23-32 mát

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 Matemática 23
A pintura Imagine foi inspirada no cantor John Lennon. 
Considerando que o artista Kobra tenha usado uma superfície de 
256 m2 com formato similar a de um quadrado para criar essa 
obra, podemos escrever a equação do 2º. grau x2 = 256 para 
representar sua área, sendo x a medida, em metros, dos lados 
dessa superfície quadrada. 
a) Quais números elevados ao quadrado resultam em 256? 
b) Entre as respostas encontradas no item anterior, qual indica a 
medida dos lados dessa superfície quadrada?
O número 16. Como se trata de uma medida, temos que considerar os 
valores maiores do que zero. 
Depois de resolver uma equação, é importante analisar se todos os valores encontrados satisfazem o 
problema. Nesse exemplo, a equação x2 = 256 apresenta duas raízes. Porém, como o problema trata das 
medidas dos lados de um painel, devemos considerar apenas a raiz cujo valor é maior do que zero.
Veja como podemos resolver a equação x2 = 144.
São 16 e –16, pois 16 = (–16) = 256.2 2
Mostre aos alunos que essa equação pode ser escrita da forma x2 – 256 = 0, em que a = 1, b = 0 e c = –256.
Lembre-se de que a raiz quadrada de um número é única. Por 
exemplo, a raiz quadrada de 144 tem o resultado único, que é 12, 
ou seja, 144 12 . O que temos que observar em x2 = 144 é que 
há dois números que satisfazem essa equação, são eles: x = 12 e 
x = –12. Esses números são as raízes da equação.
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Sh
u
tt
er
st
o
ck
/S
im
p
ly
D
ay
2 3
x = ±
4
3
x = ±
2 Assim, x = +
3
2
 ou x = _
3
2
 são as 
raízes dessa equação.
– 4 x2 + 3 = 0
– 4x2 + 3 – 3 = – 3
– 4x2 = – 3
– 4 – 4
Princípio aditivo: subtraímos 3 dos dois 
membros, sem alterar a igualdade.
Princípio multiplicativo: dividimos por –4 
os dois membros, sem alterar a igualdade. 
Extraímos a raiz quadrada de ambos os 
membros da equação.
– 4x2
x =2 
– 3
3
4
• Imagine, 2017 
Utilizando essas ideias, observe como foram resolvidas as equações a seguir.
QUAIS NÚMEROS 
QUE ELEVADOS 
AO QUADRADO 
RESULTAM EM 144? 
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SB
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n
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G
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C
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9
o
. ano – Volume 324
Agora é com você! Determine as raízes da equação 2x2 – 8 = 0.
2 8 0
2 8
4
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x
 
 
 
 r
 r
 
Assim, x = 2 e x = –2 são as raízes dessa equação.
Veja ao lado uma parte da resolução da equação x + 2 = 0.2
Qual número real elevado ao quadrado resulta em –2?
Não há um número real que elevado ao quadrado resulte em –2.
Peça aos alunos que substituam os valores encontrados na equação para verificar que x = 2 e x = –2 são 
realmente raízes.
x
x
2
2
2 0
2
 
