AD1_C_LCULO_II_2021_2 corrigida

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Aulas e soluções de questões
Contatos: 21 98538-3047 / 21 98666-4529 / 21 98962-0234
Disciplina: CÁLCULO II
Assunto: INTEGRAIS
1. Calcule a integral a seguir ∫
3 tan
7
2 (x) + 5 tan8 (x)
cos2 (x)
dx
Resolução:∫
3 tan
7
2 (x) + 5 tan8 (x)
cos2 (x)
dx =
∫ (
3
tan
7
2x
cos2x
+ 5
tan8x
cos2x
)
dx = 3
∫
tan
7
2x
cos2x
dx+ 5
∫
tan8x
cos2x
dx
Resolvendo (∗) =
∫
tan
7
2x
cos2x
dx =
∫
tan
7
2x · sec2 (x) dx
fazendo u = tanx segue que du = sec2xdx, portanto
(∗) =
∫
tan
7
2x
cos2x
dx =
∫
tan
7
2x·sec2 (x) dx =
∫
u
7
2du =
u
7
2
+1
7
2 + 1
+K =
2
9
u
9
2+K =
2
9
tan
9
2 (x)+K
Resolvendo (2∗) =
∫
tan8x
cos2x
dx =
∫
tan8x · sec2xdx. usando a subst. anterior:∫
u8du =
u9
9
+ C =
1
9
tan9 (x) + C =
∫
tan8 (x)
cos2 (x)
dx
Resposta:
∫
3 tan
7
2 (x) + 5 tan8 (x)
cos2 (x)
dx = 3 · 2
9
tan
9
2 (x) + 5 · 1
9
tan9 (x) + C =
2
3
tan
9
2x+
5
9
tan9x+ C
2 A curva y = 4x , juntamente com o eixo y e as retas y = 12 e y = 4 limitam uma região plana
R
a) Calcule a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de x.
Resolução: Gráfico da região R mencionada:
Segue que
AR1 =
∫ 1
0
(4− 4x) dx =
∫ 1
0
4dx−
∫ 1
0
4xdx = [4x]10 −
[
4x
ln (4)
]1
0
= 4− 3
2 ln (2)
AR2 =
∫ 0
− 1
2
(
4x − 1
2
)
dx =
∫ 0
− 1
2
4xdx−
∫ 0
− 1
2
1
2
dx =
[
4x
ln (4)
]0
− 1
2
−
[
1
2
x
]0
− 1
2
=
1
4 ln (2)
−1
4
Resposta
AR = AR1 + AR2 =
15
4
− 5
4 ln (2)
≈ 1, 95 u.a
Em termos de y:∫ 4
1
(log4 (y)− 0) dy +
∫ 1
1
2
(0− log4 (y)) dy = AR1 + AR2
b) Use o item anterior para obter
∫ 4
1
2
log4 (t) dt por meio das áreas ali calculadas
Resolução: Questão∫ 4
1
2
log4 (t) dt =
∫ 1
1
2
log 4 (t) dt+
∫ 4
1
log 4 (t) dt
Pelo item anterior: ∫ 4
1
log 4 (t) dt = AR1
e como ∫ 1
1
2
− log 4 (y) dy = AR2
Page 2
então ∫ 1
1
2
log 4 (t) dt = −AR2
dai∫ 4
1
2
log4 (t) dt = −AR2+AR1 = −
1
4 ln (2)
+
1
4
+4− 3
2 ln (2)
=
17
4
− 7
4 ln (2)
≈ 1.72 > 0
pois
AR1 > AR2
3 Considere a função
F (x) =
∫ 4x
2(−x)
log4 (s) ds
Calcule F (1) , F
′
(x) e F
′
(2)
Resolução:
F (1) =
∫ 4
2−1
log4 (s) ds =
∫ 4
1
2
log 4 (s) ds
Como ∫
loga (x) dx = x loga (x)−
x
ln (a)
+ C
temos
F (1) =
[
s log 4 (s)−
S
ln (4)
]4
1
2
= 4 log4 (4)−
4
ln (4)
−
[
1
2
log4
(
1
2
)
−
1
2
ln (4)
]
=
17
4
− 7
4 ln (2)
F (x) =
∫ 0
2−x
log4 (s) ds+
∫ 4x
0
log 4 (s) ds = −
∫ 2−x
0
log4 (s) ds+
∫ 4x
0
log 4 (s) ds
Logo
F
′
(x) = − log4
(
2−x
)
· d
dx
(
2−x
)
+log4 (4
x)· d
dx
(4x) = 2−x·log4
(
2−x
)
·ln2+4x·log4 (4x)·ln4
Portanto
F
′
(2) = 2−2·log4
(
2−2
)
·ln2+42·log4
(
42
)
·ln
(
22
)
=
1
4
·log4
(
1
4
)
·ln2+16·log4
(
42
)
·2ln (2)
=
1
4
· log4
(
4−1
)
· ln2+ 16 · 2 log4 (4) · 2ln (2) = −
1
4
· log4 (4) · ln2+ 16 · 2 log4 (4) · 2ln (2)
= −1
4
ln2 + 64ln (2) =
255
4
ln (2)
Page 3
4 Considere a região R compreendida entre as curvas de y =
5x− x2
4
e x = 4 · log2(y + 1) , ,
sabendo que os pontos de interseção ocorrem em y = 0 e y = 1
a) Esboce a região R .
Resolução:
y =
5x− x2
4
=
5
4
x− 1
4
x2
é uma função quadrática com a concavidade voltada para baixo. Como:
5
4
x− 1
4
x2 = 0 =⇒ 5x− x = 0 =⇒ x(5− x) = 0 =⇒ x = 0 ou x = 5
Por outro lado,
x = 4 log2 (y + 1) =⇒
4 log2 (y + 1)
4
=
x
4
=⇒ log2 (y + 1) =
x
4
=⇒ y + 1 = 2
x
4
=⇒ y = 2
x
4 − 1
Por outro lado, 0 = 20 − 1 , 0 = 5 · 0− 0
4
e 1 = 2
4
4 − 1 , 1 = 5 · 4− 4
2
4
,
logo (0,0) e (1,4) pertencem a interseção.
b) Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos
de x .
Resolução:
AR =
∫ 4
0
(
5x− x2
4
−
[
2
x
4 − 1
])
dx =
∫ 4
0
(
5x− x2
4
− 2
x
4 + 1
)
dx
c) Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos
de y .
Page 4
Resolução: Como
y =
5x− x2
4
=⇒ 4y = 5x−x2 =⇒ x2−5x = −4y =⇒ x2−2·x· 5
2
+
25
4
=
25
4
−4y
=⇒
(
x− 5
2
)2
=
25
4
− 4y =⇒ x− 5
2
=
√
25
4
− 4y =⇒ x = 5
2
±
√
25
4
− 4y
AR =
∫ 1
0
(
4 log 2 (y + 1)−
[
5
2
−
√
25
4
− 4y
])
dy+
+
∫ 25
16
1
(
5
2
+
√
25
4
− 4y −
[
5
2
−
√
25
4
− 4y
])
dy
d) Encontre a área da região R (Use a representação mais conveniente).
Resolução:
AR =
∫ 4
0
(
5x− x2
4
− 2
x
4 + 1
)
dx =
∫ 4
0
(
5
4
x− 1
4
x2
)
dx+
∫ 4
0
2
x
4 dx+
∫ 4
0
dx
Resolvendo
∫ 4
0
(
5
4x−
1
4x
2
)
dx
∫ 4
0
(
5
4
x− 1
4
x2
)
dx =
∫ 4
0
5
4
xdx−
∫ 4
0
1
4
x2dx =
5
4
[
x1+1
1 + 1
]4
0
− 1
4
[
x2+1
2 + 1
]4
0
=
5
8
− 1
12
=
14
3
Resolvendo
∫ 4
0
(
2
x
4
)
dx usando a substituição u = x4 =⇒ dx = 4du =⇒ u =
0 e u = 1∫ 4
0
(
2
x
4
)
dx =
∫ 1
0
2u · 4du = 4 ·
∫ 1
0
2udu = 4
[
2u
ln (2)
]4
0
=
4
ln (2)
e
∫ 4
0
dx = 4 , portanto:
AR =
14
3
− 4
ln (2)
+ 4 =
26
3
− 4
ln (2)
5. O gráfico da função f(x) = −x3 + 2x2 + 5x− 6 e as retas x = −3 e x = 4 limitam,
junto com o eixo x , a união de quatro regiões no plano. Determine o que se pede
a) Esboce o gráfico, indicando as regiões.
Page 5
Resolução: Raizes da função:
−x3 + 2x2 + 5x− 6 = − (x− 1) (x+ 2) (x− 3) = 0 =⇒
− (x− 1) (x+ 2) (x− 3) = 0 =⇒ x− 1 = 0 ou x+2 = 0 ou x− 3 = 0
x− 1 = 0 or x+ 2 = 0 or x− 3 = 0
x = 1, x = −2, x = 3
Estudo da derivada primeira:
f
′
(x) = −3x2 + 4x+ 5
raizes de f
′
:
f
′
(x) = −3x2+4x+5 = 0 =⇒ x1, 2 =
−4±
√
42 − 4 (−3) · 5
2 (−3)
=
−4± 2
√
19
2 (−3)
=⇒ x1 =
−4 + 2
√
19
2 (−3)
, x2 =
−4− 2
√
19
2 (−3)
=⇒ x = −−2 +
√
19
3
, x =
2 +
√
19
3
Estudo do sinal:
f
′
> 0, x ∈
(
−2 +
√
19
3
,
2 +
√
19
3
)
f
′
= 0, x =
{
−2 +
√
19
3
,
2 +
√
19
3
}
f
′
< 0, x ∈
(
−∞,−−2 +
√
19
3
)
∪
(
2 +
√
19
3
,+∞
)
Portanto temos(
−∞,−−2+
√
19
3
)
=⇒ f decrescente(
−−2+
√
19
3 ,
2+
√
19
3
)
=⇒ f crescente(
2+
√
19
3 ,+∞
)
=⇒ f decrescente
Esboço:
Page 6
b) Determine a área de cada uma das quatro regiões.
Resolução:
AR1 =
∫ −2
−3
(
−x3 + 2x2 + 5x− 6
)
dx =
−
∫ −2
−3
x3dx+
∫ −2
−3
2x2dx+
∫ −2
−3
5xdx−
∫ −2
−3
6dx
= −
[
x4
4
]−2
−3
+2
[
x3
3
]−2
−3
+5
[
x2
2
]−2
−3
− [6x]−2−3 =
65
4
+
38
3
− 25
2
−6 = 125
12
= AR1
Como f(x) < 0 em (-2,1) temos
−AR2 =
∫ 1
−2
(
−x3 + 2x2 + 5x− 6
)
dx =
−
∫ 1
−2
x3dx+
∫ 1
−2
2x2dx+
∫ 1
−2
5xdx−
∫ 1
−2
6dx =
−
[
x4
4
]1
−2
+ 2
[
x3
3
]1
−2
+ 5
[
x2
2
]1
−2
− [6x]1−2 =
15
4
+ 6− 15
2
− 18 = −63
4
−AR2 = −
63
4
=⇒ AR2 =
63
4
AR3 =
∫ 3
1
(
−x3 + 2x2 + 5x− 6
)
dx =
∫ 3
1
(
−x3 + 2x2 + 5x− 6
)
dx =
Page 7
−
[
x4
4
]3
1
+ 2
[
x3
3
]3
1
+ 5
[
x2
2
]3
1
− [6x]31 = −20 +
52
3
+ 20− 12 = 16
3
Como f(x) < 0 em (3,4) temos
−AR4 =
∫ 4
3
(
−x3 + 2x2 + 5x− 6
)
dx =
−
∫ 4
3
x3dx+
∫ 4
3
2x2dx+
∫ 4
3
5xdx−
∫ 4
3
6dx =
−
[
x4
4
]4
3
+ 2
[
x3
3
]4
3
+ 5
[
x2
2
]4
3
− [6x]43 = −
175
4
+
74
3
+
35
2
− 6 = −91
12
=⇒ −AR4 = −
91
12
=⇒ AR4 =
91
12
c) ) Use o item (b) para calcular
∫ 4
−3 f (x) dx , interpretando o resultado em termos
de áreas .
Resolução:∫ 4
−3
f (x) dx =
∫ −2
−3
f (x) dx+
∫ 1
−2
f (x) dx +
∫ 3
1
f (x) dx+
∫ 4
3
f (x) dx
= AR1 −AR2 +AR3 −AR4 =
125
12
− 63
4
+
16
3
− 91
12
=
125
12
− 63
4
+
16
3
− 91
12
< 0
pois
AR1 + AR3 < |AR2 |+ |AR4|
A. Use o item (b) para calcular
∫ 4
−3 |f (x)| dx , interpretando o resultado em termos
de áreas.
Resolução:∫ 4
−3
|f (x)| dx =
∫ −2
−3
f (x) dx +
∫ 1
−2
−f (x) dx +
∫ 3
1
f (x) dx +
∫ 4
3
−f (x) dx
=
∫ −2
−3
f (x) dx −
∫ 1
−2
f (x) dx +
∫ 3
1
f (x) dx −
∫ 4
3
f (x) dx
= AR1 + AR2 + AR3 + AR4
=
125
12
+
63
4
+
16
3
+
91
12
=
469
12
Page 8