Problema de Dirichlet na Faixa Semi-infinita
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Problema de Dirichlet na Faixa Semi-infinita


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Problema de Dirichlet na Faixa Semi-infinita
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
5 de outubro de 2010
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Vamos resolver o problema de Dirichlet na faixa semi-infinita
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u22022u
\u2202x2
+
\u22022u
\u2202y2
= 0, y > 0, 0 < x < a,
u(x, 0) = f (x), 0 < x < a, u(x, y) e´ limitada para y > 0, 0 < x < a,
u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, y > 0
Vamos procurar uma soluc¸a\u2dco na forma de um produto de uma func¸a\u2dco de x por uma
func¸a\u2dco de y, ou seja,
u(x, y) = X(x)Y(y)
Derivando e substituindo-se na equac¸a\u2dco obtemos
X\u2032\u2032(x)Y(y) = \u2212X(x)Y\u2032\u2032(y).
Dividindo-se por X(x)Y(y) obtemos
X\u2032\u2032(x)
X(x)
= \u2212
Y\u2032\u2032(y)
Y(y)
.
O primeiro membro depende apenas de x, enquanto o segundo depende apenas de y.
Isto so´ e´ poss\u131´vel se eles forem iguais a uma constante
X\u2032\u2032(x)
X(x)
= \u2212
Y\u2032\u2032(y)
Y(y)
= \u3bb.
Obtemos enta\u2dco duas equac¸o\u2dces diferenciais ordina´rias com condic¸o\u2dces de fronteira
{
X\u2032\u2032(x)\u2212 \u3bbX(x) = 0, X(0) = 0; X(a) = 0
Y\u2032\u2032(y) + \u3bbY(y) = 0, Y(y) e´ limitada para y > 0.
A primeira equac¸a\u2dco com as condic¸o\u2dces de fronteira tem soluc¸a\u2dco na\u2dco nula somente se
\u3bb = \u2212n
2pi2
a2
, para n = 1, 2, 3, . . . e neste caso as soluc¸o\u2dces fundamentais sa\u2dco
Xn(x) = sen
npix
a
, n = 1, 2, 3, . . .
Assim a segunda equac¸a\u2dco diferencial com a condic¸a\u2dco de Y(y) ser limitada, para y > 0,
tem soluc¸o\u2dces fundamentais
Yn(y) = e
\u2212
npiy
a
3
Logo o problema formado pela equac¸a\u2dco diferencial parcial e as condic¸o\u2dces de fronteira
u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, para y > 0, com a condic¸a\u2dco de u(x, y) ser limitada tem
soluc¸o\u2dces fundamentais
un(x, y) = Xn(x)Yn(y) = sen
npix
a
e\u2212
npiy
a
Vamos supor que a soluc¸a\u2dco seja a se´rie
u(x, y) =
\u221e
\u2211
n=1
cnun(x, y) =
\u221e
\u2211
n=1
cn sen
npix
a
e\u2212
npiy
a . (1)
Mas para satisfazer a condic¸a\u2dco inicial u(x, 0) = f (x), temos que ter
f (x) =
\u221e
\u2211
n=1
cn sen
npix
a
.
Assim se a func¸a\u2dco f (x) e´ cont\u131´nua por partes com sua derivada tambe´m cont\u131´nua
por partes, enta\u2dco os coeficientes sa\u2dco dados por
cn =
2
a
\u222b a
0
f (x) sen
npix
a
dx, n = 1, 2, 3 . . . (2)
Deixamos como exerc\u131´cio para o leitor a verificac¸a\u2dco de que u(x, y) dada por (1) com
os coeficientes dados por (2) realmente e´ a soluc¸a\u2dco do problema de Dirichlet.
