Gabarito Autoatividades Análise Matemática

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Gabarito das Autoatividades
ANÁLISE MATEMÁTICA
(MATEMÁTICA)
2010/2
Módulo VI
3UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
ANÁLISE MATEMÁTICA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 A conjectura “Dado um número n primo, então o número na forma 2n – 1 
é primo” é falsa. Encontre um número n que realmente refute tal conjectura. 
(Sugestão: substitua n pelos números primos: 2, 3, 5... até encontrar um que 
resulte em um número composto.)
R.: 211 – 1 = 2047 = 23 x 89 (logo, é um número composto).
2 Identifique a hipótese e a tese em cada um dos teoremas a seguir:
R.: Teorema 1: O quadrado de um número ímpar é sempre um número ímpar.
Hip: x é ímpar.
Tese: x² é ímpar.
Teorema 2: A soma de dois números pares é um número par.
Hip: a,b são números pares.
Tese: (a + b) é um número par.
Teorema 3: A soma de três números naturais consecutivos é um número 
múltiplo de três.
Hip: a,b,c são números consecutivos.
Tese: (a + b + c) é múltiplo de três.
Teorema 4: O produto de dois números ímpares é um número ímpar.
Hip: a,b são números ímpares.
Tese: (a.b) é um número ímpar.
3 Agora que você já determinou a hipótese e a tese dos teoremas da questão 
1, prove cada um dos teoremas.
R.:
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(3) sejam a, b, c números consecutivos e, suponhamos, sem perda de gen-
eralidade, a < b < c = (b – 1) + b + )b + 1) = 3b a + b + c é múltiplo de 3.
( ) parébakn2k2n2ba
:entãoNk,ncom,k2ben2aseja)2(
+⇒+=+=+
∈==
4 Prove que a diferença entre um número par e um número ímpar é sempre 
um número ímpar.
R.:
( ) ímparéba1kn21k2n2ba
:entãoNk,ncom,1k2ben2aSeja
parresultado
−⇒−−=−−=−
∈−==

5 Você já deve ter usado a fórmula de Bhaskara para resolver uma equação 
de 2º grau. Agora é hora de demonstrá-la. Sendo assim, prove que:
 “Se ax2 + bx + c = 0, com a 0, é uma equação de 2ª grau, então a solução 
dessa equação é 
”. (Sugestão: utilize a forma direta.)
R.: Temos ax2 + bx + c = 0, dividindo por a
completando o quadrado do 1º termo da igualdade, temos:
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TÓPICO 2
Com base nas demonstrações estudadas até aqui e com muita persistência 
e criatividade, demonstre as seguintes propriedades, usando as dicas que 
apareceram durante esse tópico.
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TÓPICO 3
1 Use o princípio da indução para provar que a soma dos n primeiros números 
naturais ímpares é n2.
R.: 
( )
( ) ( )222
n
2
2
2
1n1n2n12n2n11n21n2...531
:1nparaaconteceráqueo
veremosverdadeirasejan1n2...531afirmaçãoaqueSupondo
111:temos1nPara
n1n2...531quemostrarqueTemos
2
+=++=−++=−++−++++
+
=−++++
===
=−++++
  
2 Use o princípio da indução para provar que:
a) P(n): 20 + 21 + 22 + 23 +...+ 2n-1 = 2n - 1, para n ∈ N
R.:
para n = 1 teremos 20 = 1 = 21 - 1 
Supondo a preposição válida para n, para n + 1 teremos: 
b) P(n): (a -1)(a0 + a1 + a2 +...+ an) = an+1 - 1, para a,n ∈ N
R.:
para n = 1 temos (a - 1) . (a0 + a1) = a + a2 - 1 - a = a2 - 1 
Supondo válida para n, veremos para n - 1: 
c) P(n): 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ n(n+1) = ( )( )21
3
++ nnn para n ∈ N
R.:
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( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )3n2n
3
1n2n1n
3
3n2n1n1
3
n
2n1n2n1n
3
n2n1n1nn...3.22.1
:1nparavejamos,nparaverdadeiroSupondo
3.2.
3
122.1temos1npara
nparaválido
++
+
=++




 +=++




 +=
=+++++=+++++++
+
===
  
3 Use o método da indução para provar a famosa desigualdade de Bernoulli: 
 (1 + a)n ≥ 1 + n.a, para a > -1 e n ∈ N.
