Cálculo numérico

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Cálculo numérico 
Adição 
Dados dois vetores u e v, podemos definir o vetor a soma u + v. 
Para determinar a soma u + v, no caso em que u e v não são paralelos, 
pode-se utilizar a Regra do triângulo. Para isso, basta “fechar o 
triângulo”, com o cuidado de escolher a origem do representante 
de v coincidindo com a extremidade do representante de u. 
Também pode-se usar a Regra do paralelogramo. 
 
Regra do triângulo 
 
Regra do paralelogramo 
Exemplo: u = (1, 9, 1) e v = (2, 1, 0). Então, u + v = (1 + 2, 9 + 1, 1 + 0) = (3, 
10, 1) 
Subtração 
Considerando-se a existência do vetor oposto -v, podemos definir a 
diferença u - v, como sendo igual à soma u + (-v). 
Veja a figura a seguir. Observe que, graficamente, a subtração de vetores 
está utilizando novamente a Regra do paralelogramo. 
 
Exemplo: u = (1, 9, 1) e v = (2, 1, 0). Então, u + v = (1 - 2, 9 - 1, 1 - 0) = (-1, 8, 
1) 
Multiplicação por um escalar 
Dado um vetor u e um escalar λ ∈ R, podemos definir o vetor λ.u, que 
possui a mesma direção de u, sentido coincidente para λ > 0 e sentido 
oposto para λ < 0. 
O módulo do vetor λ.u será igual a |λ|.u. 
Observe que graficamente o vetor 2u é o dobro do vetor u. 
Exemplo: u = (1, 9, 1) e v = (2, 1, 0). Então, 2u = (2.1, 2.9, 2.1) = (2, 18, 2) 
Propriedades 
Considerando que u, v e w sejam vetores quaisquer, valem as seguintes 
propriedades: 
• associativa: (u + v) + w = u + (v +w) 
• comutativa: u + v = v + u 
• elemento neutro: u + 0 = 0 + u 
Existe um único vetor que somado a u dá como resultado 
o próprio u: o vetor nulo. 
• elemento oposto: u + (-u) = 0 = - u + u 
Para cada u, existe um único vetor que somado a u dá como resultado o 
vetor nulo: o vetor oposto de u. 
Operações com matrizes 
 
Suponha que dois alunos, X e Y, tenham obtido as seguintes notas nos 
meses de março e abril: 
março Português Matemática Física 
aluno X 7 6 6 
aluno Y 6 4 5 
abril Português Matemática Física 
aluno X 6 3 4 
aluno Y 5 5 6 
Logo, as notas dos alunos nesses dois meses podem ser representadas 
pelas seguintes matrizes: 
A=[766465] e B=[766465]A=766645 e B=766645 
Dessa forma, é possível determinar, por exemplo, a matriz que 
representa as médias de cada aluno em cada uma das matérias. 
Vejamos: 
A+B2=12(A+B)A+B2=12(A+B) 
Adição de matrizes 
A adição de matrizes só é definida quando as duas matrizes 
consideradas têm mesma ordem. 
Considere duas matrizes de mesma ordem A = [aij](m,n) e B = [bij](m,n), ou 
seja, A e B possuem m linhas e n colunas. 
A soma de A e B, indicada por A+B, é a matriz obtida adicionando-se os 
correspondentes elementos de A e B, ou seja, A + B = [cij](m,n), onde cij = 
aij + bij. Logo, A + B = [aij + bij]m.n. 
Exemplo: 
A+B=[766465] +[653546]=[1311991011]A+B=766645 +634556
=1391011911 
Propriedades 
Dadas as matrizes A, B e C, de mesma ordem m x n, temos: 
• A+ B = B + A (comutatividade) 
• (A + B)+ C = A + (B + C) (associatividade) 
• A + 0(m,n) = A 
• A + (-A) = 0 
Atenção 
Lembre-se: 0(m,n) é uma matriz de m linhas e n colunas composta apenas 
por zeros. 
Multiplicação por escalar 
Considere a matriz A = [aij](m,n) e o escalar c. O produto do escalar c pela 
matriz A (indicado por cA) é igual à matriz obtida pela multiplicação de 
cada elemento de A por c. Logo, cA = [cAij]m.n. 
Exemplo: 
−3 [2−130]= [−63−90]-3 23-10= -6-930 
Propriedades 
Se A e B são matrizes de ordem m x n e c, c1, e c2 são escalares, então: 
• (c1 + c2)A = c1A + c2A) 
• c(A + B) = cA + cB 
• c1 (c2A) = (c1c2)A 
• 0.A = 0(m,n) 
Multiplicação de matrizes 
Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Am.n e Bl.p, se o número 
de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, 
se n = 1. Além disso, a matriz resultado C = A.B será de ordem m x p. 
Os elementos cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto) é 
obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz 
pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, 
e somando estes produtos. 
Propriedades 
Desde que sejam possíveis as operações, temos: 
• Em geral, AB ≠ BA 
• AI = IA = A, onde I é a matriz identidade 
• A(B + C) = AB + AC (distributividade a esquerda da multiplicação, 
em relação a soma) 
• (B + C)A = BA + CA (distributividade a direita da multiplicação, em 
relação a soma) 
• A(BC) = (AB)C (associativa) 
• (AB)’ = B’A’ ou (AB)t = BtAt 
• 0.A = 0 e A.0 = 0 
Funções e seus gráficos 
 
