Centro de Massa de Sistemas de Partículas

Prévia do material em texto

Aula 020 1 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
L 
Qual é a posição do CM do sistema de 3 barras uniformes abaixo, 
com relação à origem indicada? 
M 
m 
m 
¾L 
0 
d y 
x 
Como cada barra é uniforme, o CM 
de cada uma delas é seu centro 
geométrico 
Calculo do CM do sistema: 
Usamos a posição do CM de cada 
barra!! (representando a barra como 
se fosse uma partícula localizada ali 
e com massa igual àquela da barra 
correspondente) 
Exemplo 12.1 
CM3 
CM2 
CM1 
Aula 020 2 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
𝒙𝑪𝑴 =
𝒙𝟏 ∙ 𝒎𝟏 + 𝒙𝟐 ∙ 𝒎𝟐 + 𝒙𝟑 ∙ 𝒎𝟑
𝒎𝟏 +𝒎𝟐 +𝒎𝟑
 
𝒙𝑪𝑴 =
𝟎 ∙ 𝒎 + 𝒅 𝟐 ∙ 𝑴 + 𝒅 ∙ 𝒎
𝒎+𝑴+𝒎
 
𝒙𝑪𝑴 =
𝒅 ∙ 𝑴 𝟐 +𝒎
𝟐𝒎+𝑴
 
L 
M 
m 
m 
¾L 
0 
d 
y 
x 
CM3 
CM2 
CM1 
𝒙𝑪𝑴 =
𝒅 ∙ 𝑴 𝟐 +𝒎
𝟐 ∙ 𝒎 +𝑴 𝟐 
 𝒙𝑪𝑴 =
𝒅
𝟐
 
Aula 020 3 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
𝒚𝑪𝑴 =
−𝟑𝑳 𝟖 ∙ 𝒎 + 𝟎 ∙ 𝑴 −
𝑳
𝟐 ∙ 𝒎
𝒎+𝑴+𝒎
 
𝒚𝑪𝑴 =
𝑳 ∙ 𝒎 ∙ −𝟕 𝟖 
𝟐𝒎 +𝑴
 
L 
M 
m 
m 
¾L 
0 
d 
y 
x 
CM3 
CM2 
CM1 
Aula 020 4 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
Sendo: 
L = 1,0 m 
d = 0,80 m 
m = 0,60 kg 
M = 1,2 kg 
𝒙𝑪𝑴 =
𝒅
𝟐
 
𝒙𝑪𝑴 =
𝟎, 𝟖
𝟐
 
𝒙𝑪𝑴 = 𝟎, 𝟒𝟎 m 
𝒚𝑪𝑴 =
𝑳 ∙ 𝒎 ∙ −𝟕 𝟖 
𝟐𝒎 +𝑴
=
𝟎, 𝟔. −𝟕 𝟖 
𝟐 ∙ 𝟎, 𝟔 + 𝟏, 𝟐
 
𝒚𝑪𝑴 = −𝟎, 𝟐𝟐 m 
CM 
L 
M 
m 
m 
¾L 
0 
d y 
x 
Aula 020 5 
Um disco metálico de raio 2R tem um orifício de raio R, como 
mostra a figura. Localize as coordenadas do centro de massa do 
disco, sabendo-se que sua massa está uniformemente 
distribuída com densidade superficial s . 
2R 
R 
O disco com orifício pode ser pensado como 
uma superposição de dois discos: 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
Exemplo 12.2 
1 – Um disco uniforme completo (sem furo) 
de raio 2R com massa M, sendo 𝝈 =
𝑴
𝑨
 ⟹
 𝑴 = 𝝈 ∙ 𝑨 ⟹ 𝑴 = 𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝟐𝑹 𝟐 
2 – Um disco de “falta de material” (um furo) de raio R com 
“falta de massa” igual a m, sendo 𝝈 =
−𝒎
𝑨
 ⟹ 𝒎 = −𝝈 ∙ 𝑨 ⟹
 𝒎 = −𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹 𝟐 
 Com isso teremos 𝒚𝑪𝑴 = 𝟎 pois a 
distribuição de massa é simétrica acima e 
abaixo da origem. 
2R 
R 
Aula 020 6 
Tomamos como origem o centro do disco de 
raio 2R. 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
CM 
O centro de massa do sistema formado pelo disco cheio M e o 
disco “de falta de material” –m deve ser o mesmo centro de 
massa do objeto que queremos determinar. 
x 
y 
Calculando 𝒙𝑪𝑴: 
𝒙𝑪𝑴 =
𝑴 ∙ 𝟎 +𝒎 ∙ −𝑹
𝑴+𝒎
=
𝟎 + −𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟐 ∙ −𝑹
𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝟒 ∙ 𝑹𝟐 − 𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟐
=
𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟑
𝟑 ∙ 𝝈 ∙ 𝝅 ∙ 𝑹𝟐
 
