Livro de atividades matemática 3 bimestre

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Livro do professor
Livro de
atividades
Ângulos na 
circunferência 28
9
Funções 168
7
Expressões algébricas e 
equações do 2.
o
 grau 2
9
o
. ano
Volume 3
Matemática
circu
©Shutterstock/Khuntapol
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2 Livro de atividades 
7
Expressões algébricas 
e equações do 2.° grau
Produtos notáveis 
Algumas multiplicações de polinômios apresentam regularidade em seus resultados. As demonstrações 
desses resultados podem ser de forma algébrica, aplicando a propriedade distributiva, ou de forma geométrica, 
utilizando a decomposição de retângulo e o cálculo de área. 
Quadrado da soma de dois termos 
( )a b a ab b  2 2 22
Algebricamente, temos: 
( ) ( ) ( )a b a b a b   2
( )
( )
a b a ab ba b
a b a ab b
   
  
2 2 2
2 2 22
Também podemos analisar geometricamente essa relação.
a b
a + b
a2 ab ab
b2
Perceba que a área do quadrado maior é igual a (a + b) ⋅ (a + b) e que ele pode ser decomposto em figuras 
menores de áreas a2, ab, ab e b . 2
Quadrado da diferença de dois termos
( )a b a ab b  2 2 22
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3 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
Algebricamente, temos:
( ) ( ) ( )a b a b a b   2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
a b a a a b b a b b
a b a ab ab b
a b
           
   

2
2 2 2
2  a ab b2 22 
Podemos chegar a esse resultado de forma geométrica ao analisar a área 
do quadrado laranja em relação às áreas das outras figuras. 
Perceba que a área do quadrado laranja é igual à área total do quadrado 
verde menos as áreas dos dois retângulos e do quadrado cinza.
a
b
a − b a − b
a − b
b
b
a − b
a
a − b
a
b
a − b
a − b
b
b
Note que o quadrado da diferença pode ser verificado usando o quadrado da soma.
( ) ( ( )) ( ) ( )a b a b a a b b a ab b        2 2 2 2 2 22 2
Produto da soma pela diferença de dois termos
( ) ( )a b a b a b   2 2
Algebricamente, temos:
(a + b) (⋅ a – b) = a2 – ab + ab – b2
(a + b) ( – b⋅ a – b) = a2 2
(a + b) ⋅ (a – b) = a ⋅ a – a ⋅ b + b ⋅ a – b ∙ b
Fatoração
Fatorar um polinômio é escrevê-lo como um produto de dois ou mais polinômios. A fatoração de poli-
nômios é um recurso válido em diversos cálculos algébricos. Nesse momento, vamos usá-la para simplificar 
expressões. Relembre alguns casos de fatoração.
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4 Livro de atividades 
Fator comum
Observe os três retângulos a seguir. Eles apresentam a mesma altura a, e suas áreas estão uma a uma indicadas.
b c d
ab ac ad+ + a
Ao juntarmos os três retângulos, obtemos a figura a seguir.
ab ac ad
A área do novo retângulo é dada pela soma das áreas de cada um dos retângulos, ou seja, é igual a ab + ac + ad. 
Note que o fator a aparece em todos os termos da adição. Dessa maneira, podemos colocá-lo em evidência 
e dizemos que é um a fator comum.
a a a ab + c + d = · (b + c + d)
Expressão não 
fatorada
Expressão 
fatorada
Fator comum em evidênciaFator comum
Agrupamento
Considere o retângulo ABCD a seguir e os demais retângulos destacados com as áreas indicadas.
A
ax ay
bx by
B
CD
a
b
x y
A área do retângulo ABCD pode ser obtida pela soma das áreas dos quatro retângulos menores que o com-
põem. Essa área é representada pelo polinômio ax + ay + bx + by. Podemos fatorar os termos desse polinômio 
dois a dois, agrupando inicialmente os termos que apresentam os fatores comuns a e b.
a ax + y + b bx + y = a ⋅ (x + y) + b (x + y)⋅
Em seguida, podemos colocar em evidência o fator comum x + y:
a ( ) ⋅ x + y) + b (⋅ x + y) = (x + y ⋅ (a + b)
Dizemos que (a + b) (x + y) é uma do polinômio ax + ay + bx + by. ⋅ forma fatorada
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5 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
Diferença de dois quadrados
A expressão que indica a diferença de dois quadrados pode ser fatorada 
como um produto da soma pela diferença de dois termos.
a2 – b = (a + b) (a – b)2 · 
Trinômio quadrado perfeito
O polinômio é um , pois ele é o x2 + 2xy + y2 trinômio quadrado perfeito quadrado de x + y, isto é:
(x + y)2 = x + 2xy + y2 2
Do mesmo modo, dizemos que é um trinômio quadrado perfeito, porque ele é o x2 – 2xy + y2 quadrado 
de x – y. 
(x – y)2 = x – 2xy + y2 2
• A expressão (x + y) ou (x + y) (x + y) é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito x + 2xy + y2 · 2 2.
• A expressão (x – y)2 ou (x – y) (x – y) é a forma fatorada do trinômio quadrado perfeito x – 2xy + y · 2 2.
Resolução de equações polinomiais do 2
o
. grau
Chamamos de equação polinomial do 2 .º grau equação do 2 .º grau ou
toda equação que pode ser escrita na forma
ax2 + bx + c = 0
com e a, b c ∈\ e a 0.≠
Chamamos de solução ou da equação o número real que, ao ser substituído na incógnita, torna a raiz
igualdade verdadeira.
Sobre o número de raízes de uma equação do 2.º grau, pode ocorrer um dos seguintes casos: 
• apresentar duas raízes reais e diferentes;
• apresentar duas raízes reais e iguais; 
• não apresentar raízes reais. 
Observe os coeficientes a b c, e da equação x – 5x – 125 = 0. Temos que a = 1, b = –5 e c = –125. Essa 2
equação é dita completa, pois nenhum de seus coeficientes é nulo. Observe agora os coeficientes a b c, e 
das equações x2 – 125 = 0 e x2 – 5x = 0. Perceba que, no primeiro caso, b = 0 e, no segundo, c = 0. Essas duas 
equações são ditas , pois apresentam pelo menos um coeficiente nulo.incompletas
• Equação polinomial do 2 .º grau incompleta para b = 0
ax c2 0 , a 0z
A equação pode ser reescrita como x
c
a
2  . Vamos dividir em casos. 
• c = 0: nesse caso, temos que x2 = 0 e, portanto, a equação tem uma única solução (a solução nula, dada 
por x = 0). 
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6 Livro de atividades 
• 
c
a
<0: nesse caso, temos que  !
c
a
0 e, portan-
to, a equação tem duas soluções diferentes (uma 
positiva e outra negativa), 
c
a
 e  
c
a
.
• 
c
a
>0: nesse caso,  
c
a
0 e, portanto, temos 
que a equação não admite solução real, pois 
não existe número real tal que x x
c
a
2  .
• Equação polinomial do 2.º grau incompleta 
para c = 0
ax bx2 0 , a 0z
Há uma maneira de determinar, por meio da 
observação dos coeficientes a, b e da equação c
ax2 + bx + c = 0, a soma (S) e o produto (P) de 
suas raízes. Sendo x1 e x2 as raízes da equação, temos:
S x x
b
a
  1 2 e P x x
c
a
  1 2
É fundamental mencionar que e e a, b c ∈\
a 0.≠
Podemos fatorar a equação e reescrevê-la como 
ax bx x ax b2 0   ( ) . Perceba que temos um 
produto entre dois números cujo resultado é nulo. 
Dessa forma, pelo menos um dos fatores é igual a 
zero. Assim, as raízes de uma equação polinomial 
do 2 .º grau incompleta para c = 0 são dadas por 
x 0 e x
b
a
  . 
• Equação polinomial do 2.º grau completa
Seja ax2 + bx + c = 0, com a b c, e ∈\ e a ≠ 0. 
Podemos encontrar as raízes x 1 e dessa equação x 2
por meio da fórmula resolutiva deequações do 
2.º grau, que é dada por 
x
b b ac
a
 
 r 2 4
2
A expressão b ac2 4 é chamada de discrimi-
nante da equação e podemos representá-la pela le-
tra grega Δ (delta). Portanto:
' b ac2 4
Conhecendo-se o valor de Δ, é possível descobrir 
quantas são as raízes da equação do 2.º grau dada.
• Δ > 0: nesse caso, temos as seguintes raízes dis-
tintas: 
x
b
a
1
2
 
  '
 e x
b
a
2
2
 
  '
Como Δ > 0, a equação tem duas soluções reais.
• Δ = 0: nesse caso, temos x
b
a
b
a
 
 r  r'
2
0
2
, 
ou seja, x
b
a
 
2
. 
 Dessa forma, a equação tem uma única solução 
(raiz dupla).
• Δ < 0: nesse caso, a equação não apresenta so-
lução real, pois não existe raiz quadrada de nú-
mero negativo.
Ativ
idad
es
Produtos notáveis
1. Desenvolva cada um dos produtos notáveis a seguir. 
a) ( )x3 27 
( )x x x x3 2 3 2 6 32 7 7 14 49     
b) x y y
2 2
2
1
2
§
©
¨
·
¹
¸
( )x y x y y y x y x y y2 2 2 2 2
2
4 2 2 3 42
1
2
1
2
1
4
  §
©
¨
·
¹
¸
§
©
¨
·
¹
¸  
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7 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
c) ( )( )a b a b2 2 
( )a b a b2 2 2 4 2  
d) ( )( )3 7 3 7x x  
( )3 7 9 492 2 2x x 
e) ( )2 3 2abc ad
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 3
4 12 9
2 2
2 2 2 2 2 2
abc abc ad ad
a b c a bcd a d
    
  
f) 
3
2
1
3
2
xy z§
©
¨
·
¹
¸ 
3
2
2
3
2
1
3
1
3
9
4
2 2
2 2xy xy z z x y xyz§
©
¨
·
¹
¸  
§
©
¨
·
¹
¸
§
©
¨
·
¹
¸ 
§
©
¨
·
¹
¸  
11
9
2z
2. Podemos usar produtos notáveis para facilitar alguns cálculos numéricos. Observe os exemplos e 
utilize um procedimento semelhante para efetuar os cálculos solicitados. 
( ) ( )2 003 2 000 3 2 000 2 2 000 3 3 4 000 000 12 000 9 4 012 00
2 2 2 2        99
( ) ( )98 100 2 100 2 100 2 2 10 000 400 4 9 6042 2 2 2        
103 97 100 3 100 3 100 3 10 000 9 9 9912 2      ( ) ( )
a) ( ) ( )51 50 12 2  
( )50 2 50 1 1 2 500 100 1 2 6012 2      
b) ( ) ( )49 50 12 2  
( )50 2 50 1 1 2 500 100 1 2 4012 2      
c) 51 49 50 1 50 1   ( ) ( ) 
( )50 1 2 500 1 2 4992 2  
d) 303 297 300 3 300 3   ( ) ( ) 
( )300 3 90 000 9 89 9912 2  
e) ( ) ( )7 007 7 000 72 2  
( )7 000 2 7 000 7 7 49 000 000 98 000 49
49 098 049
2 2      
 
