Gabarito da Lista de Exercícios 01

Prévia do material em texto

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO DE JANEIRO 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA 
MICROECONOMIA III 2009.2 
Professores:Antônio Marcos Hoelz Ambrozio e Hamilton Kai 
 
1ª Lista de Exercícios - Gabarito 
 
1ª questão 
 
Solução: 
a) EN= {(D,D)} 
 Cooperar (C) Desertar (D) 
Jogador 1 Cooperar (C) (x,x) (z,y) 
 Desertar (D) (y,z) (w,w) 
Não é eficiente de Pareto,, pois C,C daria maiores ganhos para ambos. 
 
 
b) EN= {(D,D), (C,C)} 
 Cooperar (C) Desertar (D) 
Jogador 1 Cooperar (C) (x,x) (z,y) 
 Desertar (D) (y,z) (w,w) 
Apenas (C,C) é eficiente de Pareto. 
 
 
c) EN= {(D,D), (C,C)} 
 Cooperar (C) Desertar (D) 
Jogador 1 Cooperar (C) (x,x) (z,y) 
 Desertar (D) (y,z) (w,w) 
Ambos (D,D) e (C,C) são eficientes de Pareto. 
 
 
 
d) EN= {(D,C), (C,D)} 
 Cooperar (C) Desertar (D) 
Jogador 1 Cooperar (C) (x,x) (z,y) 
 Desertar (D) (y,z) (w,w) 
Ambos (D,C) e (C,D) são eficientes de Pareto. Não seria possível aumentar os 
ganhos de um jogador sem reduzir os ganhos do outro. 
 
e) Vamos calcular os ganhos esperados 
Para o Jogador 1 , se ele pensa que 2 jogara C com probabilidade q 
VC= q.x + (1-q).z 
VD= q.y + (1-q).w 
Como y>x>w>z, independente do jogador 2, o jogador 1 sempre terá uma ganho 
esperado maior jogando D 
Para o Jogador 2 , se ele pensa que 1 jogara C com probabilidade p 
UC= p.x + (1-p).z 
UD= p.y + (1-p).w 
Como y>x>w>z, independente do jogador 1, o jogador 2 sempre terá uma ganho 
esperado maior jogando D . 
Assim , a possibilidade de jogar estratégias mistas não altera os EN. 
 
Note que no caso (a) a estratégia C é estritamente dominada para cada jogador, e 
logo não pode ser jogada com probabilidade positiva em nenhum EN. 
 
 
2ª questão 
 
Solução: 
a)Temos que D e B são estritamente dominadas por C. Sendo assim, podemos escrever este 
jogo da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Agora podemos perceber que M e P são estritamente dominadas por S. Portanto, 
apenas as estratégias S, T, A e C sobrevivem à Eliminação Iterada de Estratégias 
Estritamente Dominadas (EIEED). 
 
b) O jogo fica o seguinte: 
 
É fácil perceber que (S,A) e (T,C) são os equilíbrios em estratégias puras. Para encontrar os 
equilíbrios em estratégias mistas devemos encontrar as funções de reação dos jogadores. 
Jo
ga
do
r 1
 
Jogador 2 
 A C 
S 3,6 4,4 
M 1,0 2,2 
T 0,2 6,4 
P -1,2 2,3 
A C
S 3,6 4,4
T 0,2 6,4Jo
ga
do
r 1
Jogador 2
A C
S 3,6 4,4
T 0,2 6,4Jo
ga
do
r 1
Jogador 2
Considere que Ps é a probabilidade do jogador 1 jogar S e Pa é a probabilidade do jogador 
2 jogar A. Para o jogador 1 temos que: 
E[S | Pa] = 3.Pa + 4.(1-Pa) e E[T | Pa] = 6.(1-Pa) 
 Logo, a função de reação do jogador 1 será: 
 Ps = 1, se Pa > 2/5 
 Ps e (0,1), se Pa = 2/5 
 Ps = 0, se Pa < 2/5 
 Para o jogador 2 temos: 
E[A | Ps] = 6.Ps + 2.(1-Ps) e E[C | Ps] = 4 
Logo, a função de reação do jogador 2 será: 
 Pa = 1, se Ps > 1/2 
 Pa e (0,1), se Ps = 1/2 
 Pa = 0, se Ps < ½ 
 Graficamente temos: 
 
 Temos, portanto, um equilíbrio em estratégias mistas, onde Ps = ½ e Pa = 2/5. 
 Nenhum equilíbrio foi eliminado pela EIEED, pois todo EN sobrevive a EIEED. 
 
 
 
 
 
 
 
3a Questão 
Solução: 
(i) leilão de primeiro preço 
 
(5 , 3 , 1) não é EN. Dado que o jogador 2 colocou 3 (ou melhor, se o jogador 1 
espera que o jogador 2 coloque 3), o jogador 1 pode dar o lance de 4, levar o 
objeto e aumentar seu payoff. De fato, a melhor resposta do jogador 1 se este 
espera que o jogador 2 irá oferecer 3 é dar também um lance de 3. 
 
(2 , 2 , 2 ) não é EN. O jogador 2 poderia dar o lance de 2R$ e 1 centavo , levar 
o objeto e ficar com um payoff de 0.99. Há, portanto, incentivo para o 2º 
jogador desviar. Uma curiosidade surge se o espaço em que estivermos 
trabalhando for discreto e os lances não puderem ser feitos com centavos. Nesse 
caso, a situação configuraria um EN. O jogador 3 não leva o objeto, e qualquer 
desvio tal que ele passe a ganhar implicaria em pay-off negativo. Para o jogador 
2, colocar 1, 2 ou 3 não faz menor diferença, já que se nos dois primeiros casos 
ele não leva o objeto, no terceiro ele leva mas fica com payoff zero. Não há 
incentivo a desviar portanto. Para o jogador um que leva o objeto por causa do 
critério de desempate, não vale a pena aumentar o lance e diminuir seu payoff 
 
( 0 , 0 , 10 ) não é EN, dado que 1 e 2 colocaram 0, o jogador 3 teria preferido 
colocar qualquer valor maior que zero e menor que 1. 
 
(ii) leilão de segundo preço 
 
( 5 , 3 , 1 ) é EN. Jogador 1 paga o segundo lance que é de 3, colocar qq valor 
até 3 não afeta o seu pagamento e menor que 3 implica na perda do objeto. Já os 
demais jogadores não estão levando o objeto, e em qualquer desvio tal que um 
deles passe a levar o objeto, o lance precisaria ser maior do que 5, o que levaria 
a payoffs negativos. 
 
( 2 , 2 , 2 ) não é EN. Jogador 1 ganha o objeto, dado crenças sobre o lance de 
equilíbrio dos demais, com qualquer lance menor que 5 espera deixar de ganhar 
e logo não quer se desviar. E por um raciocínio análogo ao caso acima o jogador 
3 não tem incentivo a desvio unilateral: não está levando o objeto, e em 
qualquer desvio passe a levá-lo, incorre em um payoff negativo. Entretanto, o 
jogador 2 pode dar qualquer lance maior que 2 , de 1 milhão talvez, levar o 
objeto e pagar menor do que sua valorização. 
 
( 0 , 0 , 10 ) é EN. 3 leva o objeto e paga zero. Já 1 ou 2 para passarem a levar o 
objeto deveriam dar lance maior ou igual a 10 (e dado a crença de que 3 dá 
lance de 10 devem esperar pagar esse valor), o que não é lucrativo. 
 
 
 
4ª questão 
 
Solução: 
a) Sa = Sb = Sc = {A,B,C} 
b) Se o jogo possuísse apenas 2 alternativas e 2 jogadores, sua solução seria trivial: 
Montaríamos uma matriz 2x2 e resolveríamos o problema da maneira tradicional. Com 3 
alternativas e 3 jogadores, a matriz passa a ser tridimensional, da forma 3x3x3. Como é 
extremamente difícil desenhar o cubo com todos os payoffs, podemos escrever, 
analogamente, 3 matrizes 3x3, a primeira supondo que o jogador 3 joga A, que na 
segunda joga B e que na terceira joga C. 
 
