Slide de Aula - Unidade I

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Unidade I 
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Prof. Francisco Sevegnani
Oscilações livres sem amortecimento
1. Oscilação
 Oscilação significa avanço e retrocesso que se alternam.
 O processo pode ser periódico ou não.
 Vibração: oscilação mecânica rápida.
 Fenômenos oscilatórios ocorrem incessantemente.
 Estão presentes em quase todos os processos na Ciência e na 
técnica.
 O conhecimento de oscilações está na base de estudo de 
ondas.
Oscilações livres sem amortecimento
1. Oscilação
 Exemplos de osciladores.
 Pêndulo de mola.
 Pêndulo simples.
 Pêndulo composto.
 Tensão alternada em rede elétrica.
 Corrente alternada em rede elétrica.
 Pistão em motor à explosão.
 Elétrons em antenas.
 Átomos em moléculas.
 Cordas de violino.
Oscilações livres sem amortecimento
1. Oscilação
 Os fenômenos oscilatórios, em suas múltiplas modalidades e 
manifestações, é um campo extenso e complexo. 
Nesse texto examinaremos somente os casos típicos 
mais simples, a saber:
 Oscilações livres sem amortecimento.
 Movimento amortecido.
 A oscilação só pode existir em equilíbrio estável.
 Estando o sistema em posição genérica, fora do equilíbrio, age 
necessariamente uma “força de restituição”, como diz o nome, é 
uma força que age no sentido de reconduzir o sistema à 
configuração de equilíbrio estável. 
 No caso mais simples, a força de restituição é força elástica.
Oscilações livres sem amortecimento
1. Oscilação
 Para fixar ideias, admitamos que a oscilação seja vertical, eixo 
Oy descendente. 
As forças que intervêm em sistemas oscilantes são:
Força peso: 
 Sendo m a massa do corpo oscilante; g, a aceleração da 
gravidade. A força peso é conservativa.
Força elástica:
 Sendo k a constante elástica da mola; y, a deformação da mola.
 A força elástica é conservativa.
jykFelastica


jgmgmP


Oscilações livres sem amortecimento
1. Introdução
Força viscosa: 
 Sendo c o coeficiente de resistência viscosa e v a velocidade.
 Essa força resulta de processo dissipador de energia 
mecânica.
 Dispositivo construído para exercer força viscosa é chamado 
de amortecedor.
Força resultante: 
 Equivale à soma vetorial de todas as forças exercidas na 
partícula oscilante. Em oscilação unidimensional segundo o 
eixo Oy, essa força pode ser apresentada como:
jvcF avis

cos
jamFresult

.
jÿmFouj
td
yd
mF resultresult

 .2
2
.
Oscilações livres sem amortecimento
2. Energia em sistemas oscilantes
 Uma partícula de massa m, com velocidade v, possui energia 
cinética , força elástica 
que confere ao corpo uma energia potencial elástica 
 O incremento de energia cinética do sistema equivale ao 
trabalho resultante de todas as forças atuantes, ou seja
 Ou de forma equivalente, o incremento de energia mecânica 
do sistema é igual ao trabalho resultante da força
2
2
1
vmEcinética  jykF


2
2
1
ykEp 
)(tan TECcinéticaenergiadateoremaEcinéticateresul 
)( TEMmecânicaenergiadateoremaEmecânicaasdissipativforças 
Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
 O sistema mecânico oscilatório mais simples é formado por 
um corpo de massa m e uma mola de constante elástica k.
 A mola tem uma extremidade fixa e em sua outra extremidade 
fixa-se o corpo.
 Um operador externo transfere energia ao sistema que passa a 
oscilar em um campo gravitacional uniforme de intensidade g.
 Na análise do movimento do corpo, que será feita a seguir, não 
será considerada a massa da mola.
 Será considerado que o sistema está imerso em um ambiente 
sem o ar atmosférico (vácuo).
Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
 As forças que atuam no corpo serão somente duas, a força 
peso exercida pela Terra e a força elástica exercida pela mola.
 A força da mola segue a Lei de Hooke expressa por: 
 Sendo que representa sua deformação.
molamola ykF 
molay
Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
 Figura 1 – mola de constante elástica k, sujeita a uma 
deformação que é definida pelo peso.
0LLymola 
0LLymola 
Fonte: livro-texto
Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
 Figura 2 – na posição I, a mola está no seu comprimento 
natural. Na posição II, o corpo está na sua posição de 
equilíbrio. Na posição III, o corpo está em movimento 
fora da sua posição de equilíbrio. 
Fonte: livro-texto
Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
 A posição do corpo y tem como origem a posição onde 
as forças da mola e força peso se anulam.
 Aplicando a Segunda Lei de Newton:
)( yykyk
gmyk
td
yd
v
td
vd
mykmg
emola
e
mola



Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
0
)(:0
0
2
2
2
2
2
2
2
2




y
m
k
td
yd
myk
td
yd
m
td
yd
myk
td
yd
mykykgm e
Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
 A equação anterior é conhecida como equação diferencial do
movimento harmônico simples (MHS).
 Faz-se
 A solução dessa equação diferencial segue a lei:
 A equação da velocidade é:
)(cos   tyy m
0, 2
2
2
2  y
td
yd
m
k
m
k

)(   tseny
td
yd
v m
Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
 A equação da aceleração é: 
 Supondo conhecidas as condições iniciais do movimento 
y(0) e v(0), ficam definidas a amplitude ym e a fase inicial θ.
yty
td
vd
a m
22 )(cos  
Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
 Na figura a seguir apresentamos os gráficos da posição, 
velocidade e aceleração em função do tempo no MHS.
Fonte: livro-texto
Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
Uma partícula executa movimento harmônico simples segundo 
a equação horária: . Calcular:
a) A amplitude, a pulsação, a fase inicial, o período e a 
frequência.
b) A posição, a velocidade e a aceleração para t = 8s.
c) A aceleração para y = 3 m.
Solução
a) 
)()
34
(cos4 SIty


HzfsT
radsradmym
8
1
,8
4
22
,
3
,/
4
,4










Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
Solução
b)
2
2
/23,1)
3
8
4
(cos46,2
/72,2
)
3
8.
4
()
34
(8
)
34
(cos46,2
)
34
(cos
4
)
34
(cos
4
.
)
34
()
34
(
4
.4
sma
smv
sentsenvstPara
ta
tt
td
vd
a
tsentsen
td
yd
v

















Oscilações livres sem amortecimento
3. Oscilação livre sem amortecimento
Solução
c)
222 /85,13.)
4
( smya 


Interatividade
Um corpo executa movimento oscilatório periódico segundo a 
equação horária: y = 2 cos (2 π t + π/3) (m). A posição do móvel 
no instante t = 2 s vale:
a) y = 2 m.
b) y = 1 m.
c) y = 3 m.
d) y = 5 m.
e) y = 10 m.
Resposta
Um corpo executa movimento oscilatório periódico segundo a 
equação horária: y = 2 cos (2 π t + π/3) (m). A posição do móvel 
no instante t = 2 s vale:
a) y = 2 m.
b) y = 1 m.
c) y = 3 m.
d) y = 5 m.
e) y = 10 m.
Oscilações livres sem amortecimento
sT
s
rad
rad
3
2
3
22
,3,
3








1. Uma partícula executa movimento harmônico simples 
segundo a equação:
Pedem-se:
a) A fase inicial, a pulsação e o período.
b) A elongação, a velocidade e a aceleração no instante t = 2 s.
Solução
a)
Oscilações livres sem amortecimento
b) Para t = 2s , y = ? v = ? a = ? 
Posição y
y = 0,06 cos (3 π .2 + π/3) = 0,06 cos (π/3) = 0,06. 0,5 = 0,03 m
y = 0,03 m
Velocidade
smv
v
sentsen
dt
dy
v
/4897,0
866,0.5655,0
)
3
2.3(5655,0)
3
3(3.06,0







Oscilações livres sem amortecimentob) Para t = 2s , y = ? v = ? a = ? 
Aceleração
2/66,2
5,0.329,5)
3
23(cos329,5
)
3
3(cos329,5)
3
3(cos3.5655,0
sma
a
tta
td
vd
a










Oscilações livres sem amortecimento
2. Uma partícula executa movimento harmônico simples com 
período de oscilação de 16s. Quando t = 2s, a partícula passa 
pela origem e quando t = 4s, sua velocidade é de 4 m/s. 
Determinar:
a) A fase inicial do movimento e a amplitude do movimento.
b) As equações horárias do movimento. 
Solução
a) Equações horárias do movimento harmônico simples (MHS).
O período é T = 16s
)(cos)()(cos 2   tyatsenyvtyy mmm
sradT /
816
22
16
2 






