Aula 1 de MTM FIN (1)

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Professor: Marcelo Leão 
Prof. Zeca Dutra
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
APRESENTAÇÃO
A matemática financeira pode ser sua maior ferramenta na tomada de decisões no dia a dia. Como o consumo hoje as vezes é por impulso e nem sempre as operações são claras e bem explicadas, e isso faz com que, em certas situações, o consumidor não saiba decidir o que é melhor para ele. Cálculos financeiros, algumas vezes básicos, são muito úteis; eles ajudarão a fazer bons negócios e a economizar seu dinheiro.
CONTEXTO
As operações financeiras, em sua maioria, se apoiam em duas formas de capitalização: a simples e a composta. Muitas decisões tomadas pelo banco Central, por exemplo, afetam diretamente tais operações.
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INTERDISCIPLINARIDADE
Os conceitos de matemática financeira podem ser aplicados a algumas disciplinas acadêmicas. Seu entendimento facilitará outras abordagem. Por exemplo: administração de finanças pessoais, administração financeira e orçamentaria, contabilidade de custo, marketing, produção, mercado de capitais, mercado de capitais, macroeconomia, entre outras.
HABILIDADES
►Identificar as principais diferenças entre juros simples e compostos.
►Definir os principais componentes de uma operação financeira.
►Representar graficamente uma operação financeira básica, tanto do ponto de vista do tomador como do financiador.
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JUROS SIMPLES
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
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Taxas de juros: É a relação entre os juros recebidos e o capital inicial.
O valor principal ou simplesmente principal é o dinheiro que possibilitou a transação financeira, que é o de R$100,00. 
O montante ou valor futuro é o valor de resgate do investimento, que é o de R$ 140,00.
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Diagrama do fluxo de Caixa
Representa os movimentos monetários que são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas de caixa. Permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o capital.
TEMPO
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Saída de caixa ( - )
Entrada de caixa ( + )
+
+
+
+
+
-
Regime de capitalização simples: Comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo, pois nesse critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação.
 
	Ano	Saldo no início de cada ano (R$)	Juros apurados para cada ano (R$)	Saldo devedor ao final de cada ano (R$)	Crescimento anual do saldo devedor (RS)
	Início do 1º ano	-	-	1.000,00	-
	Fim do 1º ano	1.000,00	0,1x1.000,00 = 100,00	1.100,00	100,00
	Fim do 2º ano	1.100,00	0,1x1.000,00 = 100,00	1.200,00	100,00
	Fim do 3º ano	1.200,00	0,1x1.000,00 = 100,00	1.300,00	100,00
	Fim do 4º ano	1.300,00	0,1x1.000,00 = 100,00	1.400,00	100,00
	Fim do 5º ano	1.400,00	0,1x1.000,00 = 100,00	1.500,00	100,00
 Cálculo do rendimento a juros simples 
No regime de juros simples, dado o comportamento linear dos cálculos, se aplicarmos um capital durante n períodos a que se refere a taxa de juros, o rendimento poderá ser calculado como segue:
 
Onde: J = valor dos expresso em unidades monetárias
C = Capital;
i = Taxa de juros, expressa em sua forma unitária;
n = prazo
A taxa de juros i deve sempre estar na mesma unidade de tempo n. 
J = C x i x n
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Juros comerciais — são considerados os anos constituídos por meses de 30 dias.
juros exatos — quando o número de dias corresponde àquele do ano civil (365 dias).
Aqui, são considerados os anos comerciais (360 dias). 
Para as taxas de juros, usa-se a seguinte convenção:
a.a. = taxa ao ano a.s. = taxa ao semestre
a.t. = taxa ao trimestre a.m. = taxa ao mês
a.d. = taxa ao dia a.q. = taxa ao quadrimestre
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Períodos não inteiros
Algumas vezes, o período de investimento é somente uma fração do período expresso na taxa de juros. 
Nos casos em que as unidades de tempo da taxa de juros e do período de investimento são diferentes, é necessário homogeneizá-las por meio de um ajuste na taxa. 
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Taxa proporcional e taxa equivalente
Taxa proporcional: É obtida pela divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização)
Ex: Calcular a taxa mensal proporcional a 18% a.a.
Taxa proporcional = 
Taxa equivalente: Quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros.
Ex: A juros simples, um capital de R$ 500.000,00, se aplicado a 2,5% a.m. ou 15% a.s. pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros.
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Taxa proporcional e taxa equivalente
Cálculo para 2,5% a.m.
J = 500.000 x 0,025 x 12 = 150.000
Cálculo para 2,5% a.m.
J = 500.000 x 1,5 x 2 = 150.000
A taxas são equivalente , pois os juros lineares produzidos são iguais.
Exemplos
01) Calcular a taxa anual proporcional a: 
6% a.m.;
b) 10% a.b.
02) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a:
60% a.a.;
b) 9% a.t.
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Exemplos de ajuste na taxa de juros 
Se a taxa de juros for mensal e o prazo de aplicação referir-se a dias:
 