 Os equilíbrios são (A,A,A), (A,B,A), (B,B,B), (C,C,C) e (A,C,C) 
 
 
5ª questão 
 
Solução: 
 
a) Considerando que os consumidores irão comprar na firma mais próxima cada firma vai 
querer estar mais próxima que a outra do maior número possível de consumidores. Assim 
sendo, cada uma vai querer o “pedaço” maior da cidade linear de comprimento l. Ou seja, 
sendo x a posição da firma 1 e y a posição da firma 2, caso y <l/2 a melhor resposta da 
firma 1 é escolher x=y+ε. Caso y>l/2 então a melhor estratégia da firma 1 é escolher x=y-ε. 
Por simetria, a firma 2 tem o interesse de fazer o mesmo. Então as firmas irão convergir 
para x=y=l/2, onde a firma que desvia a partir desse ponto, dado a posição da outra, irá 
atender menos consumidores, e logo este será o EN.Neste ponto as duas terão probabilidade 
igual de vender para cada consumidor. 
Graficamente: 
 
A B C
A B C A B C A B C
A 2,0,1 2,0,1 2,0,1 A 2,0,1 1,2,0 2,0,1 A 2,0,1 2,0,1 1,0,2
B 2,0,1 1,2,0 2,0,1 B 1,2,0 1,2,0 1,2,0 B 2,0,1 1,2,0 0,1,2
C 2,0,1 2,0,1 0,1,2 C 2,0,1 1,2,0 0,1,2 C 0,1,2 0,1,2 0,1,2
Jogador 2
Jogador 3
Jo
ga
do
r 1
Jo
ga
do
r 1
Jo
ga
do
r 1
Jogador 2 Jogador 2
 
b) No caso de três firmas, novamente elas irão buscar se localizar a fim de maximizar o 
número de vendas. Nessa situação, assim como no caso (a), nenhuma circunstância onde 
haja uma firma sozinha numa posição pode constituir equilíbrio (se as três estão em posição 
diferente, com certeza a primeira e a última terão incentivo a se aproximar da do meio, e 
dado uma sozinha e duas juntas a que está sozinha ganha se aproximando da posição das 
outras duas). E as três firmas na mesma posição também não pode ser equilíbrio, porque 
nessa situação cada uma conquista em média 1/3 do mercado, e se uma desviar, dado a 
posição das outras, conquistará (pelo menos) metade do mercado. Não há ENem 
estratégias puras. 
 
6ª questão 
 
Solução: 
a) No caso do duopólio, cada firma irá definir a quantidade a ser produzida, de forma a 
maximizar seu lucro, considerando que a firma concorrente também o fará. 
 
 Curva de demanda inversa P(Q) = 200 – 3Q 
 P(q) = 200 – 3(q1+q2) 
 
Lucro1= (200 – 3(q1+q2))* q1 - 20 q1= (200- 20) q1 + 3 q12 +3 q1*q2 
Max de lucro => Derivando e igualando a zero 
q1=(180 -3 q2)/6 
 
Como as firmas produzem um bem homogêneo e os custos marginais são iguais: q1=q2 
q1=(180 -3 q1)/6 =>q1=20, 
Q= q1+q2= 40, 
p=200 – 3(q1+q2) = 80, 
Lucro1= Lucro2= (p-c)*20=(80-20)*20=1200 
 
b) 
p(q) = 200 – 3(q1+q2 + q3+q4 + q5) 
 