Uma relação f de A em B é uma função se e somente se: 
• todo elemento x pertencente a A tiver um 
correspondente y pertencente a B definido pela relação, chamada 
de imagem de x. 
• a cada x pertencente a A não corresponder a dois ou mais 
elementos de B por meio de f. 
Função real de uma variável real, Domínio e 
Imagem 
Se f é uma função com domínio em A e contradomínio em B, dizemos 
que f é uma função definida em A com valores em B. Se tanto A como B 
forem subconjunto dos reais dizemos que f é uma função real de 
variável real. 
Exemplo: 
Seja f(x) = 2x, sendo o domínio A = {1,2,3,...} e B = R, temos: 
• f(1) = 2.1 = 2 
• f(2) = 2.2 = 4 
Ou seja, a imagem seria Im = {2,4,6,...} e A e B seriam subconjuntos de R. 
Suponha que o conjunto A fosse limitado, isto é, A = {1,2,3}; então, o 
diagrama de flecha ficaria: 
 
Logo, a imagem ficaria B = {2,4,6}. 
Denominamos raiz (ou raízes) de uma 
função quando a função intercepta o eixo 
das abscissas. Nesse ponto, a função 
possui as coordenadas (x,0), ou seja, y = 0. 
Lembre-se de que f(x) = y. 
Função polinomial 
 
f(x) = a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 + ...+ an xn , onde n ≥ 0 define o grau do polinômio 
e a0, a1, ..., an são os coeficientes do polinômio (números reais 
quaisquer). 
Veja, a seguir, casos particulares de funções polinomiais . Observe que o 
grau da função polinomial define o maior número de raízes que o 
polinômio pode assumir com ou sem repetição. 
Função constante 
f(x) = k, onde k é um número real qualquer. Logo, f(x) = a0 x0 = a0. 
Atenção! Essa não é uma função do 1° grau. 
Exemplo: f(x) = 5 
Essa função será representada por um gráfico paralelo ao eixo x 
passando no ponto y = 5. 
Para qualquer valor de x, o y permanecerá no valor 5. 
 Função crescente 
 
Função linear afim 
f(x) = ax + b, onde a e b são constantes quaisquer, sendo a ≠ 0. 
A constante a é chamada de coeficiente angular da reta e representa a 
angulação que a reta faz com a abscissa. Caso essa angulação seja 
positiva, dizemos que a reta é crescente. Caso seja negativa, dizemos 
que a reta é decrescente. 
Já a constante b representa coeficiente linear da reta e representa o 
ponto onde o gráfico corta o eixo das ordenadas. 
Observe que f(x) = a0 x0 + a1 x1. Logo, possui grau 1. 
 Função crescente 
 
