Resolução de modelo IS-LM SFC

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Simulação Computacional e 
Economia Pós-Keynesiana 
Júlio Fernando Costa Santos 
Doutorando em Economia - IEUFU 
1 
O Problema da Dinâmica Econômica 
 
• Tempo Contínuo 
- Problemas que envolvem EDOs 
- EX.: O Modelo IS-LM Dinâmico, O modelo de 
Ramsey. 
 
• Tempo Discreto 
- Problemas que envolvem equações à diferenças 
- Ex.: O modelo Multiplicador-Acelerador, Modelos 
SFC 
2 
O Problema da Dinâmica Econômica 
 
Tempo Contínuo e Tempo Discreto 
Ambos permitem soluções numéricas e 
analíticas. 
Numérico – Vantagem de poder avançar na 
complexidade do modelo. 
Analítico – Elegância e melhor estudo das 
propriedades. 
 
3 
Softwares para Resolução de Modelos 
4 
O Problema da Dinâmica Econômica 
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada: 
 
Versão Dinâmica com EDO 
5 
O Problema da Dinâmica Econômica 
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada: 
 Equilíbrio 
6 
𝑦 = 𝛼. (𝐴 + 𝑎1. 𝑦 𝑡 − 𝑕. 𝑟 𝑡 ) (1) 
𝑟 = 𝛽. (−𝑚0 + 𝑘. 𝑦 𝑡 − 𝑢. 𝑟 𝑡 ) (2) 
𝐴 + 𝑎1. 𝑦 𝑡 − 𝑕. 𝑟 𝑡 = 0 (3.a) 
 
𝑦 𝑡 =
𝑕.𝑟 𝑡 −𝐴
𝑎1
 (3.b) 
 
−𝑚0 + 𝑘. 𝑦 𝑡 − 𝑢. 𝑟 𝑡 = 0 (4.a) 
 
𝑟 𝑡 =
−𝑚0+𝑘.𝑦 𝑡
𝑢
 (4.b) 
O Problema da Dinâmica Econômica 
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada: 
 Equilíbrio 
7 
Substituindo a (4.b) em (3.b), chegaremos ao produto de equilíbrio 𝑦∗. 
𝑦 𝑡 =
−𝑕.𝑚0+𝑕.𝑘.𝑦 𝑡 −𝐴.𝑢
𝑢.𝑎1
 
 
𝑦 𝑡 . 1 −
𝑕.𝑘
𝑢.𝑎1
=
−𝑕.𝑚0−𝐴.𝑢
𝑢.𝑎1
 
 
𝑦 𝑡 .
𝑢.𝑎1−𝑕.𝑘
𝑢.𝑎1
=
−𝑕.𝑚0−𝐴.𝑢
𝑢.𝑎1
 
 
𝑦 𝑡 =
−𝑕.𝑚0−𝐴.𝑢
𝑢.𝑎1
.
𝑢.𝑎1
𝑢.𝑎1−𝑕.𝑘
 
 
𝒚∗ =
𝑨.𝒖+𝒉.𝒎𝟎
𝒉.𝒌−𝒖.𝒂𝟏
 (5) 
 
O Problema da Dinâmica Econômica 
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada: 
 Equilíbrio 
8 
De igual maneira, substituindo a (3.b) em (4.b), chegaremos ao produto de equilíbrio 𝑟∗. 
𝑟 𝑡 =
𝑘.𝑕.𝑟 𝑡 −𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1
𝑎1.𝑢
 
𝑟 𝑡 . 1 −
𝑘.𝑕
𝑎1.𝑢
=
−𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1
𝑎1.𝑢
 
𝑟 𝑡 .
𝑎1.𝑢−𝑘.𝑕
𝑎1.𝑢
=
−𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1
𝑎1.𝑢
 
𝑟 𝑡 =
−𝑘.𝐴−𝑚0.𝑎1
𝑎1.𝑢
.
𝑎1.𝑢
𝑎1.𝑢−𝑘.𝑕
 
𝑟∗ =
𝑚0.𝑎1+𝑘.𝐴
𝑘.𝑕−𝑎1.𝑢
 (6) 
Dessa forma, o sistema tem equilíbrio único e não depende dos parâmetros 𝛼 e 𝛽. 
 
