18a Aula Int Tripla CCil CE

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18ª Aula de CV: Integrais Triplas em C.Cil. e em C.E.
1) Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas (C.Cil)
Seja w=f (x , y , z) uma função contínua definida em um sólido S do R3. Como calcular ∭
S
f (x , y , z)dV por meio da 
representação de S em C.Cil e mudando as coordenadas x, y, z de Cartesianas para Cilíndricas?
Sabe-se que x=r cosθ , y=rsenθ , z=z. Suponha que S seja uma região definida por:
S={(x , y , z);(x , y )∈ D eh1(x , y)≤ z≤ h2(x , y )} e que D seja representado em C.P. por
D={(r ,θ );α ≤θ≤ β e g1(θ)≤ r≤ g2(θ)}. Então:
∭
S
f (x , y , z)dV=∬
D
[ ∫
h1(x , y )
h2(x , y )
f (x , y , z)dz]dA
OBS1: Note que o resultado da integral entre colchetes é uma função de (x,y) que será integrada em D, reduzindo-se, assim, a 
uma integral dupla.
Substituindo-se na integral acima a representação de D em CP e de f em C.Cil, obtém-se:
∭
S
f (x , y , z)dV=∬
D
[ ∫
h1(x , y )
h2(x , y )
f (x , y , z)dz]dA=∫
α
β
∫
g1(θ)
g2(θ)
∫
h1 (r cosθ ,rsen θ)
h2 (r cosθ ,rsen θ)
f (r cosθ, rsenθ, z) rdzdrdθ
OBS2: Em geral, integra-se em C.Cil quando a função w=f (x , y , z)envolve uma expressão do tipo x2+ y2 ou quando a 
região D tem uma representação mais simples em CP.
Ex: Utilize C.Cil. para calcular: 
a) ∭
S
√x2+ y2dVem que S é a região que está dentro do cilindro x2+ y2=16 e entre os planos z = -5 e z = 4;
b) ∭
S
(x3+xy2)dV em que S é o sólido do 1º octante que está abaixo do paraboloide z=1− x2− y2
. 
 
c) O volume do sólido S que está entre os cilindros x2+ y2=1 e x2+ y2=4, acima do plano xy e abaixo do plano z = 
x+2. Represente este cálculo em C.C.
 d) Indique o erro na seguinte sentença: 
O sólido S limitado pelo cone com base num disco D, de raio 1.5, centrado na origem e altura 3 pode ser 
representado em coordenadas cilíndricas por :S = {(r, θ, z) ∈ R3; 0 ≤ r ≤ 3/2, 0 ≤ θ ≤2π, 0 ≤ z ≤3}
2) Cálculo de Integral tripla em C.E.: x=ρcosθ sen ϕ , y=ρ senθsen ϕ , z=ρ cosϕ
Suponha que S={(ρ ,θ , ϕ);a≤ ρ≤b ,α ≤θ ≤β e c≤ ϕ≤d } seja uma região do espaço representada em C.E. 
(REPRESENTE S!!!). Então:
∭
S
f (x , y , z)dV=∫
c
d
∫
α
β
∫
a
b
f (ρcosθ senϕ , ρ sen θsen ϕ , ρcosϕ)ρ2 senϕ dρdθ dφ
Ex0: Determine a massa de uma estrela que tem o formato de uma bola de raio 3 com centro na origem, se a sua densidade é 
dada por δ (x , y , z )=10− z2−x2− y2. Represente este cálculo em C.C.
Ex1: Calcule a integral da função f (x)=
1
x2+ y2+ z2
 sobre a região que fica entre as esferas de centro na origem e raios a e 
1 (0 < a < 1). Qual o limite dessa integral quando a tende para 0?
Ex2: Determine o volume do sólido interior ao conez2=x2+ y2 e à esfera x2+ y2+¿.
3) Definição de Matriz Jacobiana : Seja F :Rn→Rm uma função dada por F (X )=(f 1(X ), f 2(X) , . . . , f m(X )), em 
que X=(x1 , x2 , . . . , xn). Suponha que as n derivadas parciais de cada fi existam. Logo, podemos definir a matriz das 
derivadas parciais J(F) = JF, denominada Matriz Jacobiana de F, por JF(X)=
∂( f 1 , f 2 , . . . , f m)
∂ (x1 , x2 , . . . , xn)
=(
∂f i
∂ x j
)
mxn
.
4) Teorema de Mudança de Variáveis para Integração Tripla: Seja T :Ω⊂ R3→R3 uma função de classe C1, dada por
T (u , v ,w)=(x , y , z) com x=x (u , v ,w) , y= y (u , v ,w) , z=z (u, v , w). Seja Buvw⊂ Ω um compacto com 
fronteira de conteúdo nulo. Suponha que T (B
0
uvw)=B
0
 e que T tenha inversa em Buvw.
Defina 
∂ (x , y , z)
∂ (u , v ,w)
=J (T ) e suponha que J(T) seja não nulo no interior de Buvw. Nessas condições, se f(x,y,z) for integrável
em B, então:
∭
B
f (x , y , z)dxdydz=∭
Buvw
f (T (u ,v , w)). |det(J (T )) | dudvdw .
Obs1: O teorema é válido para T definida do Rn em Rn.
Obs2: Verifique o teorema para uma mudança de variável em CP, C.Cil e em C.E.
Ex: