo conforme utilizando a formula apresentada no passo 4 abaixo segue a resolução. 
 
O resultado obtido após realização do calculo foi o mesmo do experimento feito no GeoGebra. 
 
ETAPA 2: determinação do produto vetorial 
 
PASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores �⃗� e 𝑣 . 
 
 
O problema dos vetores pode ser calculado conforme mostra a resolução do determinante abaixo: 
 
 
 
PASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor �⃗⃗� = �⃗� × 𝑣 . Para isso, digite a função �⃗⃗� = �⃗� ⊗ 𝑣 . Compare o 
resultado com o vetor determinado no PASSO 5. 
Observação: o operador ⊗ pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento: 
O mesmo Resultado do cálculo do PASSO 5 foi obtido através do GeoGebra como apresentado na 
imagem abaixo, conforme solicitado no PASSO 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de 
vetores (�⃗� , �⃗⃗� ) e (𝑣 , �⃗⃗� ). O resultado verificado era previsível? Por quê? 
 
Os valores para ângulos encontrados são iguais a 90º, precisamente como o esperado, já que o 
produto vetorial gera um vetor ortogonal aos vetores que lhe deram origem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 3: determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial 
 
PASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos , clique nos pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 para representar o 
triângulo 𝐴𝐵�̂�. 
PASSO 9: Identifique a área do polígono 𝐴𝐵�̂�, clicando na ferramenta de medição de área e, em sequência, 
no polígono representado. Qual o valor da área encontrada? 
 
O valor da área do polígono 𝐀𝐁�̂� encontrado é de 1,41 como mostra a imagem abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 10: Utilize produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: 𝐴 =
1
2
|�⃗� × 𝑣 |. 
 
Realizando o cálculo temos que: 
 
 
Após realização do cálculo foi observado que a área da figura possui o mesmo valor do produto 
vetorial, ou seja, a área do paralelogramo dividido por 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII. Referências 
 
▪ PAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392. 
 
▪ SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.