Se a taxa de juros for anual e o prazo de aplicação referir-se a meses:
 
 Se a taxa de juros for anual e o prazo da aplicação referir-se a dias: 
As taxas entre parênteses representam taxas proporcionais, homogêneas em relação ao prazo de aplicação.
J = C (juro comercial) 
J = C (juro comercial) 
J = C (juros comercial) J = C (juros exatos) 
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Exemplos de aplicação
1. Calcular o rendimento de $12.000 aplicados 
durante os primeiros cinco meses do ano à taxa de juros simples de 40% a.a. Efetuar os cálculos considerando ano comercial (360dias) e ano civil (365 dias).
Dados: 
Resolução:
J = 12.000 x = 2000 (ano comercial) 
J = 12.000 x (ano civil) 
 
C = 12.000, t = 150 (comercial), 151 (civil), i = 40% a.a , J = 
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2. Qual é o rendimento de R$ 10.000,00 aplicados por um mês à taxa de juros simples de 36% a.a.?
3. Determinar a taxa de juros simples para 22 dias de
aplicação, equivalente à taxa de 3,05% a.m.
Dados: n = 22 dias, i = 3,05% a.m., = ?
.
Dados: C = 10.000, t = 1 mês, i = 36% a.a. J = ?
J = C x i x t = 10.000 x () x 1 = 300
 = () x 22 = 0,0224 = 0,0224 x 100 = 2,24% em 22 dias
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4. Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 por 14 dias á taxa de juros simples de 2,5% a.m.
Dados: C = 23.000, i = 2,5% a.m., t = 14 dias, J = ?
5. Em sete meses R$ 18.000,00 rederam R$ 4.000,00 de juros. Qual a taxa de juros simples obtida?
Dados: C = 18.000, J = 4.000, t = 7 meses, i = ?
.
 
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6. Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa anual de juros simples obtida?
Dados: C = 5.000, J = 1.200, t = 180 dias, i = ?
7. Um capital aplicado por 138 dias a juros simples de 12% a.m. transformou-se em R$ 23.000. Calcular os rendimentos de aplicação.
Dados: M = 23.000, J = ?, t = 138 dias, i = 12% a.m.
.
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8. Um capital aplicado por três meses a juros simples de 4% a.m. rendeu R$ 360,00. Determinar o valor do capital.
Dados: C = ?, J = ?, t = 3 meses, i = 4% a.m., J = 360
 
9. Um título foi resgatado por R$ 3.000,00 ao término do prazo da aplicação. Se a taxa de juros simples aplicado de 180% a.a. e os juros obtidos totalizaram R$ 1.636,36, 
.
J = 
 360 = C x 0,04 x 3 360 = 0,12C C = = 3.000
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Quantos meses durou essa aplicação?
Dados: M = 3.000, J = 1.636,36, t = ?, i = 180% a.a.
 