f) ( ) ( )994 1 000 6
2 2  
( )1 000 2 1000 6 6 1000 000 12 000 36
988 036
2 2      
 
3. Nesta atividade, vamos conhecer um novo produto notável: o quadrado da soma de três termos. 
( )a b c a b c ab ac bc      2 2 2 2 2 2 2
Vamos verificar que essa igualdade é verdadeira de duas formas: geometricamente e algebricamente. 
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8 Livro de atividades 
Justificativa geométrica 
Observe a figura e os comprimentos de cada um dos lados após a divi-
são do quadrado original, em que os lados medem a + b + c.
Indique o valor da área de cada uma das figuras que compõem o qua-
drado original. Em seguida, pinte de mesma cor aquelas que apresentam 
a mesma área. 
A área do quadrado original é dada por (a + b + c) (a + b + c). Dessa · 
forma, complete as lacunas a seguir e observe que a igualdade apresenta-
da anteriormente foi verificada.
( ) ( ) ( )a b c a b c a b c       2 + + + 
+ + + 
Justificativa algébrica
Usando a propriedade associativa, a soma de três parcelas (a + b + c) pode ser realizada por etapas. Primei-
ramente, a soma (a + b) é considerada como um único termo. Veja como fazer isso e complete as lacunas. 
( ) (( ) ) ( __ ) ( __ )a b c a b c a a c c        2 2 2 22b b
Termine de desenvolver a relação acima elevando ao quadrado o primeiro termo, efetuando as multiplica-
ções no segundo e organizando as parcelas.
(a + b + c)2 = 
Utilizando a relação dada, encontre a expressão que representa o quadrado da soma dos três termos em 
cada um dos itens a seguir. 
a) (4 + 2t + t2)2 
4 2 2 4 2 2 4 2 2
16 4 16 8 4
2 2 2 2 2 2
2 4 2
           
     
( ) ( )t t t t t t
t t t t t 33 2 3 416 16 12 4    t t t t
b) (a )2 + ab + b2 2
( ) ( ) ( )a ab b a b a b ab
a a b b a b a b
2 2 2 2 2 2 2 3 3
4 2 2 4 3 2 2
2 2 2
2 2 2
     
      aab a a b a b ab b3 4 3 2 2 3 42 3 2    
c) (x + 2xy – y)2
x xy y x xy x y xy y
x x y
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4
              
  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
yy x y xy xy x y x y xy x y xy2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 4 4 4 4 2       
d) 1232
( ) ( ) ( )100 20 3 2 100 20 2 100 3 2 20 3
10 000 400 9 4 00
2 2 2           
    00 600 120 15 129  
a ab b ac bc c a b c ab ac bc2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2         
b
c2
ab
Cor 3
a2
ac
Cor 4
bc
Cor 2
b2
Cor 1
bc
Cor 2
ab
Cor 3
ac
Cor 4
b
c
c
a
a
a2
2ab 2ac 2bc
b2 c2
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9 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
Fatoração
4. Fatore as expressões. 
a) 4 6 84 2 3 3 2 4x y x y x y  
b) 18 27 9 453 2 3 4 3 2 5 4 2 3 2ab c a b c a b c a b c   
c) a ab ac bc2 3 2 6   
d) x x y y xy3 2 2 33 6 2   
e) x z x y xyz zx z2 3 2 2     
f) a b c
4 6 29 
g) 9 4 4a b 
h) 25 106 3 2x x y y  
i) 49 14 1
4 2x x  
j) 20 2 502 2 4 4a b a b  
5. Dona Laura sempre foi uma excelente professora de Matemática. Até hoje ela ajuda sua neta Bia a estu-
dar para as provas. Ao final dos estudos, dona Laura propôs um desafio à sua neta. Veja o que ela disse:
2 2 3 42 2 2 2x y x xy y( ) 
9 2 3 53 2 2 2 2ab c a bc ab c a( )  
a a b c a b a c a b( ) ( ) ( )( )    3 2 3 2 3
x x y y y x x y x y2 2 2 2 23 2 3 2 3( ) ( ) ( )( )    
( ) ( ) ( ) ( )( )x z xy x z z x z xy z x z2 2 2 21       
( )( )a b c a b c2 3 2 33 3 
( )( )3 32 2 2 2a b a b 
( )5 3 2x y
( )7 12 2x 
    2 10 25 2 54 2 2 4 2 2 2( ) ( )a a b b a b
BIA, PENSEI EM DOIS NÚMEROS POSITIVOS. 
A SOMA DOS QUADRADOS DE CADA UM 
DESSES NÚMEROS É IGUAL A 53 E O 
PRODUTO ENTRE ESSES NÚMEROS É IGUAL 
A 14. QUAL A SOMA DESSES NÚMEROS? E 
A DIFERENÇA? EM QUE NÚMEROS PENSEI?
Quais foram as respostas encontradas por Bia, sabendo que ela respondeu corretamente às per-
guntas da avó? 
Se x e y são os números pensados por dona Laura, como a 
soma dos quadrados de cada um desses números é 53 e o 
produto entre eles é 14, temos que x y2 2 53 e xy = 14.
Sabemos que ( )x y x y xy  2 2 2 2 . Assim: 
( )
( )
( )
x y x y xy
x y
x y
   
  
 
2 2 2
53 14
2
2
2
53 2 14
81
Como x e são números positivos, x + y = 9. y
©
Sh
ut
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rs
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ck
/V
ol
od
ym
yr
 B
al
eh
a
Sabemos que ( )x y x y xy  2 2 2 2 . Assim: 
( )
( )
( )
x y x y xy
x y
x y
   
  
 
2 2 2
53 14
2
2
2
53 2 14
25
Como x e são números positivos, x – y = 5. y
Dessa maneira, precisamos encontrar os valores de x y e tais 
que x + y = 9 e x – y = 5. Note que x = 7 e y = 2 satisfazem as 
duas equações simultaneamente. 
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10 Livro de atividades 
6. Depois de muito estudar com sua avó Laura, Bia se deparou 
com a questão ao lado em sua prova de Matemática. Encontre 
a resposta assinalada por Bia em sua prova, sabendo que ela 
acertou a questão. Dica: lembre-se de que qualquer número 
par pode serescrito na forma 2n, sendo n um número natural. 
Determine dois números 
pares consecutivos cuja 
diferença dos quadrados 
do maior número e do 
menor número é 100.
a) 12 e 14
b) 22 e 24
X c) 24 e 26
d) 26 e 28
e) 28 e 30
Como mencionado no enunciado da atividade, qualquer número par pode ser 
escrito na forma 2n, sendo n um número natural. Dessa forma, sendo 2n um 
número par, temos que o número par consecutivo a esse número é dado por 
2(n + 1), ou seja, 2n + 2. Se a diferença dos quadrados entre esses números é 100, 
temos que:
( ) ( )2 2 2 4 8 4 4 1002 2 2 2n n n n n     
Dessa forma: 
8n + 4 = 100
8n = 96
n = 12
Assim, os números são 2 · 12 = 24 e 2 · 12 + 2 = 26. Logo, Bia assinalou a alternativa 
c, uma vez que acertou a questão. 
7. Ao terminar sua tarefa sobre fatoração, a caneta de João estourou e manchas de tinta cobriram par-
tes da tarefa. Ajude João a descobrir os termos que ficaram escondidos pelos borrões. Em cada um 
dos itens, x e y são diferentes de zero e você deve encontrar os valores indicados. 
a) 
b) 
4
16
22
2
2x xy
y
x  ( )
Depois de determinar os valores de A, B e C, incentive os alunos a substituir os 
resultados encontrados em cada item e a desenvolver os cálculos para confir-
mar que as igualdades são verdadeiras. 
4
16
2
4
16
4 4
2
2
2
2
2
2 2
x xy
y
x A
x xy
y
x xA A
  
   
( )
 o
°
® § · o ° ¨ ¸
© ¹¯
2 2
22
4x (2 x) O primeiro termo é 2x.
y y y
A (segundo termo)
16 4 4
E como     2 2
4
4
4
x
y xy
xy, temos A
y
 
4
.
x y x y x y B x y
x y x y x y x y B x y
3 2 3 3 3
3 4 3 3 3 3 3
3 2 3
3 2 3
( )   
   
Veja que o primeiro termo do lado esquerdo (3x3y) é igual ao primeiro termo do lado direito da igualdade. Isso também 
acontece para o último termo (x3y3). Assim, para que a igualdade seja verdadeira, é preciso que:
 
 
2
2
4
4
x y B
B x y
x y x y x y x y3 2 3 3 33 2 3( )   B
A
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11 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
8. Thiago, irmão mais velho de Guilherme, estava o ajudando com suas tarefas de casa. Ele pediu a 
Guilherme que fatorasse os polinômios x x x x4 3 24 5 36 36    e x3 + 8. Para facilitar, ele informou 
que (x – 2)2 é um dos fatores do primeiro polinômio e que (x + 2) é um dos fatores do segundo 
polinômio. Dessa forma, determine os valores de A e B em cada um dos itens a seguir para encontrar 
as fatorações obtidas por Guilherme. 
a) x x x x x x Ax B4 3 2 2 24 5 36 36 2      ( ) ( )
Dessa maneira, comparando os coeficien-
tes, temos:
A A
B A B
B A B
  o 
   o 
  o 

®
°
¯
°
4 4 0
4 4 5 9
4 4 36 4 36
Assim, 
x x x x x x4 3 2 2 24 5 36 36 2 9     ( ) ( ) . 
Note ainda que ( ) ( )( )x x x2 9 3 3   . 
Portanto,
x x x x x x Ax B
x x x Ax B
x Ax
4 3 2 2 2
2 2
4
4 5 36 36 2
4 4
      
    
 
( ) ( )
( )( )
33 2 3 2 2
4 3 2
4 4 4 4 4 4
4 4 4 4
      
        
Bx x Ax xB x Ax B
x A x B A x B( ) ( ) ( 44 4A x B) 
x x x x
x x x
4 3 2
2
4 5 36 36
2 3 3
    
   ( ) ( )( ).
b) x x x Ax B
3 28 2   ( )( ) 
x x x Ax B
x Ax Bx x Ax B
x A x B A
3 2
3 2 2
3 2
8 2
2 2 2
2 2
   
     
    
( )( )
( ) ( )xx B2
Dessa maneira, comparando os coeficientes, temos que:
A A
B A B
 o 
 o 

®
¯
2 0 2
2 0 4
Assim, x x x x3 28 2 2 4   ( )( ). 
c) 
x z C y xz y
x z C y x z xzy y
2 2 2 2
2 2 2 2 2 22
  
