ESTRUTURAS DE MADEIRA

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ESTRUTURAS 
 DE 
 MADEIRA 
 
 
 
 
 
 Notas de Aula - 2011/2 
 
 
 Profº. Carlos Henrique Saraiva Raposo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 ÍNDICE 
 
 
1 - PROPRIEDADES FÍSICAS E MECÂNICAS DA MADEIRA 
 
1.1 - Tipos de Madeira de Construção 
1.2 - Estrutura e Crescimento das Madeiras 
1.3 - Propriedades Físicas das Madeiras 
 
2 - MADEIRAS DE CONSTRUÇÃO – PRODUTOS COMERCIAIS 
 
2.1 - Madeira Roliça 
2.2 - Madeira Falquejada 
2.3 - Madeira Serrada 
2.4 - Madeira Laminada e Colada 
2.5 - Madeira Compensada 
 
3 - ENSAIOS DE MADEIRAS – BASE DE CÁLCULO 
 
3.1 - Classificação de Peças Estruturais de Madeira – 
3.2 - Ensaio de Peças Estruturais de Madeira 
3.3 - Tensões Admissíveis Básicas em Peças Estruturais de Madeira Bruta Serrada 
 
4 – DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS TRACIONADAS 
 
4.1 - Critério de calculo 
4.2 - Exercícios 
 
 
5 – DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS COMPRIMIDAS 
 
5.1 - Seções transversais de peças comprimidas 
5.2 - Peças comprimidas de seção simples 
5.3 - Exercícios 
 
6 - DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS FLETIDAS 
 
6.1 - Tipos construtivos 
6.2 - Critérios de cálculo 
 3 
6.3 - Vigas de madeira maciça, serrada ou lavrada 
6.4 - Exercícios 
6.5 - Flambagem lateral de vigas retangulares 
6.6 - Vigas retangulares sujeitas à flexão oblíqua 
 
7 - LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS 
 
7.1 - Tipos de ligações 
7.2 - Critérios de dimensionamento 
7.3 - Pregos 
7.4 - Parafusos 
7.5 - Ligações por entalhes 
 
 
8 - PROJETO DE ESTRUTURAS DE MADEIRA PARA COBERTURA 
 
8.1 - Generalidades 
8.2 - Definição da geometria da estrutura 
8.3 – Cálculo de cargas 
 
9 - DADOS PARA ANTE-PROJETO DE ESTRUTURAS DO TIPO TRELIÇADO 
 
9.1 - Treliças de contorno triangular 
9.2 - Meia tesoura em balanço 
9.3 - Treliças de contorno retangular 
 
10 - ETAPAS PARA ELABORAÇÃO DE PROJETO DE UMA ESTRUTURA DE 
MADEIRA 
 
10.1 - Algumas características de telhas onduladas de fibrocimento 
10.2 - Ações do Vento em Edificações 
 
11 – TABELAS 
 
11.1 - Dimensões de Peças de Madeira Serrada 
11.2 - Bitolas comerciais de pregos com cabeça de aço temperado 
11.3 - Propriedades Mecânicas e Tensões Admissíveis de Algumas Madeiras Brasileiras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
1 – PROPRIEDADES FÍSICAS E MECÂNICAS DA MADEIRA 
 
1.1. TIPOS DE MADEIRA DE CONSTRUÇÃO 
 
As madeiras utilizadas em construção são obtidas de troncos de árvores. Distinguem-se duas 
categorias principais de madeiras: 
 
a) Madeiras duras ou madeiras de lei – provenientes de árvores frondosas, de crescimento lento, 
como peroba, ipê, aroeira, carvalho etc. 
b) Madeiras macias – provenientes em geral das árvores coníferas (com sementes agrupadas em 
forma de cones), de crescimento rápido, como pinheiro-do-paraná e pinheiro-bravo ou pinheirinho, 
pinheiros europeus, norte-americanos etc. 
 
1.2. ESTRUTURA E CRESCIMENTO DAS MADEIRAS 
 
A seção transversal de um tronco de árvore revela as seguintes camadas, de fora para dentro: 
a) Casca – Proteção externa da árvore 
b) Alburno ou branco – camada formada por células vivas que conduzem a seiva das raízes para as 
folhas (não tem interesse comercial); 
c) Cerne – tem a função de sustentar o tronco (parte aproveitada): 
d) Medula – tecido macio 
 
Os troncos das árvores crescem pela adição de anéis em volta da medula. 
 
 Casca 
 
 
 Alburno 
 
 
 
 Cerne 
 
 Medula 
 
 
 
 
1.3 PROPRIEDADES FÍSICAS DAS MADEIRAS 
 
Conhecer as propriedades físicas da madeira é de grande importância porque estas propriedades 
podem influenciar significativamente no desempenho e resistência da madeira utilizada 
estruturalmente. 
Entre as características físicas da madeira, cujo conhecimento é importante para sua utilização como 
material de construção, destacam-se: 
- umidade; 
- densidade; 
- retratibilidade; 
- resistência ao fogo; 
- durabilidade natural. 
 5 
Outro fator a ser considerado na utilização da madeira é o fato de se tratar de um material 
ortotrópico, ou seja, com comportamentos diferentes em relação à direção de crescimento das 
fibras. Devido à orientação das fibras da madeira e à sua forma de crescimento, as propriedades 
variam de acordo com três eixos perpendiculares entre si: longitudinal, radial e tangencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.1 – Umidade. A umidade da madeira tem grande importância sobre as suas propriedades. 
 
O grau de umidade é medido pela relação: 100
0
0 x
P
PPh n −= sendo: 
Pn – peso da madeira com a umidade natural; 
P0 – peso da madeira seca; 
 
A norma brasileira para estruturas de madeira (NBR 7190/1997), apresenta, em seu anexo B, um 
roteiro detalhado para a determinação da umidade de amostras de madeira. 
 
De um modo geral, uma madeira é considerada seca quando aquecida numa estufa (100oC a 105oC) 
permanece com o seu peso constante. 
 
A água é importante para o crescimento e desenvolvimento da árvore, constituindo uma grande 
porção da madeira verde. 
 
Na madeira, a água apresenta-se de duas formas: como água livre contida nas cavidades das células 
(lumens), e como água impregnada contida nas paredes das células. 
 
 
 
 
 
Radial 
Tangencial 
Longitudinal 
 6 
Quando a árvore é cortada, ela tende a perder rapidamente a água livre existente em seu interior 
para, a seguir, perder a água de impregnação mais lentamente. A umidade na madeira tende a um 
equilíbrio em função da umidade e temperatura do ambiente em que se encontra. 
 
O teor de umidade correspondente ao mínimo de água livre e ao máximo de água de impregnação é 
denominado de ponto de saturação das fibras (PSF). Para as madeiras brasileiras esta umidade 
encontra-se em torno de 25%. A perda de água na madeira até o ponto de saturação das fibras se dá 
sem a ocorrência de problemas para a estrutura da madeira. A partir deste ponto a perda de umidade 
é acompanhada pela retração (redução das dimensões) e aumento da resistência, por isso a secagem 
deve ser executada com cuidado para se evitarem problemas na madeira. 
 
Para fins de aplicação estrutural da madeira e para classificação de espécies, a norma brasileira 
especifica a umidade de 12% como de referência para a realização de ensaios e valores de 
resistência nos cálculos. 
 
É importante destacar ainda que a umidade apresenta grande influência na densidade da madeira. 
 
1.3.2 – Densidade. A norma brasileira apresenta duas definições de densidade a serem utilizadas 
em estruturas de madeira: a densidade básica e a densidade aparente. A densidade básica da madeira 
é definida como a massa específica convencional obtida pelo quociente da massa seca pelo volume 
saturado e pode ser utilizada para fins de comparação com valores apresentados na literatura 
internacional. 
,
sat
s
V
m
=ρ 
A densidade aparente é determinada para uma umidade padrão de referência de 12%, pode ser 
utilizada para classificação da madeira e nos cálculos de estruturas. 
,
V
m
=ρ 
Sendo m e V a massa e o volume da madeira à 12% de umidade. 
 
1.3.3 – Retratibilidade. Define-se retratibilidade como sendo a redução das dimensões em uma 
peça da madeira pela saída de água de impregnação.Como visto anteriormente a madeira apresenta comportamentos diferentes de acordo com a direção 
em relação às fibras e aos anéis de crescimento. Assim, a retração ocorre em percentagens 
diferentes nas direções tangencial, radial e longitudinal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ξR 3% a 6% 
 
ξT 7% a 10% 
ξL 0,1% a 0,5% 
A retração tangencial pode causar 
problemas de torção e a retração radial 
pode causar problemas de rachaduras 
nas peças de madeira. 
 
Um processo inverso também pode 
ocorrer, o inchamento, que se dá 
quando a madeira fica exposta a 
condições de alta umidade ao invés de 
perder água ela absorve, provocando 
um aumento nas dimensões das peças. 
 