R.: para n = 1 temos (1 + a)1 ≥ 1 + 1.a ⇒ 1 + a ≥ 1 + a
Supondo verdadeiro para n, vejamos para n + 1:
(1 + a)n ≥ 1 + n.a (multiplicando por (1+a) que é positivo)
(1 + a)n(1 + a) ≥ (1 + n.a)(1 + a)
(1 + a)n+1 ≥ 1 + a + n.a + n.a2 = 1 + (n + 1)a + n.a2
Como n.a2 é positivo. Temos:
(1 + a)n+1 ≥ 1 + (n + 1)a
4 Demonstre as propriedades relacionadas à adição e multiplicação:
a) distributividade: m.(n + p) = m.n + m.p
R.:
para n = 1 é óbvia por definição. Supondo válido para n, teremos: 
m[(n + 1) + p] = m(n + 1) + mp
b) comutatividade: adição: m + n = n + m
 Multiplicação: m.n = n.m
R.: (adição) para n = 1 : m + 1 = s(m) = 1 + m
Supondo válida para n : m + (n + 1) = (m + n) + 1 = (n + m) + 1 = n + (m 
+ 1) = n + (1 + m) = (n + 1) + m
(multiplicação) para n = 1 : m . 1 = m = 1 . m
Supondo válida para n : m . (n + 1) = Mn + m = n + m = (n + 1) . m
5 Prove que todo conjunto não vazio finito X ⊂ N contém um elemento máximo.
R.: Seja X N finito e suponha por absurdo que X não tenha elemento 
máximo. Podemos escrever X = {x1, x2, ..., xn} tal que x1 < x2 < ... < xn. Como 
xn não é máximo por hipótese, então, existe xn + 1 ϵ X. ABSURDO, pois sem 
um elemento máximo, X seria infinito.
6 Prove que o conjunto P dos números primos é infinito.
R.: Suponha por absurdo que P seja finito, portanto, P = {p1, p2, ..., pn}, onde 
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p1 < p2 < ... < pn são todos os números primos existentes. Como o número Q 
= p1, p2, ..., pn é composto e Q > pn para todo n ϵ N, então, o número Q + 1 é 
primo, pois nenhum pn ϵ P divide (Q + 1), e (Q + 1) ϵ P, pois (Q + 1) > pn para 
todo n ϵ N. ABSURDO! Portanto, P é infinito.
UNIDADE 2
TÓPICO 1 
1 Sejam a, b, c e d elementos de um corpo X, com b ≠ 0 e d ≠ 0, prove as 
seguintes propriedades.
a) 
R.:
b) 
R.: 
c) 
R.: 
d) ) Se a ≠ 0, então 
R.: 
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2 Dados A, B ⊂ R não vazios e limitados, seja A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B} e 
A – B = {x – y | x ∈ A, y B}, prove que:
a) A + B é limitado
R.: Como A e B são limitados, faça i1 = inf(A), s1 = sup(A), i2 = inf(B), s2 = sup(B). 
Agora, pegue i = inf{i1,i2} e s = s1+s2, então, A+B será limitado inferiormente por 
i e superiormente por s, com efeito, seja a ∈ A + B, então, a = x + y com x ∈ 
A, y ∈ B, como i1 ≤ x ≤ s1 e i2 y ≤ s2, teremos que inf{i1,i2} ≤ i1+i2≤ x + y≤s1+s2 
,ou seja, i ≤ a ≤ s, logo A + B é limitado.
b) A – B é limitado
R.: Mesma coisa que a letra a, mas faça i = i1 – i2 e s = sup{s1,s2}
c) sup (A + B) = sup A + sup B
R.: seja c = sup (A + B), então, c ≥ x + y, ∀x ∈ A, y ∈ B. Em particular, c ≥ sup(A) 
+ sup(B). Por outro lado, sup A + sup B ≥ x + y, ∀x ∈ A, y ∈ B, em particular, 
sup A + sup B ≥ sup (A + B) = c. Portanto, sup (A + B) = sup A + sup B
d) inf (A + B) = inf A + inf B
R.: Basta agir de maneira análoga à letra C para demonstrar esse exercício.
e) sup (A – B) = sup A – sup B
R.: Basta agir de maneira análoga à letra C para demonstrar esse exercício.
f) inf (A – B) = inf A – inf B
R.: Basta agir de maneira análoga à letra C para demonstrar esse exercício.