   
( )
Veja que o primeiro termo do lado esquerdo é igual ao primeiro termo do lado direito da igualdade. Isso também acontece 
para o último termo (y2). Assim, para que a igualdade seja verdadeira, é preciso que C = 2xzy.
x z y xz y
2 2 2 2  ( )C
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12 Livro de atividades 
Resolução de equações polinomiais do 2
o
. grau
9. Verifique se as equações a seguir, quando representadas na forma ax bx c2 0  , são equações po-
linomiais do 2.º grau. Em caso afirmativo, identifique os valores dos coeficientes a b c, e e, por fim, 
indique se a equação é completa ou não.
a) 
b) 
c) 
d) 
4 1 2
4 2 1 4 4
4 8 4 4 4
4 8 4
2 2
2 2
2 2
2
( ) ( )
( )
x x
x x x x
x x x x
x x x
 
   
   
   22
2
4 4 0
3 12 0
  
 
x
x x
 
Logo, a = 3, b = 12 e c = 0. 
Considerar correto também se os alunos dividirem a equa-
ção por 3, obtendo x2 + 4x = 0 (a = 1, b = 4 e c = 0).
( ) ( )x x
x x x x
x x
   
     
  
1 3 0
2 1 6 9 0
2 4 10 0
2 2
2 2
2
 
Logo, a = 2, b = 4 e c = 10. 
Considerar correto também se os alunos dividirem a equa-
ção por 2, obtendo x2 + 2x + 5 = 0 (a = 1, b = 2 e c = 5).
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
( ) ( )
( ) ( )
 
   
   

2 1 2
4 4 1 4 4
4 4 4 4
2 2
2 2
3 2 2 3
33 3 03x x 
Note que não podemos dividir toda a equação por 3x, uma 
vez que x = 0 é uma das raízes da equação. Dessa forma, a 
equação não é do 2 .º grau. Portanto, não podemos atribuir 
valores de a, b e c nem responder se ela é completa ou não. 
x x x
x x x x x x
x x x x
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) (
 
   > @ 
  
1 1
2 1 1 1 1
2 1 2
2 3
2
2 2 xx x
x x x x x x x x
x x x x x x
x
 
      
      
1 1
2 2 2 1
2 2 2 1 0
5
3 2 3 2 2
2 2 2
)( )
22 2 1 0  x
Logo, a = 5, b = –2 e c = 1. 
4 1 2
2 2( ) ( )x x 
( ) ( )x x   1 3 02 2
x x x x( ) ( ) 2 1 22 2
x x x( ) ( ) 1 12 3
A equação é do 2º. grau?
A equação é do 2º. grau?
A equação é do 2º. grau?
A equação é do 2º. grau?
Se SIM: 
a = b = c = 3 12 0 
A equação é completa? 
Se SIM: 
a = b = c = 2 4 10 
A equação é completa? 
Se SIM: 
a = b = c = 
A equação é completa? 
Se SIM: 
a = b = c = 5 –2 1 
A equação é completa? 
SIM.
SIM.
SIM.
SIM.
NÃO.
NÃO.
NÃO.
NÃO.
SIM.
SIM.
SIM.
SIM.
NÃO.
NÃO.
NÃO.
NÃO.
X
X
X
X
X
X
X
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13 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
e) 
(( )(x ))
( )
x
x
x x
x x
  
 
  
  
3 3 100
9 100
18 81 100
18 19 0
2
2 2
4 2
4 2
A equação não é do 2 .º grau. 
(( )( ))x x  3 3 1002
A equação é do 2º. grau?
Se SIM: 
a = b = c = 
A equação é completa? 
SIM. NÃO.
SIM. NÃO.
Método 2:
A equação pode ser reescrita como 2 5 0 02x x  . Dessa 
forma, a = 2, b = –5 e c = 0 e, assim, '     !( )5 4 2 0 25 02 .
Portanto, a equação apresenta duas raízes, que são: 
x 1
5 25
2 2
5 5
4
10
4
5
2
 


 

 x 2
5 25
2 2
5 5
4
0 


 

 
Método 1: 
2 5 0
2 5 0
2x x
x x
 
 ( )
Dessa maneira, x = 0 ou 2x – 5 = 0, ou seja, x 
5
2
. Logo, as 
duas raízes são x1 = 0 e x2
5
2
 . 
2 5 02x x 
10. Resolver uma equação do 2 .º grau incompleta é bem simples. Mesmo nesses casos, podemos usar 
a fórmula resolutiva de equações do 2 .º grau. Encontre as raízes das equações incompletas por dois 
métodos, conforme indicado no exemplo a seguir. 
x x2 7 0 
Método 1: 
x x
x x
2 7 0
7 0
 
 ( )
Para que o produto de dois números seja igual a zero, pelo menos um dos fatores tem que ser 
nulo. Dessa maneira, x = 0 ou x + 7 = 0, ou seja, x = –7. Logo, as duas raízes são x1 = 0 e x = –7. 2
Método 2:
A equação pode ser reescrita como x x2 7 0 0  . Dessa forma, a = 1, b = 7 e c = 0 e, assim, 
'    t7 4 1 0 49 02 . Portanto, a equação apresenta duas raízes, que são: 
x1
7 49
2 1
7 7
2
0 
 

 
 
 
 x2
7 49
2 1
7 7
2
7 


 
 
 
X
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14 Livro de atividades 
11. Verifique se as equações abaixo têm raízes reais. Em caso afirmativo, encontre as raízes de cada equa-
ção de duas formas: por meio da fórmula resolutiva de equações do 2º. grau e utilizando o método 
de completar quadrados.
a) x2 – 10x + 7 = 0
• Fórmula resolutiva de equações do 2.º grau
Os coeficientes da equação são a = 1, b = –10 e c = 7. Logo, 
'      !( )10 4 1 7 100 28 72 02 . Portanto, a equação 
tem duas raízes reais, que são dadas por:
x1
10 72
2 1
10 6 2
2
5 3 2 
  

 

 
( ) 
x2
10 72
2 1
10 6 2
2
5 3 2 
  

 

 
( )
• Método de completar quadrados
x x x x2 2 2 210 7 2 5 5 5 7 0       ( ( ) )
Dessa forma, a equação equivalente é dada por 
( )x  5 18 02 .
Logo: 
x
x
x
 r
 r
 r
5 18
5 3 2
5 3 2
Portanto, as raízes são x1 5 3 2  e x2 5 3 2  .
b) x2 + x + 1 = 0
• Fórmula resolutiva de equações do 2.º grau
Os coeficientes da equação são a = 1, b = 1 e c = 1. Logo, '     1 4 1 1 3 02 . Portanto, a equação não tem raiz real.
• Método de completar quadrados
x x x x2 2
2 2
1 2
1
2
1
2
1
2
1 0   
§
©
¨
·
¹
¸ 
§
©
¨
·
¹
¸ 
§
©
¨
·
¹
¸  
Dessa forma, a equação equivalente é dada por x
§
©
¨
·
¹
¸  
1
2
3
4
0
2
. Mas perceba que x
§
©
¨
·
¹
¸  
1
2
3
4
0
2
 e, portanto, a equação 
dada não tem raiz real.
c) 9x2 – 30x + 25 = 0
• Fórmula resolutiva de equações do 2.º grau
Os coeficientes da equação são a = 9, b = –30 e c = 25. Logo, '      ( )30 4 9 25 900 900 02 . Portanto, a equação tem uma 
única raiz real, que é dupla e dada por:
x 
  

 
( )30 0
2 9
30
18
5
3
• Método de completar quadrados
9 30 25 3 2 3 5 5 5 25 02 2 2 2x x x        (( x) ) . Dessa forma, a equação equivalente é dada por ( )3 5 02x . 
Logo: 
3 5 0
5
3
x
x
 
 
Método 1: 
3 27 0
3 9 0
2
2
x
x
 
 ( )
Dessa maneira, como pelo menos um dos termos do 
produto tem que ser igual a zero, temos x2 9 0 . As 
raízes dessa equação são 3 e –3. Logo, as duas raízes da 
equação dada são x1 3  e x2 3 .
Método 2:
A equação pode ser reescrita como 3 0 27 0
2x x  . Dessa 
forma, a = 3, b = 0 e c = –27 e, assim, '     !( ) ( ) .0 4 3 27 324 02 
Portanto, a equação apresenta duas raízes, que são: 
x1
0 324
2 3
0 18
6
18
6
3 


 

 
x2
0 324
2 3
0 18
6
3 


 

 
3 27 02x  
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15 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
12. (OBMEP) No dia de seu aniversário em 2006, o avô de Júlia disse a ela: “Eu nas-
ci no ano x2 e completei x anos em 1980. Quantos anos eu completo hoje?”.
A resposta certa é:
a) b) c) 61 64 67 X d) e) 70 72
A idade do avô de Júlia em 1980 era igual a 1980 – seu ano de nascimento. Isso pode ser escrito como x = 1980 – x2. Dessa forma, 
precisamos resolver a seguinte equação do 2.º grau:
x2 + x – 1980 = 0
Utilizando a fórmula resolutiva para equações do 2.º grau, temos '    b ac2 24 1 4 1980 7 921 89 e, portanto, as raízes 
são dadas por x 
 r1 89
2
. Como a idade é um valor positivo, temos que considerar a raiz positiva, que é igual a 
x 
 
 
1 89
2
88
2
44 . Dessa forma, podemos concluir que o avô de Júlia nasceu em 1980 – 44 = 1936. Logo, no ano de 2006, 
ele fez 2006 – 1936 = 70 anos.
13. (OBMEP) Márcia cortou quatro tiras retangulares de mesma largura, cada uma de um 
dos lados de uma folha de papel medindo 30 cm por 40 cm. O pedaço de papel que 
sobrou tem 68% da área da folha original. Qual é a largura das tiras? 
a) b) 1 cm 2 cm X c) d) e) 3 cm 4 cm 5 cm
Sendo x a largura das tiras retangulares, as dimensões do pa-
pel depois de realizar o corte das tiras passam a ser 40 – 2x 
e 30 – 2x. Como o pedaço de papel que sobrou tem 68% da 
área da folha original, que é igual a 40 cm · 30 cm, temos a 
seguinte equação a ser resolvida:
( ) ( ) ,
(
40 2 30 2 0 68 40 30
4 140 1 200 816
4 140 384
2
2
    
  
  y
x x
x x
x x
 
 4
35 96 02
)
x x  
Utilizando a fórmula resolutiva para equações do 2.º grau, te-
mos que as raízes dessa equação são:
x
x
x
 
r    

 
r 
 
r
35 35 4 1 96
2 1
35 1 225 384
2
35 841
2
2( )
 
 
x
x
x e x
1
2
1 2
35 29
2
35 29
2
64
2
32
6
2
3
 

 