 7 
1.3.4 – Resistência da madeira ao fogo. Erroneamente, a madeira é considerada um material de 
baixa resistência ao fogo. Isto se deve, principalmente, à falta de conhecimento das suas 
propriedades de resistência quando submetida a altas temperaturas e quando exposta à chama, pois, 
sendo bem dimensionada ela apresenta resistência ao fogo superior à de outros materiais estruturais. 
 
Uma peça de madeira exposta ao fogo torna-se um combustível para a propagação das chamas, 
porém, após alguns minutos, uma camada mais externa da madeira se carboniza tornando-se um 
isolante térmico, que retém o calor, auxiliando, assim, na contenção do incêndio, evitando que toda 
peça seja destruída. A proporção da madeira carbonizada com o tempo varia de acordo com a 
espécie e as condições de exposição ao fogo. Entre a porção carbonizada e a madeira sã encontra-se 
uma região intermediária afetada pelo fogo, mas, não carbonizada, porção esta que não deve ser 
levada em consideração na resistência. 
 
 
1.3.5 – Durabilidade natural. A durabilidade da madeira, com relação a biodeterioração, depende 
da espécie e das características anatômicas. Certas espécies apresentam alta resistência natural ao 
ataque biológico enquanto outras são menos resistentes. 
 
Outro ponto importante que deve ser destacado é a diferença na durabilidade da madeira de acordo 
com a região da tora da qual a peça de madeira foi extraída, pois, como visto anteriormente, o cerne 
e o alburno apresentam características diferentes, incluindo-se aqui a durabilidade natural, com o 
alburno sendo muito mais vulnerável ao ataque biológico. 
 
A baixa durabilidade natural de algumas espécies pode ser compensada por um tratamento 
preservativo adequado às peças, alcançando-se assim melhores níveis de durabilidade, próximos 
dos apresentados pelas espécies naturalmente resistentes. 
 
 
2 – MADEIRAS DE CONSTRUÇÃO – PRODUTOS COMERCIAIS 
 
As madeiras utilizadas nas construções podem classificar-se em duas categorias: 
 
a) Madeiras maciças: 
 
- madeira bruta ou roliça; 
- madeira falquejada; 
- madeira serrada; 
 
b) Madeiras industrializadas: 
 
- madeira laminada e colada; 
- madeira compensada; 
 
2.1 – MADEIRA ROLIÇA 
 
A madeira bruta ou roliça é empregada em forma de tronco, servindo para estacas, escoramento, 
postes, colunas, etc. A madeira roliça é utilizada com mais freqüência em construções provisórias, 
como escoramento. Os roliços de uso mais freqüente no Brasil são o pinho-do-paraná e os 
eucaliptos. 
 
 8 
2.2 - MADEIRA FALQUEJADA 
 
A madeira falquejada é obtida de troncos por corte com machado. Dependendo do diâmetro dos 
troncos, podem ser obtidas seções maciças falquejadas de grandes dimensões, como por exemplo, 
30 cm x 30 cm ou mesmo 60 cm x 60 cm. No falquejamento do tronco, as partes laterais cortadas 
constituem a perda. A seção retangular inscrita que produz menor perda é o quadrado de lado 
2db = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 – MADEIRA SERRADA 
 
Corte e desdobramento das toras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Desdobramento em pranchas paralelas b) Desdobramento radial 
 
O comprimento das toras é limitado por problemas de transporte e manejo, ficando em geral na 
faixa de 4 m a 6 m. 
 
As madeiras serradas, são vendidas em seções padronizadas, com bitolas nominais em polegadas, 
obedecendo à nomenclatura da ABNT (Padronização PB-5): 
Vigas; Pranchões; tábuas; caibros, sarrafos e ripas. 
 
b 
h 
 9 
2.4 – MADEIRA LAMINADA E COLADA 
 
 
 
 b 
 
 
 
 
 
 
 
 h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A madeira laminada apresenta, em relação à madeira maciça, as seguintes vantagens: 
 
a) permite a confecção de peças de grandes dimensões: 
b) permite melhor controle de umidade das lâminas, reduzindo defeitos provenientes de secagem 
irregular; 
c) permite a seleção da qualidade das lâminas situadas nas posições de maiores tensões; 
d) permite a construção de peças de eixo curvo, muito convenientes para arcos e cascas. 
 
A desvantagem mais importante das madeiras laminadas é o seu preço, mais elevado que o da 
madeira serrada. 
 
 
2.5 - MADEIRA COMPENSADA 
 
A madeira compensada apresenta uma série de vantagens sobre a madeira maciça: 
 
a) pode ser fabricada em folhas grandes, com defeitos limitados; 
b) reduz retração e inchamento, graças a ortogonalidade de direção das fibras nas camadas 
adjacentes; 
c) é mais resistente na direção normal ás fibras; 
d) reduz trincas na cravação de pregos; 
e) permite o emprego de madeira mais resistente nas camadas extremas e menos resistente nas 
camadas interiores, o que é vantajoso em algumas aplicações. 
 
A desvantagem mais importante está no preço mais elevado. 
 
 
 
 10 
3 – ENSAIOS DE MADEIRAS – BASE DE CÁLCULO 
 
 
3.1 – CLASSIFICAÇÃO DE PEÇAS ESTRUTURAIS DE MADEIRA 
 
Através de ensaios, estabeleceu-se uma correlação entre a incidência dos principais defeitos e a 
redução de resistência. A avaliação da incidência dos defeitos se faz por inspeção visual, 
obedecendo às regras deduzidas dos citados ensaios. 
 
As peças estruturais de madeira são em geral classificadas em três categorias: 
 
a) Primeira categoria. – Madeira de qualidade excepcional, sem nós, retilínea, quase isenta de 
defeitos. 
b) Segunda categoria. – Madeira de qualidade estrutural corrente, com pequena incidência de nós 
firmes e outros defeitos. 
c) Terceira categoria – Madeira de qualidade estrutural inferior, com nós em ambas as faces. 
 
 
3.2 – ENSAIOS EM PEÇAS ESTRUTURAIS DE MADEIRA 
 
Os ensaios em peças estruturais são feitos em corpos de prova de dimensões normalizadas e sem 
defeito. 
 
Para cada espécie, são determinados os seguintes valores médios: 
 
 
a) Compressão paralela às fibras – Corpos de prova de 15cm x 15 cm x 60 cm. 
 
A
Nf uc = sendo: fc – resistência à compressão paralela às fibras 
 Nu – carga de ruptura; 
 A – seção transversal da peça 
 
 
b) Flexão estática – Corpos de prova de 15 cm x 15 cm x 360 cm. 
 
2
6
bh
M
W
Mf uub == sendo: fb – módulo de ruptura à flexão estática 
 Mu – Momento de ruptura 
 
6
2bhW = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
c) Cisalhamento paralelo às fibras - 
 2,5 
 Fu 
 
 Fu 
 
A
Ff uv = sendo 
fv – resistência ao Cisalhamento paralelo 
 às fibras 
Fu – Carga de ruptura6,4 
A - seção transversal da peça 
 5,0 
 
 
 
 
 5,0 
 5,0 
 
3.3 – TENSÕES ADMISSÍVEIS BÁSICAS EM PEÇAS ESTRUTURAIS DE MADEIRA 
BRUTA OU SERRADA 
 
Os ensaios disponíveis indicam que as peças estruturais classificadas como de 2a categoria têm 
resistências mecânicas da ordem de 60% dos valores obtidos com corpos de prova isentos de 
defeitos. As peças estruturais classificadas como de 1a categoria têm o percentual acima elevado 
para 85%. 
 
As normas brasileiras fornecem tensões admissíveis válidas para peças de 2a categoria, que são as 
correntemente utilizadas. Nos casos especiais de peças de 1a categoria, as tensões admissíveis 
podem ser aumentadas, multiplicando-as pela relação 85/60 = 1,40. 
 
As tensões admissíveis das normas brasileiras baseiam-se em resultados de resistência em ensaios 
normalizados (Método Brasileiro MB-26) de pequenas peças de madeira verde. Para cada espécie, 
são determinados os seguintes valores médios: 
 
 fc - resistência à compressão paralela às fibras; 
 fb - módulo de ruptura à flexão estática; 
 fv - resistência ao Cisalhamento paralelo às fibras; 
 E - módulo de elasticidade. 
 
3.3.1 – Compressão simples. A tensão admissível a compressão simples, sem flambagem, é obtida 
multiplicando-se a resistência experimental média fc pelos seguintes fatores: 
 
 0,75 – para levar em conta a dispersão nos ensaios; 
 0,62 – para reduzir os resultados de ensaios rápidos à carga de longa duração (10 anos); 
 0,60 – redução de resistência em peças de segunda categoria; 
 0,72 –para ter um coeficiente de segurança (γ = 1,4) em relação à ruptura e limitar as 
tensões em serviço a valores inferiores ao limite de proporcionalidade. 
 
