Fis21

Prévia do material em texto

Aula 021 1 
CAPÍTULO 13 
Momento 
linear e 
colisões 
Aula 021 2 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
Em que caso você seria arremessado a uma distância maior: se 
um caminhão a 60 km/h batesse em você ou se um fusca a 
60km/h batesse em você? 
Qual dos dois é mais difícil de ser freado, o fusca ou o caminhão 
a 60 km/h? Por quê, se a mesma aceleração de frenagem 
reduzirá igualmente a velocidade dos dois no mesmo intervalo de 
tempo? 
60 km/h 
60 km/h 
Aula 021 3 
13.1 – Momento linear (ou quantidade de movimento) : 
Conhecer apenas a velocidade do corpo não é suficiente para 
avaliar a dificuldade em variar o seu estado de movimento. Para 
isso é melhor conhecer o... 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
13.1.1 – Para uma partícula: 
𝒑 = 𝒎 ∙ 𝒗 
Unidade: kg x m/s = [kg.m/s] (não recebe nome especial) 
Aula 021 4 
Newton formulou a 2ª lei em função da quantidade de movimento 
dos corpos. Se derivarmos os dois lados da equação anterior em 
relação à t... 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
𝒅𝒑
𝒅𝒕
=
𝒅(𝒎 ∙ 𝒗)
𝒅𝒕
 
𝒅𝒑
𝒅𝒕
= 𝒎 ∙ 𝒂 𝑭𝒓𝒆𝒔 =
𝒅𝒑
𝒅𝒕
 
13.1.2 – Para um sistema de partículas: 
𝑷 = 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝒑𝟑 +⋯+ 𝒑𝒏 
O momento linear do sistema será a soma vetorial dos momentos 
lineares de todas as partículas. 
Aula 021 5 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
𝑷 = 𝒑𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 𝑷 = 𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
Como vimos no capítulo anterior, 
𝒗𝑪𝑴 =
𝟏
𝑴
∙ 𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝑴 ∙ 𝒗𝑪𝑴 
𝑷 = 𝑴 ∙ 𝒗𝑪𝑴 
Aula 021 6 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
E a 2ª lei de Newton para um sistema de partículas fica: 
𝒅𝑷
𝒅𝒕
=
𝒅(𝑴 ∙ 𝒗𝑪𝑴)
𝒅𝒕
 
𝒅𝑷
𝒅𝒕
= 𝑴 ∙ 𝒂𝑪𝑴 𝑭𝒓𝒆𝒔
𝒆𝒙𝒕 =
𝒅𝑷
𝒅𝒕
 
Isso quer dizer que quando a força externa resultante sobre 
o sistema é nula, o momento linear do sistema se conserva 
𝑭𝒓𝒆𝒔
𝒆𝒙𝒕 = 𝟎 
𝒅𝑷
𝒅𝒕
= 𝟎 
𝑷 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑷𝒇 = 𝑷𝒊 
Aula 021 7 
Exemplo 13.1 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
Uma bomba de 10,0 kg que está inicialmente em repouso sobre 
uma mesa sem atrito explode em três fragmentos. Um dos 
fragmentos tem massa 2,00 kg e se move ao longo do eixo x 
com velocidade de 300 m/s, enquanto um segundo fragmento, 
de massa 3,00 kg, move-se ao longo do eixo y com velocidade 
de 100m/s. Calcule: 
 
a) qual é a velocidade do terceiro fragmento (módulo e direção). 
 