 
Contudo, note que a medida 32 cm não convém. Logo, as ti-
ras têm largura de 3 cm. 
14. (OBMEP) Joãozinho inventou uma operação matemática com números inteiros, para a qual ele usa 
o sinal ∗. Ela funciona assim:
a ∗ b = (a + 1) × (b − 1)
Por exemplo, 3 ∗ 5 = (3 + 1) × (5 − 1) = 16. Se a e b são inteiros positivos tais que a ∗ b = 24 e 
b ∗ a = 30, quanto vale a + b?
X a) b) c) d) e) 11 12 15 16 18
Pelas informações do enunciado, temos: 
a * b = (a + 1) × (b – 1) = ab + b – a – 1 = 24 e 
b * a = (b + 1) × (a – 1) = ab + a – b – 1 = 30
Temos, assim, as seguintes equações:
ab + b – a = 25
ab + a – b = 31
Ao somarmos as duas equações, obtemos:
ab b a
ab a b
ab
  
  
 
25
31
2 56
 Logo, ab = 28. 
Ao subtrairmos as duas equações, obtemos:
ab a b
ab b a
a b
  
  
 
31
25
2 2 6
 Logo, a – b = 3 e, portanto, a = b + 3.
Substituindo na primeira equação encontrada: 
( )b b
b b
 
  
3 28
3 28 02
 
Utilizando a fórmula resolutiva de equações do 2.º grau, en-
contramos –7 e 4 como raízes da equação anterior. Observe:
b
b
b b e b
 
 r    

 
 r
 
 r
o 
3 9 4 1 28
2 1
3 121
2
3 11
2
4 71 2
( )
De acordo com o enunciado da questão, como a b e são nú-
meros positivos, temos que b = 4 e, portanto, a = 4 + 3 = 7.
Logo, a + b = 7 + 4 = 11.
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16 Livro de atividades 
Funções
8
Função afim
As funções afins são utilizadas para representar diversas situações simples do cotidiano, como o salário de 
um vendedor que ganha um valor fixo mais comissão por venda, a posição de um corpo em velocidade cons-
tante e assim por diante. Vamos definir a função afim observando sua representação algébrica. 
Toda função que puder ser escrita na forma y = ax + b é chamada de função afim 
ou função polinomial do 1.º grau, sendo e números reais, com a 0.a b ≠
Sejam a b e números reais. Se a função afim y = ax + b é tal que a 0 e b = 0, ou seja, ≠
y = ax, dizemos que essa é uma .função linear
Merecem destaque as funções afins em que a constante b é nula. 
As grandezas x y e representadas em uma função linear são . Isso significa que as razões proporcionais
entre os valores das duas grandezas são iguais, isto é, para todo x ≠ 0 e ao seu y associado temos 
y
x
a , em que 
a é uma constante não nula. 
Para ampliar a compreensão de uma função, é importante perceber como mudanças na variável indepen-
dente x repercutem na variável dependente y. Isso fica mais fácil de ser compreendido quando observamos 
o gráfico da função.
Para traçar o gráfico de uma função, usamos o sistema de coordenadas cartesianas, no qual um ponto do pla-
no é representado por duas coordenadas (x, y). A primeira coordenada é chamada de abscissa e está associada 
à variável independente x variável dependente y; a segunda coordenada é a ordenada e está associada à .
O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos correspondentes aos pares ordenados que satisfazem 
determinada lei matemática. Do ponto de vista abstrato e mais amplo, o da função afim é o conjunto dos domínio
números reais ( ); contudo, para algumas situaçõespráticas, é possível termos restrições para o domínio da função.
Quando o domínio da função é o conjunto dos números reais e se estiver considerando x real, o gráfico de 
uma função afim é uma reta, que fica bem determinada caso sejam conhecidos dois de seus pontos.
O valor de x para o qual temos y = 0 é denominado zero da função. O gráfico de uma função afim com x 
real intersecta o eixo das abscissas em um único ponto, precisamente §
©
¨
·
¹
¸
b
a
, 0 . Outro ponto importante é a 
intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas, ou seja, o ponto (0, b). Quando a função é linear (b = 0), seu 
gráfico necessariamente passa pela origem.
O sinal de da função y = ax + b determina como a variação de a x influencia no crescimento de y. 
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17 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
Se a > 0: a função é , isto é, se os valores de aumen-crescente x
tam, os valores de também aumentam.y
Se a < 0: a função é decrescente, isto é, se os valores de au-x
mentam, então os valores de diminuem.y
Chamamos de função quadrática toda função que pode ser escrita na forma 
y = ax + bx + c, em que e são coeficientes reais, com a 0 e real.2 a, b c ≠ x
y
xNa figura ao lado, os gráficos em verde são funções afins com a > 0 
e os em vermelho têm a < 0.
Função quadrática
O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada pará-
bola. A parábola aparece em várias situações e tem muitas aplicações. 
Ela modela os lançamentos oblíquos e o desenho de algumas pontes e 
está associada ao funcionamento de antenas parabólicas, por exemplo. 
A parábola tem um eixo de simetria vertical. O ponto em que o eixo 
de simetria e a parábola se cruzam é chamado de vértice. A figura ao 
lado representa o gráfico da função quadrática y = x2, que tem como eixo 
de simetria o eixo das ordenadas e vértice a origem do sistema cartesiano. 
Todos os gráficos das outras funções quadráticas podem ser construídos a 
partir do gráfico de y = x2, fazendo translações, aumentando ou diminuin-
do a abertura da concavidade e, se necessário, invertendo a concavidade.
O sinal da constante a determina se, no gráfico da função quadrática 
y = ax2 + bx + c, a ≠ 0, a concavidade é para cima (a > 0) ou para baixo 
(a < 0). Além disso, a variação do módulo de a reflete no aumento ou na 
diminuição da abertura da parábola.
y
x
y
x
a > 0
y
x
a < 0
• Para a negativo (a < 0): concavidade para baixo. 
Quanto menor o valor de a, mais fechada a parábola.
• Para a positivo (a > 0): concavidade para cima. Quan-
to maior o valor de a, mais fechada a parábola. 
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18 Livro de atividades 
y
x
y = x − 2x + 22
y = 5
V
Quando uma reta horizontal corta o gráfico da função quadrática em 
dois pontos, a abscissa do vértice da parábola é a média aritmética das abs-
cissas dos pontos de intersecção. No caso em que a reta horizontal corta a 
curva em um único ponto, esse ponto é precisamente o vértice da parábola. 
O cálculo das coordenadas do vértice pode ser feito de duas maneiras.
Método 1 Método 2
Encontramos um par de abscissas simétricas. Para isso, 
tomamos, por exemplo, a intersecção da reta y = 5 
com a parábola:
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2 2 5
2 1 4
1 4
1 4
1 2
3
1 4
1 2
1
  
  
 
 
 
 
 
 
 
x
x
( )
Determinamos a média aritmética dessas abscissas:
xv 
 
 ( )1 3
2
2
2
1
Substituímos o valor de xv na função:
yv    ( )1 2 1 2 1
2
Portanto, o vértice V da parábola é V (1, 1).
Identificamos os coeficientes da função quadrática:
y x x
y x x
a b c
  
  
2
2
2 2
1 2 2N N N
As constantes da função quadrática são, portanto, 
a = 1, b = –2 e c = 2. A abscissa do vértice da parábola 
é dada pela seguinte expressão:
x
b
a
v 
2
Substituindo:
x
x
v
v
 


 
( )2
2 1
2
2
1
Substituímos o valor de xv na função:
yv    ( )1 2 1 2 1
2
Portanto, o vértice V da parábola é V (1, 1).
Ativ
idad
es
Função afim
1. Em uma sorveteria, o sorvete com 1 bola custa R$ 9,00 e o com 2 bolas custa R$ 12,00. Considerando que o 
preço do sorvete é o preço da casquinha mais o preço de cada bola, qual a função que representa o preço 
do sorvete como função do número de bolas? E qual o preço do sorvete de casquinha com 3 bolas?
A variável independente é o número de bolas (x) e a variável dependente é o preço do sorvete (y). Observe que a cada bola acres-
centada o preço do sorvete aumenta em 3 reais. A função é da forma y = ax + b, onde a é o preço pago por bola e b o preço da 
casquinha, que é fixo. Logo, temos y = 3x + b. Para descobrir o valor da casquinha, substituímos os valores de uma das relações: 
9 3 1  b ou 12 3 2  b. Ambas geram o mesmo resultado, que é b = 6. Assim, a função é y = 3x + 6. Portanto, o preço do sorvete 
com 3 bolas é R$ 15,00. 
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19 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
2. Uma pequena confecção produz camisas. A empresa tem um custo fixo mensal de R$ 1.500,00 e 
custo de produção de R$ 5,00 por camisa produzida. Sabendo que o preço de venda das camisas é 
R$ 9,00, responda às questões. 
a) Qual o custo de produção de x camisas? (C = ?) C = 5x + 1 500 
b) Qual o valor arrecadado na venda de x camisas? (A = ?) A = 9x 
c) Qual o lucro na venda de x camisas? (L = ?) 
d) Supondo que todas as camisas produzidas são vendidas, qual deve ser o número mínimo de 
camisas fabricadas por mês para a confecção não ter prejuízo? 
L x x
x
x
( )  
 
 
4 1 500 0
4 1 500
375
 
 
Devem ser fabricadas pelo menos 375 camisas por mês para a confecção não ter prejuízo.
e) O proprietário da confecção estipulou a meta de ter um lucro de 75% do custo de produção. 
Quantas camisas devem ser vendidas por mês? Qual o lucro desejado? 
L x C x
x x
x x
( ) ( )
( )
 
 
 
y
y
75
100
4 1500
3
4
5 1500
16 6 000 15 4 50
25
25
 
 
00
10 500x 
A empresa deve vender 10 500 camisas por mês. 
L( )10 500 4 10 500 1500 40 500   
Nesse caso, o lucro desejado é de R$ 40.500,00.
3. (OBMEP) Para assar um frango são necessários 15 minutos para aquecer 
o forno e mais 12 minutos para assar cada meio quilo de frango. Paula 
comprou um frango de 2,5 kg. A que horas ela deve ligar o forno para 
que o frango fique pronto às 20 horas?
a) 18 h
b) 18 h 15 min
c) 18 h 30 min
X d) 18 h 45 min
e) 19 h
Considere y como tempo (em minutos) de forno ligado para assar um frango com x kg. Como a cada 0,5 kg aumentam-se 
12 minutos, a cada 1 kg aumentam-se 24 minutos. Logo, y em função de x é uma função afim cuja fórmula é expressa por 
y = 24x + 15. Para um frango com 2,5 kg (x = 2,5), temos: 
y
y utos
   