𝑦∗, 𝑟∗ =
𝐴.𝑢+𝑕.𝑚0
𝑕.𝑘−𝑢.𝑎1
,
𝑚0.𝑎1+𝑘.𝐴
𝑘.𝑕−𝑎1.𝑢
 (7) 
 
 
O Problema da Dinâmica Econômica 
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada: 
 Equilíbrio 
Dessa forma, o produto e a taxa de juros 
de equilíbrio não dependem de α e β. 
Se então tr(Jac) < 0. Como o produto 
negativo não é aceitável, em equilíbrio 
y*>0, o que implica a condição kh – a1u 
> 0. Então, o determinante da matriz 
jacobiana é maior que zero e temos um 
equilíbrio estável. 9 
O Problema da Dinâmica Econômica 
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada: 
 
Calibragem para a Simulação: 
10 
O Problema da Dinâmica Econômica 
IS–LM Dinâmico para Economia Fechada: 
 
11 
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson 
12 
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador 
𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺0 
𝐶𝑡 = 𝛾𝑌𝑡−1, 0 < 𝛾 < 1 
𝐼𝑡 = 𝛼. 𝐶𝑡 − 𝐶𝑡−1 , 𝛼 > 0 
 
Modelo Final: 
𝑌𝑡 = 𝛾𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−1 − 𝛾𝑌𝑡−2 + 𝐺0 
𝑌𝑡 = 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 − 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 + 𝐺0 
𝑌𝑡 − 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 = 𝐺0 
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson 
13 
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador 
Equação à diferenças de 2ª Ordem: 
 
Solução Analítica: 
𝑌𝑡 − 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 = 𝐺0 
A solução desse tipo de equação se subdivide em duas partes, onde a 
solução geral é a soma da solução particular (que é a que fornece um valor 
de equilíbrio intertemporal) mais a função complementar (desvios em 
relação ao equilíbrio). 
 
𝑌𝑔 = 𝑌𝑝 + 𝑌𝑐 
 
 
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson 
14 
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador 
Solução Particular (Equilíbrio Intertemporal): 
 
Sabendo no equilíbrio, 𝑌𝑡 = 𝑌𝑡−1 = 𝑌𝑡−2 = 𝑘 (uma constante qualquer). 
 
𝑌𝑡 − 𝛾 + 𝛼 . 𝑌𝑡−1 + 𝛼. 𝛾𝑌𝑡−2 = 𝐺0 
 
𝑘 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑘 + 𝛼𝛾𝑘 = 𝐺0 
𝑘 1 − 𝛾 1 + 𝛼 + 𝛼𝛾 = 𝐺0 
𝑘 =
𝐺0
1 − 𝛾 1 + 𝛼 + 𝛼𝛾
=
𝐺0
1 − 𝛾
= 𝑌𝑝 
 
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson 
15 
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador 
Solução Complementar (Desvios de Curto Prazo): 
 
A segunda parte diz respeito à função complementar. Para isso, devemos transformar 
nossa equação de diferenças de segunda ordem em uma equação homogênea (o 
termo constante = 0). 
 