 
Quando a equação não admite um número real de modo que torne a 
igualdade verdadeira, dizemos que ela não apresenta solução.
Equação polinomial do 2º. grau incompleta para c = 0
Dolores tem uma escola de flamenco, dança típica da Espanha. Ela 
contratou um marceneiro para construir dois tablados de madeira, um 
com a superfície superior de formato quadrado e o outro com formato 
retangular, ambos com a mesma área. Observe a seguir a vista superior 
desses tablados, com medidas em metros.
As expressões algébricas que representam as áreas da 
superfície superior dos tablados são x2 e . 6x
Como os dois tablados têm a mesma área, podemos es-
crever a equação x2 = 6x, que relaciona a área do tablado 
quadrado e a área do tablado retangular.
• Quais valores de x satisfazem essa equação, ou seja, quais as raízes?
x = 6 e x = 0. Esperamos que os alunos encontrem esses valores por tentativa e erro.
Veja como podemos determinar as raízes dessa equação.
x 2x
x
3
Mostre aos alunos que essa equação pode ser escrita da forma x2 – 6x = 0, em que a = 1, b = –6 e c = 0.
• Aplicando as operações necessárias, podemos 
escrever todos os termos no primeiro membro 
da equação.
x2 – 6x = 0
• Como x é fator comum dos termos que estão no 
primeiro membro da equação, podemos deixá-
-lo em evidência.
x · (x – 6) = 0
• Observe que o produto desses fatores resulta 
em zero. Se o produto resulta em zero, pelo me-
nos o primeiro fator (x) é igual a 0 ou o segundo 
fator (x – 6) é igual a 0. Assim: 
x · (x – 6) = 0
x = 0 ou
x – 6 = 0 x = 6
Portanto, os valores de x que satisfazem a equa-
ção x2 – 6x = 0 são x = 0 e x = 6. Essas são as raízes 
da equação.
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m
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C
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 Matemática 25
Usando a fatoração, determine as raízes da equação 2m2 – m = 0. 
x = 6 2x = 2 · 6 = 12
x = 6
3
 1. Determine as raízes reais, quando houver, de cada equação polinomial do 2º. grau incompleta.
a) 5x2 – 10 = 0
b) 10y2 – 200y = 0 
c) 3x2 + 27 = 0 
d) 30n2 + 270n = 0
e) x
x2
5
0 
f) 2p2 = 0 
g) (5a – 1)2 = 1
h) (2y + 3) – 9 = 12y 2
i) 
5 3
3
3
14
7
2x x
 

 
j) ( ) ( )x x x   1 2 4
 2. Há números que, ao serem elevados ao quadrado e somados com 12, resultam em 93. Que números são 
esses? 
 3. Luíza usou 1 350 cm2 de papel colorido para embrulhar uma caixa cúbica usada para embalar um presen-
te. Considerando que não haja sobreposição de papel, determine a medida das arestas dessa caixa.
 
Chamando de x a medida das arestas dessa 
caixa, temos: 
6 1 350
1 350
6
225
225
15
2
2
2
x
x
x
x
x
 
 
 
 r
 r
As raízes dessa equação são 
x = 15 e x = –15. Como o problema envolve 
medida de comprimento, consideramos 
apenas x = 15. Assim, a medida das arestas é 
igual a 15 cm. 
 4. Determine o comprimento e a largura de um retângulo de área igual a 640 cm2, sabendo que a medida 
da sua largura é igual a 2
5
 do seu comprimento. 
Ativ
idad
es
15 Gabaritos.
2 0
2 1 0
0 2 1 0
1
2
2m m
m m
m ou m m
 
  
  o 
( )
 Assim, as raízes são m = 0 e m 
1
2
.
Lembrando que, como o problema envolve medidas 
de comprimento, x não poderia ser igual a zero. Assim, 
nos sobra a raiz x = 6, e nessa situação as medidas dos la-
dos do tablado, em metros, seriam as indicadas na figura 
ao lado.
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 T
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 P
h
o
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g
ra
p
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. ano – Volume 326
( )x
x
x
 