 
24 2 5 15 75
75
,
min
Ou seja, 1 h e 15 min. Para o frango estar pronto às 20 horas, Paula deve ligar o forno às 18 h 45 min.
L A C x x x    9 5 1 500 4 1 500( ) 
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20 Livro de atividades 
4. (ENEM) Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada 
em um período de 3 h. Na primeira hora foi 
utilizada apenas uma bomba, mas nas duas 
horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de 
esvaziamento, outra bomba foi ligada junto 
com primeira. O gráfico, formado por dois 
segmentos de reta, mostra o volume de água 
presente na cisterna, em função do tempo.
Qual é a vazão, em litro por hora, da bombaque foi ligada no início da segunda hora?
a) b) 1 000 1 250 X c) d) e) 1 500 2 000 2 500
Usamos o intervalo da 1.ª hora para calcular a vazão da pri-
meira bomba. Perceba que no gráfico a primeira bomba es-
vazia 1 000 L de água por hora. Logo, a função afim que liga os 
pontos A e B é dada por: 
N N
P
 

Quantidade Tempo
inicial (L) (h)
Volume Vazão
(L) (L/h)
V 6 000 1 000 t
Observe que as duas bombas esvaziam 5 000 L em duas horas. 
Assim, elas esvaziam 2 500 L em uma hora. Portanto, temos: 
 
 

Vazão das
duas bombas
2 500
(1000 x)
1
x 1500
 
A vazão da segunda bomba é igual a 1 500 litros por hora.
5. O desgaste natural faz com que as mercadorias se desvalorizem. É comum representar esse fenô-
meno usando funções afins. Considerando V o valor de uma mercadoria e t o tempo decorrido em 
anos, essas grandezas se relacionam na expressão V = at + b, onde a e b são constantes. 
Determinado equipamento com preço inicial de R$ 400,00 perdeu 30% do seu valor em 2 anos.
a) Qual o valor desse equipamento como função do tempo (t anos)?
Em 2 anos, o equipamento desvalorizou 30% ∙ 400 reais = 120 reais. Como V em função de t é uma função afim, significa que a 
cada ano o equipamento desvalorizará 60 reais. Observe que essa função é decrescente. Logo, temos: 
N
P P
N
   
Desvaloriza ãç o Tempo
por ano (anos)
V lalor Valor inicia
V 60 t 400
b) Em quanto tempo o valor do equipamento ficará reduzido a R$ 100,00?
V t
t
t
t
  
  
 
 
60 400
100 60 400
60 300
5
 
O equipamento valerá R$ 100,00 daqui a 5 anos.
6. (UFPE) O preço pago por uma corrida de táxi normal consiste de uma quantia fixa de R$ 3,50, a bandei-
rada, adicionada de R$ 0,25 para cada 100 m percorridos, enquanto o preço pago por uma corrida de 
táxi especial consiste de uma quantia fixa de R$ 4,20 adicionada de R$ 0,35 a cada 100 m percorridos. 
Seja f(x) o preço pago, em reais, por uma corrida de x km no táxi normal e g(x) o preço pago, em reais, 
por uma corrida de x km no táxi especial. Analise as afirmações seguintes referentes a esta situação.
( V ) f(10) = 28,50 reais
( V ) g(20) = 74,20 reais
Se é pago R$ 0,25 para cada 100 m, devem ser pagos R$ 2,50 para cada 1 000 m, ou seja, 1 km. Assim, 
f(x) = 3,5 + 2,5x e f(10) = 3,5 + 25 = 28,5.
Se é pago R$ 0,35 para cada 100 m, devem ser pagos R$ 3,50 para cada 1 000 m, ou seja, 1 km. Assim, 
g(x) = 4,2 + 3,5x; g(20) = 4,2 + 70 = 74,2.
A
B
C
0 1 3 Tempo (h)
6 000
5 000
Volume (L)
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21 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
y
g
f
x0 2 4 5 6 8 10
32,2
30
10
16
20
( F ) Para qualquer corrida, o preço do táxi especial é 30% mais caro que o táxi normal.
( V ) g(x) – f(x) = 0,7 + x.
7. Duas pequenas fábricas de calçados, I e II, têm produzido, respectivamente, 400 e 196 pares de sapa-
tos por mês. A partir de janeiro, a fábrica I aumentará a produção em 8 pares por mês e a fábrica II 
aumentará a produção em 30 pares por mês.
a) Escreva as funções que representam as produções mensais de cada fábrica x meses depois de janeiro.
pI = 400 + 8x e p = 196 + 30xII
b) Em que mês a produção de II superará a produção de I? 
p x p x x x
p x p x x
x
I II
I II
( ) ( ) ( )
( ) ( )
   
 
 !
400 8 196 30
204 22
204 22 0
222 204x
x 
204
22
102
11
  9,27
A partir do 10.º mês após janeiro, a produção de II superará 
a de I.
8. Qual a lei da função afim cujo gráfico passa pelos pontos (3, –6) e (5, 4)?
Consideramos a expressão geral y = ax + b. 
Substituindo os pares ordenados (x, y), 
temos duas equações:
Para x = 3, temos –6 = 3a + b. 
Para x = 5, temos 4 = 5a + b. 
Logo, temos o seguinte sistema de duas 
equações e duas incógnitas:
3 6
5 4
a b
a b
 
 

®
¯
Obtemos um sistema equivalente multi-
plicando a primeira equação por –1. 
  
 

®
¯
3 6
5 4
a b
a b
Somando essas duas equações, obtemos:
  
 

®
¯

 
3 6
5 4
5 3 10
a b
a b
a a
 2 10
5
a
a
 
 
Para encontrar o valor b, basta substituir o 
valor de a em uma das equações e calcular. 
5 4
25 4
21
a b
b
b
 
 
 
Portanto, a função que passa pelos pon-
tos (3, –6) e (5, 4) é y = 5x – 21. 
9. (OBMEP) A figura mostra o gráfico da função definida por y = x2. O ponto A tem coordenadas 
(0, p). Qual é o valor de p?
g(x) = 4,2 + 3,5x ≠ 1,3 · (3,5 + 2,5x) = 4,55 + 3,25x
g(x) – f(x) = 4,2 + 3,5x – (3,5 + 2,5x) = 0,7 + x
−2 3
y
Q
A
P
y = x2
x
Chamando de P e Q os pontos indicados na 
parábola, temos:
• P: a abscissa do ponto P é x = –2. 
y = x2 → y = (–2) = 42
Assim, o ponto P tem coordenadas (–2, 4).
• Q: a abscissa do ponto Q é x = 3. 
y = x2 → y = 3 = 92
Assim, o ponto Q tem coordenadas (3, 9).
Vamos encontrar então a equação de uma 
função afim y = ax + b. Como b é a intersec-
ção da reta com o eixo das ordenadas, temos 
b = p. Substituindo as coordenadas dos pon-
tos P e Q, obtemos duas equações: 
4 2
9 3
   
  

®
¯
a p
a p
( ) 
Logo, temos um sistema de equações: 
  
 

®
¯
2 4
3 9
a p
a p
Multiplicando a primeira equação por 3, a 
segunda equação por 2 e somando as novas 
equações, obtemos:
  
 


®
¯
 
6 3 12
6 2 18
3 2 12 18
a p
a p
p p 
5 30
6
p
p
 
 
( V ) Os gráficos de f(x) e g(x), para 0 ≤ x ≤ 10, estão esboçados 
a seguir (são, respectivamente, as semirretas com origem 
nos pontos (0, 3,5) e (0, 4,2) e com inclinações 2,5 e 3,5).
a) b) 5 5,5 X c) d) e) 6 6,25 6,5
f(5) = 3,5 +12,5 = 16 e g(8) = 4,2 + 28 = 32,2
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22 Livro de atividades 
10. (UFPI) O pediatra de uma criança em estado de subnutrição estabeleceu um regime alimentar no qual 
se previa que ela alcançaria 12,50 kg em 30 dias, mediante um aumento diário do peso de 105 gramas.
Nessas condições, podemos afirmar que, ao iniciar o regime, a criança pesava
a) menos de 7 kg.
b) entre 7 kg e 8 kg.
c) entre 8 kg e 9 kg.
X d) entre 9 kg e 10 kg.
e) mais de 10 kg.
Como a cada dia se tem um aumento constante, a função que relaciona o peso da criança e o número de dias é uma função 
afim. Essa função é da seguinte forma: 
N N N
  
 i
Peso TempoVar . diária Peso
a atu l (dias)(kg) inicial
P 0,105 d P
Substituindo os dados fornecidos, temos: 
12 5 0 105 30
3 15 12 5
9 35
, ,
, ,
,
  
 
 
P
P
P kg
i
i
i 
11. Observe os esboços dos gráficos de funções f(x), g(x) e h(x). Sabendo que g(x) é linear e f(x) é a que 
tem o maior crescimento, determine as leis de formação dessas três funções e associe cada função 
ao seu gráfico.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
5
6
7
8
y
x
−1
4
0
g(x) = −3x
f(x) = 2x −1
h(x) = 1 x + 4
 3 
O fato de g(x) ser linear indica que seu gráfico passa pela ori-
gem. Logo, essa função é da forma g(x) = g1 ⋅ x.
Observando a imagem, concluímos que g1 < 0 e que g(x) con-
tém o ponto (–2, 6). Portanto, temos: 
6 2
3
3
1
1
  
 
 
g
g
g x x
( )
( )
O gráfico f(x), de maior crescimento, intersecta o eixo das orde-
nadas no valor –1. Logo, essa função é da forma f(x) = f1 ⋅ x – 1.
Observando a imagem, concluímos que f1 > 0 e que f(x) contém 
o ponto (3, 5). Portanto, temos:
5 3 1
3 6
2
2 1
1
1
1
  
 
 
 
f
f
f
f x(x)
Por fim, h(x) é a função cujo gráfico intersecta o eixo das orde-
nadas no valor 4. Logo, essa função é da forma h(x) = h1 ⋅ x + 4.
Observando a imagem, concluímos que h1 > 0 e que h(x) con-
tém o ponto (3, 5). Portanto, temos: 
5 3 4
3 1
1
3
1
3
4
1
1
1
  
 
 
 
h
h
h
h x(x)
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23 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
Função quadrática
12. Encontre as funções quadráticas que satisfazem as condições indicadas em cada item.
a) 2 e –1 são as raízes de y f x ax x c  ( ) 2 2 .
Substituindo os valores 2 e –1 na função f(x), obtemos zero. 
Isso nos possibilita encontrar duas relações que envolvem os 
coeficientes a e c. 
f a c
a c
a c
( )2 2 2 2 0
4 4 0
4 4
2     
  
  
f a c
a c
a c
( ) ( ) ( )     
  
 
1 1 2 1 0
2 0
2
2
Logo, temos o seguinte sistema:
4 4
2
a c
a c
 
 

®
¯
A solução é a = –2 e c = 4. Portanto, temos: 
y f x x x   ( ) 2 2 42
b) A função y f x ax bx c  ( ) 2 intersecta o eixo das ordenadas em –5 e tem raízes 3 e –5.
Como a função f(x) intersecta o eixo 
das ordenadas em y = –5, significa que 
f(0) = –5: 
f a b c
c
( )0 0 0 5
5
2     
 