𝑌𝑡−𝛾 1 + 𝛼
𝑎1
𝑌𝑡−1 + 𝛼𝛾 
𝑎2
𝑌𝑡−2 = 0 
 
𝑌𝑡 +𝑎1𝑌𝑡−1 +𝑎2𝑌𝑡−2 = 0 
 
𝑌𝑡+2 +𝑎1𝑌𝑡+1 +𝑎2𝑌𝑡 = 0 
 
 
 
 
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson 
16 
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador 
Solução Complementar (Desvios de Curto Prazo): 
 
Por conveniência, pegaremos a equação de diferenças anterior e jogaremos dois 
períodos à frente (o que não altera em nada a nossa equação). Temos que a solução 
para equações de diferenças homogêneas utiliza a seguinte igualdade 𝑌𝑡 = 𝐴𝑏
𝑡. 
Dessa forma, iremos substituir na equação anterior e assim obter: 
𝐴𝑏𝑡+2 + 𝑎1𝐴𝑏
𝑡+1 + 𝑎2𝐴𝑏
𝑡 = 0 
𝐴𝑏𝑡 𝑏2 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2 = 0 
Após cancelar o fator comum 𝐴𝑏𝑡 ≠ 0, ficamos com a seguinte equação 
característica: 
𝑏2 + 𝑎1𝑏 + 𝑎2 = 0 
𝑏2 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑏 + 𝛼𝛾 = 0 
 
 
 
 
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson 
17 
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador 
Solução da Equação Característica: 
𝑏2 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑏 + 𝛼𝛾 = 0 
 
Caso 1 (Raízes Reais Distintas) 
𝛾 >
4𝛼
1 + 𝛼 2
 
𝑌𝑐 = 𝐴1𝑏1
𝑡 + 𝐴2𝑏2
𝑡 
 
Caso 2 (Raízes Repetidas) 
𝛾 =
4𝛼
1 + 𝛼 2
 
𝑌𝑐 = 𝐴3𝑏
𝑡 + 𝐴4𝑡𝑏
𝑡 
 
 
 
 
 
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson 
18 
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador 
Solução da Equação Característica: 
𝑏2 − 𝛾 1 + 𝛼 𝑏 + 𝛼𝛾 = 0 
 
Caso 3 (Raízes Complexas) 
 
𝛾 <
4𝛼
1 + 𝛼 2
 
𝑏1, 𝑏2 = 𝑕 ± 𝑣𝑖 
Onde 𝑕 = −
𝑎1
2
 e 𝑣 =
4𝑎2−𝑎1
2
2
 
𝑌𝑐 = 𝐴1𝑏1
𝑡 + 𝐴2𝑏2
𝑡 = 𝐴1(𝑕 + 𝑣𝑖)
𝑡+𝐴2(𝑕 − 𝑣𝑖)
𝑡 
O teorema de Moivre para transformar essa função em termos trigonométricos (esse 
mais facilmente interpretável). 
𝑕 ± 𝑣𝑖 = 𝑅𝑡(𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑡 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑡) 
 
 
 
 
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson 
• Solução Numérica 
19 
O Modelo de Samuelson – Interação entre o Multiplicador e Acelerador 
𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 + 𝐺0 
𝐶𝑡 = 𝛾𝑌𝑡−1, 0 < 𝛾 < 1 
𝐼𝑡 = 𝛼. 𝐶𝑡 − 𝐶𝑡−1 , 𝛼 > 0 
 
20 
Tempo Discreto – Modelo de Samuelson 
𝛾 = 1/𝛼 Divisor de Estabilidade 
𝛾 > 1/𝛼 Trajetória Explosiva 
𝛾 < 1/𝛼 Trajetória Amortecida 
𝛾 =
4.𝛼
1+𝛼 2
 Raízes Repetidas 
𝛾 >
4.𝛼
1+𝛼 2
 Raízes Distintas 
𝛾 <
4.𝛼
1+𝛼 2
 Raízes Complexas 
 
 
Instável Explosiva 
Flutuação Convergente 
Estável sem ciclo 
*** Flutuação Uniforme 
*** Flutuação Explosiva 
O Problema da Dinâmica Econômica 
Soluções Numéricas: 
• Tempo Contínuo 
- Runge Kutta 4ª Ordem (Resolução Numérica de EDO) 
- Método de Euller (Resolução Numérica de EDO) 
 
• Tempo Discreto 
- Linear (Gauss-Seidel/Jacobi – Resolução Numérica de 
Sistemas Lineares) 
- Não Linear (Newton-Raphson – Resolução Numérica de 
Sistemas Não Lineares) 
21 
Modelos SFC 
 
• A abordagem SFC se preocupa em analisar a matriz contábil 
do modelo (Balanço Patrimonial, Transações e Variações de 
fluxo) de modo a dar um tratamento rigoroso de “tracking” 
nas variáveis Monetárias e Reais. 
 