 σc = 0,75 x 0,60 x 0,62 x 0,72fc = 0,20fc 
 12 
3.3.2 - Flexão simples. Tensão de bordo. A tensão de bordo admissível na flexão simples é dado 
por: 
 
 σb = 0,75 x 0,60 x 0,62 x 0,53fb = 0,15fb 
 
3.3.3 – Cisalhamento paralelo às fibras. Para Cisalhamento paralelo às fibras, existe maior 
probabilidade de redução de resistência devido a defeitos, como, por exemplo, rachas, fendas. 
 
 τ = 0,10fv 
 
 No caso de Cisalhamento paralelo às fibras, nas ligações, a inspeção visual reduz o 
perigo de rachas, daí ser o mesmo coeficiente de segurança à flexão: 
 
 τ = 0,15fv 
 
 
3.3.4 – Flambagem elástica e inelástica. Em peças de elevado índice de esbeltez, a flambagem é 
realizada em regime elástico, isto é, com tensões inferiores ao limite de proporcionalidade. As peças 
curtas atingem a resistência à ruptura por compressão, sem efeito de flambagem. Nas peças 
intermediária, verifica-se flambagem inelástica, isto é, com tensões superiores ao limite de 
proporcionalidade. 
 
- Flambagem elástica 
Carga crítica de flambagem - 2
2
fl
fl
EIN
l
pi
= 
 
Tensão crítica - σfl = A
N fl ; 
A
Ii = ; σfl = ( )2
2
i
E
fll
pi
 
 
i
fll
=λ ; σfl = 2
2
λ
pi E
 
 
Para a tensão admissível à compressão com flambagem na fase elástica adota-se o coeficiente de 
segurança global γ = 4. 
 
 σfl = 0,25σfl = 0,25 2
2
λ
pi E
 Esta fórmula é válida somente em regime elástico, isto é, 
 para σfl ≤ fel 
 A norma brasileira adota um limite mais conservador. - σfl = 3
2
σc 
 
- Flambagem inelástica. 
 
Para 40≤λ , não há efeito de flambagem (peça curta), prevalecendo a tensão admissível à 
compressão simples σc . 
 
 13 
c
fl
c i 






=
lλ ⇒ índice de esbeltez correspondente ao limite de aplicabilidade da fórmula elástica. 
Quando λ = λc ⇒ σfl = 3
2
σc 
__
2
2
3
225,0 c
c
E
σλ
pi
= ⇒ 
__8
3
c
c
E
σ
piλ = 
 
A fórmula elástica também pode ser escrita em função de σc e λc 
 
2
__
2
2
__
3
225,0 





==
λ
λ
σ
λ
pi
σ ccfl
E
 
Flambagem elástica 
 
Na flambagem inelástica a tensão admissível é representada por fórmulas empíricas, tendo a 
Norma brasileira adotado uma linha reta, representada pela equação: 
 
 





−
−
−=
40
40
3
11
____
c
cfl x λ
λ
σσ 
 
 
 σc 





−
−
−=
40
40
3
11
____
c
cfl x λ
λ
σσ 
 
 
 
__
3
2
cσ 
 
2
____
3
2






=
λ
λ
σσ ccfl 
 
 
 
 40 λc λ 
 
 RESUMO 
 
 Quando λ ≤ 40 ⇒ σfl = σc 
 Quando 40 < λ < λc ⇒ 





−
−
−=
40
40
3
11
____
c
cfl x λ
λ
σσ 
 Quando λ > λc ⇒ 
2
____
3
2






=
λ
λ
σσ ccfl 
 
3.3.5. – Compressão normal às fibras. A tensão de compressão normal às fibras é tomada igual a 
6% da resistência à compressão paralela às fibras, quando a extensão da carga, medida nesta 
direção, é igual ou superior a 15 cm. Para valores menores da extensão da carga, a tensão 
 14 
admissível é dada pela fórmula a seguir, exceto no caso de apoios distantes menos de 7,5 cm da 
extremidade da viga: 
 σcn = 6%knfc 
 
Sendo kn o coeficiente que leva em conta a maior resistência da madeira para esforços aplicados 
em pequena área. 
 
 
b
b
b
bbkn
!!83+
≅
∆+
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Coeficiente kn de amplificação da tensão admissível normal às fibras 
 
Extensão de carga na 
direção das fibras–b– (cm) 
1,0 2,0 3,0 4,0 5 7,5 10 ≥ 15 
Coeficiente kn 2,0 1,7 1,55 1,4 1,3 1,15 1,10 1,00 
 
 
Os acréscimos de tensões do quadro acima não se aplicam às áreas de apoio nos extremos da viga 
(distância à extremidade inferior a 7,5 cm). 
 
3.3.6 – Compressão inclinada em relação às fibras. A tensão normal admissível σcβ numa face, 
cuja normal está inclinada do ângulo β, em relação à direção das fibras, é dada pela fórmula 
empírica de Hankinson: 
 
__
22
__
____
__
cossen βσβσ
σσ
σ β
cnc
cnc
c
+
×
= 
 
 
 
 
 
 
3.3.7. – Tração simples. A tensão admissível a tração da mesma forma que a tensão admissível a 
flexão é dada por: 
 
 σt = 0,15ft 
 
b 
a σcn 
σcn= 6%knfc 
 
 b < 15 cm 
kn > 1 
 a > 7,5 cm 
 
σcβ 
90° - β 
β 
 
 15 
4. DIMENSIONAMENTODE BARRAS TRACIONADAS 
 
A madeira tem boa resistência à tração na direção das fibras, podendo ser utilizada como peça sujeita 
à tração axial. O ponto crítico para o dimensionamento fica nas emendas ou ligações de extremidade 
das peças. Nas barras tracionadas axialmente a ruptura das fibras ocorre na seção líquida, ou na seção 
bruta quando não houver furos. 
 
4.1. – CRITÉRIO DE CÁLCULO 
 
4.1.1. – Tensões admissíveis. Nas peças solicitadas à tração simples a condição de segurança é 
expressa por: 
 t
nA
N
σσ ≤=
 sendo tt f15,0=σ 
 
4.1.2. – Área líquida nas seções de ligação. A área líquida (An) é igual a área bruta da seção 
transversal subtraída de furos e entalhes. 
 
Sendo: Ag = b x h (área bruta); d = diâmetro do conector; d ′ = d + 1,6 mm (diâmetro do furo) 
 
a) furos alinhados na direção da carga: 
 
 Considerar a seção AA. 
 
 An = Ag – 3(b x d ′ ) 
 
 
 
 
 
 
b) furos não alinhados: 
 Quando S > 8d ⇒ seção CC 
 
 
 An = Ag – 3(b x d ′ ) 
 
 
 Quando S ≤ 8d ⇒ seção BB 
 
 An = Ag – 5(b x d ′ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
A 
b N 
N N 
B 
B C 
C 
S S 
 16 
Além das verificações das deformações da estrutura completa, recomenda-se limitar a esbeltez da 
peça tracionada correspondente ao comprimento máximo de 50 vezes a menor dimensão da seção 
transversal: 
 1731250
12
50
max ≅=== b
b
i
Lλ , 
Evita-se, com esta limitação, o aparecimento de vibrações excessivas em conseqüência de ações 
transversais não previstas no dimensionamento da barra. 
 
4.2 – EXERCÍCIOS 
 
4.2.1. – Um pendural de pinho-do-paraná está preso por parafusos de 25mm e duas talas laterais 
metálicas. Verificar a segurança do pendural em tração paralela às fibras para as duas situações da 
figura abaixo. 
 
 1) 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cotas em centímetros 
 
Madeira: Pinho-do-paraná ⇒ MPat 6,8=σ ; 
 
d = 25 mm = 2,5 cm 
d ′ = 25 + 1,6 = 26,6 mm = 2,7 cm 
 
a) Parafusos alinhados: 
 
a.1) Esforço de tração admissível na peça de madeira: 
 
 t
nA
N
σσ ≤=
 
 
Ag = 3,8 x 20 = 76,0 cm2 
 
An = Ag – 2(b x d ′ ) = 76,0 – 2( 3,8 x 2,7) = 55,48 cm2 
 
xAN tσ≤ n = 0,86 x 55,48 = 47,7 kN > 45KN OK 
 
20 20 3,8 
N=45KN 
N=45KN 
N 
10(S) 
 17 
b) Parafusos não alinhados: 
 
b.1) Esforço de tração admissível na peça de madeira: 
 
S = 10 < 8d = 8 x 2,5 = 20 cm ⇒ An = Ag – 3(b x d ′ ) 
 
An = 76,0 – 3(3,8 x 2,7) = 45,2 cm2 
 
xAN tσ≤ n = 0,86 x 45,2 = 38,9 kN < 45KN NÃO ATENDE 
 
Com o espaçamento S < 8d, a disposição de furos não alinhados é menos favorável para a resistência 
da madeira. 
 