Exemplo: f(x) = 5x + 1 
O gráfico dessa função será uma reta que passa pela origem, pois, 
quando x assumir o valor zero, a função será igual a zero. 
Dependendo do valor de a, a função poderá ser crescente ou 
decrescente. 
Função linear 
f(x) = ax passa a ter a função linear quando b = 0, ou seja, f(x) = ax + 0 = 
ax. 
Observe que f(x) = a¹x¹. Logo, possui grau 1. 
Exemplo: f(x) = 5x 
O gráfico dessa função será uma reta que passa pela origem, pois, 
quando x assumir o valor zero, a função será igual a zero. 
Dependendo do valor de a, a função poderá ser crescente ou 
decrescente. 
 Função crescente 
 
 Função decrescente 
 
Clique nos botões para ver as informações. 
Função crescente 
Função decrescente 
Função quadrática 
Função quadrática é toda função do tipo: y = ax² + bx + c, onde a, b e c 
são constantes reais com a ≠ 0. 
https://estacio.webaula.com.br/cursos/dis166/aula1.html#collapse01-01
https://estacio.webaula.com.br/cursos/dis166/aula1.html#collapse01-02
Observe que: f(x) = a0 x0 + a1 x1 + a2 x2. Logo, a função tem grau 2. 
Exemplo: f(x) = x² 4x+ 3 
Podemos encontrar a raiz (ou raízes) da função – zero da função – 
tornando y = 0. Os interceptos do gráfico da função com o eixo x podem 
ser obtidos por meio da seguintefórmula resolutiva: 
X=−B±B2−4AC√2AX=-B±B2-4AC2A 
Onde ∆ = b² - 4ac é chamado de discriminante. 
Atenção 
Se ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais distintas; 
Se ∆ = 0, a equação terá urna raiz real; 
Se ∆ < 0, a equação não terá raízes reais 
Podemos ter também as funções incompletas. Vejamos: 
• ax² + bx = 0, quando c = 0; 
• ax² + c = 0, quando b = 0. 
O gráfico da função quadrática é um parábola, cujo vértice corresponde 
ao ponto mais extremo. A concavidade é a abertura da parábola, que ora 
está voltada para cima e ora está voltada para baixo. 
Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente. 
Para se definir o gráfico de uma função quadrática, precisamos 
conhecer as raízes onde o gráfico irá interceptar o eixo x e o coeficiente 
a, pois esse definirá a concavidade da parábola. 
Para definir o vértice, é preciso calcular suas coordenadas nos eixos x e 
y: 
• x=−b2ax=-b2a 
• y=−Δ4ay=-Δ4a 
A interseção com o eixo y ocorre 
em (0,y) →y = c(0,y) →y = c (coeficiente linear). 
Já a interseção com o eixo x ocorre em (x,0), ou seja, nas raízes. 
O sentido da concavidade depende do coeficiente a. Se a > 0, ou seja, 
positivo, a concavidade é voltada para cima. Se a < 0, ela é voltada para 
baixo. 
 
 
Função logarítmica 
 
Seja a um número real positivo e seja também a ≠ 0. Se x é um número 
real positivo, existe um único número real y tal que ay = x. O número y 
recebe o nome de logaritmo de x na base a (escreve-se: loga x). 
A função definida por y = loga x, com x > 0, é chamada de função 
logarítmica de base a. 
Atenção 
Se y = loga1 = 0, o gráfico de y = loga x intercepta o eixo x no ponto de 
abscissa x = 1. 
Se a > 1, y = loga x > 0 para x >1, e y = loga x < 0 para 0 < x < 1. 
Se a < 1, y=loga x < 0 para x>1, e y = loga x > 0 para 0 < x < 1. 
Se a = 10, a função y = loga x é chamada função logarítmica decimal e 
será indicada por y = log x. 
Se a = e, y = loga x = ln x, para indicar a função logarítmica de base e 
(logaritmo natural). 
Domínio: R*+ (reais positivos) 
Intercepta o eixo x no ponto (1,0), e não intercepta o eixo y. Vejamos os 
gráficos: 
 