• A princípio ela não é uma abordagem estritamente pós-
keynesiana. Ela pode ser utilizada para qualquer modelo 
Ortodoxo ou Heterodoxo. A rigor, o que a abordagem faz é 
evitar buracos negros na modelagem econômica. 
22 
Modelos SFC 
 
• “Da mesma forma que os estoques no início do período 
afetam o fluxo da renda, também é verdade que os fluxos 
poupados e ganhos de capital necessariamente afetam os 
estoques ao fim do período, que também de fato, afetaram os 
fluxos no próximo período” (Zezza e dos Santos, 2007). 
 
• Na maioria dos casos podeser considerado um sistema de n 
equações simultâneas que possuem n variáveis a serem 
resolvidas, sendo portanto um sistema determinado. 
23 
Modelos SFC 
 
Número de Equações < Número de Variáveis 
Sistema Indeterminado 
 
Número de Equações = Número de Variáveis 
Sistema determinado 
 
Número de Equações > Número de Variáveis 
Aproximação por MQO 
 
 24 
Modelos SFC 
 
Ex.: Determinar os valores de 𝑥1 𝑒 𝑥2 em: 
 
5. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 4 
2. 𝑥1 − 𝑥2 = 1
 
 
Formas de resolver: 
(1) Isolar 𝑥1 da primeira equação e substituir na 
segunda 
(2) Transformar o sistema em matrizes e vetores 
25 
Modelos SFC 
 
(1) – Por substituição: 
 
 
5. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 4 
2. 𝑥1 − 𝑥2 = 1
 
 
(a) Isolar 𝑥1 da primeira equação e substituir na segunda: 
𝑥1 =
4−2.𝑥2
5
 
 
(b) Substituindo 𝑥1 na segunda equação: 
2.
4−2.𝑥2
5
− 𝑥2 = 1 
 
𝑥2 =
1
3
 
 
(c) Substituindo 𝑥2 em 𝑥1 isolado em (a) 
𝑥1 =
2
3
 
26 
Modelos SFC 
 
(2) – Forma Matricial: 
 
 
5. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 4 
2. 𝑥1 − 𝑥2 = 1
 
 
(a) Deixar na forma matricial 
5 2
2 −1
.
𝑥1
𝑥2
=
4
1
 
 
(b) Resolve-se o sistema: 𝐴. 𝑋 = 𝐵 sendo 𝐴−1. 𝐴 = 𝐼 
 
𝐴−1. 𝐴. 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵 
 
(c) O problema se torna: 
 
𝑋 = 𝐴−1. 𝐵 
 
27 
Sistemas em Forma de Matriz 
• Problema envolvendo sistema linear. 
28 
1 4 3
−1
2
−2
2
0
3
.
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
16
−12
18
 
Encontrar solução para 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3. 
Forma Matricial 
𝑥 = 𝐴−1. 𝑏 
Solução: 
Sistemas em Forma de Matriz 
• Problema envolvendo sistema linear. 
29 
2 1
3
1
2
1
.
𝑥1
𝑥2
=
1
2
3
 
3 Equações, 2 Incógnitas (x1,x2) 
Forma Matricial 
 
2. 𝑥1 + 𝑥2 = 1
3. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 2
𝑥1 + 𝑥2 = 3
 
 
Que solução então podemos tomar? 
 
A solução passa a ser encontrar o vetor de x 
mais próximo possível para que se torne 
verdadeiro Ax=B. 
 