 
4.2.2 – Verificar a seção útil da barra tracionada da figura abaixo que tem uma seção de 7,5cm x 
15cm cuja madeira é o ipê. Os parafusos da ligação são de 19 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Ipê tσ = 16,4MPa 
d' = 19 + 1,6 = 20,6mm = 2,06cm 
S = 100mm < 8d = 8 x 19 = 152mm 
 
An = Ag – 3(b x d’) 
 
Ag = 7,5 x 15 = 112,5cm2 
 
An = 112,5 – 3(7,5 x 2,06) = 66,15cm2 
 
221,1
15,66
80
cmKNf t == = 12,1MPa < tσ = 16,4MPa OK 
 
ou 
 
N = 66,5 x 1,64 = 108,5KN > N = 80KN OK 
N = 80KN 
 150 100 100 150 
 
30 
45 
45 
30 
 
 
N = 80KN 
 
38 
 
 
75 
 
38 
 
150 
Cotas em milímetros 
 18 
5 –DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS COMPRIMIDAS 
 
5.1. – SEÇÕES TRANSVERSAIS DE PEÇAS COMPRIMIDAS 
 
As peças de madeira, comprimidas na direção das fibras, podem ser constituídas de seções 
transversais simples ou compostas: 
 
 
 
 
 
 
 
a) madeira roliça b) madeira lavrada c) madeira serrada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) madeira laminada colada e) Seção composta de peças serradas 
 
 
5.2. – PEÇAS COMPRIMIDAS DE SEÇÃO SIMPLES 
 
5.2.1 – Comprimento de flambagem. Denomina-se comprimento de flambagem ( fll l) o 
comprimento utilizado no cálculo da resistência à flambagem da peça comprimida. Numa coluna 
com rótulas nas extremidades, o comprimento de flambagem é igual ao próprio comprimento da 
coluna )( ll =fl . Para colunas com extremidades não rotuladas, o comprimento de flambagem é 
inferior ao comprimento da coluna ( ll <fl ), dependendo do grau de engastamento do apoio da 
extremidade. 
 
Em estruturas de madeira, devido à natureza deformável das ligações, geralmente se despreza o 
efeito favorável do engastamento nas extremidades, tomando-se para comprimento de flambagem o 
próprio comprimento da coluna )( ll =fl . 
 
5.2.2 – Limites de esbeltez. Deve-se impor limitação máxima na esbeltez de barras comprimidas 
correspondente ao comprimento máximo de 40 vezes a menor dimensão da seção transversal. No 
caso de seções retangulares implica em considerar: 
 
1405,1381240max ≈=== b
b
i
fllλ 
 
 
 19 
5.2.3- Tensões admissíveis em compressão axial 
 σc = ≤A
N
 σfl; i
fll
=λ ; 
c
c
E
x
σ
piλ
8
3
=
 
 40≤λ ⇒ ccfl f20,0
____
== σσ 
 cλλ <<40 ⇒ 





−
−
−=
40
40
3
11
____
c
cfl x λ
λ
σσ 
 140≤≤ λλc ⇒ 
2
____
3
2






=
λ
λ
σσ ccfl 
 
- peça de seção retangular 
 
40≤
i
fll
 
 b 
A
Ii = 
 
 h 
12
3bhI ×= A = h x b 
 
 
1212
3 b
bh
bhi =
××
×
= 
 
40
12
≤b
fll
 ∴ bbbfl 125,1112
40 ≅=≤l sendo 
 b - menor dimensão transversal da peça. 
 
 
5.3 - EXERCÍCIOS 
 
5.3.1 – Calcular a carga admissível a compressão para um caibro (7,5 cm x 7,5 cm) de pinho-do-
paraná. 
 
a) sem flambagem 
b) fll = 300 cm. 
 
a) 40≤
i
fll
 ℓfl ≤ 12b = 12 x 7,5 = 90 cm 
ccfl f20,0
____
== σσ pinho-do-paraná 2
__
/52,02,5 cmkNMPac ==σ 
 
N = kNAc 3,295,75,752,0
__
=××=×σ 
 20 
b) fll = 300 cm. 
 
Seção retangular - 
12
bi = ⇒ 140
12
5,7
300
≅=
i
fll
 
__8
3
c
c
E
σ
piλ = pinho-do-paraná λc = 86 
14086 ≤≤ λ ⇒ 2
22____
/13,0
140
8652,0
3
2
3
2
cmkNccfl =





=





= λ
λ
σσ 
N = kNAfl 31,75,75,713,0
__
=××=×σ 
 
5.3.2- Calcular a carga admissível de colunas de madeira laminada com seções indicadas na figura 
abaixo, sendo o comprimento de flambagem fll l = 8,50 m. Adotar as tensões admissíveis da peroba-
rosa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução. a) Seção retangular 
 
98
12
30
850
≅=
i
fll
 
 
__8
3
c
c
E
σ
piλ = Peroba-rosa λc = 64 2
__
/84,04,8 cmkNMPac ==σ 
14064 ≤≤ λ ⇒ 2
22
____
/24,0
98
6484,0
3
2
3
2
cmkNccfl =





=





= λ
λ
σσ 
N = kNAfl 216303024,0
__
=××=×σ 
 
b) Seção “I” podendo flambar em torno de x-x e y-y 
 
 y 
 
 30 
 
 y 
 
 10 
 
 
 
 10 
 
 
 
 
10 
 
 
x 30 
 
 7,5 
 
 
x 15 
 
 
 7,5 
 
 
x 
 
 
y 
 
 
y 
 
 21 
Ix = 4
33
61875
12
1520
12
3030
cm=
×
−
×
 
Iy = 4
33
35000
12
1015
12
3015
cm=
×
+
×
 
A = 30 x 15 + 10 x 15 = 600 cm2 
iy = cmA
I y 64,7
600
35000
== 
111
64,7
850
≅=
y
fl
i
l
 
14064 ≤≤ λ ⇒ 2
22
____
/18,0
111
6484,0
3
2
3
2
cmkNccfl =





=





= λ
λ
σσ 
 
N = 0,18 x 600 = 108 kN 
 
c) Seção “I” contraventada no plano x-x 
 
Ix = cmA
I x 16,10
600
61875
== 
84
16,10
850
≅=
x
fl
i
l
 
14064 ≤≤ λ ⇒ 2
22
____
/32,0
84
6484,0
3
2
3
2
cmkNccfl =





=





= λ
λ
σσ 
 
N = 0,32 x 600 = 192 kN 
 
Comparando-se as tensões admissíveis acima, conclui-se que a seção I trabalha com maior eficiência 
que a seção retangular cheia de mesmas dimensões externas, quando a flambagem da seção I se dá no 
plano da alma. 
 
5.3.3. – As escoras de um assoalho de edifício são constituídas de peças de peroba-rosa, com seção 
transversal de 3” x 9” (7,5 cm x 23 cm), e comprimento de flambagem de 3 m, nas duas direções 
principais. 
 
a) Qual a melhor orientação para as peças? 
b) Qual a carga axial admissível? 
 
 
 
 
 
 3,00 m 
 
 
 
 22 
a) Como as peças podem flambar com o mesmo comprimento de flambagem, nas duas direções 
principais, as peças podem ser orientadas com a maior dimensão na direção longitudinal ou na 
transversal. A carga axial admissível será a mesma, nos dois casos. 
 
b) A carga axial admissível é determinada pela flambagem em torno do eixo mais fraco (eixo 
paralelo ao maior lado). 
 
cm
bi 17,2
46,3
5,7
12
===
 
 
6,138
17,2
300
==
y
fl
i
l
 
 
__8
3
c
c
E
σ
piλ = Peroba-rosa λc = 64 2
__
/84,04,8 cmkNMPac ==σ 
 
 
14064 ≤≤ λ ⇒ 2
22
____
/12,0
6,138
6484,0
3
2
3
2
cmkNccfl =





=





= λ
λ
σσ 
A carga axial vale: 
 
 N = 0,12 x 7,5 x 23 = 20,7 kN 
 
 
5.3.4. – Resolver o problema anterior, admitindo contraventamento que deduz o comprimento de 
flambagem a 1,50 m , em uma das direções principais. 
 
 
 
 
 1,5 m 
 
 1,5 m 
 
 
 
 
 9” 
 
 3” 
 
 
Solução. a) A melhor orientação da peça é a que situa o eixo mais fraco no plano normal ao 
contraventamento mais eficaz, como indicado na figura. 
 
 
 23 
b) A carga admissível deverá ser calculada separadamente nas duas direções principais. 
 