 r
 r
7 25
7 25
7 5
2
Veja que estamos em busca de um número (x – 7) que elevado ao 
quadrado resulta em 25. Assim, temos duas possibilidades:
x – 7 = ou x – 7 = +5 –5
Resolvendo essas duas equações, obtemos:
x – 7 = 5 
x – 7 = 5 + 7 + 7 ou
x = 12
x – 7 = –5
x – 7 = + 7 –5 + 7
x = 2
As raízes são x = 12 e x = 2.
Jogo das equações
Para esse jogo, você precisará recortar os cartões disponíveis no material de apoio. 
Esses cartões apresentam equações polinomiais do 2º. grau incompletas e as respecti-
vas raízes.
Como jogar
1. Reúna-se com um ou dois colegas.
2. Distribuam sobre a carteira os cartões de um dos jogos somente, com as equa-
ções e as raízes voltadas para baixo.
3. Cada jogador, na sua vez, vira dois cartões tentando formar o par: uma equação e 
as raízes correspondentes. Resolva as equações mentalmente ou em uma folha.
4. O jogador que formar o par correto (equação e raízes correspondentes) ganha um ponto e mantém os car-
tões virados para cima na carteira. Caso não forme o par, vira os cartõespara baixo novamente e passa a vez.
5. Vence aquele que marcar mais pontos depois de serem formados todos os pares corretamente.
Equação polinomial do 2º. grau completa 
Método da fatoração 
Observe a equação do 2º. grau x2 – 6x + 9 = 0. Dizemos que ela é completa, pois os valores dos coeficientes 
b c e são diferentes de zero. Usaremos a fatoração, estudada anteriormente, para resolvê-la, ou seja, para deter-
minar suas raízes. Acompanhe:
x2 – 6x + 9 = 0
–2 · x 3 · 
( )x 2 ( )3 2
Assim:
x2 – 6x + 9 = 0
x2 – 2 · x 3 · 3 + 2 = 0
(x – 3)2 = 0
Perceba que a expressão x2 – 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito e a escrevemos como o quadrado da 
diferença de dois termos, (x – 3)2. Escrever a equação do 2º. grau como (x – 3)2 = 0 nos ajuda a perceber que 
existe um número (x – 3) que elevado ao quadrado resulta em zero. E isso se deve ao fato de x – 3 ser igual a 0. 
Portanto, x – 3 = 0, ou seja, a raiz da equação é x = 3.
De acordo com essas ideias, veja como podemos resolver a equação (x – 7)2 = 25.
16x2 = 9
Raízes:
e –
Raízes:
+10 e –10
3
4
= 0
3x2
4
3
4
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. 2
01
9.
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 Matemática 27
Seguindo o mesmo raciocínio, resolva a equação (3x + 5)2 = 121.
3 5 11 3 5 11
3 11 5 3 11 5
3 6 3 16
2
16
3
x x
x ou x
x x
x x
  
   
 
 
Assim, as raízes são 
16
3
 e 2.( )3 5 121
3 5 121
3 5 11
2x
x
x
 
 r
 r
Método de completar quadrados 
Muitas equações completas do 2º. grau não envolvem um trinô-
mio quadrado perfeito. Nesses casos, podemos utilizar o método de 
completar quadrados, apresentado no século IX pelo matemático 
árabe Al-Khwarizmi em seu livro Hisab al-jabr w’al muqabala. 
Vamos utilizar o método de completar quadrados para resolver 
a equação x2 + 8x – 48 = 0, a qual não é um trinômio quadrado 
perfeito.
Pelo princípio aditivo, somamos 48 a ambos os lados da igualda-
de, com o objetivo de manter no primeiro membro apenas termos 
com a mesma parte literal.
x2 + 8x – 48 = 0 + 48 + 48
x2 + 8x = 48
O objetivo agora é construir um trinômio quadrado perfeito a partir da expressão x2 + 8x. Para isso, usare-
mos como auxílio a figura a seguir, que ilustra a ideia de que x2 representa a área de um quadrado cujos lados 
medem x cm e que 8x representa a área de 8 retângulos, cada qual com comprimento e largura de x cm e 
1 cm, respectivamente.
• Estátua de Al-Khwarizmi, Khiva, Uzbequistão
Verifique com os alunos que x2 + 8x – 48 = 0 não é um trinômio quadrado 
perfeito usando o método da fatoração estudado anteriormente.
x
xx
x1 cm
Comente com os alunos que essa informação é dada a partir 
da equação encontrada x2 + 8x = 48.
A área, em centímetros quadrados, de um retângulo amarelo é x e a área do quadrado laranja é x2. A equa-
ção x2 + 8x = 48 representa a área dessa figura, que é formada por um quadrado laranja e 8 retângulos amarelos. 
Como as medidas estão em centímetros, essa área é 48 cm2. 
• Recorte os quadrados disponibilizados no material de apoio e use os que forem necessários na figura até 
formar um quadrado.
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o
. ano – Volume 328
A medida dos lados dos quadrados do material de apoio é de 1 cm e, assim, a área de cada um é de 1 cm2. 
Além disso, devem ser usados 16 desses quadrados para completar a figura até formar um quadrado maior, so-
mando uma área equivalente a 16 · 1 cm2 = cm16 2 à área da figura original. Nesse caso, a área total do quadrado 
construído corresponde a 48 cm2 + 16cm2 = cm64 2. Assim, podemos representar a área total do quadrado por 
meio da seguinte equação:
x2 + 8x = 48 + 16 + 16
x2 + 8x + 16 = 64
Trinômio quadrado perfeito
(x + 4) = 642
Observe que a expressão x2 + 8x + 16 é um trinômio quadrado perfeito e pode ser fatorada como 
(x + 4)2. Note também que as medidas, em centímetros, dos lados do quadrado construído são representadas 
pela expressão x + 4.
Resolvendo essa equação, obtemos:
Retome a figura com os alunos e peça que verifiquem que a medida dos lados é igual a x + 4.
( )x
x
x
oux
x
x
x
 