Com os dados das duas raízes, concluí-
mos que: 
f a b
a b
( ) ( )3 3 3 5 0
9 3 5
2    
 
 
f a b
a b
a b
( ) ( ) ( )     
 
 
5 5 5 5 0
25 5 5
5 1
2
Temos o seguinte sistema de equações: 
9 3 5
5 1
a b
a b
 
 

®
¯
Podemos isolar b na segunda equação e 
substituir seu valor na primeira:
5 1
5 1
a b
b a
 
 
9 3 5 1 5
9 15 5 3
24 8
1
3
a a
a a
a
a
  
 
 
 
( )
Agora, encontramos o valor de b:
b a
b
b
 
 
 
5 1
5
3
1
2
3
 
y f x x x  ( )
1
3
2
3
52
c) O ponto (–1, 7) é o vértice da parábola y f x ax bx c  ( ) 2 cuja intersecção com o eixo das 
ordenadas é 6.
Da intersecção com o eixo das ordena-
das, segue que: 
a b c
c
( )0 0 6
6
2    
 
Como o ponto (–1, 7) é o vértice da pa-
rábola, podemos relacionar os coeficien-
tes e a b da função f com sua abscissa:
x
b
a
b
a
b av    
2
1
2
2
Logo, podemos substituir essas primei-
ras informações na função f(x):
f x ax bx c
f x ax ax
( )
( )
  
  
2
2 2 6
Como (–1, 7) pertence ao gráfico, segue 
que:
f
a a
a a
a
b
( )
( ) ( )
 
    
 
 
 
1 7
1 2 1 6 7
2 7 6
1
2
2
y f x x x   ( ) 2 2 6
d) O ponto de abscissa 1 é raiz e vértice da função quadrática y f x ax bx c  ( ) 2 . Sabe-se tam-
bém que (–2, –18) é outro ponto de seu gráfico.
Das duas condições fornecidas, pode-
mos concluir as seguintes relações:
    
  
2
1é raiz de :
f (1) a(1) b 1 c 0
a b c 0
f
   V
1é abscissa do vértice:
b b
x 1 b 2a
2 2a a
Ao substituir o valor de b na 1 .ª equa-
ção, temos: 
b = –2a
a a c
c a
   
 
( )2 0
Dessas informações, a função f pode ser 
escrita como f x ax ax a( )  2 2 .
Substituindo pelas coordenadas do pon-
to que pertence à parábola, segue que: 
f a a a
a a a
a
a
( ) ( ) ( )     
  
 
 
2 2 2 2
18 4 4
18 9
2
2
b = 4
c = –2
y f x x x   ( ) 2 4 22
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24 Livro de atividades 
13. (ENEM) Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu pro-
prietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros 
a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros.
Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em 
R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é
a) V = 10 000 + 50x – x2
b) V = 10 000 + 50x + x2
c) V = 15 000 – 50x – x2
X d) V = 15 000 + 50x – x2
e) V = 15 000 – 50x + x2
Sendo x o desconto em centavos, a expressão P(x) = 150 – x é o preço (em centavos) com desconto de x; a expressão 
L(x) = 10 000 + 100x é a quantidade (em litros) de álcool vendido com desconto de centavos. Como o valor V(x) arrecadado x
se calcula pelo produto entre o preço unitário e a quantidade de litros vendidos, temos V x
P x
L x( )
( )
( ) 
100
 (note que, como V(x) 
deve estar em reais, devemos dividir P(x) por 100). Portanto: 
V x
x x
x x x x( )
( ) ( )
 
  
     
150 10000 100
100
15000 100 150 15000 502 xx 2
14. (IFPE) Sobre um gramado em forma de retângulo, ABCD, de dimen-
sões 4 m × 8 m, deseja-se construir uma estrutura de madeira para 
uma apresentação. Um arquiteto propôs o formato de um paralelo-
gramo, como pode ser visto na figura ao lado, o qual nomeamos de 
MNPQ, cujos vértices M, N, P e Q distam x, respectivamente, dos vér-
tices do jardim A, B, C e D.
Para que o gasto com a construção da estrutura seja mínimo, deseja-se que a área de MNPQ seja a 
menor possível. Nesse caso, ela seria de:
a) 18 m2. b) c) d) e) 16 m2. X 14 m2. 20 m2. 24 m2.
A área do quadrilátero MNPQ é calculada pela diferen-
ça entre a área do retângulo ABCD e dos quatro triângulos 
. . . .QAM, PDQ, PCN e NMB.
Área dos triângulos menores: 
1
2
4x x ( ) ; área dos triângulos 
maiores: 
1
2
8x x ( ) ; área total dos quatro triângulos: 
2
1
2
8 2
1
2
4 12 2 12 2 2        x x x x x x x x( ) ( ) ( )
Área de MNPQ: S x x x x x( ) ( )    32 12 2 2 12 322 2 . 
A função quadrática tem concavidade para cima, logo, tem 
um valor mínimo, que ocorre precisamente no vértice. 
A medida de x que torna a área mínima é 
x
b
a
V 
  
 
2
12
4
3
( )
.
A área pedida, portanto, vale:
S x S
S x
v
v
( ) ( ) ( ) ( )
( )
    
 
3 2 3 12 3 32
14
2
Portanto, a área mínima é de 14 m2. 
15. Considere as funções afins f x x( ) 4 13 e g x x( )  2 3 e a função quadrática h x x x( )  2 4 3. 
a) Encontre as intersecções dos gráficos dessas funções: f(x) e g(x); f(x) e h(x); h(x) e g(x).
f x g x( ) ( ) 
4 13 2 3x x  
6 16
8
3
x x ? 
y   4
8
3
13
7
3
8
3
7
3
, §
©
¨
·
¹
¸
f x h x( ) ( ) 
4 13 4 32x x x  
x x2 8 16 0  
Tem uma única raiz: 
x y   4 4 4 13 3;
(4, 3)
 
h(x) = g(x)
x x x2 4 3 2 3   
x x2 2 0 
Tem duas raízes: 
x = 0 e x = 2 
(0, 3) e (2, –1)
A Mx B
N
x
CP xD
Q
x
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25 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
b) Esboce os gráficos das três funções no sistema de coordenadas abaixo, destacando os pontos de 
intersecção entre os gráficos.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
x
1
2
3
5
6
7
y
−1
4
0
−2
−3
g(x) = −2x + 3
(0, 3)
h(x) = x2 − 4x + 3
(4, 3)
(2, −1)
f(x) = 4x − 13
8
3
,−7
3
16. Deseja-se construir um galpão retangular no terreno triangular. Veja a figura a seguir. 
a) Expresse a área do galpão como função de seu lado horizontal. Dica: utilize semelhança de triân-
gulos.
Considerando x como a medida do lado 
horizontal e y como a medida do lado 
vertical do galpão, a relação entre os dois 
se dá pela semelhança de triângulos, por 
exemplo, .ABC e .ADE:
 ABC ADE
AC
BC
AE
DE
y
x
 
 
30
20
30( )
 
A área é A x y  , logo, a área em função 
do lado x é: 
A x x x x x( )   §
©
¨
·
¹
¸  
3
2
30
3
2
302 
Note que 0 < x < 20.
3 2 60
30
3
2
x y
y
x
 
 
b) Quais devem ser as medidas do galpão para que a área seja a maior possível? Qual a área máxima? 
Como a área é uma função quadrática com concavidade 
para baixo, seu maior valor ocorre na ordenada do vértice 
da parábola, isto é, em A(xv):
A x x x( )  
3
2
302
 
x v 
 §
©
¨
·
¹
¸
 30
2
3
2
10
Logo, as medidas do galpão devem ser x = 10 m e 
y m m 
ª
¬«
º
¼»
 30
3 10
2
15
( )
 . Assim, a área máxima é 
x ⋅ y = 10 m ⋅ 15 m = 150 m2.
Veja outra maneira de calcularmos a área máxima:
    
    
  
 
2
v v v
2
máx
máx
3
A(x ) (x ) 30 (x )
2
3
A(10) (10) 30 (10)
2
A 150 300
A 150
Assim, a área máxima é 150 m2.
30 m
A
B C
xm
y m
ED
20 m
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26 Livro de atividades 
17. Em certo parque de diversões, quando o preço de ingresso é R$10,00, verifica-se que 200 pessoas (entre 
crianças e adultos) comparecem por dia; quando o preço é R$ 15,00, comparecem 180 pessoas por dia. 
a) Admitindo que o número de frequentadores por dia se relaciona com o preço por meio de uma 
função afim, obtenha essa função.
Seja N o número de frequentadores do parque e p o preço do 
ingresso, temos, pelo enunciado, que N p a p b( )   , onde a e 
b são constantes a serem determinadas. 
Sabemos que N(10) = 200, então 10a + b = 200 e também que 
N(15) = 180, então 15a + b = 180. Comparando o valor de b 
nas duas equações, temos: 
200 – 10a = 180 – 15a
5a = –20
a = –4
Se considerar oportuno, comente com os alunos que isso sig-
nifica que, para cada aumento de 1 real, 4 pessoas deixam de 
ir ao parque. O valor de b é: 
b
b
   
 
200 10 4
240
( )
Portanto, temos N p p( )  4 240.
b) Expresse o faturamento diário do parque como função do preço.
O faturamento diário é quanto foi apurado em um dia, que 
pode ser calculado pelo produto entre o preço diário e o 
número de frequentadores do parque. Sendo F(p) o fatura-
mento em função do preço, temos:
F p p N p
F p p p
( ) ( )
( ) ( )
 
   4 240
F p p p( )  4 2402
 
c) Qual preço deve ser cobrado para maximizar (tornar o maior possível) a receita diária? Qual é esse 
faturamento? 
O faturamento é uma função 
que se identifica com a função 
f x ax bx c a( ) ,   2 0. Logo, é uma 
função quadrática cujo gráfico tem 
concavidade para baixo e, portanto, 
apresenta um valor máximo. Esse valor 
máximo é a ordenada do vértice, que 
ocorre na abscissa do vértice. 
O melhor preço para o proprietário 
do parque é 30 reais, pois: 
p
b
a
p
V
V
 

 

 
 
2
240
2 4
30
( )
Seu faturamento máximo é 3 600 
reais, pois: 
    
    
 
2
V V V
2
máx
máx
F(p ) 4 (p ) 240 (p )
F 4 (30) 240 (30)
F 3 600
18. (ENEM) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma 
parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função 
real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela 
lei f x x x C( )  
3
2
62 , onde C é a medida da altura do líquido contido 
na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o 
vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é 
a) b) c) d) 1. 2. 4. 5. X e) 6.
Com os dados fornecidos, podemos encontrar o valor da 
abscissa do vértice da parábola ax bx c2   . As coordena-
das do vértice V são ( , ) ,x y
b
a
V V 
§
©
¨
·
¹̧2
0 , pois V é raiz da 
função. Temos, então:
x
b
a
V 
  