Direção do maior lado ( lfl = 3,00 m): 
 
cm
bi 64,6
46,3
23
12
===
 
45
64,6
300
==
i
fll
 
 
__8
3
c
c
E
σ
piλ = Peroba-rosa λc = 64 2
__
/84,04,8 cmkNMPac ==σ 
 
 6440 << λ ⇒ 





−
−
−=
40
40
3
11
____
c
cfl x λ
λ
σσ = 2/77,0
4064
4045
3
1184,0 cmkNx =





−
−
− 
 
N = 7,5 x 23 x 0,77 = 133 kN 
 
Direção do menor lado (lfl = 1,50m) 
 
cm
bi 17,2
46,3
5,7
12
===
 
 
 
14064 ≤≤ λ ⇒ 2
22
____
/47,0
1,69
6484,0
3
2
3
2
cmkNccfl =





=





= λ
λ
σσ 
 
N = 7,5 x 23 x 0,47 = 81 kN 
 
A carga admissível da escora é o menor dos dois valores calculados acima, sendo determinante a 
direção do menor lado (Nfl = 81 kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,69
17,2
150
==
i
fll
 24 
6 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS FLETIDAS 
 
6.1. TIPOS CONSTRUTIVOS 
 
As vigas de madeira são feitas em diversos tipos: 
 
a) vigas de madeira roliça; 
b) vigas de madeira lavrada; 
c) vigas de madeira serrada; 
d) vigas de madeira laminada colada; 
e) vigas compostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e) 
 
 
 
 
 25 
6.2 - CRITÉRIOS DE CÁLCULO 
 
No dimensionamento das vigas de madeira, são utilizados dois critérios básicos, a saber: 
 
- limitação de tensões; 
- limitação de deformações. 
 
As limitações de deformações têm, em obras de madeira, importância relativamente maior que em 
outros materiais, como aço e concreto armado. 
 
6.2.1 – Limitação de tensões. 
 
 
_
bb W
M
σσ ≤= 
 
O problema de verificação de tensões, em obras de madeira, é formulado com a teoria clássica da 
resistência dos materiais, muito embora o material não siga a lei linear de tensões (Lei de Navier) até 
a ruptura. 
 
Em peças de grande altura, os desvios da Lei de Navier são corrigidos por coeficientes de forma. Em 
peças compostas, leva-se em conta a ineficiência das ligações através de valores reduzidos dos 
momentos de inércia ou dos momentos resistentes. 
 
6.2.2. - Limitação de deformações. As limitações de flechas das vigas visam a atender a requisitos 
estéticos ou de conforto dos usuários. 
 
A Norma Brasileira NB-11 (Item 69) adota como flecha admissível, sob carga total: 
 
 200
l≤δ
 
Sendo l vão teórico da viga. As flechas são calculadas com as seções brutas das vigas. e a carga: 
 
 
 q 
 
 
 l 
200384
5 4 ll ≤=
EI
q
xMAXδ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
 
 Tabela 6.1 – Tabela de flechas e deflexões angulares para algumas vigas isostáticas. 
 
 
 
 27 
6.3 - VIGAS DE MADEIRA MACIÇA, SERRADA OU LAVRADA 
 
As vigas de madeira maciça são as que têm maior utilização na prática. Em geral, o produto é 
disponível em forma de madeira serrada, em dimensões padronizadas e comprimentos limitados a 
cerca de 5m. As vigas de madeira serrada são empregadas na construção de telhados, assoalhos, 
casas, galpões, treliças etc.6.3.1. – Tensões admissíveis. No dimensionamento de vigas de madeira maciça, são verificadas as 
tensões admissíveis que seguem. 
a) Tensão admissível à flexão 
_
bσ , válida para bordos comprimidos e tracionados: 
 
_
bb W
M
σσ ≤= 
Para seção retangular de base “b” e altura “h” ⇒ 
6
2bhW = obtém-se 
 
_
2
6
bb bh
M
σσ ≤= 
As tensões admissíveis à flexão (
_
bσ ) de pendem da forma da seção. Para se poder adotar o mesmo 
valor de 
_
bσ em todos os casos, a fórmula acima é generalizada, multiplicando-se o módulo de 
resistência (W) por um coeficiente de forma (kb): 
 
_
b
b
b Wk
M
σσ ≤= onde 
kb = coeficiente de forma para flexão, apresentando os seguintes valores: 
 
 - seção retangular h ≤ 30 cm kb = 1 
 - seção retangular h > 30 cm kb = ( ) 9130 h 
 - seção circular kb = 1,18 
 - seção quadrada com carga 
 no plano da diagonal kb = 2 
 
Para seções retangulares, observa-se um decréscimo de tensões admissíveis quando h > 30 cm, como 
se pode ver nos seguintes valores: 
 
 
 H <30 35 40 45 50 
 
 kb 1 0,98 0,97 0,96 0,95 
 
 
b) Tensão admissível de compressão normal à fibra, no ponto de atuação da reação de apoio ou de 
cargas concentradas: 
 
_
cncn bxa
R
σσ ≤= sendo 
 
 R = reação de apoio 
 a e b = dimensões da superfície de apoio 
R 
 28 
c) Tensão admissível a cisalhamento paralelo ás fibras: 
 
_
ττ ≤=
Ib
VS
 Para seções retangulares, obtem-se: 
_
2
3
ττ ≤=
bh
V
x 
 
6.4 – EXERCÍCIOS 
 
6.4.1 – Uma viga de 15 cm x 30 cm de Ipê trabalha sob uma carga q = 10,0 kN/m . Verificar a 
viga, considerando as limitações de tensões e de deformações. Supõe-se a viga contraventada, de 
modo a evitar flambagem lateral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q = 12,0 kN/m (acidental) 
 
Ipê 
_
bσ = 19,1 MPa; 
_
τ = 2,1 MPa; E = 16670 MPa; 
_
cnσ = 4,7 MPa 
 
Solução. Solicitações: 
 mkNxM .5,37
8
50,12 2
== 
 kNxV 0,30
2
50,12
== 
a) Tensões normais - como h = 30 cm ⇒ kb = 1 
 
_
2
6
bb bh
M
σσ ≤= 22 /7,13015
37506
cmkN
x
x
b ==σ = 17,0 MPa < 
_
bσ = 19,1 MPa OK 
 
b) Cisalhamento 
 
 
_
2
3
ττ ≤=
bh
V
x 2/1,0
30152
0,303
cmkN
xx
x
==τ = 1,0 MPa < 
_
τ = 2,1 MPa OK 
 
c) Flecha 
 
 
200384
5 4 ll ≤=
EI
q
xMAXδ sendo I = 4
3
750.33
12
3015
cm
x
= 
 
200
1
288
1
337501667
50012,0
384
5 3
p
l
==
x
x
x
δ
 OK 
 
 
5,0m b=15cm 
h=30cm 
q 
 29 
d) Tensão de compressão normal às fibras 
 
 
 
 
_
cncn bxa
R
σσ ≤= 
 
 a x b 
 R 
 a x b = 2
_
8,63
47,0
0,30
cm
R
cn
==
σ
 ⇒ a = b = 8,0 cm 
 
 
6.4.2 – Verificar a estabilidade de uma viga de ipê, de seção retangular, serrada, 18 x 36 cm, com 
vão de 5,0 m, para um carregamento de q = 15 KN/m. Supõe-se a viga contraventada de modo a 
evitar a flambagem lateral. 
 
 q 
 
 
 
 36 
 
 
 5,0 m 18 
 
 
Solução: a) Propriedades mecânicas do ipê-amarelo: 
 
 MPab 1,19
_
=σ ; ;1,2
_
MPa=τ ;7,4
_
MPacn =σ E = 16670 MPa. 
 
b) propriedades geométricas da seção: 
 
A = 18 x 36 = 648 cm2 
 
W = 3
22
3888
6
3618
6
cm
xbh
== 
 
I = 4
33
69984
12
3618
12
cm
xbh
== 
 
c) Esforços Solicitantes 
 
M = kNmxqx 875,46
8
515
8
22
==
l
 
 
 30 
V = kNxqx 5,37
2
515
2
==
l
 
 
d) Tensão de flexão: como h > 30 cm ⇒ kb = ( ) 9130 h 
 
h = 36 cm ⇒ kb = 0,98 
 
MPaMPacmkN
xxWk
M
b
b
b 1,193,12/23,1388898,0
5,4687 _2
=<==== σσ 
 
e) Tensão de cisalhamento 
 
MPaMPacmkN
x
x
bh
V
x 1,29,0/09,0
3618
5,37
2
3
2
3 _2
=<==== ττ 
 
 
f) Flecha 
 
200384
5 4 ll ≤=
EI
q
xMAXδ 
 
cm
x
x
x 0,1
699841667
50015,0
384
5 4
==δ 
 
cmADM 5,2200
500
200
===
lδ OK 
 
g) Apoios 
 
 
 
 
 
_
cncn bxa
R
σσ ≤= 
 
 
 a x b 
 R 
 
 
 a x b = 2
_
8,79
47,0
5,37
cm
R
cn
==
σ
 a = b =9,0 cm 
 
 
 
 
 
 31 
6.5 – FLAMBAGEM LATERAL DE VIGAS RETANGULARES. 
 
As vigas esbeltas apresentam o fenômeno de flambagem lateral, que é uma forma de instabilidade 
envolvendo a flexão e torção. A flambagem lateral pode ser evitada por amarrações laterais 
(contraventamentos) que impedem a torção da viga. Na prática, não é, em geral, possível uma 
completa amarração da viga para evitar torção, sendo então necessário verificar a segurança contra 
a flambagem lateral. Para vigas de seção retangular, dispõe-se de estudos teóricos comprovados 
experimentalmente. 
 