 r
 r
 
 
 
 
4 64
4 64
4 8
4 8
4
4 8
12
2
Assim, as raízes da equação são x = 4 e x = –12.
Lembre-se de que se pensarmos nas medidas do novo quadrado construído, devemos descartar o valor 
x = –12 e considerar apenas x = 4 como solução da equação. 
Também é possível encontrar os termos que estão faltando na expressão para se chegar a um trinômio 
quadrado perfeito. Acompanhe:
x2 + 8x – 48 = 0
x2 + 8x = 48
(x)2 2 · x · 4
Para que a expressão do primeiro membro da equação seja um trinômio quadrado perfeito, é preciso ter o termo 
42 = 16. Pelo princípio aditivo, podemos adicionar 16 unidades a ambos os membros da igualdade, sem alterá-la.
x2 + 8x = 48 x + 8x = 48 x + 8x + 16 = 64 (x + 4) = 64 2 + 16 + 16  2  2
Para que os alunos compreendam o desenvolvimento da técnica de 
completar quadrados, é essencial que inicialmente sejam desenvolvidas 
as representações algébrica e geométrica de forma simultânea, para que 
posteriormente os alunos possam utilizar diretamente a forma algébrica. 
Matemática em detalhes
Outra forma de resolver uma equação do 2º. grau é por meio da fórmula resolutiva de equações do 2º. grau.
O matemático hindu Bhaskara viveu por volta de 1114 até 1185 e desenvolveu diversos problemas que 
envolvem a resolução de equações do 2º. grau. Talvez seja por esse motivo que a fórmula resolutiva de equações 
do 2º. grau tenha levado o nome de .fórmula de Bhaskara
Há diversos desenvolvimentos com os quais é possível chegar a essa fórmula. Considere a equação do 2º. grau 
ax bx c2 0  , lembrando que a, e b c são números reais, com a ≠ 0.
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 Matemática 29
Essa propriedade pode ser usada, pois ( )2 2ax b resulta em um nú-
mero igual ou maior do que zero, logo, b ac2 4 também resultará.
ax bx c
ax bx c
ax bx c
a x abx ac
c c
a a
2
2
2
2 2
0
4 4 4
4
4 4
  
 
   
 
 
( ) ( )
aa x abx ac
a x abx b b ac
b b
2 2
2 2 2 2
2 2
4 4
4 4 4
 
  
 
Pelo princípio aditivo, subtraímos de ambos os lados c
da igualdade, sem alterá-la.
Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos por 4a am-
bos os lados da igualdade, sem alterá-la.
Pelo princípio aditivo, adicionamos b2 a ambos os lados 
da igualdade, sem alterá-la.
Com essas operações, chegamos à expressão 4a2x2 + 4abx + b , que é um trinômio quadrado perfeito e, 2
portanto, pode ser escrita como (2ax + b)2. Assim:
4 4 4
2 4
2 2 2 2
2 2
a x abx b b ac
ax b b ac
  
 ( )
Usando a propriedade da raiz quadrada, obtemos:
2 4
2
ax b b ac r 
2 4
2 4
4
2
2
2
2
ax b b ac
ax b b ac
x
b b ac
a
 
  
 
