Torque e Rotação de Corpos Rígidos

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Aula 026 1 
14.6 – Torque: 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Por quê a maçaneta de uma porta sempre fica no lado oposto 
às dobradiças e não no meio da porta, por exemplo ? 
Eixo de 
rotação fixo 
(dobradiças) 
Vista superior 
Eixo de 
rotação fixo 
(dobradiças) 
Direção radial 
Direção tangencial 
Aula 026 2 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Para abrir uma porta (fazê-la girar em torno do eixo das 
dobradiças), não basta aplicar uma força... 
Vista superior 
𝑭 
Vista superior 
𝑭 
Por exemplo, forças aplicadas na direção radial não fazem a 
porta girar (abrir ou fechar) independentemente do seu módulo. 
Aula 026 3 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Além do módulo da força, também o ângulo de aplicação e a 
distância ao eixo de rotação são importantes para produzir 
um movimento de giro como o de uma porta abrindo. 
Eixo de 
rotação fixo 
(dobradiças) 
𝒓 
𝑭 
𝝋 
A grandeza física que leva em conta esses fatores é o torque 𝝉. 
Ele representa a ação de giro de uma força, resultando numa 
aceleração angular 𝜶 . 
Aula 026 4 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Eixo de 
rotação fixo 
(dobradiças) 
𝒓 
𝑭 
𝝋 
𝑭𝒓𝒂𝒅 = 𝑭 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝝋 
𝑭𝒕𝒂𝒏 = 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋 
𝑭𝒓𝒂𝒅  componente de 𝑭 na direção radial, não causa torque 
𝒓  distância do eixo de rotação ao ponto de aplicação de 𝑭 
𝝋  menor ângulo entre as direções de 𝒓 e 𝑭 
𝑭𝒕𝒂𝒏  componente de 𝑭 na direção tangencial, responsável 
pelo torque 
Aula 026 5 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
O torque é calculado como: 
𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋 
Podemos olhar para essa fórmula de duas maneiras diferentes: 
𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋 
Unidade: [N.m] 
𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭𝒕𝒂𝒏 
𝒓 
𝑭𝒕𝒂𝒏 = 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋 
𝝉 = 𝑭 ∙ 𝒓 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋 
𝝉 = 𝑭 ∙ 𝒓⊥ 
𝑭 
𝝋 
𝒓 
𝑭 
𝝋 
𝒓⊥ 
b
ra
ç
o
 d
e
 a
la
v
a
n
c
a
 
𝝋 
Aula 026 6 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Na verdade o torque é um vetor e resulta do produto vetorial 
de outros dois vetores: 
14.6.1 – Vetor torque e produto vetorial: 
𝝉 = 𝒓 × 𝑭 
O produto vetorial de dois vetores sempre resulta num terceiro 
vetor, que é perpendicular ao plano formado pelos vetores 
sendo multiplicados. A direção e o sentido do vetor resultante 
são dadas pela regra da mão direita. 
Aula 026 7 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Cuidado com a ordem dos vetores: o produto vetorial não é 
comutativo. 
𝑨 × 𝑩 = 𝑪 mas 𝑩 × 𝑨 = −𝑪 
Em termos de componentes, o produto vetorial fica: 
𝑨 × 𝑩 = 𝑨𝒙𝒊 + 𝑨𝒚𝒋 + 𝑨𝒛𝒌 × 𝑩𝒙𝒊 + 𝑩𝒚𝒋 + 𝑩𝒛𝒌 
𝑨 × 𝑩 = 𝑨𝒙 ∙ 𝑩𝒙 ∙ 𝒊 × 𝒊 + 𝑨𝒙 ∙ 𝑩𝒚 ∙ 𝒊 × 𝒋 + 𝑨𝒙 ∙ 𝑩𝒛 ∙ 𝒊 × 𝒌 
+ 𝑨𝒚 ∙ 𝑩𝒙 ∙ 𝒋 × 𝒊 + 𝑨𝒚 ∙ 𝑩𝒚 ∙ 𝒋 × 𝒋 + 𝑨𝒚 ∙ 𝑩𝒛 ∙ 𝒋 × 𝒌 
+ 𝑨𝒛 ∙ 𝑩𝒙 ∙ 𝒌 × 𝒊 + 𝑨𝒛 ∙ 𝑩𝒚 ∙ 𝒌 × 𝒋 + 𝑨𝒛 ∙ 𝑩𝒛 ∙ 𝒌 × 𝒌 
𝑨 × 𝑩 = 𝑨𝒚 ∙ 𝑩𝒛 − 𝑨𝒛 ∙ 𝑩𝒚 ∙ 𝒊 + 𝑨𝒛 ∙ 𝑩𝒙 − 𝑨𝒙 ∙ 𝑩𝒛 ∙ 𝒋 
+ 𝑨𝒙 ∙ 𝑩𝒚 − 𝑨𝒚 ∙ 𝑩𝒙 ∙ 𝒌 
Aula 026 8 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Por enquanto não trabalharemos com as componentes. Vamos 
calcular o módulo do torque por: 
𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭 ∙ 𝐬𝐞𝐧𝝋 
E determinar o sinal do torque pela regra da mão direita: 
Torques que geram rotações HORÁRIAS são NEGATIVOS 
Torques que geram rotações ANTI-HORÁRIAS são POSITIVOS 
14.6.1 – Torque resultante: 
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝝉𝟏 + 𝝉𝟐 +⋯+ 𝝉𝒏 
O torque resultante agindo sobre um corpo é a soma vetorial 
de todos os torques agindo sobre aquele corpo: 
Não esqueçam dos 
sinais de cada um 
dos torques!! 
Eixo de 
rotação 
𝒓𝟏 
𝑭𝟏 
𝝋𝟏 
Aula 026 9 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Representação de vetores 
perpendiculares ao plano: 
Vetor entrando no plano 
Vetor saindo do plano 
𝝉𝑭𝟏 𝝉𝑭𝟐 
𝑭𝟐 
𝒓𝟐 
𝝋𝟐 
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝝉𝑭𝟏 + 𝝉𝑭𝟐 
𝝉𝑭𝟏 = +𝒓𝟏 ∙ 𝑭𝟏 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟏 
𝝉𝑭𝟐 = −𝒓𝟐 ∙ 𝑭𝟐 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟐 
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝒓𝟏 ∙ 𝑭𝟏 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟏 − 𝒓𝟐 ∙ 𝑭𝟐 ∙ 𝐬𝐢𝐧𝝋𝟐 
Aula 026 10 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
14.7 – Forma rotacional da 2ª lei de Newton: 
Eixo de rotação fixo 
Haste de comprimento 
R e massa desprezível 
Partícula de 
massa m 
Consideremos a 
seguinte situação: 
𝝋 
𝑭 
Pela 2ª lei de Newton: 
𝑭𝒕𝒂𝒏 = 𝒎 ∙ 𝒂𝒕𝒂𝒏 
E pela definição de torque: 
𝝉 = 𝒓 ∙ 𝑭𝒕𝒂𝒏 
Então, para esse caso temos: 
𝝉 = 𝑹 ∙ (𝒎 ∙ 𝒂𝒕𝒂𝒏) 
Como vimos anteriormente, 
𝒂𝒕𝒂𝒏 = 𝜶 ∙ 𝒓 
Aula 026 11 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
De modo que temos: 𝝉 = 𝑹 ∙ (𝒎 ∙ 𝜶 ∙ 𝑹) 
𝝉 = 𝑰 ∙ 𝜶 
Mas, para uma partícula de massa m, que gira em torno de um 
eixo fixo à uma distância R, o produto m.R2 é justamente o 
momento de inércia I. 
𝝉 = 𝜶 ∙ (𝒎 ∙ 𝑹𝟐) 
Como F é a única força causando torque, na verdade temos: 
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑰 ∙ 𝜶 
Que é a forma rotacional da 2ª lei de Newton 
OBS: não esqueça de considerar os sinais na hora de calcular o torque 
resultante!!! 
Aula 026 12 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
m 
M 
A figura mostra um disco uniforme, de massa 
M = 2,5kg e raio R = 20cm, montado em um 
eixo horizontal fixo. Um bloco de massa m = 
1,2kg está pendurado por uma corda, de 
massa desprezível, que está enrolada na 
borda do disco. 
Determine a aceleração do bloco em queda, a 
aceleração angular do disco e a tensão na 
corda. (A corda não escorrega e não existe 
atrito entre a roldana e o eixo). 
R 
Exemplo 14.8 
Aula 026 13 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Bloco: 
Roldana: 
y
x
Giro HORÁRIO (-) 
M 
R 
m 
𝑷 
𝑻 
𝒂 
R 
𝑻 
𝑭𝒓𝒆𝒔_𝒚 = 𝒎 ∙ 𝒂_𝒚 
𝑻 −𝒎 ∙ 𝒈 = −𝒎 ∙ 𝒂 
𝑻 = 𝒎 ∙ 𝒈 −𝒎 ∙ 𝒂 
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑰 ∙ 𝜶 
−𝑹 ∙ 𝑻 = 𝑰 ∙ (−𝜶) 
𝑹 ∙ 𝑻 =
𝑴 ∙ 𝑹𝟐
𝟐
∙ 𝜶 
Disco girando em torno de um 
eixo de rotação fixo no C.M. 𝑻 =
𝑴 ∙ 𝑹
𝟐
∙ 𝜶 
Aula 026 14 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
𝑻 = 𝒎 ∙ 𝒈 −𝒎 ∙ 𝒂 𝑻 =
𝑴 ∙ 𝑹
𝟐
∙ 𝜶 Tá... e 
W T F ? 
? ? ? ? 
M 
R 
m 
𝒂 
𝒂 
𝒂 
Como a corda não se deforma, ela cai com 
a mesma aceleração do bloco. E como a 
corda não desliza em relação à roldana, a 
aceleração tangencial da roldana na sua 
borda é igual à aceleração do bloco. 
𝒂 = 𝒂𝒕𝒂𝒏 = 𝜶 ∙ 𝒓 
𝒂 = 𝜶 ∙ 𝑹 𝜶 =
𝒂
𝑹
 
Aula 026 15 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
Agora melhorou... 
𝑻 = 𝒎 ∙ 𝒈 −𝒎 ∙ 𝒂 𝑻 =
𝑴 ∙ 𝑹
𝟐
∙ 𝜶 𝒂 = 𝜶 ∙ 𝑹 
𝒎 ∙ 𝒈 −𝒎 ∙ 𝒂 =
𝑴 ∙ 𝑹
𝟐
∙
𝒂
𝑹
 𝒎 ∙ 𝒈 = 𝒎 ∙ 𝒂 +
𝑴
𝟐
∙ 𝒂 
𝒂 =
𝒎 ∙ 𝒈
𝒎 +
𝑴
𝟐
 𝒂 =
𝟏, 𝟐 ∙ 𝟗, 𝟖
𝟏, 𝟐 +
𝟐, 𝟓
𝟐
 𝒂 = 𝟒, 𝟖 𝒎/𝒔𝟐 
𝜶 =
𝒂
𝑹
 𝜶 =
𝟒, 𝟖
𝟎, 𝟐
 𝜶 = 𝟐𝟒 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝟐 
𝑻 =
𝟐, 𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐
𝟐
∙ 𝟐𝟒 
𝑻 = 𝟔, 𝟎 𝑵 
Aula 026 16 
Bloco desliza sem atrito 
Roldana de massa M e raio R 
Qual é a aceleração 
dos blocos ? 
OBS: Este problema é similar 
ao que fizemos na primeira 
área, a diferença é que agora a 
roldana tem massa ! 
Pelo fato da roldana possuir massa 
a tensão no bloco 1 será diferente da 
tensão no bloco 2 !! 
!! 
Exemplo 14.9 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
𝑻𝟏 
𝑻𝟐 
m1 
m2 
𝑇1 ≠ 𝑇2 
Sendo a roldana um disco e 
relacionando 
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Usando a segunda lei de Newton 
Bloco 1 
Bloco 2 
Roldana 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
𝒂 
𝑵𝟏 
𝑷𝟏 
𝑻𝟏 
𝒂 𝑻𝟐 
𝑷𝟐 
Bloco desliza sem atrito 
m1 
m2 𝑻𝟐 
R 
𝑻𝟏 
𝑭𝒓𝒆𝒔_𝒙 = 𝒎𝟏 ∙ 𝒂_𝒙 
𝑻𝟏 = 𝒎𝟏 ∙ 𝒂 
𝑭𝒓𝒆𝒔_𝒚 = 𝒎𝟐 ∙ 𝒂_𝒚 
𝑻𝟐 −𝒎𝟐 ∙ 𝒈 = −𝒎𝟐 ∙ 𝒂 
𝑻𝟐 = 𝒎𝟐 ∙ 𝒈 −𝒎𝟐 ∙ 𝒂 
𝝉𝒓𝒆𝒔 = 𝑰 ∙ 𝜶 
𝑹 ∙ 𝑻𝟏 − 𝑹 ∙ 𝑻𝟐 = 𝑰 ∙ (−𝜶) 
𝑹 ∙ 𝑻𝟏 − 𝑻𝟐 =
𝑴 ∙ 𝑹𝟐
𝟐
∙
−𝒂
𝑹
 
𝒂 = 𝜶 ∙ 𝑹 
[1] 
[2] 
Aula 026 18 
x 
y 
Substituindo [1] e [2] em [3]: 
Bloco desliza sem atrito 
m1 
m2 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos 
𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 =
𝑴
𝟐
∙ 𝒂 [3] 
(𝒎𝟐 ∙ 𝒈 −𝒎𝟐 ∙ 𝒂) − (𝒎𝟏 ∙ 𝒂) =
𝑴
𝟐
∙ 𝒂 
𝒎𝟐 ∙ 𝒈 = 𝒎𝟐 ∙ 𝒂 +𝒎𝟏 ∙ 𝒂 +
𝑴
𝟐
∙ 𝒂 
𝒂 =
𝒎𝟐 ∙ 𝒈
𝒎𝟏 +𝒎𝟐 +
𝑴
𝟐