C = 3000 – 1636,26 = 1363,64
meses
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Solução:
1. 2. 
2.000 CHS PV 10.000 CHS PV 
40 i 30 n
150 n36 i 
f int f int 
2.000 (juros comercial) 300 ( juros comercial)
R X >< y 3. 
1.972,60 (juros exatos) 0,0305 enter 30 
2.000 CHS PV 22 x
40 i 100 x
151 n 2,23666 f 4
f int 2,24
2.013,33 (juros comercial) 4. Idem 1
R X >< y 
1.985,75 (juros exatos)
.
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Solução:
5. 4.000 enter 18.000 
23.000 CHS PV 0,2222 
14 n 12 x 
2,5 enter 12 x n 7 
f int 100 x f 1 
268,33 38,1 
6. 7. 
 18.000 enter 4.000 %T 5.000 enter 1.200 %T 
 22,2222222 24
 7 180 
 3,1746 0,133333 
 12 x 30 x 
 38,095 f 1 47,999 f 1
 38,1 48
 ou
 
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Solução:
8. 10.
23.000 ENTER 0,12 x 3.000 ENTER 1.636,36 -
 138 x 1.363,64 ENTER 3.000 
 30 119,9994133
 1 ENTER 180
 0,12 ENTER 30 0,666666
 138 X 12 X
 + 7, 9999 f 1
 8
 8.180,41
9.
 360 ENTER 0,04
 ENTER 3 X 
 
 3.000
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CÁLCULO DO MONTANTE
Entende-se por montante a incorporação dos juros ao principal. Sendo assim, aplicando-se um certo capital C por um certo período de tempo t, à taxa de juros simples i, obtém-se um montante M a partir da seguinte forma:
M = C + J como J = C x i x t, temos: 
M = C + C i t, então:
 M = C( 1 + i t)
O capital é calculado por:
 C = 
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Ainda no regime de juros simples:
 Diagrama de fluxo de caixa
 
No cálculo financeiro, serve para mostrar as transações financeiras em determinado período. 
Exemplo:
Tempo = linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes na análise. 
 Entradas ou recebimentos = setas verticais apontadas para cima.
 Saídas ou pagamentos = setas verticais apontadas para baixo.
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Exemplos de aplicação
1. Qual é o valor de resgate de R$ 500,00 aplicados à taxa de juros simples de 12% a.t..?
Dados: C = 500, t = 16 meses, i = 12% a.t., M = ?
M = C(1 + i x t) = 500 x ( 1 + x 16) = 820
2. Em dois meses, R$ 5.050,00 transformaram-se em 
R$ 5.600,00. Qual foi a taxa de juros simples anual?
Dados: M = 5.600, t = 2 meses, i = ?, C = 5.050
M = C(1 + i x t) 5.600 = 5.050 x ( 1 + i x 2) 
5.600 = 5.050 + 10.100i 5.600 -5.050 = 10.100i 550 = 10.100i
i = = 0,054455
i = 0,054455 x 12 x 100 = 65,35% a.a.
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3. Qual o capital que aplicado à taxa de juros simples de 20% a.m., em três meses gera um montante de R$ 8.000,00?
Dados: M = 8.000, t = 3 meses, i = 20% a.m., C = ?
C = = 
4. Em quantos meses um capital dobra a juros simples de 200% a.a.?
Dados: i = 200% a.a., M = 2C, t = ?
 M = C(1 i x t), substituindo o valor de M temos: 
2C = C [ 1 + () x t ] 2 = 1 + 2 – 1 = 1 = 
2t = 12 t = 6 meses
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Exercícios propostos
01. Qual o montante e a data de vencimento de cada um dos itens abaixo: (juro exato)
a) R$ 1.000,00 em 10/3/2013 para 90 dias a 26% a.a.
b) R$ 1.500,00 em 20/4/2013 para 180 dias a 28% a.a.
c) R$ 2.400,00 em 25/5/2013 para 240 dias a 30% a.a.
02. O valor nominal de um título é igual ao dobro de seu valor atual (valor da aplicação). Sabendo que a taxa de juros correte é de 12,5% ao ano, qual é o prazo de aplicação?
03. Um investido aplicou R$ 1.000,00 no banco GFO, pelo prazo de 4 anos. Com um taxa de juros 8% a.a, no regime de juros simples. Determine o montante acumulado no final de quatro anos?
Resp: Ex. 01) a) R$ 1.064,11 vencendo em 8/6/2013 b) R$ 1.707,12 vencendo em 17/10/2013
c) R$ 2.873,43 vencendo em 20/1/2014. Ex. 02) 8 anos. Ex. 03) R$ 1.320,00
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EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS SIMPLES
Dizemos que dois capitais são equivalentes quando têm o mesmo valor em determinada de avaliação (data focal). O diagrama de fluxo a seguir ilustra a equivalência (na data focal 2) a juros simples de 10% de dois capitais: um de R$ 3.636,35 que ocorre na data 1 e outro de R$ 5. 600,00 na data 6:
1
2
3
5
4
0
3.636,35
6
tempo
 = 4.000 
5.600
4.000 = 3.636,35(1 + 0,1 x 1)
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Se mudarmos a data focal, a equivalência dos capitais não será mantida. Consequentemente, a juros simples, capitais equivalentes em determinada época não o serão em outra. Esse resultado é produto do processo de cálculo adotado no regime linear ou de juros simples, em que não se pode fracionar o prazo de aplicação.
Ex:01. Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: R$ 2.000,00 daqui a três meses e R$ 2.500,00 daqui a oito meses. Ela quer trocar esses débitos por dois pagamento iguais, uma para dez meses e outro para 15 meses. Calcular o valor desses pagamentos se a taxa de juros simples for 10% a.m.
Dados: i = 10% a.m., = 2.000, = 2.500, X = ?
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 Os dois esquemas de pagamento são financeiramente equivalentes em determinada data de avaliação. Definindo a data zero como data focal e colocando todos os valores nessa data, temos a seguinte equação de valor:
 
2.927,35 = ( ) 2.927,35 = 0,5X + 0,4X 2.927,35 = 0,9X
X = = 3.252,61
3
8
10
0
2.000
15
mês
 
X = ?
2.500
X = ?
 
 
 
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Mudando a data de avaliação para o décimo mês e colocando todos os valores nessa data, temos a seguinte equação de valor:
2.000(1 + 0,1x 7) + 2.500(1 + 0,1 x 2) = x + 
3.400 + 3.000 = x + 6.400 = x + 6.400 = x + 0,666666x
1,666666x = 6.400 x = = 3.840
podemos observar que, alterando a data focal, o resultado muda, pois, a juros simples, capitais equivalentes em determinada época não o são em outra.
 
Ex: 02. Uma pessoa deve pagar R$ 200,00 daqui a dois meses e R$ 400,00 daqui a cinco meses. A juros simples, de 5% a.m., determinar o valor de um pagamento único a ser efetuado daqui a três meses que liquide a dívida.
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Como o pagamento único será efetuado no terceiro mês, definimos esse mês como data focal. Por equivalência de capitais, os dois planos de pagamentos deve ser financeiramente equivalentes naquela data. Logo, temos:
 
 = 
 x2
3
5
0
200
6
mês
X = ?
400
1
4
Valor no 3º mês do plano com pagamento único 
Valor no 3º mês do plano com dois pagamentos
200(1 + 0,05 x 1) + 
X = 210 + 363,64 = 573,64 
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 = 740
 = 740
0,9615M + 0,9259M = 740 1,8874M = 740 M = 
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Data focal no início: Tempo 0
E = 200 Valor à vista (VA) = X + 200 i = 60% a.a. = = 5% a.m. = 0,05
X = 
X = = 363,64 + 347,83 = 711,47
VA = 711,47 + 200 = 911,47
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Resolução:
Data focal no início: Tempo 0
E = 200 Valor à vista (VA) = X + 200 i = 60% a.a. = = 5% a.m. = 0,05
 = 900
 = 900
0,9794M + 0,9597M = 900 1,9391M = 900 M = = 464,13
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Resolução:
Data focal no início: Tempo 0
E = 200 Valor à vista (VA) = X + 200 i = 4,2% a.m. = 0,042
 = 900
 = 900
0,9794M + 0,9597M = 900 1,9391M = 900 M = = 464,13
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Data focal no início: Tempo 0
Entrada = 0,25 900 = 225 Valor à vista (VA) =900 – 225 = 675 i = 3,6% a.m. = 0,036
 = 675
 = 675
0,9823M + 0,9653M = 675 1,9476M = 675 M = = 346,58
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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
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No nosso dia a dia, quando efetuamos uma compra a prazo ou quando tomamos emprestado uma certa quantia em dinheiro, em um banco comercial, estamos pagando juro. E estamos pagando juro composto. O mesmo acontece quando, por exemplo, fazemos o financiamento da casa própria. Então é de suma importância que saibamos o que é e como funciona o juro composto. Inicialmente, vamos ver o que capitalização composta.
Quando a taxa de juro utilizada é composta, o regime é denominado de capitalização composta, ou seja, o juro produzido num período será acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os dois, capital e juro, a render juro no período seguinte. Logo, é também chamado de juro sobre juro.
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JUROS COMPOSTOS
No regime de juros compostos, os juros a cada período são calculados sobre o montante existente no período anterior são incorporados ao capital. Pode-se dizer, então, que, no regime de juros composto, “ os juros rendem juros”.
Exemplo: Um capital de R$ 100,00, aplicado a 2% a.m., tem a seguinte evolução no regime de juros composto:
 