Lucro1= (200 – 3(q1+q2 + q3+q4 + q5))* q1 - 20 q1 
Max de lucro => Derivando e igualando a zero 
q1=[180 -3 (q2 + q3+q4 + q5)]/6 
Como as firmas produzem um bem homogêneo e os custos marginais são iguais 
q1=q2= q3=q4= q5 
q1=[180 -3 (4q1)]/6 =>q1=10 
Q= q1+q2 + q3+q4 + q5= 50, 
p= 200 – 3(q1+q2 + q3+q4 + q5) = 50, 
lucro=300 
 
No caso de 2 firmas, o preço de equilíbrio é de R$ 80. 
No caso de 5 firmas, o preço de equilíbrio é de R$ 50. 
No caso de concorrência perfeita => p=custo marginal = 20 
O preço se reduz à medida que sobe o número de firmas no mercado. O menor valor 
possível para o preço é equivalente ao custo marginal de produção ( lucro=zero) 
 
c) No equilíbrio, a quantidade que cada firma produzirá, no caso de 2 firmas ou no caso de 
5 firmas, não necessariamente é a quantidade que maximiza o lucro agregado no mercado. 
Pois no equilíbrio, cada firma irá produzir sua melhor resposta à decisão que ela espera que 
sua(s) concorrente(s) escolha(m). 
 
A resposta encontrada no item (a), a produção de equilíbrio q=20, assegura para cada firma 
um lucro R$1200. No caso das firmas estarem impedidas de fabricar mais que 15 unidades, 
elas terão um lucro = 2700/2= 1350. Portanto esta restrição aumenta os lucros de um 
duopólio. 
 
É fácil de ver a razão de q2= q1==15 não seria um equilíbrio (a não ser no caso de limite de 
capacidade de produção). Suponha que a firma 1 produza q1=15. A firma 2 teria interesse 
em se desviar para, por exemplo, produzir q2=16, pois seu lucro aumentaria=> 
P(31)=200 – 93= 107 e Lucro2= (87)*16= 1392 
 
 
 
No caso de um mercado com 5 firmas, a produção de equilíbrio de cada firma é de 10 
unidades, abaixo da restrição de capacidade. A alternativa de uma firma produzir no 
intervalo ( 10 , 15] , enquanto as demais produzem 10, reduz seu lucro. 
Por exemplo, seja q2 = q3=q4 = q5= 10 e q1==11 
P(51)= 200 –153=47 e Lucro1= (27)*11=297 <300 
Assim, as firmas não terem interesse em se desviar da produção de equilíbrio. 
q1=q2 = q3=q4 = q5 =10. 
 
 
A solução de equilíbrio Cournot-Nash não precisa ser a de maximização dos lucros 
conjuntos, da mesma forma que o equilíbrio de Nash para o caso do “dilema do prisioneiro” 
não é Pareto Eficiente. 
 
 
7ª questão 
 
Solução: 
a) Firmas em um conluio se comportam como se todas fossem uma única monopolista. 
 
Curva de demanda inversa P(Q) = 16 – Q 
 
Lucro= (16 - Q)* Q – 4Q 
Max de lucro => Derivando e igualando a zero 
14-2Q=0 => Q=6 
 
Como os bens são homogêneos, ambas as firmas produziram a mesma quantidade, ou seja, 
a metade da quantidade do monopólio, no caso serão 3 unidades e o lucro seria de 18 u.m. 
(unidades monetárias). 
 
b) Resolvendo o problema de cada firma: 
Firma 1: 
 Curva de demanda inversa P(Q) = 16 – Q 
 P(q) = 16 – (q1+q2) 
 
Lucro1= (16 – (q1+q2))* q1 - 4 q1 - M = (16-4) q1 - q12 -q1*q2 - M 
Max de lucro => Derivando e igualando a zero 
q1=(12 - q2)/2 
 
Analogamente para a firma 2, 
Teremos que ambas irão resolver o problema usando a correspondência de melhor resposta 
da outra; resolvendo: 
 
q1=q2 =4 
Lucro1 = Lucro2 = 8*4 - 4*4 – M = 16 – M 
 
c) A firma que cumprir o acordo irá produzir 3 unidades, assim o problema da outra firma 
será resolver o problema de maximização considerando que a outra firma produzirá 3 
unidades. 
 
Max Lucro=(16-(3+q))q-4q 
Derivando e igualando a zero => 2q=9 => q=9/2 
Q=15/2 => P=17/2 
 
Assim, o lucro da firma que cumprir será de 13,5 e a da outra será de 20,25-M. 
 
d) 
Escrevendo o jogo na forma matricial, teríamos: 
 
 
Cumprir Não Cumprir
Cumprir (18;18) (13,5;20,25-M)
Não Cumprir (20,25-M;13,5) (16-M;16-M) 
 
Para M=0, e resolvendo: 
 
 
Cumprir Não Cumprir
Cumprir (18;18) (13,5;20,25)
Não Cumprir (20,25;13,5) (16;16) 
 
Assim, o único equilíbrio de Nash existente nesse modelo caso M=0 será onde as 
estratégias de ambas as firmas escolherão não cumprir o contrato, (observe que cumprir o 
contrato é uma estratégia estritamente dominada). 
 
e) O menor valor de M que possibilite sustentar um EN onde ambas as firmas cumprem o 
contrato é quando a firma fica indiferente entre escolher cumprir ou não o contrato caso a 
outra firma cumpra o contrato, ou seja quando os payoffs das duas opções são equivalentes. 
 
 U(C│C) ≥ U(NC│C) 
 18 ≥ 20,25 - M 
 M ≥ 2,25 
 
Assim , o menor valor de M é 2,25 um. 
 
 
8ª questão 
 
 
a) O objetivo de ambas as firmas é maximizar os lucros, mas as suas estratégias se baseiam 
nos preços a serem oferecidos. Assim, temos que se estamos na condição em que P1=P2=c, 
então, para cada jogador ele pode: 1) aumentar seu preço, mas isso o faria perder todo o 
mercado para a outra firma, assim, isso não é razoável; 2) abaixar o seu preço de forma a 
tomar todo o mercado da outra firma, mas então estaria operando com preço abaixo do seu 
custo e incorreria em prejuízo, também não sendo razoável. Assim, P1=P2=c constitui um 
EN possível para esse modelo. 
b) 
i) A firma com o menor preço pode melhorar aumentando um pouco o seu preço e com isso 
poderá reduzir o seu prejuízo. Não pode ser EN. 
ii) P1 = c < P2. 
 A firma 1 pode aumentar um pouco seu preço, passando assim a ter lucro. Não é EN 
iii) P1 > P2 > c. A firma 1 não captura um único consumidor. Se baixasse seu preço para 
P= c+ε, conquistaria o mercado todo e teria lucro positivo. Não é EN. 
iv) P1 = P2 > c. Se os preços são tais que ambas as firmas dividem o mercado com lucro 
positivo, podem diminuir um pouco o preço, com isso quem diminuir fica com todo o 
mercado e aumenta o lucro. E se ambas as firmas não conseguem demanda aos dados 
preços, se uma baixasse seu preço para P= c+ε, conquistaria o mercado todo e teria lucro 
positivo. Não pode ser EN. 
c) Verdadeiro, as estratégias de equilíbrio de cada jogador são fracamente dominadas pelas 
demais estratégias em que o preço seja maior que c (porém menor que a) : por exemplo p/ o 
jogador 1, qualquer preço P*1 no intervalo (c,a) domina fracamente P1 = c, uma vez que se 
o jogador 2 colocar um preço maior que P*1 o jogador 1 captura o mercado e tem lucro 
positivo, se P1=P2 divide o mercado ainda com lucro positivo e se P2<P*1 ele perde o 
mercado e tem lucro zero (o mesmo que recebe no EN). Mas note que não há estratégia 
estritamente melhor do que colocar p1=p2=c. Repare que essa estratégia p*1 não é 
estritamente dominante, pois como visto quando p*1>p2>c temos o mesmo payoff ( zero) 
para a firma 1 do que se colocasse p1=p2=c. 
 
