Experimento de interferência e difração

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MINISTÉRIO DA DEFESA
EXÉRCITO BRASILEIRO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
PROGRAMA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA
SEÇÃO DE ENSINO BÁSICO (SE/1)
FÍSICA EXPERIMENTAL III
Interferência e Difração
Professor: Gerson Bazo Costamilan
2º Ano - Turma A
1◦ Ten Antonio Marcos Ferreira Neto
Asp R/2 Mateus Lima Silveira
Asp R/2 Ismael Ávila Vasconcelos
Al Vinı́cius Magalhães
Rio de Janeiro
2021
Sumário
1 Resumo 3
2 Introdução 3
2.1 Interferência de uma onda eletromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Difração de uma onda eletromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Fenda Única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Rede de Difração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.5 Experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Material utilizado e procedimento experimental 5
3.1 Material utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Procedimento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2.1 Interferência - Determinação do comprimento de onda . . . . . . 6
3.2.2 Verificação da densidade de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.3 Verificação da largura da fenda única . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.4 Determinação da espessura do fio de cabelo . . . . . . . . . . . 7
4 Resultados e discussões 7
4.1 Interferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.1.1 Determinação do comprimento de onda . . . . . . . . . . . . . . 7
4.1.2 Verificação da densidade de linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Difração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.1 Verificação da largura da fenda única . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.2 Determinação da espessura do fio de cabelo . . . . . . . . . . . 12
5 Conclusão 13
1 Resumo
Este trabalho apresenta uma análise da difração e interferência da luz. Seu
objetivo é comparar os resultados obtidos na prática com o preconizado no modelo
teórico. Para isso, foram analisados o vı́deo do experimento e os dados apresenta-
dos, de forma que fossem utilizados nos cálculos necessários, levando em conta os
possı́veis erros intrı́nsecos e, a partir disso, comparou-se com a literatura teórica. Ao
fim, percebeu-se que os valores encontrados diferem em muito pouco do previsto, de
forma que demonstram a coerencia da teoria e de sua aplicação.
Palavras chave: Interferência, Difração e Rede.
2 Introdução
Para entendermos melhor o experimento em questão devemos assimilar alguns
conceitos importantes, são eles: Interferência de uma onda eletromagnética, Difração,
Fenda Única e Rede de Difração.
2.1 Interferência de uma onda eletromagnética
Consiste no encontro de duas ou mais ondas eletromagnéticas em um mesmo
ponto do espaço e é regido pelo princı́pio da Superposição. Podemos dividir o pro-
cesso em dois casos:
• Interferência Construtiva: quando os máximos das ondas coincidem, ou seja,
estão em fase, a amplitude da onda resultante é igual a soma das amplitudes
das duas ondas; e
• Interferência Destrutiva: quando o máximo de uma onda coincide com o mı́nimo
da outra, ou seja, estão fora de fase, amplitude da onda resultante é igual a
diferança das amplitudes das duas ondas.
2.2 Difração de uma onda eletromagnética
É o fenômeno no qual uma onda contorna um obstáculo (barreiras ou fendas),
sendo necessário que a dimensão desses obstáculos se compare à ordem de gran-
deza do comprimento da onda. Após a onda atravessar tal obstáculo ocorre uma
mundança de coportamento produzindo novas ondas cirulares que seguem o padrão
de distrubuição espacial caracterizado por interferências construtivas e destrutivas. A
figura a seguir, embora não seja uma onda eletromagnética, ilustra esse fenômeno.
3
Figura 1: Difração de onda mecânica.
2.3 Fenda Única
Agora iremos verificar o comportamento de uma onda eletromagnética ao atra-
vessar uma fenda única. Submetendo uma onda eletromagnética de comprimento
lambda e uma fenda de largura b.
Figura 2: Difração de Fenda Única
Assim, a distribuição de intensidade no anteparo é dada por
I = I0
[
sen(πb sen θ/λ)
πb sen θ/λ
]2
conforme a teoria.
2.4 Rede de Difração
É o conjunto de várias fendas (de mesmo comprimento) igualmente espaçadas
de forma que o comportamento da onda eletromagnética ao passar por essa rede se
difere da Fenda Única. Analisando um conjunto com N fendas, cuja distância entre
elas é igual a a e suas larguras iguais a b:
A teoria fornece expressão que relaciona a intensidade da onda, o comprimento
de onda, o comprimento da fenda, a distância entre as fendas e o ângulo. Além disso,
4
Figura 3: Rede de difração.
nota-se que a intensidade de uma Fenda Única funciona como I0 para interferência de
N fontes puntiformes, isto é, há composição dos fenômenos.
I = I0
[
sen(Nπa sen θ/λ)
sen(πa sen θ/λ
]2 [
sen(πb sen θ/λ)
πb sen θ/λ
]2
Conforme a teoria.
2.5 Experimentos
O experimento pode ser dividido em dois casos. No primeiro, uma fonte de luz
é submetida a uma Rede de Difração e através das equações acima citadas conse-
guimos achar uma relação para obtermos o comprimento de onda, já que todas as
outras variáveis nos são fornecidas. O segundo, notamos uma dependência do pri-
meiro resultado, para que se ao aplicar a fórmula da Fenda Única, já tenhamos os
comprimentos de onda e posteriormente os usemos para obter a espessura de um fio
de cabelo.
3 Material utilizado e procedimento experimental
3.1 Material utilizado
1. Laser vermelho
2. Laser verde
3. Laser violeta
4. Rede de difração com 300 linhas por milı́metro
5. Rede de difração com 100 linhas por milı́metro
6. Fio de cabelo
7. Aparato com fenda única com 0,1mm de largura
5
8. Régua para medir as distâncias
3.2 Procedimento experimental
Foram realizados 4 experimentos diferentes. Sua estrutura segue a da figura
abaixo, onde o aparato varia desde as redes de difração, àplaca de fenda única e por
fim ao fio decabelo esticado na vertical:
Figura 4: Configuração do equipamento
3.2.1 Interferência - Determinação do comprimento de onda
Em um primeiro momento, a rede de difração com 300 linhas por milı́metro
foi colocada a uma distância de 103,3 cm do anteparo e , um após o outro, os lasers
foram sendo difratados pela rede, de forma que a distância entre os pontos de máxima
intensidade de difração pudesse ser medida. Tendo sido obtida a distância entre o
máximo central e os máximos secundários com o auxı́lio de uma régua, foi utilizada a
equação:
tg θ =
d
103,3
Para descobrir o θ equivalente a distância entre o máximo principal e o se-
cundário. Utilizou-se a equação de interferência:
1
300
· sen θ = m · λ
Para calcular o comprimento de onda de cada cor.
6
3.2.2 Verificação da densidade de linhas
Posteriormente, a rede difração foi substituı́da por outra de 100 linhas por milı́metro
e, então, foram medidas as distâncias entre os máximos principal e secundário. Com
base nos comprimentos de onda encontrados no primeiro experimento e nas equações
tg θ =
d
103,3
1
a
· sen θ = m · λ
Essa segunda etapa foi utilizada para verificar se o número de linhas por milı́metro era
realmente o esperado (100).
3.2.3 Verificação da largura da fenda única
Na terceira etapa a rede de difração foi substituı́da por uma fenda única de
largura 0,1mm e a distância entre a fenda e a parede foi alterada para 187,8 cm.
Foram medidas as distâncias entre os mı́nimos e o máximo central para as 3 cores
e, então, com base nos comprimentos de onda encontrados na primeira etapa, foi
verificado se o resultado encontrado para o diâmetro da fenda era realmente o valor
esperado utilizando – se das equações:
tg θ =
d
187, 8
d · sen θ = m · λ
3.2.4 Determinaçãoda espessura do fio de cabelo
Na última etapa foi utilizado um fio de cabelo para a difração e, então, aferindo-
se as distâncias entre os pontos de mı́nimo da figura de interferência, foi possı́vel
calcular-se a espessura do cabelo com equações análogas a da terceira etapa.
4 Resultados e discussões
4.1 Interferência
4.1.1 Determinação do comprimento de onda
A partir do comprimento medido da distância entre os dois primeiros máximos
secundários para o sistema da rede de difração com 300 linhas/mm, foi possı́vel obter,
7
para cada laser, um valor para distância (d) entre máximo central e o primeiro ponto
brilhante ao lado desse máximo . Sabendo que d = Comprimento medido
2
, temos:
Cor Comprimento medido (mm) d (mm)
Vermelho 394 197
Verde 329 164,5
Violeta 250 125
Tabela 1: Dados obtidos para medição da distância entre dois máximos consecutivos para a
primeira rede de difração (300 linhas/mm).
Dessa forma, foi possı́vel obter o comprimento de onda de cada cor, por meio
da distância da rede ao anteparo (D = 1033mm), do espaçamento entre as fendas
da rede de difração (a = 1/300 = 0,003mm) e do ângulo entre o máximo central e o
primeiro máximo secundário (θ), dado por:
a sen θ = λ
sen θ =
d√
D2 + d2
⇒ λ = a · d√
D2 + d2
Assim, chegamos nos seguintes valores de comprimento de onda:
Cor λ (nm)
Vermelho 624
Verde 524
Violeta 400
Tabela 2: Comprimento de onda obtido para cada cor do laser no experimento de
interferência para rede de difração com 300 linhas/mm.
4.1.2 Verificação da densidade de linhas
Nessa parte do experimento, foi possı́vel obter, para cada laser, um valor para
distância (d) entre máximo central e o primeiro máximo secundário da mesma maneira
que o experimento anterior. No entanto, esse novo sistema é composto por uma rede
de difração com 100 linhas/mm, valor esse que será averiguado nessa etapa.
8
Cor Comprimento medido (mm) d (mm)
Vermelho 131 65,5
Verde 111 55,5
Violeta 84 42
Tabela 3: Dados obtidos para medição da distância entre dois máximos consecutivos para a
segunda rede de difração (100 linhas/mm).
Dessa forma, foi possı́vel obter o espaçamento entre as fendas da rede de
difração (a), por meio da distância da rede ao anteparo (D = 1033 mm), do compri-
mento de onda de cada cor obtido no experimento anterior (Tabela 2) e do ângulo entre
o máximo central e o primeiro ponto brilhante ao lado desse máximo (θ), da seguinte
maneira:
a sen θ = λ
sen θ = d√
D2+d2
⇒ a = λ ·
√
D2 + d2
d
Além disso, sabemos que N(Nº de linhas/mm) = 1
a
, possibilitando chegar nos
seguintes resultados:
Cor a (mm) N
Vermelho 0,00985 101,54
Verde 0,00976 102,49
Violeta 0,00985 101,54
Tabela 4: Espaçamento entre as fendas e número de linhas por milı́metro para cada cor do
laser obtidos na segunda rede de difração.
Por meio desses resultados, foi possı́vel chegar no seguinte gráfico:
3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
·10−4
4
5
6
7
·10−2
Dados Experimentais
sen θ = 101,7λ R2 = 1
9
Dessa maneira, a partir desse gráfico, é possı́vel analisar que o dado experi-
mento com a segunda rede de difração geraram três resultados que variaram muito
pouco, visto que o fator R é igual a 1.
No entanto, ao analisar o coeficiente angular da reta dada no gráfico, que nos
dá o valor de N (sen θ = Nλ), houve uma considerável divergência com o valor do
número de fendas por milı́metro dado pelo fabricante do material (N = 101,7). Esse
valor difere da referência em 1,7, e pode ter-se dado por alguns fatores.
O fator experimental mais relevante que pode ter influenciado nessa discrepância
seria as medições de distâncias, tanto da distância ao anteparo como da distância en-
tre os máximos.
Além disso, o valor de referência dado pelo fabricante pode conter uma certa
margem de erro que pode ser razoavelmente considerado dentro do valor encontrado
no experimento.
Por fim, utilizando o mesmo procedimento do experimento anterior para encon-
trar os valores do comprimento de onda, porém nesse momento utilizando o valor de
100 linhas/mm, chegamos nos seguintes resultados.
Cor
λ (nm)
300 l/mm
λ (nm)
100 l/mm
∆%
Vermelho 624 633 1,3
Verde 524 536 2,3
Violeta 400 406 1,5
Tabela 5: Valores encontrados para os comprimentos de onda para as duas redes de
difração.
Com esses dados, chegamos à valores muito próximos de comprimentos de
onda (diferença menor que 3%), o que reforça a validade do experimento.
4.2 Difração
4.2.1 Verificação da largura da fenda única
Na difração da luz de cores vermelho, verde e violeta, a posição dos mı́nimos de
ordem n permitiu determinar o seno do ângulo correspondente através das fórmulas:
sen θ =
tg θ√
1 + tg2 θ
tg θn =
xn
D
⇒ sen θn =
xn√
D2 + x2n
Onde xn é a distância do mı́nimo ao ponto médio do máximo central e D = 1878 mm
a distância da fenda ao anteparo.
10
Cor Vermelho Verde Violeta
n xn (mm) sen θn xn (mm) sen θn xn (mm) sen θn
1 12 0,006390 10 0,005325 7,5 0,003994
2 23,5 0,012512 21 0,011181 17 0,009052
3 37,5 0,019964 29,5 0,015706 24 0,012779
4 - - 41 0,021827 31,5 0,016771
Tabela 6: Posição dos mı́nimos de intensidade luminosa observados.
Para a difração, os mı́nimos ocorrem quando
b sen θn = nλ⇒ sen θn =
λ
b
n
com n 6= 0 e b largura da fenda. Ou seja, quando o argumento do seno na distribuição:
I = I0
[
sen(πb sen θ/λ)
πb sen θ/λ
]2
é tal que a intensidade é nula. Nesse caso, para cada cor, λ/b é constante. A qual
pode ser divisada por regressões lineares de modelo y = cx.
1 2 3 4 5
1
2
3
·10−2
sen θn = 0,006522 n R
2 = 0,995
sen θn = 0,005404 n R
2 = 0,997
sen θn = 0,004251 n R
2 = 0,995
Utilizando os comprimentos de onda obtidos na Tabela 2 para os feixes luminosos,
obtemos Observe que os valores são todos próximos ao valor teórico da largura da
Cor λ/b (nm/nm) λ (nm) b (mm)
Vermelho 0,006522 624 0,096
Verde 0,005404 524 0,097
Violeta 0,004251 400 0,094
Tabela 7: Análise da largura da fenda baseada no intervalo de comprimento de onda das
cores.
fenda, b = 0,1 mm, com diferença relativa de no máximo 6%. No caso da luz vermelha,
11
o erro pode ter sido potencializado pelo fato de termos conseguido 3 amostras de
dados apenas em comparação com as 4 amostras utilizadas para as outras duas
cores. Observe que D = 1878 mm >> 50 mm > xn, portanto
λ
b
n = sen θn =
xn√
D2 + x2n
≈ xn
D
De modo que, quanto maior o comprimento de onda, maior é x4, o qual nesse caso
manteve-se fora do intervalo métrico observável.
Para a luz verde, o valor teórico aproxima-se do experimental, tornando a acen-
tuar as distinções quando se utiliza luz violeta. Isto pode ser explicado tendo em vista
que nas fotografias apresentadas, a distribuição violeta apresenta os máximos mais
difusos e esmaecidos, dificultando a determinação da posição de mı́nima intensidade.
O quê é caracterizado pelas diversas distribuições de intensidade para cada compri-
mento de onda. Ao variar λ a intensidade percentual no n-ésimo máximo, varia:
I(n) =
{∫
n
I0
[
sen(Cx/λ)
Cx/λ
]2
dx
}
÷
{∫
R
I0
[
sen(Cx/λ)
Cx/λ
]2
dx
}
Por estes motivos, o feixe de luz verde adequa-se melhor à medição de largura da
fenda.
4.2.2 Determinação da espessura do fio de cabelo
Aplica-se o mesmo algoritmo da seção anterior, tomando a espessura do cabelo
por largura da fenda e a cor do feixe luminoso como verde, o qual gera resultado mais
preciso, como mostrado na seção anterior. De modo que, Como é de se esperar
n xn (mm) sen θn λ/b (nm/nm)
1 13 0,006922 0,006922
2 29 0,01544 0,007720
3 43 0,02289 0,007630
4 57,5 0,03060 0,007651
5 73 0,03884 0,007768
6 88 0,04681 0,007801
7 102,5 0,054498 0,007785
Tabela 8: Posição dos mı́nimos de intensidade luminosa da difração.
o primeiro mı́nimo cuja medição é prejudicada pela luminosidade do máximo central
segundo o critério de Chauvenet pode ser descartado, uma vez que para n=1 a razão
entre o desvio e o desvio padrão ∣∣∣∣d1σ
∣∣∣∣ = 2,32
12
tem valor maiorque o critério permite para 7 amostras, 1,80. O que não se repete se
considerarmos apenas n = 2, . . . , 7. Por fim, a reta regressora é dada por:
2 4 6 8
2
4
6
·10−2
sen θn = 0,007759 n
R2 = 0,9996
Utilizando o comprimento de onda determinado na Tabela 2 e o valor de λ/b corres-
pondente ao coeficiente angular da reta regressora, temos que:
λ
b
= 0,007759⇒ b = 524 nm
0,007759
⇒ b = 67,5 pm
Isto é, a espessura do fio de cabelo é 67,5 pm.
5 Conclusão
Contemplada a análise, percebe-se que os resultados dos experimentos cor-
responderam bem aos valores esperados. Os comprimentos de onda encontrados
estavam dentro de seus respectivos espectros de cores já conhecidos e as espes-
suras calculadas foram muito próximas daquelas fornecidas. Contudo, as eventuais
imprecisões nas medidas do tamanho dos máximos (aferidas por foto), a propagação
de erro, os erros de observação e até imperfeições nos instrumentos sem dúvida foram
bastante diminuı́dos neste caso.
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