 



 ou
2 4
2 4
4
2
2
2
2
ax b b ac
ax b b ac
x
b b ac
a
 
  
 
 



Assim, as raízes são x
b b ac
a
1
2 4
2
 
 
 e x
b b ac
a
2
2 4
2
 
 
. Dessa forma, podemos es-
crever a fórmula resolutiva de equações do 2º. grau como:
x
b b ac
a
 
 r 2 4
2
Podemos usar essa fórmula para calcular as raízes x1 e x2 da equação do 2º. grau conhecendo os respectivos 
coeficientes a, e . b c
A expressão b2 – 4ac é chamada de discriminante da equação e podemos representá-la pela letra grega 
' (delta). Portanto:
' b ac2 4
O estudo do discriminante ' b ac
2 4 é útil para determinarmos 
quantas raízesadmite uma equação do 2º. grau.
Para ' > 0, temos duas raízes reais e distintas.
Para ' = 0, temos duas raízes reais e iguais.
Para ' < 0, a equação não admite raiz real.
O uso da fórmula resolutiva e o estudo do discriminante são válidos tanto para as equações completas como 
para as equações incompletas do 2º. grau.
Comente com os alunos que é possível 
encontrar em questões de concursos e 
vestibulares enunciados que dizem que 
a equação do 2º. grau apresenta uma 
única raiz real quando ' = 0. Isso signi-
fica que a equação apresenta duas raízes 
reais e iguais.
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o
. ano – Volume 330
 4. Elabore um problema que possa ser representado por uma equação polinomial do 2º. grau. Em seguida, 
peça a um colega que o resolva e que determine as raízes da equação correspondente. Analisem juntos a 
resolução e verifiquem se a solução encontrada atende às especificações do problema elaborado por você. 
Pessoal.
• Utilize a fórmula resolutiva apresentada na página anterior para calcular as raízes da equação x2 + 8x – 48 = 0.
a = 1 b = 8 c = –48
'
'
'
'
 
    
 
 
b ac2
2
4
8 4 1 48
6 1924
256
( )
x
b
a
x
x
 
 r
 
 r

 
 r
'
2
8 256
2 1
8 16
2
x
ou
x
1
2
8 16
2
8
2
4
8 16
2
24
2
12
 
 
 
 
 
