AD1-MB-2015-1-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Matemática Básica 2015/1 AD1- Gabarito 
 
1ª Questão: [2,0] Considere os conjuntos: 
𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ ∶ 3 ≤ 𝑥 < 8 e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ ∶ −5 < 𝑥 < 10}. 
a) Escreva por listagem o conjunto B e o conjunto 𝐴 ∩ 𝐵. 
b) Marque na reta numérica o conjunto 𝐴 ∪ 𝐵. 
c) Para quais valores de x temos que 2𝑥 + 1 ∈ 𝐴? 
Solução: 
a) Temos que 𝐵 = {−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Note que nem−5, nem 
10 pertencem ao conjunto. 
Para que um elemento 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵, ele tem que ser um número inteiro, já que é um 
elemento do conjunto B, e deve satisfazer as condições 3 ≤ 𝑥 < 8 e −5 < 𝑥 < 10. 
Assim temos que 𝐴 ∩ 𝐵 = 3, 4, 5, 6, 7 
b) 
 
 
c) Para que 2𝑥 + 1 pertença ao conjunto A, ele deve satisfazer que 3 ≤ 2𝑥 + 1 < 8. Somando 
−1 de cada membro das desigualdades temos que 2 = 3 − 1 ≤ 2𝑥 + 1 − 1 = 2𝑥 < 8 − 1 = 7, 
e dividindo por 2, temos que 1 ≤ 𝑥 <
7
2
= 3,5. Na notação de intervalo a resposta é [1, 
7
2
 . 
2ª Questão: [2,0] Calcule o valor das seguintes expressões, mostrando o desenvolvimento das 
contas 
a) (−4)2(
2
3
)−2 + 18 ∶ 5 − −5 × (−3) 
b) 0,25 × 0,4 +
2
5
−
3
8
× −2 
c) (
1
100
)−2 × 0,003 + (−8) × 5 ∶ (−2) 
d) 111111 − 99999 × 2 −3 − 1111 + 52: 5−2 
Solução: 
a) −4 2 
2
3
 
−2
+ 18 ∶ 5— 5 × −3 = 16 
3
2
 
2
+
18
5
− 15 = 16
9
4
+
18
5
− 15=36 +
18
5
− 15 
= 21 +
18
5
=
123
5
 
 
b) 0,25 × 0,4 +
2
5
−
3
8
× −2 =
25
100
 
4
10
+
2
5
+
3
4
=
1
10
+
2
5
+
3
4
=
2+8+15
20
=
25
20
=
5
4
 
 
c) (
1
100
)−2 × 0,003 + −8 × 5 ∶ −2 = 1002
3
1000
+ 20 =
30000
1000
+ 20 = 30 + 20 = 50. 
 
 
d) 11111 − 99999 × 2 −3 + 1111 + 52: 5−2 = −88888 × (
1
2
)3 − 1111 +
25
5−2
=
−11111 + 1111 +
52
5−2
= −10000 + 54 = −10000 + 625 = −9375 
 
3ª Questão: [2,0] Considere a expressão 
5𝑥−1
15𝑥−1
 
a) Para quais valores de x a expressão não está bem definida? 
b) Determine o valor numérico da expressão para 𝑥 = −0,3 
c) Para quais valores de x a expressão vale 
5
3
 
d) Represente na reta numérica os valores encontrados nos itens (b) e (c). 
 
Solução: 
a) Para que a expressão 
5𝑥−1
15𝑥−1
 esteja bem definida, devemos ter que o denominador 15𝑥 − 1 
não pode ser nulo, desta forma temos que 𝑥 ≠
1
15
. 
b) Substituindo na expressão x por −0,3, temos que 
5×(−0,3)−1
15×(−0,3)−1
= 
−1,5−1
−4,5−1
=
−2,5
−5,5
=
25
10
55
10
=
25
55
=
5
11
. 
c) Queremos encontrar x tal que 
5𝑥−1
15𝑥−1
= 
5
3
 , ou seja que 3 5𝑥 − 1 = 5 15𝑥 − 1 . 
 
Logo 15𝑥 − 75𝑥 = −2 ⟺ −60𝑥 = −2 ⟺ 𝑥 =
1
30
. 
 d) 
 
 
 
4ª Questão: [2,0] João e Maria estão jogando um jogo de tabuleiro e têm notas de $7 e $13. 
a) Usando essas notas, João conseguiria pagar a Maria a quantia de $86? Se a resposta for 
afirmativa, usando quantas notas de cada valor? 
b) Conseguiria pagar $45? Se a resposta for afirmativa, usando quantas notas de cada valor? 
c) Descreva por listagem o conjunto A dado por: 
 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ: 0 ≤ 𝑥 ≤ 50 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 é 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑟 $𝑥 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑠} 
Solução: 
 
a) Como o quociente de 86 dividido por 13 é 6 e o resto 8, temos que João pode usar no 
máximo 6 notas de 13. Vamos analisar cada possibilidade: 
 Se João não utilizasse nenhuma nota de $13, não conseguiria pagar os $86, pois 86 não 
é um múltiplo de 7. 
 Se João utilizasse uma nota de $13, não conseguiria pagar os $86, pois 86 − 13 = 73 
que não é um múltiplo de 7. 
 Se João utilizasse duas notas de $13, não conseguiria pagar os $86, pois 86 − 26 = 60 
que não é um múltiplo de 7. 
 Se João utilizasse tres notas de $13, não conseguiria pagar os $86, pois 86 − 39 = 47 
que não é um múltiplo de 7. 
 Se João utilizasse quatro notas de $13, não conseguiria pagar os $86, pois 86 − 52 =
34 que não é um múltiplo de 7. 
 Se João utilizasse cinco notas de $13, conseguiria pagar os $86, pois 86 − 65 = 21 
que é um múltiplo de 7. 
 Logo João consegue pagar os $86 usando 5 notas de $13 e 3 notas de $7. 
b) Para o caso em que a quantia a ser paga agora é de $45, temos que fazer um raciocínio 
análogo. Neste caso como 45 = 3 × 13 + 6, temos que no máximo ele poderá utilizar 3 
notas de $13. Vamos analisar cada possibilidade: 
 Se João não utilizasse nenhuma nota de $13, não conseguiria pagar os $45, pois 45 não é 
um múltiplo de 7. 
 Se João utilizasse uma nota de $13, não conseguiria pagar os $45, pois 45 − 13 = 32 
que não é um múltiplo de 7. 
 Se João utilizasse duas notas de $13, não conseguiria pagar os $45, pois 45 − 26 = 19 
que não é um múltiplo de 7. 
 Se João utilizasse tres notas de $13, não conseguiria pagar os $45, pois 45 − 39 = 6 que 
não é um múltiplo de 7. 
Temos que João não conseguiria pagar os $45 utilizando notas de $7 e $13. 
c) Como estamos interessados em quais quantias iguais ou menores que $50 conseguiríamos 
pagar, vemos que o número de notas de $13 utilizadas não pode ultrapassar 3. 
 Se não utilizássemos nenhuma nota de $13, poderíamos pagar $7, $14, $21, $28, $35, 
$42, $49, já que só podemos utilizar as notas de $7. 
 Se utilizássemos uma nota de $13, poderíamos pagar $13, $20, $27, $34, $41, $48. 
 Se utilizássemos duas notas de $13, poderíamos pagar $26, $33, $40, $47. 
 Se utilizássemos tres notas de $13, poderíamos pagar $39, $46. 
 
𝐴 = {7, 13, 14, 20, 21, 26, 27, 28, 33, 34, 35, 39,40, 41, 42, 46,47, 48, 49} 
 
 
5ª Questão: [2,0] Uma pesquisa entrevistou 150 pessoas. 
a) Quantas pessoas responderam a primeira pergunta sabendo que 20% não responderam 
essa pergunta? 
b) Dos que responderam a primeira pergunta, 40% responderam afirmativamente. Que 
porcentagem de entrevistados responderam afirmativamente a primeira pergunta? 
Solução: 
a) Como 20% não responderam a primeira pergunta, temos que 80% responderam, 
assim 150 × 80% = 150 × 0,8 = 120 pessoas responderam a primeira pergunta. 
b) Temos que destas 120 pessoas, 40%, ou seja, 120 × 40% = 120 × 0,4 = 48. 
Como 
48
150
= 0,32, temos que 32% do total de pessoas entrevistadas, respondeu afirmativamente 
a primeira pergunta.