Apostila de Vetores e Geometria Analítica - PARTE 02

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PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
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 ⃗⃗ ⃗ é chamado de projeção ortogonal de ⃗ sobre ⃗ é indicado por : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar o vetor projeção de ⃗⃗ = (2, 3, 4) sobre ⃗⃗ = (1, -1, 0). 
 ⃗⃗ ⃗ = (
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
) . ⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ = (
 
 
) . (1, -1, 0) 
 ⃗⃗ ⃗ = (
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
�⃗⃗� = 𝑷𝒓𝒐𝒋�⃗⃗� �⃗⃗� 𝑷𝒓𝒐𝒋�⃗⃗� �⃗⃗�
 = (
 �⃗⃗� �⃗⃗� 
�⃗⃗� �⃗⃗� 
) . �⃗⃗� 
�⃗� 
�⃗� 
𝑉2⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑉1⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
�⃗� . �⃗� = (2, 3, 4) . (1, -1, 0) 
�⃗� . �⃗� = 2(1) + 3(-1) + 4(0) 
�⃗� . �⃗� = 2 – 3 + 0 
�⃗� . �⃗� = -1 
�⃗� . �⃗� = (1, -1, 0) (1, -1, 0) 
�⃗� . �⃗� = 1(1) + (-1)(-1) + 0(0) 
�⃗� . �⃗� = 1 + 1 + 0 
�⃗� . �⃗� = 2 
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Dados os vetores ⃗⃗ = (1, 3, -5) e ⃗⃗ = (4, -2, 8), decompor ⃗⃗ como ⃗⃗ = 
 ⃗⃗ + ⃗⃗ , sendo ⃗⃗ // ⃗⃗ e ⃗⃗  ⃗⃗ . 
 ⃗⃗ ⃗ = (
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
) . ⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ = (
 
8 
) . (4, -2, 8) 
 ⃗⃗ ⃗ = (
 
 
) (4, -2, 8) 
 ⃗⃗ ⃗ = (
 
 
 
 
 
 
 8 
 
 ) 
 ⃗⃗ ⃗ = (-2, 1, -4) 
 
 
 
 
Sejam os pontos A(-1, -1, 2), B(2, 1, 1) e C(m, -5, 3). 
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? 
 
 
 
 
 
 
 
 
�⃗⃗� 𝟐  �⃗⃗� 
�⃗� . �⃗� = (1, 3, -5) . (4, -2, 8) 
�⃗� . �⃗� = 1 (4) + 3(-2) + (-5)8 
�⃗� . �⃗� = 4 – 6 - 40 
�⃗� . �⃗� = - 42 
�⃗� . �⃗� = (4, -2, 8) (4, -2, 8) 
�⃗� . �⃗� = 4 (4) + (-2)(-2) + 8(8) 
�⃗� . �⃗� = 16 + 4 + 64 
�⃗� . �⃗� = 84 
�⃗� 2  �⃗� 
�⃗� 2 . �⃗� = 0 
(3, 2, -1) . (4, -2, 8) 
3(4) + 2(-2) + (-1)8 
12 – 4 – 8 = 0 
�⃗� = �⃗� 1 + �⃗� 2 
�⃗� 2 = �⃗� - �⃗� 1 
�⃗� 2 = (1, 3, -5) – (-2, 1, -4) 
�⃗� 2 = (3, 2, -1) 
𝑽𝟏⃗⃗ ⃗⃗ 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 
(3, 2, -1) . (m+1, -4, 1) = 0 
3(m+1) + 2(-4) + (-1)1 = 0 
3m + 3 – 8 -1 = 0 
3m – 6 = 0 
m = 
6 
3 
 
m = 2 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = B - A 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2, 1, 1) – (-1, -1, 2) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (3, 2, -1) 
 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – A 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (m, -5, 3) – (-1, -1, 2) 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (m+1, -4, 1) 
 
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b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A. 
H = B + BH 
H = (2, 1, 1) + (0, 
 
 0
, 
7
 0
) 
H = (2, 
 
 0
, 
 7
 0
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃𝑟𝑜𝑗𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐵𝐴
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (
 𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
) . 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝑃𝑟𝑜𝑗𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐵𝐴
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (
 
 0
) . (0, -6, 2) 
𝑃𝑟𝑜𝑗𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐵𝐴
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0, 
 
 0
, 
7
 0
) 
 
BH 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = - 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-3, -2, 1) 
𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = C - B 
𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2, -5, 3) – (2, 1, 1) 
𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0, -6, 2) 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-3, -2, 1) (0, -6, 2) 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-3)0 + (-2)(-6) + 1(2) 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0 + 12 + 2 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 14 
|𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = (−3) + (−2) + 1 
|𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 9 + 4 + 1 
|𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 14 
|𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = ( ) + (−6) + 2 
|𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = + 36 + 4 
|𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 40 
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Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais: 
a) ⃗⃗ = (1, -2, 3) e ⃗⃗ = (4, 5, 2) 
u⃗ . V⃗⃗ = (1, -2, 3) . (4, 5, 2) 
u⃗ . V⃗⃗ = 1(4) + (-2)5 + 3(2) 
u⃗ . V⃗⃗ = 4 – 10 + 6 
u⃗ . V⃗⃗ = 0 
b) . 
i . j = (1, 0, 0) . (0, 1, 0) 
i . j = 1(0) + (0)1 + 0(0) 
i . j = 0 
 
Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, 1, -1) e C(2, 2, -2) é 
um triângulo retângulo. 
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ . AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0, -1, -3) (0, -2, -2) 
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ . AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0(0) + (-1)(-2) + (-3)(-2) 
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ . AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 + 2 + 6 
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ . AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 8
 
 
 
 
Vetores Ortogonais se, e somente se, �⃗� . �⃗� = 0 
OBS.: 𝐢 = (1, 0, 0) 
 𝐣 = (0, 1, 0) 
BA⃗⃗⃗⃗ ⃗ . BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0, 2, 2) . (0, 1, -1) 
BA⃗⃗⃗⃗ ⃗ . BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0)0 + 2(1) + 2(-1) 
BA⃗⃗⃗⃗ ⃗ . BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 + 2 – 2 
BA⃗⃗⃗⃗ ⃗ . BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 Retângulo em B 
A 
C 
B 
B 
A 
C 
A 
C B 
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AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A 
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, 1, -1) – (2, 3, 1) 
AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0, -2, -2) 
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – A 
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, 2, -2) – (2, 3, 1) 
AC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0, -1, -3) 
BA⃗⃗⃗⃗ ⃗ = - AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
BA⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0, 2, 2) 
BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C - B 
BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, 2, -2) – (2, 1, -1) 
BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0, 1, -1)