𝒙𝑪𝑴 =
𝑹
𝟑
 
Aula 020 7 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o 
centro de massa descreve uma parábola, como uma partícula. 
12.2 – 2ª lei de Newton para um sistema de partículas: 
Considere duas partículas de massas m1 e m2 sob as quais 
atuam forças em uma dimensão: 
É importante identificar e distinguir as forças que são internas ao 
sistema (𝑭𝟐→𝟏 e 𝑭𝟏→𝟐) e as forças que são externas ao sistema 
(𝑭𝟏
𝒆𝒙𝒕 e 𝑭𝟐
𝒆𝒙𝒕). 
F1
ext F2
ext 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 = 𝑭𝟐→𝟏 + 𝑭𝟏
𝒆𝒙𝒕 
𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 = 𝑭𝟏→𝟐 + 𝑭𝟐
𝒆𝒙𝒕 
Aula 020 8 
Somando-se as equações termo a termo: 
𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 = 𝑭𝟐→𝟏 + 𝑭𝟏→𝟐 + 𝑭𝟏
𝒆𝒙𝒕 + 𝑭𝟐
𝒆𝒙𝒕 
1 2 
Aula 020 9 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
Considerando o sentido positivo para a direita: 
−𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 = 𝑭𝟐→𝟏 − 𝑭𝟏→𝟐 − 𝑭𝟏
𝒆𝒙𝒕 + 𝑭𝟐
𝒆𝒙𝒕 
Como as partículas estão ligadas pela mesma mola, as forças 
internas se cancelam 
−𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 = 𝑭
𝒆𝒙𝒕 
E a resultante é dada pela soma das forças externas apenas 
 𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝑭𝑹𝒆𝒔
𝒆𝒙𝒕 = −𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 
Aula 020 10 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
Em particular, se 𝑭𝑹𝒆𝒔
𝒆𝒙𝒕 = 𝟎 teremos sempre a velocidade do 
centro de massa constante (o CM continuará em MRU se 
estava em movimento, ou continuará na mesma posição se 
estava em repouso) 
2a Lei de Newton para um sistema de partículas 
𝒂𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙ 𝒎𝒊 ∙ 𝒂𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
Pela definição da aceleração do centro de massa: 
𝑴.𝒂𝑪𝑴 = −𝒎𝟏 ∙ 𝒂𝟏 +𝒎𝟐 ∙ 𝒂𝟐 
O que finalmente nos leva a: 
𝑭𝑹𝒆𝒔
𝒆𝒙𝒕 = 𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 
Aula 020 11 
M 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
Usando a 2ª lei de Newton, podemos determinar o movimento 
do sistema de duas massas representando-o por uma partícula 
de massa M localizada no CM sobre a qual atua apenas uma 
força, que é a soma de todas as forças externas agindo sobre o 
sistema 
F1
ext F2
ext 
𝑭𝑹𝒆𝒔
𝒆𝒙𝒕 
Aula 020 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
Só há forças internas ao sistema o centro de massa tem 
velocidade constante. Como estava inicialmente em repouso, 
permanecerá na mesma posição. Não importam as forças 
exercidas pelos patinadores (internas). 
Dois patinadores no gelo (sem atrito) 
encontram-se inicialmente em 
repouso a uma distância de 12 m. 
Eles puxam as extremidades de uma 
corda até se encontrarem. Em que 
ponto eles se encontram? O resultado 
depende das forças exercidas por 
eles? 
m1=80 kg m2=60 kg 
Os patinadores se encontrarão 
a 5,1 m da posição inicial do 
patinador da esquerda. 
Exemplo 12.3 
𝒙𝑪𝑴 =
𝟖𝟎 ∙ 𝟎 + 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟐
𝟖𝟎 + 𝟔𝟎
= 𝟓, 𝟏 𝒎 
12 
Aula 020 13 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
Exemplo 12.4 
A mulher caminha até a outra extremidade da jangada. Qual será 
a distância da borda direita da jangada (onde estará a mulher) ao 
trapiche agora? 
Aula 020 14 
Como só há forças internas ao sistema na direção de movimento 
(horizontal), o centro de massa tem velocidade constante. Como 
estava inicialmente em repouso, permanecerá na mesma 
posição, mesmo que a mulher avance para a outra extremidade 
da jangada. As posições do CM da jangada e da mulher vão 
variando de forma correlacionada, de modo que o CM do 
sistema permanece sempre na mesma posição. 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
Sem atrito com a água 
𝑭𝒋→𝒎 
𝑭𝒎→𝒋 
Aula 020 15 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
No início: 
𝑪𝑴𝒔𝒊𝒔 
𝑪𝑴𝒎 
𝑪𝑴𝒋 0,5 m 
𝒙𝒎𝒊 
𝒙𝒋𝒊 
No final: 
𝑪𝑴𝒔𝒊𝒔 
𝑪𝑴𝒎 
𝑪𝑴𝒋 
𝒙𝒋𝒇 
𝒙𝒎𝒇 
𝒙𝑪𝑴𝒊 
𝒙𝑪𝑴𝒇 
𝒙 
𝒚 
3 m 
Aula 020 16 
CAPÍTULO 12 – Sistemas de partículas 
𝒙𝑪𝑴𝒊 = 𝒙𝑪𝑴𝒇 
𝒎𝒎 ∙ 𝒙𝒎𝒊 +𝒎𝒋 ∙ 𝒙𝒋𝒊
𝒎𝒎 +𝒎𝒋
=
𝒎𝒎 ∙ 𝒙𝒎𝒇 +𝒎𝒋 ∙ 𝒙𝒇
𝒎𝒎 +𝒎𝒋
 
𝟔𝟎 ∙ 𝟔, 𝟓 + 𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝟑, 𝟓 = 𝟔𝟎 ∙ 𝒙𝒎𝒇 + 𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝒙𝒋𝒇 
𝟏𝟑, 𝟓 = 𝒙𝒎𝒇 + 𝟐 ∙ 𝒙𝒋𝒇 
A distância entre 𝒙𝒎𝒇 e 𝒙𝒋𝒇 é a mesma entre 𝒙𝒎𝒊 e 𝒙𝒋𝒊, que é a 
distância da ponta ao centro da jangada. Logo, 𝒙𝒋𝒇 = 𝒙𝒎𝒇 + 𝟑 
𝟏𝟑, 𝟓 = 𝒙𝒎𝒇 + 𝟐 ∙ 𝒙𝒎𝒇 + 𝟔 𝒙𝒎𝒇 = 𝟐, 𝟓 m