6.5.1 – Tensões admissíveis com flambagem (
__
bσ ′ ) de seções retangulares. 
 
O dimensionamento à flexão das vigas retangulares, é feita com tensões admissíveis reduzidas 
(tensões admissíveis à flexão com flambagem lateral 
__
bσ ′ ), calculadas em função de um parâmetro 
de esbeltez ,2bhel admitindo-se a viga com contenção lateral nos apoios. 
 
- vigas curtas 
 
 1000 2 << b
hel
 ⇒ 
__
bσ ′ = 
__
bσ (sem flambagem lateral) 
 
- vigas médias 
 
 
__2 6,0100
b
e E
b
h
σ
<<
l
 ⇒ 
__
bσ ′ = 




















−
2
__
2
__
6,03
11
b
e
b
E
bh
σ
σ
l
 
 
- vigas longas 
 
 
 25006,0 2__ << b
hE e
b
l
σ
 ⇒ 
__
bσ ′ = 24,0 bh
E
el
 
 
onde 
 
 
__
bσ = tensão admissível à flexão sem flambagem lateral; 
 el = comprimento efetivo da viga, para calculo de flambagem lateral, cujos valores 
podem ser encontrados no Quadro a seguir.32 
 
 Comprimento efetivo el de vigas retangulares 
 Condições das extremidades das vigas e tipo de carregamento 
 el 
Viga simplesmente apoiada, carga concentrada no centro 1,61a 
Idem, carga uniformemente distribuída 1,92a 
Idem, momentos iguais nas extremidades 1,84a 
Viga em balanço, carga concentrada no extremo livre 1,69a 
Idem, carga uniformemente distribuída 1,06a 
Viga simples ou em balanço, valor conservativo aplicável a qualquer carga 1,92a 
 
No Quadro acima, “a” representa a distância entre os pontos de apoio lateral, devidamente 
contraventados com capacidade de impedir o deslocamento lateral e a torção da viga. 
Não devem ser usadas vigas com parâmetro de esbeltez superior a 2500. 
 
 
 
5.5.2.- Exercícios 
 
5.5.2.1. Projetar uma viga de Aroeira para vencer um vão de 6,30 m sujeita a uma carga q de 
12,0 kN/m. Somente as seções do apoio estão fixadas lateralmente. 
 
 
 
 
 q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 l 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
Solução: a) Propriedades mecânicas da Aroeira: 
 MPab 4,22
_
=σ ; ;0,2
_
MPa=τ ;4,4
_
MPacn =σ E = 14895 MPa. 
 
b) esforços solicitantes 
 
 kNcmkNmxqxM 595454,59
8
3,60,12
8
22
====
l
 
 
 kNxqxV 8,37
2
3,60,12
2
===
l
 
c) dimensionamento 
 Arbitrar b = 15 cm e admitir que não haja flambagem lateral. 
 
c.1) Tensões de flexão 
 
 
_
bb W
M
σσ ≤= ∴ 
_
2
6
bb bh
M
σσ ≤= 
 
 cm
x
x
bx
Mh
b
8,32
24,215
595466
__
==≥
σ
 
 
c.2) Cisalhamento 
 
 
_
2
3
ττ ≤=
bh
V
x 
 
 cm
xx
x
bx
V
xh 9,18
2,0152
8,373
2
3
__
==≥
τ
 
 
c.3) Flecha 
 
 
200
1
384
5 3 ≤=
xEI
q
x
l
l
δ
 
 
 
4
3
460.52200
5,1489
63012,0
384
5
cmx
x
xI x =≥ 
 
 460.52
12
3
≥bh ⇒ cmxh 8,34
15
460.5212
3 =≥ 
 
d) Seção adotada 15 x 40 
 
 
 
 
 34 
e) Verificação da estabilidade lateral 
 
 a = 630 cm 
 ⇒ 215
15
406,1209
22 ==
x
b
hel
 ∴ 
403
22,2
5,14896,06,0
__
==
b
E
σ
 
 el = 1,92 x a = 1,92 x 630 = 1209,6 cm 
 
__2 6,0100
b
e E
b
h
σ
<<
l
 ⇒ 
__
bσ ′ = 




















−
2
__
2
__
6,03
11
b
e
b
E
bh
σ
σ
l
 
 
 
__
bσ ′ = MPa0,20403
215
3
114,22
2
=














− 
 
 <=
Wk
M
b
bσ
__
bσ ′ 
 
 2
6
bhk
M
b
b =σ 
 h = 40 cm ⇒ kb = 
9130






h
 ⇒ kb = 0,97 
 
 <=== MPacmkN
xx
x
b 3,15/53,1401597,0
59546 2
2σ 
__
bσ ′ OK 
 
 A seção a ser adotada para a viga é de 15 x 40 cm. 
 
f) verificação dos apoios 
 
 
 
 
 
_
cncn bxa
R
σσ ≤= 
 
 
 a x b 
 R 
 
 a x b = 2
_
9,85
44,0
8,37
cm
R
cn
==
σ
 a = b = 9,5 cm 
 
 35 
6.6 – VIGAS RETANGULARES SUJEITAS À FLEXÃO OBLÍQUA. 
 
Denomina-se flexão oblíqua a solicitação onde as cargas que produzem momentos não ficam 
situadas num dos planos principais da seção. 
As vigas apoiadas em elementos inclinados estão sujeitas à flexão oblíqua, como é o caso de terças 
de telhado. 
 
 
 w 
 
 
 
 
a) Elevação treliça 
 treliça 
 
 
 
 
 
 l terças 
 
 
 
 
 
b) Planta treliça 
 
 
 
 w w = carga de vento 
 g 
 g = carga permanente 
 gy x 
 gx 
 
 
 x 
 
 
 y 
 
 c) Seção transversal da terça 
 
 
 
 
 
 
 
 36 
Momentos fletores: 
 
 Mx = 
( )
8
2
lwg y +
 My = 8
2lxg
 
 
 
__
b
y
y
x
x
b W
M
W
M
σσ ≤+= 
 
Mx = momento que provoca rotação da seção em torno do eixo x-x 
Wx = módulo de resistência da seção, em torno do eixo x-x. 
 
Esforços cortantes: 
 
 Vy = ( )2
1
wg y + Vx = 2
1
xg 
 
 
__
22
22
2
3
ττττ ≤
+
=+=
bh
VV yX
yx 
 
Vy = esforço cortante no plano y-y 
Vx = esforço cortante no plano x-x. 
 
Flechas: 
 
 
( )wg
EI
x y
x
y +=
4
384
5 lδ 
 
 
( )x
y
x gEI
x
4
384
5 l
=δ 
 
 
200
22 l≤+= yx δδδxδ = flecha no plano y-y 
yδ = flecha no plano x-x 
δ = flecha resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37 
6.6.1 – Exercícios 
 
6.6.1.1 – Verificar a estabilidade de uma terça de peroba-de-campos, com as cargas e 
dimensões da figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3,5 m 
 w = carga de vento 
 w = 2,0 kN/m g = carga permanente 
 
 g = 3,0 kN/m 
 x 
 gy 
 gx 
 gx = 3,0 sen 200 = 1,03 kN/m 
 gy = 3,0 cos 200 = 2,82 kN/m 
 
 x 
 30 
 y 
 200 12 
 
a) Propriedades mecânicas da peroba-de-campos: MPab 5,15
_
=σ ; ;2,1
_
MPa=τ E = 11759 MPa. 
 
b) Propriedades geométricas da seção: 
 
A = 12 x 30 = 360 cm2 
 
3
2
1800
6
3012
cm
xWx == 
2
2
720
6
1230
cm
xWy == 
 
4
3
27000
12
3012
cm
xI x == 
4
3
4320
12
1230
cm
xI y = 
 
 
 
 
 38 
c) Esforços solicitantes e flechas: 
 
 
( ) ( ) kNcmkNmwgM yx 73838,78
5,30,282,2
8
22
==
+
=
+
=
l
 
 kNcmkNmxgM xy 15858,18
5,303,1
8
22
====
l
 
 
( ) ( ) kNwgV yy 44,82
5,30,282,2
2
=
+
=
+
=
l
 
 kNxgV xx 8,12
5,303,1
2
===
l
 
 
 
( )wg
EI
x y
x
x +=
4
384
5 lδ = ( ) cm
x
x 30,002,00282,0
270009,1175
350
384
5 4
=+ 
 
 
( )x
y
y gEI
x
4
384
5 l
=δ = ( ) cm
x
x 39,00103,0
43209,1175
350
384
5 4
= 
 
d) Verificação de tensões e flecha: 
 
 
 
__
b
y
y
x
x
b W
M
W
M
σσ ≤+= 
 
 MPaMPacmkN bb 5,153,6/63,022,041,0720
158
1800
738 __2
=<==+=+= σσ 
 
 
__
22
22
2
3
ττττ ≤
+
=+=
bh
VV yX
yx 
 
 
__
2
22
4,0/04,0
3012
44,88,1
2
3
ττ <==
+
= MPacmkN
x
 
 
 
200
22 l≤+= yx δδδ 
 
 cm49,039,030,0 22 =+=δ 
 
 cm75,1
200
350
200
==≤
lδ OK 
 
 
 
 
 
 39 
7 – LIGAÇÕES DE PEÇAS ESTRUTURAIS 
 
7.1. – TIPOS DE LIGAÇÕES 
 
As peças de madeira bruta têm o comprimento limitado pelo tamanho das árvores, meios de 
transporte etc. As peças de madeira serrada são fabricadas em comprimentos ainda mais limitados, 
geralmente de 4 a 5 m. 
As ligações são os pontos mais perigosos das estruturas de madeira. Devem ser tomados o máximo 
de cuidado tanto no cálculo quanto na execução. 
Os principais tipos de ligação empregados são: 
 
 
 F F F 
 
 
 
a) Cola b) Prego c) Parafuso 
 
 
 
 F F 
 
 
d) Conector metálico e) Entalhe 
 
A colagem é utilizada em grande escala, nas fábricas de peças de madeira laminada e madeira 
compensada. 
As emendas de campo, isto é, as emendas realizadas na obra, não são, em geral, coladas, pois a 
colagem deve fazer-se sob controle rigoroso da cola, da umidade, da pressão e da temperatura. 
 
Os pregos são peças metálicas, em geral cravadas na madeira com impacto. Eles são utilizados em 
ligações de montagem e ligações definitivas. 
 
Os parafusos são de dois tipos: 
a) parafusos rosqueados auto-atarraxantes; 
b) parafusos com porcas e arruelas. 
 
Os parafusos auto-atarraxantes são muito utilizados em marcenaria, ou para prender acessórios 
metálicos em postes, dormentes etc.; não se empregam em geral como elementos de ligação de 
peças estruturais de madeira. 
Os parafusos utilizados nas ligações estruturais são cilíndricos e lisos, tendo numa extremidade uma 
cabeça e na outra uma rosca e porca. Eles são instalados em furos com folga máxima de 1 a 2 
milímetros e depois apertados com a porca. Para reduzir a pressão de apoio na superfície da 
madeira, utilizam-se arruelas metálicas. 
 
Os conectores são peças metálicas especiais, encaixadas em ranhuras, na superfície da madeira e 
apresentando grande eficiência na transmissão de esforços. No local de cada conector, coloca-se um 
parafuso para impedir a separação das peças ligadas. Os conectores usuais são em forma de anel. 
 40 
Os entalhes e encaixes são ligações em que a madeira trabalha à compressão associada a corte. 
Nessas ligações, a madeira realiza em geral o principal trabalho de transmissão dos esforços, 
utilizando-se grampos ou parafusos para impedir a separação das peças. 
 
 
7.2 – CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO 
 
As emendas coladas são bastante rígidas. Seu dimensionamento se faz por um critério de 
resistência: tensão admissível igual a tensão experimental de ruptura dividida pelo coeficiente de 
segurança. 
 
Nas emendas por entalhes ou encaixes, utilizam-se as tensões admissíveis da madeira para os 
esforços atuantes. 
 
As emendas com pregos, parafusos ou conectores são dimensionadas com tensões admissíveis 
determinadas em ensaios em escala natural. Tratando-se de ligação deformáveis, a tensão 
admissível pode ser determinada por um critério de resistência ou de deformação. A Norma NB-11 
adota para esforço admissível o menor dos seguintes valores: 
 
 
a) 50% do limite de proporcionalidade experimental; 
b) 20% da resistência à ruptura experimental; 
c) esforço correspondente a um deslocamento relativo de 1,5 mm entre as peças ligadas. 
 
 
 
 
 F F F F 
 
 
 
a) cola b) pregos c) conector de anel d) parafuso 
 
 F Fu F Fu F Fu F Fu 
 
 
 
__
F 
__
F 
__
F 
__
F 
 
 
 0 1,5mm δ 0 1,5mm δ 0 1,5mm δ 0 1,5mm δ 
 
 Fu = carga de ruptura; 
__
F = carga admissível 
 
 
 
 
 
 
 
 41 
 
7.3 – PREGOS 
 
7.3.1. – Tipos e bitolas de pregos. 
 
Os pregos são fabricados com arame de aço-doce, em grandes variedades de tamanhos. As bitolas 
comerciais antigas, ainda utilizadas no Brasil, descrevem os pregos por dois números: o primeiro 
representa o diâmetro em fieira francesa; o segundo mede o comprimento em linhas portuguesas. 
 
Nomenclatura comercial (22 x 48) – diâmetro em fieira francesa e comprimento em linhas 
portuguesas; 
Padronização ABNT (54 x 108) – diâmetro em décimos de milímetros e comprimento em 
milímetros 
 
 ℓTabela de pregos 
Medidas (mm) Designação 
Espessura (d) Comprimento (ℓ) 
17x24 3,00 57,00 
17x27 3,00 63,00 
17x30 3,00 69,00 
19x36 3,90 82,00 
20x30 4,40 69,00 
20x33 4,40 76,00 
20x39 4,40 89,00 
20x42 4,40 95,00 
21x33 4,90 76,00 
21x45 4,90 101,00 
21x48 4,90 108,00 
21x54 4,90 127,00 
22x45 5,40 101,00 
22x48 5,40 108,00 
23x54 5,90 127,00 
23x60 5,90 140,00 
25x72 7,00 165,00 
26x72 7,60 165,00 
26x78 7,60 178,00 
26x84 7,60 190,00 
 d 
 42 
7.3.2. – Disposições construtivas 
 
As ligações pregadas devem ser obrigatoriamente pré-furadas, com diâmetro df não maior que o 
diâmetro d do prego, atendendo aos valores: 
df = 0,85d – para as coníferas 
df = 0,98d – para as demais 
 
Nas ligações com mais de oito (8) pregos, os pregos adicionais devem ser considerados com apenas 
2/3 de sua resistência individual. 
 
Os pregos estruturais devem apresentar fyk ≥ 600 Mpa e diâmetro d ≥ 3 mm. 
Recomendação para a escolha do diâmetro do prego: 
5
0,3 bdmm ≤≤ sendo 
b = a menor espessura da madeira atravessada; 
d = o diâmetro do prego. 
As distâncias mínimas dos pregos, segundo a NB-11, estão representadas a seguir: 
 
 Espaçamento entre pregos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3.3. – Carga admissível dos pregos. 
 
A carga admissível de um prego correspondente a uma única seção de corte é determinada em 
função dos parâmetros: 
 
23
__
KdF = onde 
__
F = força admissível (N) para um prego cravado, na direção normal à fibra, em corte simples 
(tensão de corte paralela ou normal às fibras; 
d = diâmetro do prego (mm). 
 6d 7d 
 
 
 
 
1,
5d
 
 
 
 
3d
 
 
 
1,
5d
 
 
 6d 4d 
1,
5d
 
 
 
3d
 
 
 
 
1,
5d
 
 
 1,5d 3d 1,5d 
 
4d
 
 
 
 
6d
 
 
 
1,
5d
 
1,5d 3d 1,5d 
1,
5d
 
 
 
6d
 
 
 
4d
 
a) Solicitação paralela às fibras 
b) Solicitação normal às fibras 
 43 
Para pregos aplicados em madeira seca ao ar, o coeficiente “K” tem os seguintes valores: 
 
K = 44,1 para madeiras com peso específico γ < 0,65; 
K = 73,5 para madeiras com peso específico γ > 0,65. 
 
Pregos trabalhando em corte simples: 
 
 ( t4 < t2) (t4 = t2) 
 
 
 
 
 
 d d 
 
 t1 t4 t4 ≥ 12d t1 t2 t4 = t2 
 t2 
 
 
 
 
Pregos trabalhando em corte duplo: 
 
 (t4 < t3) (t4 = t3) 
 
 
 
 d t4 d 
 d t4 ≥ 12d t4 = t3 
 
 t1 t2 t3 t1 t2 t3 
 
 
 
 
Para os pregos cravados a partir de faces opostas de uma peça intermediária, os espaçamentos (s), 
na direção da fibra, dos pregos transpassados, dependem da distância (a) entre a ponta do prego e a 
face oposta à de cravação: 
 a a 
 
 
 
 
 s = 6d 
 
 
 
 
 a a 
 
 a ≥ 8d a < 8d 
 44 
 Sendo: 
 
 a = distância entre a ponta do prego e a face oposta à cravação; 
 s = espaçamento na direção da força transmitida; 
 d = diâmetro do prego. 
 
 
7.3.4. – Exercícios 
 
7.3.4.1. - Projetar a emenda de uma peça de Peroba-rosa de 7,5 x 10 cm (3” x 4”), sujeita a um 
esforço de 22 kN. 
 