3 Prove que supremo do conjunto é o 
número 1.
R.: É evidente que todo a ∈ A é menor que 1, logo 1 é cota superior de A. 
Então, temos que provar que nenhum número c < 1 é cota superior de A. 
Para isso, vamos mostrar que existe n, tal que n > C, pois isso garantirá 
que sup A = 1. n + 1 
Assim: . 
Portanto, sup A = 1, pois nenhum número real c < 1 é cota superior de A.
4 Dado o conjunto , prove que o ínfimo de A é 
0 e o supremo de A é 1/2.
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R.: É evidente que todo a ∈ A é maior que 0, logo 0 é cota inferior de A. Então, 
temos que provar que nenhum número c > 0 é cota inferior de A. Para isso, 
vamos mostrar que existe n, tal que 1 < C , pois isso garantirá que inf A = 
0. 2n
Assim: 
.Portanto, inf A = 0, pois nenhum número real c > 0 é cota inferior de A.
É fácil verificar que 1/2 é cota superior de A. Sabemos 1/2 ∈ A e 
para todo n > 1. Logo, 1/2 é o maior elemento de A e, por conseguinte, 1/2 
= sup A. 
TÓPICO 2
1 Determine, caso exista, o limite superior e/ou inferior de cada uma das 
sequências: (Dica: desenvolva alguns termos da sequência para ver seu 
comportamento.)
a) 
R.: limite inferior = 2, superior = e
b) 
(sequência de Euler)
R.: limite inferior = 1
c) ( )Nnaax nn ∈<<= ,10;
R.: limite inferior = 0 , superior = a
(sequência de Fibonacci)
d) ( )Nnnx nn ∈= ;
R.: limite inferior = 1, limite superior = 3 3
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2 Quais das sequências do exercício 1 são limitadas? Justifique sua resposta.
R.: As sequências: A,C,D e F são limitadas, pois têm limites inferior e superior.
3 Se existir, qual o limite de cada sequência do exercício 1?
R.:
a) e
b) + ∞ 
c) 0
d) 1
e) Não existe limite, pois há duas subsequências (x2n e x2n-1) com limites 
distintos.
f) 1
4 Classifique cada sequência do exercício 1 com relação à sua monotonicidade.
R.:
a) Crescente.
b) Não decrescente.
c) Decrescente.
d) Não é monótona.
e) Não é monótona.
f) Não é monótona.
5 Quais das sequências do exercício 1 são convergentes?
R.: As sequências A, C, D e F são convergentes. 
6 Quais das sequências do exercício 1 admitem uma subsequência 
convergente? Justifique sua resposta apresentando a subsequência e o seu 
valor de convergência.
R.: A letra E admite uma subsequência convergente. 
x2n será convergente para 0.
x2n-1 será para 2.
7 Seja (xn) uma sequência cujo termo geral é 4n9
5n3xn +
−
= . Sabe-se que 
3
1xlim nn =∞→
. Encontre o número de elementos da sequência (xn) que estão 
fora do intervalo 




 +−
1000
1
3
1,
1000
1
3
1 .
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R.:
8 Verifique se cada uma das sequências a seguir é limitada inferiormente e/
ou superiormente. Justifique rigorosamente sua resposta.
a) 
Logo, A é limitada inferiormente.
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b) 
Logo, B é limitado superiormente.
TÓPICO 3
1 Sabendo que 11limlim =−=
∞→∞→ n
nx
nnn
, determine a partir de qual termo xn > 
9/10.
R.:
A partir de n = 11 teremos xn > 9 .
 10
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2 Sabendo que 
 .
Determine:
a) 
R.: 
b) 
R.: 
c) 
R.: 
d) 
R.: 
3 Prove que para todo p ∈ N, tem-se 1nlim pn
n
=+
∞→
.
R.:
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4 Se e a ∈ R, prove que:
R.: 
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UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Prove que ...
5
1
3
11as n +++== ∑ diverge.
R.: Para mostrar que diverge, podemos calcular o limite da sequência an, se 
der diferente de 0, está pronto. O que não é o caso, aqui o limite de an = 0. 
Também poderíamos achar o termo geral da série e calcular o seu limite, caso 
não exista limite dessa série, ela seria divergente, contudo, não iremos por 
esse caminho, porque o termo geral da série é difícil de ser obtido.
Usaremos, então, o teorema 1 (critério da comparação), ou seja, basta 
mostrar que nn b.ca ≥ para n suficientemente grande com bn sendo divergente. 
Sabemos que a série harmônica diverge, então:
2 A série ...
6
1
6
2
5
1
5
2
4
1
4
2
3
1
3
2
2
11 +−+−+−+−+− tem termos alternadamente 
positivos e negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto é 
divergente. Por que isto não contradiz o Teorema 3?
R.: Embora a sequência an acima tenda para 0, ela não é monótona 
decrescente (basta verificar que a5 = 2/4 > a4 = 1/3) e, por isso, não se aplica 
ao teorema.
3 A série ∑ 




 +
n
11ln converge ou diverge?
R.: Aqui, por sorte, podemos encontrar o termo geral da série, o que facilita 
muito o trabalho, uma vez que a partir do termo geral só precisamos calcular 
o limite.
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4 Determine para quais valores de x cada uma das séries a seguir é 
convergente:
R.: O primeiro caso só será convergente se xn for uma série geométrica (olhe 
a OBS a seguir).
No segundo caso, como nn será maior que xn (mesmo quando for 
geométrica), ela só será convergente se for igual a 0.
No terceiro, pelo mesmo motivo do segundo, x pode ser qualquer número.
Na quarta, como n! é maior que xn (mesmo quando geométrica), a série 
só convergirá se for 0.
Na quinta, é como na primeira... xn tem que ser uma geométrica.
OBS.: Uma ajuda que você, Professor(a)-Tutor(a) Externo(a), pode dar aos 
acadêmicos é informar que embora . 
Para valores muito grandes de n, temos que nk << an << n! << nn, onde 
o símbolo “<<” significa: muito menor.
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5 Dadas as séries com
mostre que lim an = lim bn = 0. Calcule explicitamente as n-ésimas reduzidas 
sn e tn destas séries e mostre que limsn = limtn = +∞, logo as séries dadas são 
divergentes. (Lembre-se de que já vimos como mostrar que o limite de uma 
sequência é determinado valor c no Tópico 2 da Unidade 2. Vale a pena dar 
uma revisada se for preciso.)
R.: Primeiramente, mostraremos que o limite de
é igual a zero.
lim (an) = 0 - ɛ < 0, mas como an é monótona decrescente, a sequência 
se aproximará do limite pela direita, logo, usaremos apenas a desigualdade 
an < ɛ. 
Repetindo o processo para bn e considerando apenas que bn < ε pelo 
mesmo motivo justificado anteriormente, teremos:
Isso justifica que o limite de an e bn é zero, porque para qualquer ε > 0 
que pegarmos, basta aplicar as “fórmulas” conseguidas anteriormente, que 
teremos o índice n0, onde a partir daí a sequência entrará na vizinhança de 
0 com raio ε > 0.
Temos os seguintes termos gerais: 
logo, precisamos mostrar que para qualquer c ∈ R, conseguimos encontrar 
valor de sn e tn maiores que c. Se conseguirmos mostrar isso, estará provado 
que o limite tende a infinito.
, 
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6 Para que valores de x ∈ R a série ... converge? Qual 
sua soma?
R.: Essa série é geométrica (basta fazer 
x1
x1a
+
−
= ), portanto, ela irá convergir 
quando |a| < 1, ou seja 
Aqui, temos que tomar cuidado, porque a função é descontínua em x = -1.
( ) 0x0x2x1x1i >⇒>⇒+<−⇒ , logo, não precisamos nos preocupar com 
a descontinuidade em (i).
Pela restrição (ii), notamos que 1x1
x1
x1
−>⇒−>
+
− , logo, fazendo a 
intersecção de (i) com (ii) obtemos que x > 0. 
Com essa série é geométrica, temos que sua soma é 
a1
1
−
. Assim, substituindo 
a por 
x1
x1
+
− , temos:
TÓPICO 2 
1 Prove que o fecho de qualquer conjunto é um conjunto fechado.
R.: Seja X R um conjunto qualquer. Temos que provar que X = X. Vamos 
supor por absurdo que X ≠ X, então, como X é o conjunto dos pontos aderentes 
de X, existe algum ponto a ϵ X que é limite de uma sequência Xn ϵ X, absurdo, 
pois a é ponto aderente e X contém todos eles. Portanto X = X.