Nos resta como opção encontrar o vetor x 
cujo erro do sistema seja o menor possível ao 
quadrado. Dessa forma, usaremos o MQO. 
Sistemas em Forma de Matriz 
• Problema envolvendo sistema linear. 
30 
2 1
3
1
2
1
.
𝑥1
𝑥2
=
1
2
3
 
3 Equações, 2 Incógnitas (x1,x2) 
Forma Matricial 
 
2. 𝑥1 + 𝑥2 = 1
3. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 2
𝑥1 + 𝑥2 = 3
 
 
Solução: 
MQO 
Sistemas em Forma de Matriz 
• Problema envolvendo sistema linear. 
31 
2 1
3
1
2
1
.
𝑥1
𝑥2
=
1
2
3
 
Forma Matricial 
 
2. 𝑥1 + 𝑥2 = 1
3. 𝑥1 + 2. 𝑥2 = 2
𝑥1 + 𝑥2 = 3
 
 
Seja: 
𝐴𝑥 = 𝐵 
𝐴𝑇 . 𝐴𝑥 = 𝐴𝑇 . 𝐵 
𝐴𝑇 . 𝐴 −1. 𝐴𝑇 . 𝐴
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑥 = 𝐴𝑇 . 𝐴 −1. 𝐴𝑇 . 𝐵 
𝒙 = 𝑨𝑻. 𝑨
−𝟏
. 𝑨𝑻. 𝑩 
Solução Analítica x Numérica 
Solução Analítica: 
- Prós: Elegância, estudo das propriedades, 
- Contras: Exige algum grau de simplicidade do 
modelo. 
 
Solução Numérica: 
- Prós: Pode-se utilizar modelos pesados 
(complexos) 
- Contras: Pouco conhecimento as propriedades 
gerais do modelo. 
 
 32 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Motivação: Modelo IS-LM que não exista buracos negros: 
- Há restrições ao investimento? 
- Como o governo se financia? 
- O circuito monetário (tracking) 
- E o lucro das empresas? 
- A renda disponível das famílias é consistente? 
 
33 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
Exemplo de problema original: 
 
Principais livros textos da graduação: 
𝑌𝐷 = 𝑌 − 𝑇 
O que está implícito? 
Lucros distribuídos instantaneamente para as famílias 
34 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Balanço Patrimonial: 
 
 
35 
Households Firms Government Central Bank ∑
Fixed Capital
Money
Bills / Corporate Notes
Balance (net worth)
∑ 0 0 0 0 0
+ 𝑓 + 𝑓
+ 𝑕 − 
+𝐵𝑕 +𝐵𝑐 −𝐵𝑔
−𝑉𝑕 −𝑉𝑓 +𝑉𝑔 − 𝑓
−𝐵𝑓
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Matriz de Transações: 
36 
Current Capital Current Capital
Consumption 0
Government Expenditures 0
Investment 0
Wages 0
Taxes 0
Interest Payments 0
Central Bank Profits 0
Firms Profits 0
Change in Money 0
Change in Bills / Corp. Notes 0
∑ 0 0 0 0 0 0 0
Firms
Government ∑Households
Central Bank
−𝐶 +𝐶
−𝐺+𝐺
−𝐼+𝐼
−𝑊+𝑊
−𝑇 +𝑇
+𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵 𝑐𝑡−1+𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵𝑕𝑡−1 −𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵𝑔𝑡−1
+𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵 𝑐𝑡−1 −𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵 𝑐𝑡−1
− + 𝑓+ 𝑕
− + 
− 𝐵𝑕 + 𝐵𝑔 − 𝐵 𝑐+ 𝐵𝑓
−𝑟𝑡−1 ∗ 𝐵𝑓𝑡−1
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Equações Comportamentais 
 
Empresas: 
 