 
 
9ª questão 
 
Solução: 
Caso (i): A demanda máxima não alcança a restrição de produção de cada firma. As 
funções de ganho são: 
 
 ( )( )ii pcp −− 200 se pi < pj; 
 =iπ ( )( )2
200 ii pcp −− se pi = pj; 
 0, se pi > pj 
 
 
 
Em termos de equilíbrio de Nash, se uma firma estabelece p>c, a melhor 
resposta da outra firma é colocar um preço um pouco menor p´= p-ε >c e 
capturar todo o mercado, com lucro maior que o obtido quando o mercado era 
dividido. A melhor resposta da primeira firma diante do p’ da concorrente é 
abaixar seu preço para p’’=p’-ε>c. Esse processo continua até que p*i = p*j=c. 
Esse é o único EN do jogo, pois o agente que aumentar o preço não vende nada 
e a escolhade p<c implica prejuízo. 
 
 
Caso (ii) Vamos supor que a firma i estabeleça pi < pj. Se o preço estabelecido for acima de 
R$ 100, a firma captura todo o mercado. Abaixo de p=R$ 100, a demanda do mercado será 
superior a 100 e a firma estará limitada a sua restrição de capacidade. 
Se a firma i colocar um preço menor que R$100, mesmo que a firma j coloque pi<pj ela 
venderá parte de sua produção pois haverá uma demanda residual. 
Em termos de equilíbrio, p*i = p*j=10, não é equilíbrio. Vamos supor que i mantenha seu 
preço pi = 10, e a firma j aumente seu preço para R$11. A firma j venderá 89 unidades e 
terá um lucro de R$89, ao invés de zero no caso de pj = 10. O lucro da firma que elevou seu 
preço é maior do que da que manteve preço=custo marginal. O par de preços (10,10) não é 
a melhor resposta ao outro e vice-versa. Logo p*i = p*j=10, não é equilíbrio de Nash. 
10ª questão (Bertrand com bens diferenciados) 
 
a) A firma i resolve o problema: 
[ ]jiiip dppbApi +−max (1) 
Cuja solução é: 
02 =+−=∂
Π∂
jii
i
dppbA
p (2) 
Reorganizando os termos em (2), de forma a colocar pi como função de pj, temos a 
correspondência de melhor resposta de cada firma: 
i
i
j p
b
dpA =+
2 (3) 
 
b) O modelo de Cournot visto em sala tem como hipótese que as firmas competem entre 
si a partir da escolha de quantidade. Obtendo-se a função de melhor resposta para cada 
firma (em que cada firma toma como dada a quantidade produzida pela competidora), 
tem-se que a quantidade ótima que a firma i deve produzir varia negativamente com a 
quantidade ótima que a firma competidora j produz. Ou seja, no modelo de Cournot 
visto em sala, uma maior produção por parte de uma firma gera menor produção 
da outra (ou ainda, comportamentos agressivos por parte de uma firma geram 
comportamentos menos agressivos por parte da outra firma). O aumento de 
quantidade por parte da firma j reduz o benefício marginal (mark-up) que a firma 
i tem em aumentar sua própria quantidade. Nesse modelo de Cournot, 
quantidades são substitutos estratégicos. 
 
Por outro lado, no modelo desse exercício, a função de melhor resposta de uma firma 
indica que o preço escolhido por uma firma i varia positivamente com o preço escolhido 
pela firma j. Ou seja, ao contrário do modelo de Cournot, o modelo desse exercício 
prevê que um comportamento mais agressivo por parte de uma firma induz um 
comportamento mais agressivo por parte da competidora (ou, a firma i escolher um 
preço menor induz a firma j a escolher um preço menor). Ao aumentar seu preço, uma 
firma aumenta o benefício marginal que a outra tem ao aumentar seu preço (dado 
que aumento do preço de um bem aumenta a demanda do outro bem). Desse modo, 
preços nesse modelo são complementares estratégicos. 
 
c) A firma 1, caso escolha p1=0, terá lucro zero. Por outro lado, caso a firma 1 escolha 
p1>0 (dado que a firma 2 escolhe p2=0), como existe diferenciação do produto no 
modelo do exercício (ou seja, ainda pode existir demanda pelo produto da firma 1 
quando o preço da firma 1 é maior que o preço da firma 2), tem-se que a firma 1 terá 
lucro positivo (caso p1 não seja grande o suficiente para gerar demanda zero). 
Conseqüentemente, a firma 1 terá um incentivo a desviar no caso de p1=p2=0, o que faz 
com que p1=p2=0 não seja um equilíbrio. Um argumento análogo pode ser dado para a 
firma 2. 
 
d) O monopolista resolve: 
[ ] [ ]
( ) jijjiijipp
ijjjjiiipp
pdppbpbppA
dppbApdppbAp
ji
ji
2max
max
22
,
,
+−−+=
+−++−
 (4) 
cuja solução é: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+−=∂
Π∂
=+−=∂
Π∂
022
022
ijj
j
jii
i
dppbA
p
dppbA
p
 (5) 
 
Tal solução indica que o monopolista varia o preço do bem i de acordo com o preço do 
bem j mais do que cada firma no duopólio (comparando (2) com (5) segue que o termo 
positivo nesta última é maior). Isso indica que o monopolista terá um incentivo maior a 
aumentar o preço de um dos bens do que um dos duopolistas. 
 
e) A intuição do resultado do item (d) provém do fato de que, nesse modelo, quanto maior o 
preço de um bem, maior pode ser o preço do outro. Isso ocorre porque o aumento de preço 
de um dos bens aumenta a demanda do outro, permitindo que o preço deste aumente. O 
monopolista, ao decidir preços, decidirá fazer o preço de um bem crescer não só por 
possivelmente aumentar a receita proveniente desse bem, mas também por aumentar a 
receita proveniente do outro bem, que poderá ter um preço maior (dado o maior preço do 
primeiro bem). Por outro lado, o duopolista aumentará preços de um bem somente 
enquanto a receita desse um bem aumentar com o aumento de preços.O duopolista não 
leva em conta o aumento na demanda do outro bem, que será produzido pela empresa 
competidora. Isso faz com que o monopolista tenha maiores incentivos a aumentar o 
preço dos bens do que cada duopolista (em outras palavras, a centralização da produção 
dos bens na mão do monopolista permite a extração de maiores benefícios marginais para a 
firma com o aumento de preços). 
 
 
 
 
 
11ª questão 
Solução: 
a) 
F NF
G
E
(0,-10) (20, -20)
(20-15, 90-20-10) (20-15, 90-20) 
Não há equilíbrio de Nash em estratégia pura. 
 
Em estratégia mista 
Para o jogador 1 : 
Supondo que a probabilidade da firma fiscalizar seja q 
 
Ganho esperado para jogar G q.0 + 20( 1-q) 
Ganho esperado para jogar E q.(20-15) + (20-15)( 1-q)= 5 
 
Para 1 ficar indiferente entre jogar G e E => q= 3/4 
 
Para o jogador 2: 
Supondo que a probabilidade do trabalhador gazetear é p 
 
 
Ganho esperado para jogar F -10.p + (90-20-10)( 1-p) 
Ganho esperado para jogar NF -20.p + (90-20)( 1-p) 
Para 2 ficar indiferente entre jogar F e NF => p= 1/2 
 
 
b) 
O único equilíbrio é em estratégias mistas. No equilíbrio, a empresa estará indiferente entre 
fiscalizar e não fiscalizar. O ganho da empresa varia segundo w. 
 
