Vibrações Mecânicas - Função de Resposta em Frequência

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Prof. Dr. Carlos Alberto Bavastri
Msc. Lucas Feitosa Nicolau
Vibrações Mecânicas
1. FUNÇÃO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA
1.1 EXCITAÇÃO HARMÔNICA
1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
1.3 REPRESENTAÇÃO EM ESCALA DECIBEL
1.1 EXCITAÇÃO HARMÔNICA
Os sistemas físicos reais podem ser representados por modelos
equivalentes. Por exemplo, observe um sistema vibratório massa-
mola-amortecedor:
1.1 EXCITAÇÃO HARMÔNICA
A partir do modelo equivalente é possível representar o diagrama
de corpo livre do sistema.
Aplicando a 2º Lei de Newton
σF = m ሷx , a equação diferencial
que descreve o movimento do
sistema é:
𝒇 𝒕 − 𝐜 ሶ𝒙 𝒕 − 𝒌𝒙 𝒕 = 𝒎 ሷ𝒙 𝒕
1.1 EXCITAÇÃO HARMÔNICA
Sendo 𝑓(𝑡) uma excitação harmônica, pode-se escrever:
𝒇 𝒕 = 𝑭 𝛀 𝐞𝒊𝛀𝐭
Consequentemente,
𝒙 𝒕 = 𝑿 𝛀 𝐞𝒊𝛀𝐭
ሶ𝒙 𝒕 = 𝒊𝛀𝑿 𝛀 𝐞𝒊𝛀𝐭
ሷ𝒙 𝒕 = −𝛀𝟐𝑿 𝛀 𝐞𝒊𝛀𝐭
1.1 EXCITAÇÃO HARMÔNICA
Substituindo-as na equação de movimento:
−𝛀𝟐𝒎+ 𝒊𝛀𝐜 + 𝒌 𝑿 𝛀 = 𝑭 𝛀
Reorganizando,
𝑿 𝛀
𝑭 𝛀
=
𝟏
−𝛀𝟐𝒎+ 𝒊𝛀𝐜 + 𝒌
1.1 EXCITAÇÃO HARMÔNICA
A partir desta relação é possível definir o conceito de Função de Resposta
em Frequência (FRF). Portanto, a Receptância de um sistema vibratório,
ou seja, a FRF do deslocamento é dado por:
𝜶(𝜴) =
𝑿 𝛀
𝑭 𝛀
=
𝟏
−𝛀𝟐𝒎+ 𝒊𝛀𝐜 + 𝒌
1.1 EXCITAÇÃO HARMÔNICA
Sabendo que a velocidade e aceleração do sistemas são:
𝑉 Ω = 𝑖Ω𝑋 Ω 𝐴 Ω = −Ω2𝑋(Ω)
De forma análoga ao deslocamento, é possível definir a FRF da
Mobilidade 𝛾 Ω e da Inertância 𝑆(Ω):
𝛾 Ω =
𝑉 Ω
𝐹(Ω)
=
𝒊𝛀
−𝛀𝟐𝒎+ 𝒊𝛀𝐜 + 𝒌
𝑆 Ω =
𝑉 Ω
𝐹(Ω)
=
−𝛀𝟐
−𝛀𝟐𝒎+ 𝒊𝛀𝐜 + 𝒌
1.1 EXCITAÇÃO HARMÔNICA
Existem também funções características do sistema obtidas através das
relações inversas, para um modelo de um grau de liberdade, da
Receptância, Mobilidade e Inertância:
𝐾 Ω =
𝐹 Ω
𝑋(Ω)
𝑍 Ω =
𝐹 Ω
𝑉(Ω)
𝑀 Ω =
𝐹 Ω
𝐴(Ω)
Rigidez Dinâmica
Impedância Mecânica
Massa Dinâmica
1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Representação Gráfica da Receptância
1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Representação Gráfica da Mobilidade
1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Representação Gráfica da Inertância
1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Diagrama de Nyquist da Receptância 
1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Diagrama de Nyquist da Mobilidade
1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Diagrama de Nyquist da Inertância
1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Diagrama de Nyquist da Inertância
1.2 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
Representação Real ou Imaginário vs Frequência
1.3 REPRESENTAÇÃO EM ESCALA DECIBEL
Os sinais também podem ser em uma escala logarítmica a partir da
escala Decibel. Em relação a um nível de referência específico, é
representada a proporção de uma quantidade física (seja a intensidade
ou energia de um sinal) com base na unidade decibel (dB).
Um sinal, 𝐹, pode ser representado pela relação:
𝐹𝑑𝐵 = 20 log10
𝐹
𝐹0
1.3 REPRESENTAÇÃO EM ESCALA DECIBEL
Comparação entre Valor Absoluto e escala dB