 
 40 (b) 
 N/2 
 N = 22 kN 
 75 
 N/2 
 40 (b) 
 
Peroba-rosa ⇒ γ = 0,78 g/cm3 
 
γ > 0,65 ⇒ K = 73,5 ⇒ F = 73,5d3/2 = 35,73 d 
 
Escolha do prego: 
5
0,3 bdmm ≤≤ ⇒ ≤≤ dmm0,3 8,0mm 
 
 d = 5,4 mm 
Tabela de pregos ⇒ 22 x 48 l = 108 mm 
 F = ( )34,55,73 = 922 N 
 
 
 a < 8d 
 
 t4 =68 108 ( l ) 8d = 8 x 5,4 = 43,2 mm 
 7 (a) 
 a = 7 < 8d = 43,2 ⇒ s =6d 
 
 t4 ≥ 12d = 12 x 5,4 = 64,8mm 
 
No de pregos necessários: n = 24
922
22000
==
F
N
 pregos ( 12 pregos em cada face) 
 
 
 1,5d = 1,5 x 5,4 =8,1 mm ≈ 10 mm 
Cisalhamento simples: 3d = 3 x 5,4 = 16,2 mm ≈ 20 mm 
 6d = 6 x 5,4 = 32,4 mm ≈ 35 mm 
 7d = 7 x 5,4 = 37,8mm ≈ 40 mm 
 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 pregos 
 22 x 4812 pregos 
 22 x 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 35 35 35 35 35 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10
 
 
25
 
 
30
 
 
25
 
10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 70 70 75 
 
 75 70 70 40 
 46 
 
7.4 – PARAFUSOS 
 
7.4.1 – Parafusos Auto-atarraxantes. 
 
Os parafusos auto-atarraxantes em geral trabalham a corte simples. Eles são instalados com furação 
prévia, devendo a ponta penetrar 8d para desenvolver o esforço de corte admissível. 
 
 
 
 a1 ≥ 8d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As ligações com parafusos auto-atarraxantes são empregadas em obras secundárias ou provisórias 
(escoramentos). 
 
 
 
7.4.2. – Parafusos de porca e arruela. 
 
Os parafusos são instalados em furos ajustados, de modo a não ultrapassar a folga de 1 a 1,5 mm. O 
aperto do parafuso se faz com a porca, transmitindo-se o esforço à madeira por meio de arruelas. 
As ligações parafusadas são consideradas rígidas quando o diâmetro de pré-furação não ultrapassar 
o limite: df ≤ 0,5d 
 
 
 
 F 
 
 
 
 
 d 
 
 
 Aσ 
 
 F/2 F/2 
 b 
 b1 b1 
 
 
 47 
7.4.2.1. – Disposições construtivas 
 
O diâmetro do furo deve ser apertado para o parafuso, de modo que a folga seja a menor possível. A 
DIN-1052 recomenda folga máxima de 1 mm; as normas americanas adotam folga de 1/16” = 1,6 
mm. 
 
As arruelas podem ser dimensionadas para transferir à madeira uma força escolhida arbitrariamente. 
As especificações americanas adotam dois tipos de arruelas: 
 
 a) arruelas leves, circulares, estampadas, calculadas para transferir à madeira, com tensão de 
apoio 
 ≅ 30 Kgf/cm2, uma força de 10 a 20% da carga de tração admissível do parafuso; 
 
 b) arruelas pesadas, de chapas quadradas, calculadas para transferir à madeira, com tensão de 
apoio 
 ≅ 30 Kgf/cm2, uma força igual à carga de tração admissível do parafuso. 
 
A carga de tração admissível no parafuso, referida acima, é igual a área do núcleo da rosca An 
multiplicada pela tensão admissível do aço do parafuso. 
 
 
 
 Parafusos Comuns – Rosca Padrão Americano – Aço Comum – fy = 240 MPa 
 Diâmetro do fuste 
 d 
 Diâmetro do furo 
 d ′ 
 Arruelas de chapa 
 
 (pol.) 
 
 (mm) 
 Área bruta 
 A 
 
 (cm2) 
 
Á. do núcleo 
 An 
 
 (cm2) 
 (pol.) 
 
 (mm) 
 Lado 
 (mm) 
Espessura 
 (pol.) 
 
3/8 
1/2 
5/8 
3/4 
7/8 
1 
1 1/8 
1 1/4 
1 3/8 
1 1/2 
1 3/4 
2 
 
 
9,5 
12,7 
16 
19 
22 
25 
29 
32 
35 
38 
45 
51 
 
 
0.71 
1,27 
1,98 
2,85 
3,88 
5,07 
6,43 
7,92 
9,58 
11,4 
15,52 
20,27 
 
 
0,44 
0,81 
1,30 
1,95 
2,70 
3,56 
4,47 
5,74 
6,77 
8,32 
11,23 
14,84 
 
 
7/16 
9/16 
11/16 
13/16 
15/16 
1 1/16 
1 1/4 
1 3/8 
1 1/2 
1 5/8 
1 7/8 
2 1/8 
 
 
11 
14 
17 
21 
24 
27 
32 
35 
38 
41 
48 
54 
 
 
45 
60 
75 
95 
110 
125 
145 
160 
180 
200 
230 
260 
 
 
3/16 
1/4 
5/16 
3/8 
1/2 
1/2 
5/8 
3/4 
3/4 
7/8 
1 
11/8 
 
 
 
Segundo a NB-11, as arruelas devem ter espessura mínima de 9 mm (3/8”) no caso de pontes, e 6 
mm (1/4”), em outras obras. Comercialmente utilizam-se arruelas quadradas ou circulares; a 
espessura não deve ser inferior a 1/8 do lado ou diâmetro da arruela, para que a mesma tenha rigidez 
suficiente. 
 
 
 48 
A NB-11 especifica os seguintes diâmetros construtivos mínimos dos parafusos: 
 
 - elementos principais de pontes: d ≥ 16 mm (5/8”); 
 
 - demais casos: d ≥ 9 mm (3/8”). 
 
Nas ligações de peças com parafusos, utilizam-se peças auxiliares (talas) de madeira ou de chapa de 
aço. As chapas de aço das ligações devem ter as seguintes espessuras mínimas: 
 
 - elementos principais de pontes: t ≥ 9 mm (3/8”); 
 
 - demais casos: t ≥ 6 mm (1/4”). 
 
 
7.4.2.2. – Espaçamento mínimo entre parafusos. 
 
 
 
 
 
 1,5 d 
 
 3d 
 
 1,5d 
 
 
 4d 4d 7d 
 a-1) Peças tracionadas 
 
 
 
 
 1,5d 
 
 3d 
 
 1,5d 
 
 
 4d 4d 4d 
 a-2) Peças comprimidas 
 
a) Esforço paralelo as fibras 
 
 
 
 
 
 
 49 
 
 
 
 
 1,5d 3d 1,5d 1,5d 3d 1,5d 
 
1,5d 4d 
 
 
4d 4d 
 
 
4d 1,5d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Esforço normal as fibras 
 
 
7.4.2.3.- Esforços admissíveis nos parafusos. 
 
 
 
 
 F 
 b aσ 
 
 
 
 d 
 
aσ = ≤bd
F
 aσ sendo 
 
aσ = tensão de apoio; 
 F = esforço no parafuso 
 b = largura da peça de madeira 
 d = diâmetro do parafuso 
aσ = tensão admissível de apoio da madeira no plano diametral do parafuso. 
 
 
 50 
 
Para peças expostas ao tempo, podem ser adotados os seguintes valores admissíveis para as tensões 
de apoio da madeira no plano diametral dos parafusos: 
 
- esforço na direção das fibras: 
- 
 talas metálicas aσ = 0,9 cσ 
 talas de madeira aσ = 0,8 x 0,9 cσ = 0,72 cσ 
 
 
- esforço na direção perpendicular às fibras, com talas metálicas ou de madeira: 
 
 anσ = 0,225kn cσ onde 
 kn = coeficiente de majoração destinado a levar em conta o efeito de carregamento local, no 
caso de parafusos de pequenos diâmetros. 
 
 
d (cm) 0,62 0,95 1,25 1,6 1,9 2,2 2,5 
 
kn 2,5 1,95 1,68 1,52 1,41 1,33 1,27 
 
d (cm) 3.1 3,8 4,4 5,0 6,3 7,5 
 
 
kn 1,19 1,14 1,10 1,07 1,03 1,00 
 
 
 
 
Esforços admissíveis nos parafusos: 
 
a) talas de madeira – esforço na direção das fibras: 
a
y
crit
f
db
σ
77,0= 
 
Se b ≤ bcrit - parafusos curtos (pequenas espessuras de madeira) 
 
⇒ F = b x d x aσ 
 
 
Se b > bcrit - parafusos longos 
 
⇒ ay xfdF σ277,0= 
Esforço na direção normal às fibras: 
an
y
ncrit
f
db
σ
51,0= 
 
Se b ≤ bncrit - parafusos curtos (pequenas espessuras de madeira)