Ganho de F =-h.p + (v-w-h)( 1-p) onde h= custo de fiscalização e v= valor do bem 
 
Considerando que por definição os ganhos esperados de F e NF são iguais: 
-hp+ (v-w-h)(1-p) = -wp + (v-w)(1-p) 
Logo, p=h/w 
 
Substituindo p no ganho de F: 
 
-h2/w +(v-w-h)( 1- h/w) , 
maximizando em relação a w => w= hv => w =30 
Para a firma, o ganho esperado com w =20 é F= -10.(1/2) + 60.(1/2)= 25 
 o ganho esperado com w =30 é F= -10.(1/3) + 50.(2/3)= 30 
 
 
Ou seja, nesse caso um aumento salarial aumenta também os lucros da firma (uma vez que 
reduz a freqüência em que a firma deve fiscalizar). Esse tipo de idéia está por trás dos 
modelos de salário de eficiência, que permitem explicar a nível macro fenômenos como a 
existência de desemprego em equilíbrio. 
 
 
 
13ª questão (Barganha) 
Solução: 
 
A estratégia de cada jogador consiste em escolher uma demanda si entre 0 e 1. Como o 
payoff será 0 para qualquer valor em que s1+s2 > 1, os dois jogadores irão tentar escolher 
parcelas que não ultrapassem esse limite caso possam ganhar algum valor maior que 0 sem 
ultrapassa-lo. Para o jogador 1, o máximo que ele consegue do dólar é 1-s2 para todo s2. 
Para o jogador 2 o raciocínio é simétrico. Ou seja, cada jogador irá escolher tudo o que 
sobrar do dólar dado a expectativa sobre o que o outro pedirá na sua parcela: s1+s2=1. 
Além disso, se um jogador espera que não sobre nada dada a demanda do outro (ou seja, 
espera que o oponente demande tudo), sua melhor resposta é pedir qq coisa, e nesse caso 
outro EN possível é (1,1). O conjunto de EN é: 
 
EN = { (s1,1-s1), 0 ≤ s1 ≤ 1 e (1,1) }. 
 
14ª questão (Cournot com custos marginais diferentes) 
 
Solução: 
 
P(Q)=a-Q 
Cmg1=c1≠c2=Cmg2 
 
Firma 1 
Max (a-q1-q2)q1 –c1q1 
 q1 
Supondo solução interior: d(π1)/d(q1) = (a-c1) -2q1 –q2 =0 ⇒ q1= (a-c1-q2)/2 
 
Raciocínio análogo p/ firma 2: 
q2= (a-c2–q1)/2 
 
Substituindo q2 em q1: 
 
 q1=(a-c1)/2 –[(a-c2–q1)/2]/2, encontrando 
 q1=(a+c2-2*c1)/3 e 
 q2=(a+c1-2*c2)/3 
 
Primeiramente concluimos dessas funções que quanto maior o custo marginal da outra 
empresamaior é a produção da primeira empresa e vice-versa.Quanto maior o custo 
marginal de uma empresa menor a produção dela mesma.E quanto maior o mercado 
(representado pelo “a”) maior a produção das duas empresas. Recapitulando, qto maior 
cmg1 menor q1 e maior q2, qto maior cmg2 menor q2 e maior q1. 
 
Agora, considerando que 
0 < ci < a/2 para as duas firmas, 
0 < 2ci < a , 
Como 
qi= (a -2ci + cj)/3 e a-2ci>0 => qi>0 
 
O equilíbrio será {(a+c2-2*c1)/3 ; (a+c1-2*c2)/3}. 
 
Se mudarmos para c1<c2 e 2*c2>a+c1 
Teremos que 0> a+c1 – 2*c2 
Mas q2= (a + c1 -2*c2)/3<0 e nenhuma empresa pode produzir uma quantidade negativa, 
ou seja, esse valor está fora do espaço estratégico.Assim sendo ela irá escolher q2 =0.O que 
acontece é que a empresa é tão mais ineficiente que a outra que o mercado não é grande o 
suficiente para que ela produza.E a empresa 1? 
 
Da equação que relacionava q1 e q2 
q1= (a-c1-q2)/2, substituindo q2=0 
q1= (a-c1)/2 que é a quantidade de monopólio. 
A empresa 1 é tão mais eficiente que vira monopolista nesse mercado.