1ª LISTA DE VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA

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Professor Luís Henrique E-mail – luishenriquesouza31@gmail.com 
 
 
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1ª LISTA DE VETORES E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
1º) Verifique se o triângulo de vértices A(-2, 0, 3), B(1, -1, 2) e C(0, 3, 5) é 
retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º) Determine k de modo que ⃗⃗ = (k + 1, k, 3) seja ortogonal a ⃗ = (-1, -k, 1). 
 
 
 
 
A 
B 
C 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = B – A 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1, -1, 2) – (-2, 0, 3) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (3, -1, -1) 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = C – A 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0, 3, 5) – (-2, 0, 3) 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2, 3, 2) 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = - 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-3, 1, 1) 
𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = C – B 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0, 3, 5) – (1, -1, 2) 
𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-1, 4, 3) 
𝐶𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = - 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐶𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-2, -3, -2) 
𝐶𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = - 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
𝐶𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1, -4, -3) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (3, -1, -1) . (2, 3, 2) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3(2) + (-1)3 + (-1)2 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 6 – 3 – 2 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 1 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-3, 1, 1) . (-1, 4, 3) 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = - 3(-1) + (1)4 + (1)3 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3 + 4 + 3 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 10 
𝐶𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐶𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-2, -3, -2) . (1, - 4, - 3) 
𝐶𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐶𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = - 2(1) + (-3)(-4) + (-2)(-3) 
𝐶𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐶𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = -2 + 12 + 6 
𝐶𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐶𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 16 
Portanto, o triângulo não é retângulo. 
�⃗⃗�  �⃗�  �⃗⃗� . �⃗� = 0 �⃗� . v⃗ = (k + 1, k, 3) . (-1, -k, 1) 
�⃗� . v⃗ = (k+1)(-1) + k(-k) + 3(1) 
�⃗� . v⃗ = -k – 1 – k2 + 3 
�⃗� . v⃗ = -k2 – k + 2 
 
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3º) Obter o vetor ⃗ , paralelo ao vetor ⃗⃗ = (-2, -3, -2), tal que ⃗⃗ . ⃗ = 51. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º) Determine k, sabendo que os pontos A(4, -7, -2), B(1, -2, -3) e C(3, -6, 
k) são vértices de um triângulo retângulo em C. 
 
 
 
 
 
 
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
−(−1) ± (−1)2 − 4. (−1). 2
2(−1)
 
1± 9
2(−1)
 = 
1±3
−2
 = 
x’ = -2 
x’’ = 1 
Portanto, k = 1 ou k = -2 
v⃗ // u⃗ 
v⃗ =  . u⃗ 
v⃗ =  (-2, -3, -2) 
v⃗ = (-2, -3, -2) 
u⃗ . v⃗ = 51. 
(-2, -3, -2) . (-2, -3, -2) = 51 
(-2)(-2) + (-3)(-3) + (-2)(-2) = 51 
4 + 9 + 4 = 51 
17 = 51 
 = 
51
17
 
 = 3 
v⃗ = (-2, -3, -2) 
v⃗ = (-2 . 3, -3 . 3, -2 . 3) 
v⃗ = (-6, -9, -6) 
C 
A 
B 
CA⃗⃗⃗⃗ ⃗ = A – C 
CA⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (4, -7, -2) – (3, -6, k) 
CA⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, -1, -2-k) 
CB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – C 
CB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, -2, -3) - (3, -6, k) 
CB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-2, 4, -3 – k) 
 
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5º) Sabendo que os vetores ⃗⃗ e ⃗ são paralelos, ⃗ = (1, 
 
 
, 
 
 
) e ⃗⃗ . ⃗ = -6, 
determine ⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6º) Considere os pontos A(x, -2, 1), B(-1, 3, 1) e C(1, -1, 0). Determine o 
ponto D sabendo que ABCD é um retângulo. 
 
 
CA⃗⃗⃗⃗ ⃗ . CB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 
(1, -1, -2 – k) (-2, 4, -3 – k) 
1(-2) + (-1)4 + (-2 – k)(-3 – k) 
-2 – 4 + (-2)(-3) + (-2)(-k) + (-k)(-3) + (-k)(k) 
-6 + 6 + 2k + 3k + k2 
k2 + 5k = 0 
k(k + 5) = 0 
k = 0 ou k = -5 
u⃗ =  . v⃗ 
u⃗ =  (1, 
1
2
, 
1
2
) 
u⃗ = (, 
2
, 
2
) 
�⃗⃗� . �⃗� = -6. 
(, 
2
, 
2
) . (1, 
1
2
, 
1
2
) = -6 
 + 
1
4
 + 
1
4
 = -6 
 + 
2
4
 = -6 
2 + 1
2
 = -6 
2 + 1 = -12 
2 = -12 – 1 
2 = -13 
 = 
−13
2
 
u⃗ = (, 
2
, 
2
) 
u⃗ = (
−13
2
, 
−13
4
, 
−13
4
) 
 
 
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7º) Os ângulos diretores de um vetor são , 60º, e 120º. Determine . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C D 
BA⃗⃗⃗⃗ ⃗ = A – B 
BA⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (x, -2, 1) – (-1, 3, 1) 
BA⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (x + 1, -5, 0) 
BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ =C – B 
BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, -1, 0) – (-1, 3, 1) 
BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, -4, -1) 
BA⃗⃗⃗⃗ ⃗ . BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 
(x + 1, -5, 0) (2, -4, -1) 
(x + 1)2 + (-5)(-4) + 0(-1) = 0 
2x + 2 + 20 + 0 = 0 
2x = -22 
x = -11 
AD⃗⃗⃗⃗ ⃗ // BC⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
D = A + AD⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
D = (-11, -2, 1) + (2, -4, -1) 
D = (-9, -6, 0) 
 
Cos2  + Cos2 β + Cos2 ϒ = 1 
Cos2  + Cos2 60º + Cos2 120º = 1 
Cos2  + 
1
2
 2 + 
− 1
2
 2 = 1 
Cos2  + 
1
4
 + 
1
4
 = 1 
Cos2  + 
2
4
 = 1 
Cos2  + 
1
2
 = 1 
Cos2  = 1 - 
1
2
 
Cos2  = 
1
2
 
 
Cos  = 
1
2
 
Cos  = 
1
 2
 . 
 2
 2
 
Cos  = 
 2
2
 
 = 45º ou 135º 
 
 
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8º) Dados os pontos A(0, 1, ) e B(- ), determine os ângulos 
diretores do vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = B – A 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (- 2 1 2 2) – (0, 1, 2) 
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (- 2, 0, 2) 
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = (− 2)2 + 02 + ( 2)2 
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 2 + 0 + 2 
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 4 
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = 2 
Cos  = 
𝑥
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 
Cos  = 
− 2
2
 
 = 135º 
Cos β = 
𝑦
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 
Cos β = 
0
2
 
β= 90º 
Cos ϒ= 
𝑧
|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 
Cos ϒ = 
 2
2
 
ϒ= 45º