b) qual é a variação da energia mecânica. 
Aula 021 
8 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
Antes Depois 
y (m) 
x (m) 
Durante 
𝒗𝟏 
𝒗𝟐 
𝒗𝟑 
Explosão  Reações químicas internas  Fres externa é nula 
𝑷𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 = 𝑷𝒅𝒆𝒑𝒐𝒊𝒔 
Aula 021 9 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
Movimento em 2D  
𝑷𝒊𝒚 = 𝑷𝒇𝒚 
𝑷𝒊𝒙 = 𝑷𝒇𝒙 
Em x: 𝟎 = 𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝒇𝟏𝒙 +𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝒇𝟐𝒙 +𝒎𝟑 ∙ 𝒗𝒇𝟑𝒙 
𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟑𝟎𝟎 + 𝟑 ∙ 𝟎 + 𝟓 ∙ 𝒗𝒇𝟑𝒙 
𝒗𝒇𝟑𝒙 = −𝟏𝟐𝟎 m/s 
Em y: 𝟎 = 𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝒇𝟏𝒚 +𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝒇𝟐𝒚 +𝒎𝟑 ∙ 𝒗𝒇𝟑𝒚 
𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟎 + 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟎 + 𝟓 ∙ 𝒗𝒇𝟑𝒙 
𝒗𝒇𝟑𝒙 = −𝟔𝟎, 𝟎 m/s 
Aula 021 10 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
E para o vetor velocidade do terceiro fragmento : 
𝒗𝒇𝟑 = 𝒗𝒇𝟑𝒙
𝟐 + 𝒗𝒇𝟑𝒚
𝟐 𝒗𝒇𝟑 = 𝟏𝟑𝟒 m/s 
𝒗𝒇𝟑 = −𝟏𝟐𝟎 ∙ 𝒊 − 𝟔𝟎, 𝟎 ∙ 𝒋 m/s 
Mas “o valor da velocidade” refere-se ao módulo do vetor: 
E a direção do vetor é: 
𝒗𝒇𝟑 
𝒗𝒇𝟑𝒙 
𝒗𝒇𝟑𝒚 
𝜶 
𝜽 𝐭𝐚𝐧𝜶 =
𝒗𝒇𝟑𝒚
𝒗𝒇𝟑𝒙
 𝜶 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏(𝟎, 𝟓) 
𝜶 = 𝟐𝟔, 𝟔° 𝜽 = 𝟏𝟖𝟎° + 𝜶 𝜽 = 𝟐𝟎𝟕° 
Aula 021 11 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
A única forma de energia mecânica que varia é energia cinética : 
∆𝑲 = 𝑲𝒇 −𝑲𝒊 
∆𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝟏 ∙ 𝒗𝟏𝒇
𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝟐 ∙ 𝒗𝟐𝒇
𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝒎𝟑 ∙ 𝒗𝟑𝒇
𝟐 −
𝟏
𝟐
∙ 𝑴 ∙ 𝒗𝟎
𝟐 
∆𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝟐 ∙ 𝟑𝟎𝟎 𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟎 𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝟓 ∙ 𝟏𝟑𝟒 𝟐 − 𝟎 
∆𝑲 =
𝟏
𝟐
∙ 𝟐 ∙ 𝟑𝟎𝟎 𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟎 𝟐 +
𝟏
𝟐
∙ 𝟓 ∙ 𝟏𝟑𝟒 𝟐 − 𝟎 
∆𝑲 = 𝟏𝟓𝟎 kJ 
Essa energia não foi “ganha” do nada, sendo resultado da 
conversão de energia interna (química) em energia mecânica 
Aula 021 12 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
13.2 – Impulso e colisões : 
Em Física, dá-se o nome de colisão a uma interação entre duas 
(ou mais) partículas cuja duração é extremamente curta na escala 
de tempo humana e onde há troca de momento linear e energia. 
Queremos estudar as possíveis situações depois que as 
partículas se afastam da região de interação. 
Aula 021 13 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
Antes 
Durante 
Depois 
O que acontece durante a colisão não é acessível para nós. Mas 
se soubermos como se encontra o sistema imediatamente 
depois da colisão e como se encontrava imediatamente antes 
da colisão, poderemos obter informações a respeito da força de 
interação no sistema que colide. 
𝒗𝟏𝒊 
𝒗𝟏𝒇 𝒎𝟏 𝒎𝟏 
𝒗𝟐𝒊 
𝒎𝟐 
𝒗𝟐𝒇 𝒎𝟐 
Aula 021 14 
As forças de interação entre duas partículas que colidem são 
forças muito intensas e agem durante um intervalo de tempo 
extremamente curto. 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
13.2.1 – Forças de interação, impulso e força média: 
𝑭𝟐→𝟏 𝑭𝟏→𝟐 
𝒎𝟏 
𝒎𝟐 
As forças de interação não são constantes, 
variando de zero a um valor máximo e de 
volta a zero no curto intervalo de tempo de 
colisão, como ilustrado no gráfico F vs t 
mostrado ao lado 
Aula 021 15 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
O resultado líquido das forças de interação é fazer variar o 
momento linear das partículas. Pela 2a lei de Newton: 
𝑭 =
𝒅𝒑
𝒅𝒕
 𝑭 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒅𝒑 
Integrando durante o intervalo de colisão: 
 𝑭 ∙ 𝒅𝒕
𝒕𝒇
𝒕𝒊
= 𝒅𝒑
𝒑𝒇
𝒑𝒊
 𝑭 ∙ 𝒅𝒕
𝒕𝒇
𝒕𝒊
= 𝒑𝒇 − 𝒑𝒊 = ∆𝒑 
A integral temporal da força é chamada impulso da força: 
𝑱 = 𝑭 ∙ 𝒅𝒕
𝒕𝒇
𝒕𝒊
= ∆𝒑 
Ou seja, a variação do momento linear 
da partícula durante um intervalo de 
tempo é igual ao impulso da força que 
age sobre ela neste intervalo. 
Aula 021 16 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
No gráfico F vs t, o impulso é dado pela 
área sob a curva 
 Mas como não conhecemos F(t), 
não podemos resolver a integral nem 
determinar a área no gráfico F vs t... 
Por isso recorremos à definição da força média 𝑭 que é uma 
força constante que produz a mesma ∆𝒑 da força de interação 
durante o intervalo de tempo da colisão  mesma área no gráfico 
𝑱 
 𝑭 ∙ 𝒅𝒕
𝒕𝒇
𝒕𝒊
= ∆𝒑 𝑭 ∙ 𝒅𝒕
𝒕𝒇
𝒕𝒊
= ∆𝒑 
𝑭 =
∆𝒑
∆𝒕
 
𝑱 
Aula 021 17 
Exemplo 13.2 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
Suponhamos que, ao ser atingida pela bola branca, uma bola 
verde de bilhar, que estava inicialmente em repouso, adquire a 
velocidade de 1,00 m/s. Sendo a massa da bola verde 300 g, 
calcule: 
 
a) qual foi o impulso recebido pela bola verde na colisão com a 
bola branca. 
 
b) qual foi a força média exercida pela bola branca sobre a 
verde durante a colisão, se ela durou 1,00x10-3 s. 
Aula 021 18 
CAPÍTULO 13 – Momento linear e colisões 
𝑱 = ∆𝒑 𝑱 = 𝒑𝒇 − 𝒑𝒊 𝑱 = 𝒎 ∙ (𝒗𝒇 − 𝒗𝒊) 
𝑱 = 𝟎, 𝟑 ∙ (𝟏, 𝟎 − 𝟎) 𝑱 = 𝟎, 𝟑𝟎𝟎 kg.m/s 
𝑭 =
∆𝒑
∆𝒕
 𝑭 =
𝟎, 𝟑
𝟎, 𝟎𝟎𝟏
 𝑭 = 𝟑𝟎𝟎 N 
OBS: Comparando 𝑭 com a força peso atuando sobre as bolas, 
𝑷 = 𝟐, 𝟗𝟒 N, vê-se que a força de interação é muito maior que as 
forças externas.