∩
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2 Prove que os únicos subconjuntos de R que são simultaneamente abertos 
e fechados são R e ∅.
R.: Seja X ≠ ∅ um subconjunto próprio de R, tal que X é fechado e aberto. 
Com isso, seu complementar XC = R - X também será aberto e fechado por 
causa do Teo 3. Sabemos que X ∩ XC = ∅ e, por ambos serem fechados, X = 
e Xc = Xc. Por outro lado, seja a ϵ Fr (X) para qualquer ε> 0 o conjunto (α - ε, 
α + ε) terá elementos de X e de Xc, e como Xc é fechado a ϵ Fr (Xc), ou seja, 
a ϵX e a ϵ Xc, absurdo, pois como X = X e Xc = Xc, teremos que X ∩ XC = ∅.
X
3 Prove que X = int(X) + Fr(X) 
R.: Por definição, X é o conjunto de todos os pontos aderentes de X. E 
pelo Teo 2, os pontos aderentes de X só podem pertencer a int(X) ou Fr(X). 
Logo, X = int(X) + Fr (X).
4 Dê exemplos de um conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado 
não fechado Y, cujos pontos são todos isolados.
R.: X = N (naturais), Z (inteiros) é fechado e ilimitado.
Y = é não fechado e todos os pontos de Y são isolados.
5 Prove que uma união finita e uma intersecção arbitrária de conjuntos 
compactos é um conjunto compacto.
R.: União: Seja X = F1 F2 ... Fn, onde todos os Fk são conjuntos compactos 
e como todos os Fk são fechados, temos que X é fechado (Teo 4). Seja a ϵ 
R como os Fk são limitados, podemos escolher εi> 0, tal que, F1 (α - ε1, α + 
ε1), F2 (α - ε2, α + ε2),..., Fn. Agora, fazendo ε = ε1 + ε2 + ... + εn, teremos que 
Fk (α - ε, α + ε), para k = 1, 2, ..., n, o que implica que X (α - ε2, α + ε2), 
portanto, X é limitado (pois é limitado inferiormente por α + ε e superiormente 
por α + ε). Como X é fechado e limitado, pela definição de conjunto compacto, 
X é compacto.
∩ ∩∩
∩
∩
∩ ∩
Intersecção: Seja X = F1 ∩ F2 ∩ ... ∩ Fn onde todos os Fk são conjuntos 
compactos e como todos os Fk são fechados, temos que X é fechado (Teo 
4). Seja a ϵ R como os Fk são limitados, podemos escolher valores εi > 0, 
tal que F1 ∩ (α - ε1, α + ε1), F2 ∩ (α - ε2, α + ε2), ..., F2 ∩ (α - εn, α + εn)... Agora, 
fazendo ε = max {ε1, ε2,...,εn...}, teremos que Fk ∩ (α - ε, α + ε), para k = 1, 
2, ..., n,... o que implica que X ∩ (α - ε, α + ε), portanto, X é limitado (pois é 
limitado inferiormente por α - ε e superiormente por α + ε). Como X é fechado 
e limitado, pela definição de conjunto compacto, X é compacto.
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6 Prove que todo conjunto não enumerável X ⊂ R possui algum ponto de 
acumulação a ∈ X.
R.: Como X R é não enumerável, então, ele é infinito. Se ele for limitado, 
está provado pelo Teorema 7. Caso não seja limitado, suponhamos por 
absurdo que X não tenha ponto de acumulação, então, todo ponto de X é 
isolado e X é discreto. Logo para todo ak ϵ X, podemos encontrar εk > 0, tal 
que (ak – εk, ak + εk) X = ak, para k = 1, 2, 3 ... Porém, com isso, podemos 
criar uma bijeção f: N → X (basta ver que k já está “contando” os intervalos 
e, consequentemente, os pontos de X). Absurdo, pois X é não enumerável. 
Portanto, tem que existir pelo menos um ponto de acumulação.
∩
∩
7 Verifique se o conjunto X definido a seguir é compacto 
R.: Para ser compacto, X tem que ser limitado e fechado. Nota-se, facilmente, 
que X é limitado inferiormente por -3 e superiormente por 1, logo X é limitado. 
E como X = {0} ele é fechado. Logo, é compacto.
8 Dado o conjunto 
determine: int(X), ext(X), fr(X), X, responda se X é aberto ou fechado e se 
X é denso em relação a R.
R.: