Determine m de modo que a área da região limitada por y = mx e y = 2x− x2 seja 36. 29. Integral definida Teorema Fundamental do Cálculo Área de...

Para determinar o valor de m, podemos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo e a fórmula para calcular a área de uma região plana delimitada por duas curvas. Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas. Igualando as equações, temos: mx = 2x - x² x² - 2x + mx = 0 Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de x: Δ = (-2)² - 4(m)(-1) Δ = 4 + 4m x = (-(-2) ± √Δ) / 2 x = (2 ± √(4 + 4m)) / 2 x = 1 ± √(1 + m) Os pontos de interseção são, então, x1 = 1 - √(1 + m) e x2 = 1 + √(1 + m). A área da região delimitada pelas duas curvas é dada por: A = ∫[x1, x2] (2x - x² - mx) dx Podemos integrar essa função utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo: A = [x² - (1 + m)x + (2/3)x³] [x1, x2] A = [(x2)² - (1 + m)x2 + (2/3)(x2)³] - [(x1)² - (1 + m)x1 + (2/3)(x1)³] Substituindo os valores de x1 e x2, temos: A = [(1 + √(1 + m))² - (1 + m)(1 + √(1 + m)) + (2/3)(1 + √(1 + m))³] - [(1 - √(1 + m))² - (1 + m)(1 - √(1 + m)) + (2/3)(1 - √(1 + m))³] A = 36 Agora, podemos resolver a equação para encontrar o valor de m: [(1 + √(1 + m))² - (1 + m)(1 + √(1 + m)) + (2/3)(1 + √(1 + m))³] - [(1 - √(1 + m))² - (1 + m)(1 - √(1 + m)) + (2/3)(1 - √(1 + m))³] = 36 Simplificando a equação, temos: 4√(1 + m) - 2m√(1 + m) - 2/3 = 0 Multiplicando ambos os lados por √(1 + m), temos: 4 - 2m - 2/3√(1 + m) = 0 Isolando √(1 + m), temos: √(1 + m) = (12 - 6m) / 2 √(1 + m) = 6 - 3m Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 1 + m = 9 - 36m + 9m² 9m² - 37m + 8 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: m = 1/9 ou m = 8/9 Portanto, os valores possíveis para m são 1/9 ou 8/9.