Juros compostos são aqueles que, a partir do segundo período, são calculados sobre o montante relativo ao período anterior.
	MÊS	JUROS COMPOSTO (J)	MONTANTE (M)
	1	100 X 0,02 X 1 = 2,00	102,00
	2	102 X 0,02 X 1 = 2,04	104,04
	3	104,04 X 0,02 X 1 = 2,08	106,12
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MONTANTE
Tal qual na capitalização simples, o capital envolvido em uma operação financeira, acrescendo do juro, compõe o montante. Representa o valor de uma dívida ou valor futuro. 
 
 Entendendo como calcular o montante(valor futuro) de um investimento.
Supondo-se um investimento cujo capital inicial seja C, aplicado a uma taxa de juros compostos igual “i” durante “n” períodos de capitalizações, temos:
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Analisando a sequência anterior, podemos deduzir que, para “n” períodos, teremos:
 M = , onde:
M: Montante ou Valor Futuro (VF); C: Capital inicial ou Valor Presente (VP) ou Valor Atual (VA); i: taxa de juros composto; t: Tempo de aplicação
	PERÍODO	JUROS 	MONTANTE (M)
	1		
	2		=
	3		=
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Calcular os Juros Compostos de um Investimento (J)
Sabendo que, em qualquer investimento, o montante é sempre igual ao capital inicial adicionado aos juros, então, podemos escrever:
J = M – C 
J = , onde:
J: Juros compostos
P: Capital inicial
i: Taxa de juros compostos
t: Tempo de aplicação
O fator é chamado de fator de capitalização.
Importante:
Essas fórmulas são válidas exclusivamente se a taxa e o período estiverem na mesma unidade de tempo.
 
 
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Exemplos:
01. Qual o montante e os juros compostos de uma aplicação de R$ 4.000,00, a uma taxa de 2,5% a.m., pelo prazo de 14 meses, considerando o período de capitalização mensal?
C = 4.000 f REG
i = 2,5% = 0,025 a.m. 4000 CHS PV
t = 14 m 2,5 i
 M = 14 n
M = FV
M = 4000 5.651,90
M = 4000 x 1,412974 RCL PV +
M = 5.651,90 1.651,90 JUROS
J = M – C 
J= 5.641,90 – 4.000,00 = 1.651,90
 
 
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02. Aplicaram R$ 20.000,00, a juros compostos de 17% a.a., durante 3 anos. O valor dos juros recebidos foi de:
C = 20.000,00 F REG
J = ? 20.000 CHS PV
t = 3 anos 3 n
i = 17% a.a. = 0,17 a.a. 17 i
J = 20.000 x [ FV
J = 20.000 x [ - 1] 32.032,26 Montante
J = 20.000 x [1,601613 – 1] ENTER
J = 20.000 X 0,601613 20.000 -
 J = 12.032,26 12.032,26 Juros
03. O montante de R$ 2.000,00, a juros compostos de 3,5% a.m., durante 15 meses, será de:
Resp: R$ 3.350,70 
 
 
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50
04. Uma pessoa toma R$ 300,00 emprestado, a juros compostos de 3% a.m., pelo prazo de 10 meses. O montante a ser devolvido é de:
Resp: 403,17
05. O montante de R$ 500,00, a juros compostos de 2,25% a.m., o fim de 4 meses , será de: 
Resp: R$ 546,54
06. O montante de uma aplicação de R$ 8.200,00, por um prazo de 8 meses, no regime de juros compostos, à taxa de 1,5% a.m., será de:
Resp: R$ 9.237,24
07. Um capital inicial, em regime de juros compostos, à taxa de 2,5% a.m., durante 4 meses rendeu um montante de R$ 794,75. Esse capital era de:
Resp: R$ 720,00
 
 
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51
TAXAS EQUIVALENTES
Denominam-se taxas equivalentes aquelas que, aplicadas a um mesmo capital, geram um mesmo valor futuro (montante), no mesmo intervalo de tempo.
Em juros compostos, calculamos a taxa equivalente, utilizando a seguinte fórmula:
 
onde:
 = taxa de procurada
= taxa de conhecida
 = tempo procurado
= tempo conhecido
Obs: Para obter a taxa em porcentagem basta multiplicar o resultado por 100.
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52
01. Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?
Dados: =? = 0,02 = 1 ano = 12 meses = 1 mês
 
 % a.a.
 STO EEX
100 CHS PV
102 FV
12 1/x n
i = 26,8242
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53
02. Qual a taxa mensal equivalente a 30% a.a.?
Dados: =? = 0,3 a.a. = 1 mês = 1 ano = 12 meses 
03. Qual a taxa anual equivalente a 3% ao trimestre?
Dados: =? = 0,03 a.t. = 1 ano = 4 trimestres = 1 trimestre 
 
 % a.m.
 STO EEX
100 CHS PV
130 FV
12 n
i = 2,210445059
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54
04. Qual a taxa diária equivalente a 70% ao trimestre?
Dados: =? = 0,7 a.t. = 1 dia = = 1 trimestre = 90 dias
 
 % a.a.
 STO EEX
100 CHS PV
103 FV
4 1/x n
i = 12,55088
 % a.d.
 STO EEX
100 CHS PV
170 FV
90 n
i = 0,00591328
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. Quais os juros compostos de uma aplicação de R$ 20.000,00, a 4% a.a., durante 8 meses? 
Resp: R$ 529,84
02. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.000,00, em regime de juros compostos, aplicados durante 6 meses, á taxa de 3,5% ao mês? 
Resp: R$ 7.375,53
03. Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% a.m., sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ 19.752,14. 
Resp: R$ 15.000,00
04. O capital de R$ 12.000,00 foi aplicado, a juros compostos, por 2 dias, à taxa de 36% ao ano. Qual o montante obtido? 
Resp: R$ 12.020,52 
 
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Série de juros compostos
A vantagem de trabalhar com Série de Juros Compostos é que podemos calcular parcelas não iguais, em períodosirregulares; mas a desvantagem é que nos parcelamentos com mais de seis parcelas essa série se torna inviável por tomar muito tempo.
Séries de Juros Compostos poderia ter também como denominação Parcelamento em Juros Compostos, ou ainda, Financiamento em Juros Compostos.
Considerando que cada parcela irá gerar um capital, teremos:
 
 
 
 
 
Exemplo
1. Uma pessoa deseja comprar um artigo em 2 vezes mensais e iguais, sabendo que o preço à vista é R$ 740,00. O parcelamento será realizado sob a taxa de juros compostos de 4% a.m. Determine o valor das parcelas.
À vista = Capital (C) = R$ 740,00.
Taxa de juros simples = i =4% a.m.=0,04 a.m.
 
2. Um produto está com sua venda anunciada em duas parcelas iguais a R$ 400,00, vencendo em dois meses, com entrada de R$ 200,00. Tendo conhecimento que esses valores foram obtidos sob taxa de juros compostos de 60% a.a., determine o valor à vista do produto.
Exercícios
1º) Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado ao final de 4 anos, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%?
2º) Determinado capital gerou, após 24 meses, um montante de R$ 15.000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, determine o valor desse capital.
3º) Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor?
4º) Um capital de R$ 5000,00, aplicado durante um ano e meio, produziu um montante de R$ 11.000,00. Determine a taxa de juros dessa aplicação.
5º) Quanto terei de aplicar hoje num fundo de renda fixa para que, ao final de 10 anos a uma taxa de 1,3%a.m., haja um montante de R$ 100.000,00? 
2
Capital de Giro – Desconto Bancário
O Capital de Giro é o que garante a saúde financeira das empresas e uma das formas de gerenciar o capital de giro é através do Desconto Bancário: a obtenção de capital por meio antecipação de títulos.
Denomina-se Capital de Giro os recursos financeiros que garantem as condições para uma empresa dar continuidade às suas operações, como compra de matéria-prima, estoques de produtos de vendas, pagamentos de funcionários, entre outras.
Uma das formas de se ter Capital de Giro é antecipação dos recebimentos de títulos, que podem ser boletos ou promissórias resultantes de vendas ou serviços prestados a clientes que pagarão numa relação futura.
Desconto Bancário
O desconto bancário nada mais é do que a antecipação em dias do recebimento de um título (promissória ou boleto) realizado por um banco.
O recebimento antecipado de títulos não ocorre na sua totalidade, pois o banco cobra uma taxa administrativa pela realização da operação.
O cálculo do valor a ser recebido é apresentado a seguir:
Onde:
VB = Valor descontado, valor resgatado, valor resultante da
antecipação.
N = Valor nominal, valor do título antecipado.
d = Taxa nominal, taxa de juros simples, ao dia.
n = período de antecipação do título, geralmente em dias.
As antecipações de títulos ocorrem geralmente há poucos dias dos clientes os pagarem, isso para que o valor resgatado (VB) seja o mais próximo do valor nominal (N), ou seja, do valor do título.
OBS : A taxa nominal é uma taxa de juros simples, então se necessitarmos convertê-la de mês para dia, ou de ano para dia, devemos usar o conceito de Taxa Equivalente em Juros Simples.
 Exemplo : Uma pessoa está a três dias de receber a segunda parcela de seu 13º salário, que é R$ 1.800,00, mas decide antecipar o seu recebimento para presentear sua mãe. A instituição lhe cobrará uma taxa nominal de 0,7% a.d. Calcule o valor a ser resgatado.
A segunda parcela do 13º salário, nesse caso, é título a ser 
antecipado, então N = R$ 1.800,00.
A instituição cobra uma taxa nominal de 0,7% a.d. = d.
A pessoa está a três dias de receber a segunda parcela de seu 13º em 3 dias.
VB = N(1 - dn)
VB = 1800(1 - 0,007∙3)
VB = R$ 1762,20
2. Uma microempresa necessita efetuar um pagamento e para isso antecipará o recebimento das seguintes duplicatas:
• Duplicata 0125 de R$ 1.100,00 vencendo em 7 dias.
• Duplicata 0129 de R$ 700,00 vencendo em 16 dias.
• Duplicata 0134 de R$ 1.560 vencendo em 5 dias.
OBS : A instituição que fará a antecipação das duplicatas cobra uma taxa nominal administrativa de 17,1% a.m. Calcule o valor resgatado pelas duplicatas.
d = 0,57% a.d. 
VB = N(1 - dn)
VB = 1100(1 - 0,0057∙7)
VB = R$ 1056,11
Duplicata 0129 de R$ 700,00 vencendo em 16 dias.
VB = N(1 - dn)
VB = 700(1 - 0,0057∙16)
VB = R$636,16
Duplicata 0134 de R$ 1.560,00 vencendo em 5 dias.
VB = N(1 - dn)
VB = 1560(1 - 0,0057∙5)
VB = R$ 1515,54
O valor resgatado pelas duplicatas:
Valor resgatado = 1056,11 + 636,16 + 1515,54
Valor resgatado = R$3207,81
Lista de Exercício
 1º) Uma pessoa descontou um título, de valor nominal R$ 1.650,00, 20 meses antes de seu vencimento e recebeu a quantia de R$ 1.386,00. Se foi utilizado o desconto simples comercial (desconto simples por fora), a taxa mensal de desconto foi de
a)0,8% b)1,0% c)1,2% d)1,4% e)1,5%
2º) Um título no valor de R$ 20.000,00, com vencimento para 90 dias, foi descontado a uma taxa de 4% ao mês (desconto simples). O valor do desconto monta, em reais, a
 a)880,00 b)960,00 c)1.240,00 d)1.980,00 e)2.400,00
 3º) Um título de valor nominal R$ 500,00 foi descontado dois meses antes do vencimento, sendo de R$ 450,00 o valor líquido recebido. Se o desconto utilizado foi o comercial simples (desconto simples por fora), a taxa de desconto utilizada foi de
a) 4% b)4,5% c)4,8% d)5% e)5,2%
4º) O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% a.m., obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples:
5º) Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% a.m.. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.
Desconto bancário com IOF
O Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) envolve operações de câmbio, crédito, seguro ou relativas a títulos ou valores imobiliários.
No desconto bancário, antecipação de títulos, promissórias e duplicatas,o IOF se apresenta conforme a fórmula a seguir:
Importante: A taxa nominal e o IOF são taxas de juros simples, então se necessitarmos convertê-las de mês para dia, ou de ano para dia, usaremos o conceito de Taxa Equivalente em Juros Simples
Onde:
VB = Valor descontado, valor resgatado, valor resultante da antecipação.
N = Valor nominal, valor do título antecipado.
d = Taxa nominal, taxa de juros simples, ao dia.
n = período de antecipação do título, geralmente em dias.
IOF = Imposto sobre Operações Financeiras, taxa de juros simples, ao dia.
1º) Um empresário necessita adquirir um maquinário, e para isso fará a antecipação de dois títulos de valores nominais de R$ 23.650,00 e R$ 15.740,00 que vencerão em 17 e 23 dias, respectivamente, numa instituição financeira que cobra pela transação uma taxa nominal de 0,12% a.d. e IOF de 0,017% a.d. Determine o valor total resgatado.
Para o título de R$ 23.650,00
Para o título de R15.740,00
Valor total resgatado = 23099,19 + 15244,03
Valor total resgatado = R$38343,22
 2º) Uma loja de joias raras irá pagar um de seus fornecedores com o valor obtido da antecipação de duas duplicatas nos valores de R$ 23.460,00 e R$ 36.780,00, com vencimentos em 6 e 19 dias respectivamente. O banco que fará a transação de antecipação cobra uma taxa administrativa nominal de 22,32%a.a. e IOF de 7,2% a.a. Calcule o valor que o fornecedor receberá.
O fornecedor receberá o valor de R$ 59.551,55.
Fazer Agora !
Lista de Exercícios
1º)
2º) Uma empresa necessita antecipar o resgate de um titulo de R$ 27.000,00 em 5 dias para pagar suas despesas mensais. O banco em que ocorrera a antecipacao do titulo cobra uma taxa nominal administrativa de 0,33% a.d. e IOF de 0,02% a.d. Calcule o valor a ser resgatado.
a) R$ 25.627,50. d) R$ 22.257,06
b) R$ 22.526,50. e) R$ 20.527,56.
c) R$ 26.527,50.
Um título de crédito com valor nominal de R$ 9.000,00 foi descontado 20 dias antes do seu vencimento, segundo as regras do desconto bancário, à taxa simples de desconto de 6% ao mês. Sobre essa operação, houve cobrança de IOF (Imposto sobre Operações Financeiras), com alíquota simples de 3% ao ano. Houve ainda a cobrança de uma taxa fixa de serviço bancário de 2%.
Sabendo-se que essas duas cobranças incidiram sobre o valor nominal do título, e considerando-se o ano comercial, o valor descontado foi:
 Boa Noite !
 e
 Bons Estudos.