  
As raízes da equação são –12 e 4.
 1. Determine as raízes de cada equação polinomial do 2º. grau pelo método que preferir. 
a) x2 – 4x + 4 = 0 
b) y2 – 14y + 49 = 9 
c) x x2
1
4
25  
d) a2 + 8a + 7 = 0 
e) 4x2 + 12x + 5 = 0
f)    4 16 9 02x x
g) 2 6 4 02x x  
h) x x2 2 15 0  
 2. A diferença entre o quadrado de um número real positivo e o quádruplo desse número é 165. Que nú-
mero é esse? 
 3. Paulo tem um espaço de lazer em um terreno retangular de área 135m2. Para a privacidade da sua famí-
lia, ele construiu uma cerca em torno do terreno. Considere as medidas indicadas na figura em metros e 
determine o comprimento da cerca que contorna todo o terreno de Paulo. 
Ativ
idad
es
16 Gabaritos.
Fl
ap
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. 2
01
9.
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.
a + 6
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 Matemática 31
 5. Classifique as equações polinomiais do 2º. grau de acordo com suas raízes.
(a) Duas raízes reais e diferentes (b) Duas raízes reais e iguais (c) Nenhuma raiz real
( a ) x x2 2 8 0  
( b ) x x2 6 9 0  
( a ) 5 4
1
5
02x x  
( c ) x 2 64 0 
( b ) x 2 0 
( a )    2 2 40 02x x
( a ) 3 6 72 02x x  
( a ) 6 8 02x  
( c ) 10 10 102x  
( b ) 2 8 8 02x x  
( a ) 4 2 500 0
2
x  
 6. Você aprendeu que a equação polinomial do 2º. grau pode ser escrita da forma ax x c2 0  b , em que 
a b c, e são números reais, com a ≠ 0. Se chamarmos de S a soma das raízes x1 e x 2 dessa equação e de P
o produto dessas raízes, escrevemos a equação inicial na forma:
x xS P2 0  
com: 
S x x
a
  1 2
b
 e P x x
c
a
  1 2
Assim, é possível determinar as raízes da equação conhecendo a soma e o produto de suas raízes.
Utilize essas informações para determinar as raízes das equações a seguir.
a) x x2 5 6 0  
b) x x2 2 24 0  
c) x x2 2 3 0  
d) 2 12 32 02x x  
e)    x x2 14 32 0
f) 2 24 72 02x x  
Incentive os alunos a calcular 
o valor do discriminante de 
cada equação para analisar o 
tipo de suas raízes.
Veja nas orientações didáticas a demonstração dessa relação. Se preferir, apresente-a à turma.
Sugestão de atividades: 
questões de 8 a 10 da seção 
Hora de estudo.
Organize as ideias 
Neste capítulo, ampliamos o conhecimento sobre álgebra com o estudo de produtos notáveis, fatoração de 
polinômios e sobre a resolução de equações do 2º. grau. 
 1. Complete os quadros com as informações que estejam faltando de acordo com o que estudou a respeito 
de produtos notáveis e fatoração.
Produto notável Expressão Resultado
Quadrado da soma de dois 
termos 
(m + n)2 m + 2mn + n2 2
Quadrado da diferença de 
dois termos
(m – n)2 m
2 – 2mn + n2
Produto da soma pela 
diferença de dois termos 
(m + n) (m − n)∙ m − n²2
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não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 25/06/2021 09:04:42
Hora d
e estu
do
32
Caso de fatoração Exemplo de expressão algébrica Forma fatorada
Fator comum 4m + 2mn – 6mp 2m ∙ (2 + n – 3p)
Agrupamento ax + ay + 2bx + 6by a ∙ (x + y) + 2b ∙ (x + 3y)
Diferença de dois quadrados m² – n² (m + n) ∙ (m – n)
Trinômio quadrado perfeito x2 + 2xy + y2 (x + y)2
 2. Complete o esquema a seguir sobre equações do 2º. grau.
Equação polinomial
do 2º. grau
O que caracteriza uma equação do 2º. grau?
Determine os coeficientes a, b 
e c da equação 3x2 – 4x + 1 = 0.
Escreva dois exemplos de equações
polinomiais do 2º. grau completas.
Escreva dois exemplos de equações
polinomiais do 2º. grau incompletas.
O maior expoente da incógnita da equação ser 2.
Pessoal. Sugestões de resposta:
3x2 – 4x = 0, 3x = 0, 3x2 2 + 1 = 0
Pessoal. Sugestões de resposta:
x2 + x + 1 = 0, –x + √5 x – 1 = 0, 2
2x2 – 6x – 10 = 0
a = 3 b = – 4 c = 1
 1. Márcia encomendou um espelho quadrado 
para seu salão de beleza. Quando a encomenda 
foi entregue, ela percebeu que havia se equivo-
cado na medida dos lados desse espelho e pe-
diu que reduzissem em 5 cm a medida de cada 
lado.
a) Escreva uma expressão algébrica que repre-
sente a área desse espelho antes da redução 
da medida dos lados.
b) Represente com um trinômio a área desse 
espelho após a redução da medida dos 
lados. 
c) Se a medida dos lados do espelho era inicial-
mente 95 cm, qual é a área do espelho após 
a redução da medida dos lados? 
 2. (IFAL) Determine o valor do produto (3x + 2y)2, 
sabendo que 9x2 + 4y = 25 e xy = 2. 2
a) 27
b) 31
c) 38
X d) 49
e) 54
 3. (UFRGS – RS) Se x + y = 13 e x  y = 1 então 
x2 + y é: 2
a) 166
X b) 167
c) 168
d) 169
e) 170 
 4. (IFPE) Efetuando-se (2 341)2 – (2 340)2 , obtém-se: 
a) 6 498
b) 1
X c) 4 681
d) 2 681
e) 8 689
Todas as questões devem ser resolvidas no caderno.17 Gabaritos.