Geometria Analítica - Lista 3

Prévia do material em texto

-
UFF - IME - GGM
Disciplinas: GGM 127/125/160
3a Lista de Exerćıcios (2020)
1. Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta r, fazendo um esboço da mesma nos casos em que:
(a) r passa pelos pontos (2, 1) e (3, 4).
(b) r é perpendicular ao vetor (1, 3) e passa pelo ponto (1, 0).
(c) r é paralela ao vetor (1, 3) e passa pelo ponto (1,−1).
2. Determine a equação cartesiana da reta s em cada caso:
(a) s passa pelo ponto (1, 3) e é paralela à reta
{
x = 2t
y = 1− 2t , t ∈ R.
(b) s é perpendicular à reta y = 3x+ 1 e passa pelo ponto (−3, 1).
(c) s passa pelo ponto (1, 3) e é perpendicular àreta
{
x = 2t
y = 1− 2t , t ∈ R.
3. Determine as equações paramétricas da reta s em cada caso:
(a) s passa pelo ponto (1, 2) e é perpendicular à reta 2x− 5y = 2.
(b) s é paralela à reta 2x+ 5y = 1 e passa pelo ponto (1, 2).
4. Encontre a interseção das retas abaixos:
(a) r : 2x+ 6y = −6 e s : {(t+ 2, 1− 3t); t ∈ R}.
(b) r : {(3t+ 2, 2t− 4); t ∈ R} e s : {(−t− 5, 1 + 2t); t ∈ R}.
5. Dadas as retas r1 = {(3t+ 1,−2t+ 2), t ∈ R}; r2 = {(−6t− 2, 4t+ 4), t ∈ R} e r3 = {(−3t+ 2, 2t), t ∈ R}, diga
quais retas coincidem.
6. Determine a e b de modo que
{
x = at+ 1
y = t+ b
, t ∈ R, seja uma equação paramétrica da reta y = 2x+ 3.
7. Considere os pontos A = (5, 0), B = (3, 4) e a reta r : x + 4y = 5. Determine C ∈ r de modo que AB e AC
sejam lados de um triângulo de área 7.
8. Determine, com um único parâmetro e dando seu domı́nio de variação, uma equação que descreva a famı́lia de
todas as retas r que têm a seguinte propriedade: o triângulo formado pela reta r e pelos eixos coordenados tem
área 2 e está situado no primeiro quadrante.
9. Considere as retas
r :
{
x = 3t+ 1
y = −2t+ 2 , t ∈ R. r1 : 2x− 5y = 3. r2 :
{
x = −6t− 2
y = 4t+ 4
, t ∈ R. r3 :
{
x = −3t+ 2
y = 2t
, t ∈ R.
Determine a posição relativa entre a reta r e cada uma das retas r1, r2 e r3, calculando, quando for o caso, a
intersecção, o ângulo e a distância entre as retas.
10. Determine as posśıveis posições relativas das retas 2y = ax + b e y = 2x + a dependendo dos valores dos
parâmetros a, b ∈ R.
11. Mostre que o ponto P = (3,−2) é equidistante das retas r : x− 3y − 3 = 0 e s :
{
x = 9t
y = −1− 13t , t ∈ R.
12. A distância da reta 4x− 3y + 1 = 0 ao ponto P = (3, α) é 4. Calcule o valor de α.
13. Considere os pontosA = (a1, b1) eB = (a2, b2) distintos. Mostre que o conjunto S = {P ∈ R2; d(P,A) = d(P,B)}
é a reta perppendicular ao vetor
−−→
AB que passa pelo ponto médio do segmento AB. Essa reta é chamada mediatriz
do segmento AB.
14. Determine a mediatriz do segmento AB, onde A = (−1, 3) e B = (3, 5) e as equações dos ćırculos de raio igual
a
√
10 que passam pelos pontos A e B.
1
15. Qual é a equação do ćırculo que passa por A = (1, 2), B = (3, 4) e tem o centro sobre o eixo OY ?
16. A tangente, no ponto P , ao ćırculo de centro em O e raio 3 é paralela à reta y = −2x + 1. Quais são as
coordenadas de P? E se o raio do ćırculo fosse 5?
17. Determine a equação do ćırculo circunscrito ao triângulo ABC, onde A = (2, 4), B = (3, 1) e C = (5, 3).
18. Determine a equação do ćırculo que passa pelos pontos A = (2, 3) e B = (4, 1) e é tangente à reta paralela ao
vetor −→u = (3,−2) no ponto B.