Oscilações livres sem amortecimento
2. Para t = 2s, tem-se que y = 0.
rad
rad
ym
4
5
42
3
2
3
4
44224
.....,
2
3
,
24
0)
4
(cos)2.
8
(cos0
2
1
























Oscilações livres sem amortecimento
2. Para t = 4s, tem-se que v = 4 m/s.
m
sen
y
yradpara
sen
y
senysmvstPara
tsenyv
m
mm
m
m
41,14
)
4
5
2
(
32
0
4
5
0
)
2
(
32
)4.
8
(
8
4/44
)(
2




















Oscilações livres sem amortecimento
2. b) Equações horárias
)/()
4
5
8
(cos22,2)
4
5
8
(cos41,14)
8
(
)/()
4
5
8
(659,5)/()
4
5
8
(41,14.
8
)()
4
5
8
(cos41,14
)(cos)()(cos
22
2
smtata
smtsenvsmtsenv
mty
tyatsenyvtyy mmm








Oscilações livres sem amortecimento
3. Energia no movimento harmônico simples
3.1 Trabalho da força elástica
)(
2
1
2
.
.
22
2
ABAB
y
y
AB
y
y
AB yyk
y
kydyk
ydykdjydjykd
elementartrabalholdFd
elementartodeslocamenjydld
elásticaforçajykF
B
A
B
A














 






Oscilações livres sem amortecimento
3. Energia no movimento harmônico simples
3.1 Trabalho da força elástica
 O trabalho de A até B não depende da trajetória, mas só das 
posições final e inicial. A força elástica é conservativa e a elas 
associa-se o conceito de energia potencial.
3.2 Energia potencial elástica
2
2
22
22
22
2
1
)(
0tan
2
1
)(
tan
2
1
)(
2
1
)(
)()(
2
1
2
1
)()()(
2
1
)()(
ykEP
teconsykEP
teconsykEPykEP
EPEPykyk
EPEPyykEPEP
BBAA
BAAB
BAABBAAB





Oscilações livres sem amortecimento
3. Energia no movimento harmônico simples
3.3 Energia cinética
3.4 Energia mecânica
Definição: (EM) = (EP) + (EC)






 2
2
1
) mykEM
)(
2
1
)(
2
1
)( 222 yykECvmEC m 
22
2
1
2
1
)( vmykEM 
Oscilações livres sem amortecimento
3. Energia no movimento harmônico simples
3.5 Diagrama da energia em função da elongação
2/66,2
5,0.329,5)
3
23(cos329,5
)
3
3(cos329,5)
3
3(cos3.5655,0
sma
a
tta
td
vd
a






Fonte: livro-texto
Oscilações livres sem amortecimento
4. Exercícios
 Um corpo de massa 400 g realiza um movimento harmônico 
simples obedecendo a equação: y = 0,2 cos (π t + π/3) (m).
Determinar:
a) Os dois primeiros instantes em que o corpo passa pela 
posição de equilíbrio.
b) A velocidade e a energia cinética para t = 2s.
c) A aceleração do móvel, a energia cinética, a energia 
potencial e a energia mecânica para y = 0,1 m.
Oscilações livres sem amortecimento
4. Exercícios
Solução
a) 
stt
sttt
tt
mytparaty
6
7
2
3
3
.
6
1
23
.,
2
3
,
23
.
0)
3
.(cos)
3
.(cos2,00
0,?)
3
(cos2,0
2
1
















Oscilações livres sem amortecimento
4. Exercícios
Solução
b) Para t = 2s, v = ? (EC) = ?
JECvmEC
smvsenv
vstParatsenv
td
yd
vty
222 10.92,5)544,0(40,0
2
1
)(
2
1
)(
/544,0866,0.2,0)
3
2(2,0
?,2)
3
(2,0
)
3
(cos2,0











Oscilações livres sem amortecimento
4. Exercícios
Solução
c) Para y = 0,10 m, a = ? (EC) = ?, (EP) = ?, (EM) = ?
JyykEC
JykEM
JEP
mNkmkykEP
smaya
m
m
22222
222
22
222
222
10.922,5)1,02,0(948,3.
2
1
)(
2
1
)(
10.896,72,0.948,3
2
1
2
1
)(
10.974,11,0.948,3
2
1
)(
)/(948,34,0
2
1
)(
/987,01,0.










Oscilações livres sem amortecimento
4. Exercícios
Um pêndulo simples de comprimento L = 2,0 m oscila em um 
campo de gravidade g = 10 m/s2. Pedem-se:
a) A frequência de oscilação.
b) A nova frequência de oscilação se o pêndulo fosse colocado 
em uma caixa que estivesse com aceleração a = 2 m/s2 para 
cima.
a)
b)
Hzf
L
g
f
L
g
f
T
f
g
L
T
36,0
2
10
2
1
2
1
2
11
2





Hzf
L
ag
f 39,0
2
210
2
1
2
1






Solução
Oscilações livres sem amortecimento
5. Exercícios
Em um pêndulo simples tem-se um corpo de massa m = 2,0 kg 
preso a um fio de comprimento L. O corpo oscila com amplitude 
angular e sua equação horária é: 
Dado g = 10 m/s2. Pedem-se:
a) O comprimento L do pêndulo.
b) Sua velocidade escalar máxima.
c) A velocidade escalar no instante: 
m
).()5,4(cos1,0 ISt
s
T
t
8

Oscilações livres sem amortecimento
5. Exercícios
Solução
a)
b)
smvLv
s
rad
tsen
tsenx
t
m
m
/22,0494,0.45,0.
45,0
)5,4(45,0
)5,4(5,41,0
)5,4(cos1,0
maxmax 













mLL
g
L
L
g
494,0
5,4
10
22



Oscilações livres sem amortecimento
5. Exercícios
Solução
c)
s
T
t
sT
175,0
8
4,1
8
4,1
5,4
22





smv
senv
xsenv
tsenv
tsenv
Lv
/156,0
)7875,0(22,0
)175,05,4(22,0
)5,4(22,0
)494,0()5,4(45,0






Interatividade
Uma partícula de massa m = 2,5 kg, presa à extremidade de uma 
mola de constante elástica k = 1000 N/m, executa movimento 
harmônico simples de amplitude máxima 0,2 m. A energia 
mecânica vale:
a) (EM) = 40 J.
b) (EM) = 80 J.
c) (EM) = 20 J.
d) (EM) = 10 J.
e) (EM) = 200 J.
Resposta
Uma partícula de massa m = 2,5 kg, presa à extremidade de uma 
mola de constante elástica k = 1000 N/m, executa movimento 
harmônico simples de amplitude máxima 0,2 m. A energia 
mecânica vale:
a) (EM) = 40 J.
b) (EM) = 80 J.
c) (EM) = 20 J.
d) (EM) = 10 J.
e) (EM) = 200 J.
Movimento amortecido
1. Definição de movimento amortecido
 Quando o movimento de um oscilador fica sujeito a uma força 
que atua sempre em sentido contrário à velocidade do 
oscilador, então o movimento é chamado de amortecido.
 Exemplo: o amortecedor de um automóvel.
 Supor que a força exercida pelo amortecedor seja diretamente 
proporcional à velocidade do oscilador.
Movimento amortecido
 Amortecedor de carro.
Fonte: livro-texto
Movimento amortecido
2. Equação diferencial
Uma partícula de massa m move-se sobre o eixo Oy sob a ação 
de força elástica F el = – k y e resistência viscosa 
F vis = – b v 
Aplicando a segunda lei de Newton ao corpo 
de massa m, tem-se:
2
02
2
2
2
2
2
0
)(:



m
k
y
m
k
td
yd
m
b
td
yd
m
td
yd
m
td
yd
byk
td
yd
mvbyk
amFres
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
2. Equação diferencial
amortecidomovimentodo
ordemsegundadeldiferenciaEquação
y
td
yd
td
yd
ntoamortecimedeparâmetro
m
b
m
b
livresoscilaçõesdaspulsação




02
2
2
2
02
2
0




Movimento amortecido
3. Tipos de amortecimento
Define-se grau de amortecimento a grandeza:
a) Se β < 1, o amortecimento é fraco ou subcrítico, sendo
representado pela equação:
0

 
22
0)(cos 
   teyy tm
Movimento amortecido
3. Tipos de amortecimento
b) Se β = 1, o amortecimento é crítico, sendo representado
pela equação:
c) Se β > 1 , o amortecimento é forte ou supercrítico, sendo 
representado pela equação:
tetAAy  )( 21
2
0
2)(
2
)(
1 
   tt eAeAy
Movimento amortecido
3. Tipos de amortecimento
 No gráfico abaixo estão representadasas curvas para cada 
tipo de amortecimento. No amortecimento fraco, o corpo 
oscila em torno da posição de equilíbrio até parar. No 
amortecimento crítico e forte, o corpo não oscila. 
Fonte: livro-texto
Movimento amortecido
4. Atenuação exponencial
 Ocorre em oscilações amortecidas e outros fenômenos 
transitórios.
 Exemplos: decaimento radioativo, circuito RC, circuito RL, 
circuito RLC com amortecimento crítico ou supercrítico.
A amplitude decai com o tempo segundo a lei: tm eyy

Fonte: livro-texto
Movimento amortecido
4. Atenuação exponencial
A amplitude decai com o tempo segundo a lei:






1
'
'
''
)(''
'
'









tt
ttt
m
tt
m
t
m
t
m
e
y
y
e
y
y
eyyeeyy
eyyeyy
tttposteriordataemeyy
Movimento amortecido
4. Atenuação exponencial
 A relação y/y’ não depende do instante t, mas somente da 
duração Δ t a partir de qualquer data t.
 Em datas sucedendo-se em progressão aritmética, a 
amplitude decresce em progressão geométrica.
 Constante de tempo exponencial é o recíproco do parâmetro 
de amortecimento γ
Decremento logarítmico da lei de atenuação é o número D = γ T


1

Movimento amortecido
5. Exercícios
5.1 Uma partícula de massa m = 5,0 kg pende de uma mola de 
constante elástica k = 20,0 N/m e ao mover-se fica sujeita a uma 
resistência viscosa de coeficiente b = 10,0 N.s/m. Ela é 
distendida e abandonada em repouso à distância de 10 cm de 
sua posição de equilíbrio. Determinar:
a) A equação diferencial do movimento.
b) Qual o tipo de amortecimento?
c) Escrever as equações horárias 
do movimento.
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
5. Exercícios
5.1 Solução
a) Partindo da Segunda Lei de Newton F = m a
042
/244
5
20
/1
5.2
10
2
20
)(:0
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2





y
td
yd
td
yd
srad
m
k
srad
m
b
m
b
y
m
k
td
yd
m
b
td
yd
myk
td
yd
b
td
yd
m
td
yd
m
td
yd
byk
amF


Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
5. Exercícios
5.1 b) e c) Tipo de amortecimento e equações horárias
radtg
srad
ey
smvstteyv
yyey
mcmystteyy
fracontoamortecime
a
a
m
t
m
mmm
t
m
09,2º12060180º60732,1
1
732,1
/732,1312
º90)(cos0)0.2(cos20
/00)(cos
cos
10,0
cos10,0)0.2(cos10,0
10,0100)(cos
,15,0
2
1
2222
0
0.1
0
0.1
0



























Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
5. Exercícios
5.1 Solução
)/()66,3732,1(cos4620,0
)09,2.252,0732,1(cos1155,0.2)2(cos
)/()57,1732,1(cos231,0
)09,252,0732,1(cos1155,0.2)(cos
)()52,0732,1(cos1155,0)(cos
1155,0
)º30(cos
10,0
cos
10,0
º150º21090120
52,0º3090120º90
21
122
0
0
22
1
smtea
teateya
smtev
tevteyv
mteyteyy
my
negativaamplitudeatornaou
positivaamplitudeatornarad
t
tt
m
t
tt
m
tt
m
m
























Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
5. Exercícios
5.2 Um movimento amortecido segue a lei: 
Deduzir as equações horárias da velocidade e da 
aceleração.
Solução
Equações horárias do movimento amortecido subcrítico 
ou fraco para β < 1:
)2(cos
)(cos)(cos
2
0
0








teya
teyvteyy
t
m
t
m
t
m
)()2,1(cos2 2/ cmtey t
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
5.2 Exercícios – Solução
Por comparação, pode-se escrever:
)()2,1(cos2 2/ cmtey t
radtg
sradsradradcmy
teyy
m
t
m
96,1º6,11238,67180,º38,674,2
5,0
2,1
/3,15,02,1/2,1,/
2
1
,2
)(cos
22
0


 






Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
5.2 Exercícios – solução
)/()93,32,1(cos38,3
)96,1.202,1(cos2.3,1
)2(cos
)/()96,12,1(cos6,2
)96,102,1(cos2.3,1
)(cos
22/
2/2
2
0
2/
2/
0
scmtea
tea
teya
scmtev
tev
teyv
t
t
t
m
t
t
t
m
















Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Interatividade
No sistema esquematizado, são dados: m = 4,0 kg, k = 400 N/m, 
c = 64 N.s/m e g = 10 m/s2. Inicialmente, a mola tem seu 
comprimento natural. Liberado o sistema, pode-se dizer que o 
grau de amortecimento β e o tipo de amortecimento são, 
respectivamente:
a) β = 0,8 e movimento amortecido fraco.
b) β = 10,0 e movimento amortecido forte.
c) β = 1,0 e movimento amortecido crítico.
d) β = 0,8 e movimento amortecido forte.
e) β = 64 e movimento amortecido forte.
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Resposta
No sistema esquematizado, são dados: m = 4,0 kg, k = 400 N/m, 
c = 64 N.s/m e g = 10 m/s2. Inicialmente, a mola tem seu 
comprimento natural. Liberado o sistema, pode-se dizer que o 
grau de amortecimento β e o tipo de amortecimento são, 
respectivamente:
a) β = 0,8 e movimento amortecido fraco.
b) β = 10,0 e movimento amortecido forte.
c) β = 1,0 e movimento amortecido crítico.
d) β = 0,8 e movimento amortecido forte.
e) β = 64 e movimento amortecido forte.
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
(crítico e forte)
1. Exercício 
No esquema anexo, um corpo de massa m, constante 
elástica k, coeficiente de viscosidade c, está em 
equilíbrio. Alonga-se a mola de y e abandona-se a em 
repouso.
Dados: m = 5,0 kg, k = 125 N/m, g = 10 m/s2, y = 40 cm
a) Para coeficiente de viscosidade do fluido 
c = 50 N.s/m, calcular o tipo de amortecimento e 
escrever as equações horárias do movimento y, v e a.
b) Para coeficiente de viscosidade do fluido 
c = 80 N.s/m, calcular o tipo de amortecimento e 
escrever as equações horárias do movimento y, v e a.
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
(crítico e forte)
1. Exercício – Solução – a)
02510
11
5
5
/52525
5
125
/5
5.2
50
2
20
)(:0
2
2
0
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2






y
td
yd
td
yd
críticontoamortecime
srad
m
k
srad
m
c
m
c
y
m
k
td
yd
m
c
td
yd
myk
td
yd
c
td
yd
m
td
yd
m
td
yd
cyk
amF






Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
(crítico e forte)
1. Exercício – Solução – a)
)()240,0()(
220)0.40,0(50
/00)(
)()(
)()()0(
40,040,0)0.(40,0
40,00)(
5
21
22
0.5
2
0.5
2
212
212
212
11
0.5
21
21
metyetAAy
posiçãodahoráriaEquação
mAAeAeA
smvstparaetAAeAv
etAAeAv
etAAeAv
td
yd
v
mAAeAA
mystparaetAAy
críticontoamortecimeparaldiferenciaequaçãodaSolução
tt
tt
tt
tt
t






















Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
(crítico e forte)
1. Exercício – Solução – a)
)/(0510
05101010
)5()240,0(51010
)/()240,0(52)(
255
5555
555
55
212
smetea
eteeea
eteea
td
vd
a
aceleraçãodahoráriaEquação
smetevetAAeAv
td
yd
v
velocidadedahoráriaEquação
tt
tttt
ttt
tttt







  
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
(crítico e forte)
1. Exercício – Solução – b) c = 80 N.s/m
02516
16,1
5
8
/52525
5
125
/8
5.2
80
2
20
)(:0
2
2
0
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2






y
td
yd
td
yd
fortentoamortecime
srad
m
k
srad
m
c
m
c
y
m
k
td
yd
m
c
td
yd
myk
td
yd
c
td
yd
m
td
yd
m
td
yd
cyk
amF






Fonte: Lauricella,et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
(crítico e forte)
1. Exercício – Solução – b)
mAmA
AAA
AAA
AAAA
eAeA
smvstpara
eAeAv
td
yd
v
AAeAeA
srad
mystparaeAeAy
fortentoamortecimeparaldiferenciaequaçãodaSolução
tt
tt
0565,0456,0.124,0456,0
876,040,0124,040,0)1()2(
)2(124,0
24,14
76,1
76,124,1424,1476,10
)24,68()24,68(0
/00
)()(
)1(40,040,0
/24,658
40,00
21
111
112
1221
0.)24,68(
2
0.)24,68(
1
)(
2
)(
1
21
0.)24,68(
2
0)24,68(
1
222
0
2
)(
2
)(
1


















Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
(crítico e forte)
1. Exercício – Solução – b)
)/(463,11413,1
)24,14.(805,0)76,1.(803,0
)/(805,0803,0
)24,14.(0565,0)76,1.(456,0
)(0565,0456,0
0565,0456,0
224,1476,1
24,1476,1
24,1476,1
24,1476,1
24,1476,1
)24,68()24,68(
)(
2
)(
1
smeea
eea
td
vd
a
aceleraçãodaEquação
smeev
eev
td
yd
v
velocidadedaEquação
meey
eey
eAeAy
posiçãodaEquação
tt
tt
tt
tt
tt
tt
tt















 
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
(crítico e forte)
2. Exercício
Em um canhão com freio recuperador, o tubo tem massa
M = 800 kg e a mola frenadora tem constante elástica 
k = 80 000 N/m. Feito um disparo, o cano sofre recuo máximo
de 1 m. A partir desse instante (t = 0), tem início a recuperação
(retorno à posição normal). No freio, o coeficiente de resistência 
viscosa c é ajustado de modo que a recuperação seja a mais 
rápida possível, sem oscilação.
Determinar:
a) A constante de viscosidade do fluido c.
b) Estabelecer as equações horárias do movimento na 
recuperação.
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
2. Exercício – Solução 
a) Amortecimento crítico β = 1.
msN
msNmc
m
c
sradsrad
m
k
/.00016
/.0001610.800.22
2
/10,/10100
800
80000
00






Movimento amortecido
(crítico e forte)
Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
(crítico e forte)
2. Exercício – Solução 
b) Equação horária. 
mAAeAeA
smvstparaetAAeAv
etAAeAv
td
xd
v
Velocidade
mAAeAA
mxstparaetAAx
posiçãodaEquação
tt
tt
t
10100)0.1(100
/00)(
)()()0(
11)0.(1
10)(
22
0.10
2
0.10
2
212
212
11
0.10
21
21
















Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Movimento amortecido
(crítico e forte)
2. Exercício – Solução – b
)/(0100100
)10(100100
)/(100
1001010)101(1010
)(
)()101()(
21010
1010
10
1010101010
212
10
21
smetea
etea
td
vd
a
aceleraçãodaEquação
smetv
eteevetev
etAAeAv
velocidadedaEquação
metxetAAx
posiçãodafinalEquação
tt
tt
t
ttttt
tt
tt
















Fonte: Lauricella, et al., 2017, apostila 
Complementos de Física
Interatividade
O recuo de um canhão faz-se sob o efeito de um amortecedor a 
óleo e de um sistema de molas (freio-recuperador). A constante 
elástica do sistema de molas é k = 7,0.10 4 N/m. A massa do 
cano é m = 700 kg. O coeficiente c da resistência viscosa, para 
que o cano volte à posição de equilíbrio o mais depressa 
possível, sem entrar em oscilação, vale:
a) c = 2.000 N s/m.
b) c = 10.000 N s/m.
c) c = 700.000 N s/m.
d) c = 14.000 N s/m.
e) c = 7.000 N s/m.
Resposta
O recuo de um canhão faz-se sob o efeito de um amortecedor a 
óleo e de um sistema de molas (freio-recuperador). A constante 
elástica do sistema de molas é k = 7,0.10 4 N/m. A massa do 
cano é m = 700 kg. O coeficiente c da resistência viscosa, para 
que o cano volte à posição de equilíbrio o mais depressa 
possível, sem entrar em oscilação, vale:
a) c = 2.000 N s/m.
b) c = 10.000 N s/m.
c) c = 700.000 N s/m.
d) c = 14.000 N s/m.
e) c = 7.000 N s/m.
ATÉ A PRÓXIMA!