 
Propriedades 
Desde que sejam possíveis as operações, temos: 
• loga M.N = loga M + loga N 
• loga M/𝐍 = loga M - loga N 
• loga M𝛼 = 𝛼 loga M 
• loga M = loga M /(loga a) (mudança de base) 
Função exponencial 
 
Funções exponenciais são aquelas que crescem ou decrescem muito 
rapidamente. 
Chama-se função exponencial a função f:R -> R+∗ tal que f(x) = ax em 
que a ∈ R, a < 0 e a ≠ 1. 
O a é chamado de base e o x de expoente. 
A função pode ser crescente ou decrescente a depender do valor da 
base. Se a base for maior que 1, a função é crescente; se a base a for um 
número real entre 1 e 0 (0 < a < 1), a função é decrescente. 
Exemplo: 
y = 2x, y = ex (e ≈ 2,7). Logo, o valor de e¹ é aproximadamente igual a 
2.718.281.828 
Propriedades 
Desde que sejam possíveis as operações, temos: 
• Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que ax = at ↔ x = t. 
• A função exponencial f(x) = ax é crescente em todo seu domínio se, 
e somente se, a > 1. 
• A função exponencial f(x) = ax é decrescente em todo seu domínio 
se, e somente se, 0 < a < 1. 
• Toda função exponencial, ou seja, f(x) = ax em que a ∈ 𝑅+∗ e a ≠ 1, 
é bijetora. 
A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se 
aproximar deste. Vejamos: 
 
Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Consequentemente, 
sua função inversa, o logaritmo neperiano ln(x), é definida para qualquer 
valor positivo de x. 
Usando o logaritmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais 
mais genéricas, como ax = exln a. Para todo a > 0 e x ∈ R. 
 
Funções trigonométricas 
 
As funções trigonométricas são funções angulares, importantes no 
estudo dos triângulos e na modelação de fenômenos periódicos. Podem 
ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo 
em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de 
coordenadas de pontos no círculo unitário. 
Na análise matemática, essas funções recebem definições ainda mais 
gerais, na forma de séries infinitas ou como soluções para certas 
equações diferenciais. Neste último caso, as funções trigonométricas 
estão definidas não só para ângulos reais como também para ângulos 
complexos. 
Exemplo: 
sen π2=1sen π2=1 
Características e gráficos das funções seno, 
cosseno e tangente 
 
Função seno: f (x) = sen x 
A cada número real x, associa o número y = sen x. 
• Domínio: como x pode assumir qualquer valor real, D = R. 
• Conjunto imagem : como o seno possui valor máximo e mínimo, que 
são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no 
intervalo entre esses valores. 
• Gráfico: o gráfico sempre se repete no intervalo de 0 a 2𝜋. Esse 
intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico, basta 
escrever no eixo cartesiano os pontos em que a função é nula, 
máxima e mínima. 
• Período: é sempre o comprimento da senóide. No caso da função 
seno, a senóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2𝜋, portanto o 
período é igual a 2𝜋. 
 
Função cosseno: f (x) = cos x 
A cada número real x, associa o número y = cos x. 
• Domínio: como x pode assumir qualquer valor real, D = R. 
• Conjunto imagem : como o cosseno possui valor máximo e mínimo, 
que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no 
intervalo entre esses valores. 
• Gráfico: o gráfico sempre se repete no intervalo de 0 a 2𝜋. Esse 
intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico, basta 
escrever no eixo cartesiano os pontos em que a função é nula, 
máxima e mínima. 
• Período: é sempre o comprimento da cossenóide. No caso da 
função cosseno, a cossenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 
2𝜋, portanto o período é igual a 2𝜋. 
 
Função tangente: f (x) = tg x 
A cada número real x, associa o número y = tg x. 
• Domínio: a função da tangente é peculiar, pois não existe quando o 
valor de cos x = 0 (não existe divisão por zero). Portanto, o domínio 
da função tangente é igual a todos os números reais, exceto os que 
zeram o cosseno. 
• Conjunto imagem : ] -∞, ∞ [ 
• Gráfico: o gráfico da função é tangenóide.