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Exerc\u131´cios
1. Resolva o problema de encontrar a temperatura estaciona´ria em cada ponto de
uma faixa semi-infinita, que e´ isolada nas laterais, sendo conhecida a temperatura
em uma extremidade da faixa. Ou seja, resolva o problema de valores de fronteira
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u22022u
\u2202x2
+
\u22022u
\u2202y2
= 0, y > 0, 0 < x < a,
u(x, 0) = f (x), 0 < x < a, |u(x, y)| \u2264 M, para y > 0, 0 < x < a,
\u2202u
\u2202x
(0, y) = 0,
\u2202u
\u2202x
(a, y) = 0, y > 0.
Se a temperatura em uma extremidade da faixa e´ constante, f (x) = T0, para
0 < x < a, qual e´ a temperatura estaciona´ria em qualquer ponto da faixa, u(x, y)?
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Respostas dos Exerc\u131´cios
1. Vamos procurar uma soluc¸a\u2dco na forma de um produto de uma func¸a\u2dco de x por uma func¸a\u2dco de y, ou seja,
u(x, y) = X(x)Y(y)
Derivando e substituindo-se na equac¸a\u2dco obtemos
X\u2032\u2032(x)Y(y) + X(x)Y\u2032\u2032(y) = 0.
Dividindo-se por X(x)Y(y) obtemos
X\u2032\u2032(x)
X(x)
= \u2212
Y\u2032\u2032(y)
Y(y)
.
O primeiro membro depende apenas de x, enquanto o segundo depende apenas de y. Isto so´ e´ poss\u131´vel se eles forem
iguais a uma constante
X\u2032\u2032(x)
X(x)
= \u2212
Y\u2032\u2032(y)
Y(y)
= \u3bb.
Obtemos enta\u2dco duas equac¸o\u2dces diferenciais ordina´rias com condic¸o\u2dces de fronteira
{
X\u2032\u2032(x)\u2212 \u3bbX(x) = 0, X\u2032(0) = 0; X\u2032(a) = 0
Y\u2032\u2032(y) + \u3bbY(y) = 0, Y(y) e´ limitada para y > 0.
A primeira equac¸a\u2dco com as condic¸o\u2dces de fronteira tem soluc¸a\u2dco na\u2dco nula somente se \u3bb = \u2212 n
2pi2
a2
, para n = 0, 1, 2, 3, . . . e
neste caso as soluc¸o\u2dces fundamentais sa\u2dco
Xn(x) = cos
npix
a
, n = 0, 1, 2, 3, . . .
Assim a segunda equac¸a\u2dco diferencial com a condic¸a\u2dco de Y(y) ser limitada para y > 0, tem soluc¸o\u2dces fundamentais
Yn(y) = e
\u2212
npiy
a , n = 0, 1, 2, 3, . . .
Logo o problema formado pela equac¸a\u2dco diferencial parcial e as condic¸o\u2dces de fronteira
\u2202u
\u2202x
(0, y) = 0,
\u2202u
\u2202x
(a, y) = 0, com a
condic¸a\u2dco de u(x, y) ser limitada, para y > 0, tem soluc¸o\u2dces fundamentais
un(x, y) = Xn(x)Yn(y) = cos
npix
a
e\u2212
npiy
a , n = 0, 1, 2, 3, . . .
Vamos supor que a soluc¸a\u2dco seja a se´rie
u(x, y) = c0 +
\u221e
\u2211
n=1
cnun(x, y) = c0 +
\u221e
\u2211
n=1
cn cos
npix
a
e\u2212
npiy
a .
Mas para satisfazer a condic¸a\u2dco inicial u(x, 0) = f (x), temos que ter
f (x) = c0 +
\u221e
\u2211
n=1
cn cos
npix
a
.
Assim se a func¸a\u2dco f (x) e´ cont\u131´nua por partes com sua derivada tambe´m cont\u131´nua por partes, enta\u2dco os coeficientes sa\u2dco
dados por
c0 =
1
a
\u222b a
0
f (x)dx, cn =
2
a
\u222b a
0
f (x) cos
npix
a
dx, n = 1, 2, 3 . . .
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