 
2
6
2
3
2
2
( ) 
Como 2 é uma raiz (dupla) da função, temos: 
f
C
C
( )2 0
3
2
2 6 2 0
6
2
 
    
 
Note que C também é o ponto que o gráfico corta o eixo y.
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27 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
19. Considere as funções quadráticas f x x x( )  2 4 4 e g x x x( )   2 3 4 . Determine os pontos de in-
tersecção dessas funções, seus vértices e suas raízes. Faça o esboço dos gráficos, destacando os ele-
mentos encontrados. 
−3 −2 −1 1 2 3 5 6 7
x
y
1
2
3
5
6
7
−1
4
0
8
4
y = f(x) = x2 − 4x + 4
P
1
 = (0, 4)
P
2
 = 
V
f
 = (2, 0)
y = g(x) = −x2 + 3x + 4
7
2
, 9
4
V
g
 = 3
2
, 25
4
Para f(x): A função f é um produto notável, pois 
f x x x x( ) ( )   2 24 4 2 . Calculamos suas raízes: 
( )x
x
x
x
x
x
 
 r
 
 
 
 
x
x
2 0
2 0
2 0
2
2 0
2
2
Por ter raiz dupla, sua abscissa do vértice é precisamente a raiz 
da função. Portanto, Vf = (2, 0).
Para g(x): Suas raízes satisfazem    x x2 3 4 0. Pode-se utili-
zar a fórmula resolutiva ou resolver a equação por manipulação 
algébrica e fatoração. Aqui usamos esse último. Multiplicando 
por (–1) ambos os membros, temos: 
x x
x x
x x x
x x
2
2
2 5
1 5
2
3 4 0
3 4 0
2 5 1 5 0
  
  
    
 
 
 
 


Reagrupando os termos, temos: 
x x x
x x
x
x
2
1 2
5 1
2
2 1 5 5 0
1 5 1 0
    
   

 
( )
( )
( ) ( )
 
 
 
 

(( )( )
( )( )
x x
x x
 
 
   
  
1 1 5 0
1 4 0
x
x
 
 
 
 
x
x
x
x
1 0
1
4 0
4
Suas raízes, portanto, são –1 e 4.
A abscissa do vértice é a média aritmética das raízes: 
x V 
 
 
( )1 4
2
3
2
. Sua ordenada é:
g x g
g
g
V( ) 
§
©
¨
·
¹
¸
§
©
¨
·
¹
¸ 
§
©
¨
·
¹
¸  
§
©
¨
·
¹
¸
§
©
¨
·
¹
¸ 
3
2
3
2
3
2
3
3
2
4
3
2
2
  
§
©
¨
·
¹
¸ 
  
 
9
4
9
2
4
3
2
9 18 16
4
25
4
g
Logo, Vg 
§
©
¨
·
¹
¸
3
2
25
4
, .
Os pontos de intersecção das duas parábolas representam os 
valores de x que tenham a mesma imagem nas duas funções. 
Assim, fazemos f(x) = g(x):
x x x x
x x
x x
x
x
x
2 2
2
4 4 3 4
2 7 0
2 7 0
0
2 7 0
7
2
    
 
 
 
 
 
x
x
( )
As intersecções são x1 = 0 e x2
7
2
 , dando origem a dois pontos: 
P1 = (0, 4) e P2
7
2
9
4
 §
©
¨
·
¹
¸, . Ressalte com os alunos que essa últi-
ma equação não representa o cálculo de raízes de uma função, 
mas, sim, a intersecção de duas funções.
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28 Livro de atividades 
9
Ângulos na 
circunferência
Arcos e ângulos na circunferência
Em Geometria Plana, pontos, retas e polígonos são elementos muito estudados. No entanto, outro elemento 
importante da Geometria é a circunferência.
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que mantêm dada distância (raio) de um pon-
to fixo (centro da circunferência). É importante saber determinar os elementos da circunferência, bem como 
relacioná-la com outros objetos da Geometria, como retas e segmentos.
Vamos iniciar o estudo enumerando alguns elementos de uma circunferência. 
• Raio: qualquer segmento que liga um ponto da circunferência ao centro. Na figu-
ra ao lado, OA, OD e OE são raios de comprimento r.
• Corda: segmento que liga dois pontos da circunferência. Na figura, BC e DE são cordas.
• Diâmetro: quando a corda passa pelo centro da circunferência, recebe o nome de 
diâmetro. É a maior das cordas e tem como comprimento o dobro do raio. Na fi-
gura, DE é diâmetro.
Posições relativas entre uma reta e uma circunferência
B
E
A
r
O
C
D
r
r
P
M
A r
O
Q
s
d
• Reta secante à circunferên-
cia: a reta intersecta a circunfe-
rência em dois pontos. Na figura 
abaixo, a reta s é secante à cir-
cunferência de centro O e raio r. 
Os pontos P e Q estão tanto na 
reta quanto na circunferência. 
A distância do centro à reta s é 
menor do que o raio (d < r).
• Reta externa à circunferên-
cia: a reta não intersecta a cir-
cunferência. Na figura abaixo, a 
reta s é externa à circunferên-
cia. A distância do centro à reta 
s é maior do que o raio (d > r).
• Reta tangente à circunferên-
cia: a reta intersecta a circunfe-
rência em um único ponto. Na 
figura abaixo, a reta s é tangen-
te à circunferência no ponto P, 
e a distância do centro à reta s 
é igual ao raio (d = r). A reta é 
perpendicular ao raio no ponto 
de tangência. 
P
A
r
O
s
d
M
A
r
O
s
d
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29 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
Para determinaro ângulo central, indicamos o arco de circunferência associado. 
Na figura ao lado, o arco ABo corresponde ao ângulo central AOB . Para diferenciar 
dois arcos com extremidades em C e E, por exemplo, caso não esteja claro a qual 
estamos nos referindo, podemos escolher um ponto de cada um deles. Assim, o 
arco CEo que tem D como um dos pontos é indicado por CDEp , e o que tem o ponto 
A, por CAEp. A medida do arco é igual à medida do ângulo central associado.
Vamos recordar os diversos ângulos que se relacionam a uma circunferência. 
Ângulo central é o ângulo cujo vértice está no centro da circunferência. 
E
A
B
O
C
D
Um ângulo inscrito está associado a um ângulo central, relacionado pelo mesmo 
arco de circunferência. Na figura ao lado, o ângulo inscrito BAC delimita o arco BCo , que 
determina o ângulo central BOC . A medida do ângulo inscrito é a metade da medida 
do ângulo central correspondente. 
m CAB m COB( ) ( )  
1
2
Vale destacar que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângu-
lo, pois o ângulo central, nesse caso, é de 180° (ângulo raso).
• Relação entre segmentos secantes: se ao prolongarmos 
duas cordas não paralelas elas se encontram em um ponto P 
externo à circunferência, temos: 
PA PB PC PD 
A
B
O
C
_
2_
Relações métricas na circunferência
• Relação entre cordas: podemos relacionar os comprimentos de cordas que 
têm um ponto em comum no interior da circunferência e para isso usamos 
semelhança de triângulos. Se duas cordas AB e CD se intersectam no ponto P 
no interior da circunferência, obtemos quatro segmentos, tais que:
PA PB PC PD 
C
B
OA
P
D
P
B
O
C
D
A
Ângulo inscrito é o ângulo cujo vértice está em um ponto da 
circunferência e cujos lados são secantes a ela.
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30 Livro de atividades 
Uma consequência desse último resultado é que 
dois segmentos que partem do mesmo vértice e são 
tangentes à circunferência devem ser congruentes. 
Para demonstrar, basta usar um segmento secante 
auxiliar: 
(PA)2 = PC PD e (PB) = PC PD⋅ 2 ⋅
Portanto, temos: 
PA = PB
• Relação entre segmentos secante e tangente: 
um dos segmentos é tangente à circunferência. 
Nesse caso, temos:
( )PA PB PC2 
P
B
O
C
A
P
B
O
C
A
D
Ativ
idad
es
Arcos e ângulos na circunferência
1. Na figura abaixo, temos três circunferências C1, C2 e C3, de centros O . 1, O2 e O3 e raios r1, r2 e r3
C
1
O
1
O
2
O
3
C
2
C
3
A
G
H
B
E
D
F
a) Trace um diâmetro da circunferência C3 que seja ao mesmo tempo raio da circunferência C2. Qual 
a relação entre os raios dessas circunferências? 
AO2 é ao mesmo tempo diâmetro da circunferência C3 e raio de C2. Por conta disso, um raio é o dobro do outro: r2 = 2 ⋅ .r3
b) As circunferências C1 e C têm um raio comum? Em caso afirmativo, trace esse raio. Qual a con-2
sequência desse fato?
Sim. O segmento O1O2 é raio simultaneamente das duas circunferências; dessa forma, os raios são iguais, isto é, r1 = r2.
c) Trace um segmento que seja corda das circunferências C1 e C2 ao mesmo tempo. Como você 
nomeou esse segmento?
Só existe um segmento, o que pode variar é o nome dado aos pontos. Na solução apresentada, temos o segmento BD.
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31 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
d) Trace na figura um diâmetro da circunferência C1 que seja tangente à C2. GH
e) Trace na figura um diâmetro da circunferência C2 que seja tangente à C1 e C3. EF
2. Na figura a seguir, temos uma circunferência de centro O, na qual marcamos os pontos A e B. Use 
a régua para traçar a reta secante à circunferência pelos pontos A e B. Trace também o diâmetro da 
circunferência pelo ponto A. Use o transferidor para medir o ângulo inscrito que você desenhou. 
Marque o arco compreendido pelo ângulo inscrito. Qual a medida, em graus, desse arco? 
A
O
B
C
55°
 
Ângulo inscrito: ˆm(BAC) 55° 
Arco: om(BC)=2 55 =110 ° ° 
3. (UFPE) Sejam AB e AC cordas de mesma medida em uma circunferência e D um ponto no arco 
maior BC, conforme ilustração abaixo. Se o ângulo BACl mede 150° assinale a medida, em graus, do 
ângulo BDA .
A C
B
O
D 
Com os raios AO, OB e OC, construímos dois triângulos isósceles congruentes (ΔABO ≡ ΔACO, 
pelo caso LLL). Temos:  l l 
150°
m(OBA)=m(OAB)=m(OAC)=m(OCA)= =75°
2
.
A medida do ângulo central AOBl é 180 2 75 30  ° ° °. 
O ângulo inscrito mede a metade do ângulo central: 
30°
m(BDA)= =15°
2
.
4. (UFRGS – RS) Na figura abaixo, as semirretas AB
 
 e AC
 
 tangenciam o círculo de centro D, respectiva-
mente, nos pontos B e C.
A
C
B
D
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero 
é 360°. Sabemos que dois ângulos são retos, pois 
as semirretas são tangentes à circunferência, e um 
dos ângulos é 70°. Assim, o ângulo procurado é 
360° – (70° + 90° + 90°) = 110°.
Se o ângulo BACl mede 70°, o ângulo BDC mede
X a) 110°. 
b) 115°.
c) 125°.
d) 135°.
e) 140°.
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32 Livro de atividades 
C
E
O
B
D
F
G
H
A 2
7
∙ 180°
7
540°
2
7
∙ 180°
a) Estrela de cinco pontas
m(BCD) = 36° 
m BFD( ) 108° 
b) Estrela de sete pontas 
m(BAG) =l 
m(BHG) = 
c) Estrela de oito pontas
m(EFG) = 45° 
m(AIG) = 135° 
d) Usando cores diferentes, desenhe duas estrelas de nove pontas na 
figura ao lado. Para desenhar uma delas, comece em qualquer um 
dos pontos destacados na figura, exceto o centro da circunferência, 
e ligue esses pontos de dois em dois no mesmo sentido (horário ou 
anti-horário). Desenhe outra estrela da mesma forma, começando 
em um dos pontos destacados e os ligando de quatro em quatro (no 
mesmo sentido). 
6. Um polígono é inscritível se todos os seus vértices pertencerem a uma mesma circunferência. Con-
sidere o quadrilátero ABCD a seguir inscrito em uma circunferência.
a) Calcule o valor de x.
Observe que x é um ângulo central que tem a mesma medida que o arco BADq , e que o 
ângulo BCD é um ângulo inscrito desse mesmo arco. Logo, x deve valer o dobro de 
BCD , ou seja,  x 2 107 214° ° .
b) Calcule o valor de y.
Seguindo o mesmo raciocínio do item anterior, o ângulo 
BODl mede o dobro do ângulo y. Logo, m(BOD) = 2yl . 
Temos, então: 
 
 
 
x 2y 360
2y 146
y 73
°
°
°
5. Calcule os ângulos nas figuras estreladas, que são construídas dividindo-se uma circunferência em 
partes iguais. Dica: uma circunferência dividida em partes iguais determina arcos de mesma medida.
C
E
O
B D
72°72°
36° 36°
F
A
C
E
O
B
D
F G
H
A
45°
22,5°
22,5°
I
o
 360
m(AD) = m(BE) = = 72
5
°
°
72
m(AED) = m(BAE) = = 36
2
°
°
 
O triângulo ΔAFE é isósceles de base AE . Logo: 
 m(BFD) = m(AFE) = 180 2 36 = 108° ° ° 
180
7
°
540
7
°
l 1 360 180m(BAG) = =
2 7 7

° °
O triângulo ΔCHF é isósceles de base CF, com 
  
180 540
m(CHF) = 180 2 2 =
7 7
° °
°
 , logo:
540°
m(BHG) = m(CHF) =
7
 
   
1 360
m(EFG) 2 45
2 8
°
°
O triângulo ΔFIB é isósceles de base FB , logo: 
    
45
m(AIG) m(FIB) 180 2 135
2
°
° °
A
D
C
B
y
x
O
2y 107°
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33 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
c) Calcule o valor da soma m(BCD) +m(BAD)l l . 
A soma é 107° + 73° = 180°.
d) O que se pode concluir da soma da medida dos ângulos ADC e CBA  ? 
Essa soma também vale180°. Esse fato pode ser verificado pelo mesmo raciocínio dos itens anteriores ou pode-se constatar que, 
como a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360° e dois ângulos opostos são suplementares, os outros 
dois ângulos opostos devem ser suplementares.
e) Que propriedade pode ser atribuída aos quadriláteros inscritíveis?
A soma das medidas dos ângulos opostos é 180°, ou seja, os ângulos opostos são suplementares.
7. No retângulo abaixo, trace a circunferência que circunscreve o retângulo. Dica: encontre a intersec-
ção das diagonais. 
8. Na figura abaixo, temos duas circunferências centradas nos pontos O1 e O2, com raios respectiva-
mente 6x e 5x. Sabendo que o quadrilátero ABCO1 tem área 60 cm
2, determine o valor de x.
A
C
O
1
O
2
B
Os triângulos .ABO1 e .CBO1 são retângulos e congruen-
tes pelo caso LLL (lado, lado, lado).
Como a hipotenusa dos triângulos é o diâmetro da circunfe-
rência de centro O2, segue que:
AB x x
AB x
AB x
2 2 2
2 2
10 6
8
8
 
 
 
( ) ( )
( )
A área do quadrilátero ABCO1 é o produto do raio da primeira 
circunferência pelo cateto AB, pois é a soma dos dois triângu-
los retângulos. Logo:
6 8 60
5
4
5
2
2
x x
x
x cm
 
 
 
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34 Livro de atividades 
9. Um ângulo é denominado ângulo de segmento (ou ângulo semi- 
-inscrito) se o seu vértice está na circunferência e um lado é secante à 
circunferência e o outro é tangente. Na figura ao lado, um ângulo QPR 
é de segmento. 
Nesta atividade, vamos verificar que o ângulo de segmento mede a me-
tade do arco que o compreende, isto é, m(QPR) =
1
2
m(QP)
 
. 
Complete corretamente as lacunas com as palavras do quadro a seguir. 
diâmetro meia-volta reto tangente metade
Resultado: m(QPR) =
1
2
m(QP)
 
Justificativa: Como a reta definida por R e P é tangente à circun-
ferência, temos que o ângulo SPR é reto . 
A medida do ângulo SPQ é igual à metade do arco SQo , pois é 
um ângulo inscrito de SQo .
Como PS é um diâmetro da circunferência, SQPq é um arco de meia-volta . Assim, temos:
o o
m(QPR) +m(SPQ) = 90°
180° 1
= (m(SQ) +m(QP))
2 2
 
Logo, segue que: 
m(QPR) + m(SPQ) =
1
2
(m(SQ) + m(QP))
m(QPR) +m(SPQ) =
1
2
m(SQ) +
   
   11
2
m(QP)

Como 
1
2
m(SQ) = m(SPQ)
 
, cancelamos a soma em ambos os termos:
m(QPR) +m(SPQ) = m(SPQ) +
1
2
m(QP)
   
Conclusão: m(QPR) =
1
2
m(QP)
 
10. Observe as figuras e descubra o valor do ângulo desconhecido em cada circunferência de centro O.
a) m(BAC) =l 67° 
o1 134m(BAC) = m(AB) = = 67
2 2
°
°
R
P
Q
O
S
R
P
Q
O
S
C
m(AB) = 134°
y
O
A
B
)
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35 Matemática – 9
o
. ano – Volume 3
Q
P
O
R
S
T
25°
x
33°
b) m(PRT) = 122° 
 o l1m(RTS)= m(RS)=m(RQS)=25
2
°
Olhando para o triângulo .RTP, concluímos que: 
x + 33° + 25° = 180° 
x = 122°
Relações métricas na circunferência
11. Determine o valor de x em cada circunferência abaixo. 
d) x = 5,9 
S
Q
T
P
R
x
53,2
4,1
e) x = 20,5 
S
Q
T
P
R
29,5
2516
x
f) x = 
S
Q
P
2
R
2
x
x x
x x
x ou x
   
  
  
( , ) ( )
,
,
29 5 16 25 25
29 5 1025 0
50 20 5
2
Como x > 0, x = 20,5
5 1 x x  ( )2 2 4
2 
x x
x
2 2 4 0
5 1
  
 
a) x = 50 
C
E
D
A
B 16
20
x
40
b) x = 1 
C
E
D
A
B 0,8
x
2,5
2x
c) x = 3 
C
D
E
A
B
x x − 1
x + 1
x + 3
16 20 40
800
16
50
 
 
x
x
2 0 8 2 5
12
x x
x
 
 
, ,
Como x > 0, x = 1
x x x x    ( ) ( ) ( )1 1 3
x x x x2 2 2 3  
x = 3
12. (UNESP – SP) Em um plano horizontal encontram-se representadas uma 
circunferência e as cordas AC e BD. Nas condições apresentadas na figura, 
determine o valor de x. 
2 3 3 1
2 6 32 2
x x x x
x x x x
   
 
( ) ( ) 7 0
0 7
2
1 2
x x
x x
 
 ;
 Como x > 0, segue que x = 7.
C
D
A
E
B
3x − 1
2x
x + 3
x
4 1 4 1 5 5 3 2
4 1 10
5 9
, ( , ) ( , )
x ,
x ,
   
 
 
x
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36 Livro de atividades 
13. No triângulo ΔABC, a circunferência é tangente aos lados 
do triângulo nos pontos D, E e F. Sabendo que os lados do 
triângulo medem AB = 10 cm, BC = 11 cm e CA = 9 cm, 
determine o comprimento do segmento BD. 
Como segmentos tangentes a um mesmo ponto externo têm mesmo 
comprimento, colocando BD = x, concluímos que: 
10 – x + 11 – x = 9 
2x = 12 
x = 6 cm
14. Um polígono está circunscrito a uma circunferência se todos os 
seus lados são tangentes a ela. O pentágono ao lado é um exem-
plo de polígono que circunscreve uma circunferência. 
a) Se ABCD é um quadrilátero que circunscreve a circunferência 
ao lado, calcule seu perímetro. 
Como os segmentos tangentes a uma circunferência em um ponto externo 
têm mesmo comprimento, chegamos à conclusão de que 
BC = 1 + 3 = 4, AD = 4 + 2 = 6.
Portanto, o perímetro de ABCD é:
AB + BC + CD + DA = (4 + 1) + (1 + 3) + (3 + 2) + (2 + 4) =
= 5 + 4 + 5 + 6 = 20
b) Mostre que as somas dos lados opostos de um quadrilátero 
circunscrito a uma circunferência são iguais, isto é, AB + CD = 
= BC + AD. Dica: utilize as mesmas ideias do item a. 
Baseando-se no item a, segue que os segmentos tangentes à circunferência 
em cada um dos vértices são congruentes. Podemos denotá-los como x y, , 
z w e para trabalhar em um contexto geral. Assim: 
AB + CD = (x + y) + (z + w) = x + y + z + w
BC + DA = (y + z) + (x + w) = x + y + z + w
Portanto, AB + CD = BC + AD.
15. Desenhe a circunferência inscrita ao losango abaixo.
A
E
F
D
CB
x
10 − x 10 − x
11 − x
11 − xx
B 1
C
D
A
1
3
3
2
24
4
C
DA
B
w
wx
x
y y
z
z
Traçar as duas diagonais do 
losango. A intersecção dessas 
diagonais é o centro da circun-
ferência pedida. A seguir, esco-
lher um lado do losango e, com 
o auxílio de uma régua e de um 
esquadro, construir uma per-
pendicular a esse lado que passe 
pelo centro da circunferência. 
A intersecção dessa perpendi-
cular com esse lado define um 
dos pontos da circunferência. 
O segmento que liga os dois 
pontos construídos é o raio da 
circunferência.