19. Encontre as retas que passam pelo ponto P = (2, 7) e tangenciam o ćırculo de centro C = (3, 0) e raio r = 3.
20. Considere o sistema não linear {
y = 2x+ 1
(x− 2)2 + (y − 1)2 = r,
onde r ∈ R. Faça uma análise do número de soluções desse sistema em função do parâmetro r.
21. Considere as retas r = {(−t + 3, 2t − 5); t ∈ R} e s : 3x − y = 4. Determine o raio, o centro e a equação do
ćırculo C tal que r é tangente a C no ponto A = (1,−1) e s
⋂
C consiste de dois pontos que formam uma corda
de comprimento
√
10 totalmente contida no semiplano x ≥ 1 (sug: verifique que A ∈ s).
22. Determine o lugar geométrico dos pontos cuja distância à reta 4x − 3y + 12 = 0 é duas vezes sua distância ao
eixo OX.
23. Encontre as retas r1 e r2 paralelas à reta r = {(2t+ 1,−t+ 2); t ∈ R} que distam 2
√
5 dessa reta.
24. Determine o conjunto dos pontos equidiatantes das retas r1 : x+ 3y = 3 e r2 : x+ 3y = 1. Encontre também a
equação do ćırculo tangente às retas r1 e r2, cujo centro pertence à reta s : x+ 2y = 1.
25. Os pontos A = (2, 5) e B = (14, 1) são simétricos em relação à uma reta. Determine a equação desta reta.
26. Determine as equações das retas que passam pelo ponto (2,−1) e formam, cada uma, um ângulo de π/3 radianos
com a reta 2x− 3y + 7 = 0.
27. Determine a equação da reflexão da reta r : y = 4x−3 em relação à reta s : y = 2x+1.
28. Considere as retas r1 : x + 2y = 2 e r2 : 2x + y = 4. Encontre
as equação dos ćırculos de raio 3√
5
tangentes às retas r1 e r2,
com centros situados no primeiro quadrante, e os pontos onde os
ćırculos tangenciam a reta r1.
29. O segmento CD é a projeção ortogonal do segmento AB sobre a
reta r : x − y = 2, onde C = (−1,−3). Se o segmento AB está
contido na reta s : x− 2y = 1 e o segmento AB corta a r no seu
ponto médio, determine os pontos A, B e D.
30. Sejam a reta r que passa pelos pontos C = (3, 2) e D = (2, 1) e a reta s paralela ao vetor −→v = (3, 1) que contém o
ponto P = (1, 0). Obtenha os pontos A e B de modo que o segmento CD seja a projeção ortogonal do segmento
AB sobre a reta r, o vetor
−−→
AB seja paralelo ao vetor −→u = (2,−1) e o vetor
−−→
AD seja perpendicular à reta s.
2
31. Seja ABCD um paralelogramo com lado AB sobre a reta r : x + 2y = 1, e uma das diagonais sobre a reta
s : x+y = 2. Se o ponto médio das diagonais é o ponto M = (1, 1) e as diagonais são perpendiculares, determine
os vértices A, B, C e D e a área do paralelogramo.
32. Considere as retas r1 = {(t + 2,−t + 4); t ∈ R} e r2 = {(2t + 1, 3t); t ∈ R}. Determine os vértices do triângulo
ABC retângulo em A de área igual a 10, sabendo que AB ⊂ r1, C ∈ r2, ‖
−→
AC‖ = 10
√
2 e o segmento AB
encontra-se no semiplano x− y > 3.
33. Considere as retas r1 = {(t + 2,−t); t ∈ R}, r2 = {(s, 2s − 3); s ∈ R} e s : 2x + 3y = 4. Encontre os pontos
extremos A e B do segmento AB perpendiculares a s tais que A ∈ r1, B ∈ r2 e ‖
−−→
AB‖ =
√
13.
34. Seja P o paralelogramo ABDC, onde A = (4, 0), AD ⊂ r : x+ 2y = 4, DC ⊂ s : −x+ 3y = 1 e C tem abscissa
positiva. Sabendo que P tem área igual a 10, determine os vértices B,C e D.
35. Encontre os pontos A, B, C e D e a equação da reta r paralela ao vetor −→u = (1, 2) de modo que o segmento
CD seja a projeção ortogonal do segmento AB sobre a reta r e o vetor
−−→
AB seja paralelo ao vetor −→v = (1, 1),
onde A = (3m− 8,−n), B = (2, 1− 2n) e C = (2n,−m), m,n ∈ R.
3
1. (a) Equações paramétricas:
r :
{
x = 2 + t
y = 1 + 3t
, t ∈ R.
A equação cartesiana: r: −3x+ y = −5.
(b) Equações paramétricas:
r :
{
x = 1− 3t
y = t
, t ∈ R.
A equação cartesiana: r: x+ 3y = 1.
(c) Equações paramétricas:
r :
{
x = 1 + t
y = −1 + 3t , t ∈ R.
A equação cartesiana: r: −3x+ y = −4.
2. (a) s: x+ y = 4.
(b) s: x+ 3y = 0.
(c) s: x− y = −2.
3. (a) s :
{
x = 1 + 2t
y = 2− 5t , t ∈ R.
(b) s :
{
x = 1− 5t
y = 2 + 2t
, t ∈ R.
4. (a) (3,−2).
(b) (− 118 ,−
25
4 ).
5. As retas r1 e r2 coincidem.
6. a = 12 e b = 5.
7. C = (1, 1) ou C = (9,−1).
8. y = − 4a2x+
4
a , onde a > 0.
9. r e r1 são concorrentes, a intersecção entre as retas: (
49
16 ,
5
8 ), e o ângulo entre as retas: arccos(
11
√
377
377 ).
r e r2 são coincidentes.
r e r3 são paralelas, a distância entre as retas:
4
√
13
13 .
10. • Quando a 6= 4 e b ∈ R, as duas retas são concorrentes.
• Quando a = 4 e b 6= 8, as duas retas são paralelas.
• Quando a = 4 e b = 8, as duas retas são coincidentes.
11.
12. α = − 73 ou α = 11.
13.
14. A mediatriz do segmento AB é 2x+ y = 6. E as equações dos ćıculos:
x2 + (y − 6)2 = 10 ou (x− 2)2 + (y − 2)2 = 10.
15. x2 + (y − 5)2 = 10.
16. P = ( 6
√
5
5 ,
3
√
5
5 ) ou (−
6
√
5
5 ,−
3
√
5
5 ). E se o raiodo ćırculo fosse 5, P = (2
√
5,
√
5) ou (−2
√
5,−
√
5).
17. (x− 134 )
2 + (y − 114 )
2 = 258 .
18. (x− 8)2 + (y − 7)2 = 52.
19. y − 7 = 7+3
√
41
8 (x− 2) ou y − 7 =
7−3
√
41
8 (x− 2).
20. r > 165 , duas soluções; r =
16
5 , uma solução; r <
16
5 , sem solução.
4
21. O centro (3, 0), o raio
√
5 e a equação do ćırculo: (x− 3)2 + y2 = 5.
22. Duas retas: 4x− 13y + 12 = 0 ou 4x+ 7y + 12 = 0.
23. x+ 2y = 15 ou x+ 2y = −5.
24. x+ 3y = 2. (x+ 1)2 + (y − 1)2 = 110 .
25. 3x− y = 21.
26.
{
x = 2 + ( 32 −
√
3)t
y = −1 + (1 + 3
√
3
2 )t
, t ∈ R. ou
{
x = 2 + ( 32 +
√
3)t
y = −1 + (1− 3
√
3
2 )t
, t ∈ R.
27. −16x+ 13y = 33.
28. (x− 3)2 + (y − 1)2 = 95 . (
12
5 ,−
1
5 ).
29. A = (− 73 ,−
5
3 ), B = (
25
3 ,
11
3 ) e D = (7, 5).
30. A = (1, 4) e B = (−3, 6).
31. A = (3,−1), B = ( 13 ,
1
3 ), C = (−1, 3) e D = (
5
3 ,
5
3 ). E a área do paralelogramo igual a
16
3 .
32. A = (5, 1), B = (6, 0) e C = (−5,−9).
33. A = ( 43 ,
2
3 ), B = (
10
3 ,
11
3 ) ou A = (2, 0) e B = (0,−3).
34. B = (−2,−2), C = (8, 3) e D = (2, 1).
35. A = (4,−3), B = (2,−5), C = (6,−4) e D = ( 245 ,−
32
5 ).
5