𝐼 = = 𝛾0 + 𝛾1. 𝑢−1 − 𝛾2𝑟 . −1 (1) 
𝑢 =
𝑌.𝜎
𝐾
 (2) 
 𝑓 = 1 − 𝑑 . (𝑌 −𝑊 − 𝑟−1. 𝐵𝑓−1) (3) 
Δ𝐵𝑓 = 𝐵𝑓 − 𝐵𝑓−1 = 𝐼 − 𝑓 (4) 
 𝑕 = 𝑑. (𝑌 −𝑊 − 𝑟−1. 𝐵𝑓−1) (5) 
 = −1 + 𝐼 (20) 
 
 
37 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Equações Comportamentais 
 
Famílias: 
 
𝑊 = 𝑤. 𝑌 (9) 
𝑌𝐷 = 1 − 𝜃 . (𝑊 + 𝑟−1. 𝐵𝑕−1 + 𝑕) (8) 
𝐶 = 𝛼1. 𝑌𝐷 + 𝛼2. 𝑉−1, 0 < 𝛼2 < 𝛼1 < 1 (7) 
 𝑕 = 𝜆10. 𝑉
𝑒 + 𝜆11. 𝑟. 𝑉
𝑒 + 𝜆12. 𝑌𝐷
𝑒 (16) 
𝐵𝑕 = 𝜆20. 𝑉
𝑒 + 𝜆21. 𝑟. 𝑉
𝑒 + 𝜆22. 𝑌𝐷
𝑒 (17) 
𝑉𝑒 = 𝑉−1 (18) 
𝑌𝐷𝑒 = 𝑌𝐷−1 (19) 
 
Restrições de Portfólio 
𝜆10 + 𝜆20 = 1 (ADUP.1) 
𝜆11 + 𝜆21 = 0 (ADUP.2) 
𝜆12 + 𝜆22 = 0 (ADUP.3) 
𝜆14 + 𝜆24 = 0 (ADUP.4) 
 
 
38 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Equações Comportamentais 
 
Governo e BACEN 
 
𝐺 = 𝛾. −1 (10) 
𝑇 = 𝜃. 𝑊 + 𝑟−1. 𝐵𝑕−1 + 𝑕 , 𝜃 < 1 (11) 
 𝐵𝑠= 𝐵𝑠 − 𝐵𝑠−1 = 𝐺 + 𝑟−1. 𝐵𝑠−1 − 𝑇 + 𝑟−1. 𝐵 𝑐−1 (12) 
 𝑠= 𝑠 − 𝑠−1 = 𝐵 𝑐 (13) 
𝐵 𝑐 = 𝐵𝑠 + 𝐵𝑓 − 𝐵𝑕 (14) 
𝑟 = 𝑟 (15) 
 
 
39 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Equações Comportamentais 
 
Resumo: 
 
Variáveis Endógenas: 
𝐼, , 𝑢, 𝑌, 𝐵𝑓, 𝐵𝑕, 𝐵𝑐 , 𝑕, 𝑓, 𝑕, Δ𝐵𝑓, Δ𝐵𝑕, Δ𝐵𝑠, Δ 𝑠, 𝑉, 𝑌𝐷,𝑊, 𝐺, 𝑇, 𝑉
𝑒, 𝑌𝐷𝑒 (21 𝑉𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠) 
 
Variáveis Exógenas: 
𝑟 = 𝑟 
Parâmetros: 
𝛼1, 𝛼2, 𝑑, 𝜆10, 𝜆11, 𝜆12, 𝜆20, 𝜆21, 𝜆22, 𝛾, 𝛾0, 𝛾1, 𝛾2, 𝜔, 𝜎, 𝜃 (16 𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠) 
Estoques Iniciais: 
Todos zerados, exceto o 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 100. 
 
 
 
40 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Solução Numérica do Modelo 
 
• Sendo ele de natureza Linear, o mais indicado é usar o algoritmo de Gauss-
Seidel. 
 
“Uma alternativa possível para reduzir a complexidade de resolução é utilizar 
o Algoritmo de Gauss-Seidel (GS) para resolver o sistema linear via iteração. 
Dessa forma, vamos a sua construção lógica com um exemplo simples 
extraído do artigo de Terence O’Shea e Stephen Kinsella”. 
 
 
 
41 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
Como funciona o Algoritmo? 
 
 
 
 
42 
Looping no Tempo 
Fase 1: Fornecer os parâmetros e os estoques 
existentes e pré-alocar as variáveis endógenas 
Equações do 
Modelo sendo 
Resolvidas por GS 
Sai do looping GS 
quando o erro for 
menor que o tolerável 
Armazena as variáveis 
em t para ser o chute em 
t+1 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
GS: 
 
Em forma matricial, a iteração de Gauss-Seidel é dada da seguinte forma: 
 
𝑥(𝑘+1) = 𝐷 + 𝐿 −1. (𝑈. 𝑥 𝑘 + 𝑏) 
 
Onde 𝐴 = 𝐷 + 𝐿 + 𝑈. As matrizes 𝐷, 𝐿 e 𝑈 representam a diagonal, 
triangular estritamente inferior e triangular estritamente superior. 𝑘 é o 
contador de iterações. 
Entrada por entrada toma a seguinte forma: 
𝑥𝑖
(𝑘+1)
=
1
𝑎𝑖𝑖
. 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 . 𝑥𝑗
𝑘+1
𝑗<𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 . 𝑥𝑗
(𝑘)
𝑗>𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 
 
43 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
GJ: 
 
Se a escolha for por Gauss-Jacobi, a entrada tem a seguinte forma: 
𝑥𝑖
(𝑘+1)
=
1
𝑎𝑖𝑖
. 𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑘)𝑛
𝑗=1,𝑗≠𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 
 
O único porém é que a convergência é mais lenta. 
44 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
GS: 
 
 
45 
Condição p/ 
Convergência: 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
GS: 
 
 
46 
Convergência Gauss-Seidel 
Alternativa de Resolução do Modelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Algoritmo de Gauss-Seidel (método para determinação de sistemas lineares via 
iteração) nos permite resolver problemas com várias equações simultâneas sem ter 
que realizar um trabalhoalgébrico pesado para o cálculo do produto de curto prazo. 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
Resultados da Simulação 
 
 
48 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
Resultados da Simulação 
 
 
49 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
Resultados da Simulação 
 
 
50 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
Resultados da Simulação 
 
 
51 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
Resultados da Simulação 
 
 
52 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
Resultados da Simulação 
 
 
53 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Solução Analítica do Modelo 
 
• Sendo ele um modelo de crescimento, o mais recomendável é normalizá-
lo pelo capital para que se possa encontrar uma solução de estado 
estacionário 
 
• Transformando o modelo em 5 equações fundamentais: 
 
 
 
 
54 
Normalizado 
Em nível 
Em log 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• A Curva u: 
𝐶 = 𝛼1. 𝑌𝐷 + 𝛼2. 𝑉−1 
𝐺 = 𝜌. −1 
𝐼 = = 𝛾0 + 𝛾1. 𝑢−1 − 𝛾2𝑟 . −1 
 𝑌 = 𝐶 + 𝐺 + 𝐼 
 
Fazendo as devidas substituições e manipulações algébricas, chegamos em: 
𝑢. 𝑣 =
𝛼1. 1−𝜃 .(𝑤.𝑌)+𝛼2.𝑉−1+𝜌.𝐾−1+ 𝛾0+𝛾1.𝑢−𝛾2𝑟 .𝐾−1
𝐾−1
 
𝑢 =
1
𝑣−1−𝛼1. 1−𝜃 . 𝑤.𝑣 −𝛾1
. 𝜌 + 𝛾0 − 𝛾2𝑟 +
𝛼2
𝑣−1−𝛼1. 1−𝜃 . 𝑤.𝑣 −𝛾1
. 𝑣𝑕−1 
Sendo, 𝜓1 =
1
𝑣−1−𝛼1. 1−𝜃 . 𝑤.𝑣 −𝛾1
, temos que: 
 
𝒖 = 𝝍𝟏. 𝝆 + 𝜸𝟎 − 𝜸𝟐𝒓 + 𝝍𝟏. 𝜶𝟐. 𝒗𝒉−𝟏 
 
55 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• A Curva u: 
𝒖 = 𝝍𝟏. 𝝆 + 𝜸𝟎 − 𝜸𝟐𝒓 + 𝝍𝟏. 𝜶𝟐. 𝒗𝒉−𝟏 
 
56 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
O Sistema Completo: 
 
1. 𝑏𝑠 = 𝑏𝑠−1 + 𝛾 − 𝑤 + 𝑑 − 𝑑.𝑤 . 𝜃. 𝑢. 𝜎 − (𝜃 + 1). 𝑟−1. 𝑏𝑕−1 + 𝜃. 𝑑 − 1 . 𝑟−1. 𝑏𝑓−1 
 
2. 𝑏𝑓 = 1 + 1 − 𝑑 . 𝑟−1 . 𝑏𝑓−1 + 𝑔 − 1 − 𝑑 . 1 − 𝑤 . 𝑢. 𝜎 
 
3. 𝑏𝑕 = (𝜆20 + 𝜆21. 𝑟). 𝑣𝑕−1 + 𝜆22. 1 − 𝜃 . 𝑤 + 𝑑 − 𝑑.𝑤 . 𝑢−1. 𝜎 + 𝑟−2. 𝑏𝑕−2 − 𝑑. 𝑟−2. 𝑏𝑓−2 
 
4. 𝑣𝑕 = 1 − 𝛼2 . 𝑣𝑕−1 + 1 − 𝛼1 . 1 − 𝜃 . 𝑤 + 𝑑 − 𝑑.𝑤 . 𝑢. 𝑣 + 𝑟−1. 𝑏𝑕−1 − 𝑑. 𝑟−1. 𝑏𝑓−1 
 
5. 𝑢 = 𝜓1. 𝜌 + 𝛾0 − 𝛾2𝑟 + 𝜓1. 𝛼2. 𝑣𝑕−1 
 
57 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Dinâmica Comparativa (Choques) – Alpha (10%) 
 
58 
+ 
- 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Dinâmica Comparativa (Choques) – d (10%) 
 
 
59 
+ 
- 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Dinâmica Comparativa (Choques) – Gamma (10%) 
 
 
60 
+ 
- 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Dinâmica Comparativa (Choques) – r (10%) 
 
 
61 
+ 
- 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Dinâmica Comparativa (Choques) – Theta (10%) 
 
 
62 
+ 
- 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Dinâmica Comparativa (Choques) – w (10%) 
 
 
63 
+ 
- 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Dinâmica Comparativa (Choques) – Resumo 
 
64 
Ret_EBI
Alpha1 +10% 6,34% 6,34% 6,34% 1,58 1,04 76,71% 19,88%
Alpha1 -10% 5,33% 5,33% 5,33% 2,60 1,38 71,67% 18,95%
d +10% 5,34% 5,34% 5,34% 3,32 -0,66 71,69% 17,78%
d -10% 6,27% 6,27% 6,27% 1,14 2,48 76,34% 20,76%
Ghama_0 +10% 6,04% 6,04% 6,04% 1,89 1,36 74,18% 19,48%
Ghama_0 -10% 5,55% 5,55% 5,55% 2,27 1,03 73,74% 19,24%
r +10% 5,78% 5,78% 5,78% 2,12 1,12 74,38% 19,50%
r -10% 5,81% 5,81% 5,81% 2,02 1,28 73,54% 19,23%
Theta +10% 5,31% 5,31% 5,31% 1,95 1,39 71,54% 18,93%
Theta -10% 6,30% 6,30% 6,30% 2,14 1,05 76,50% 19,84%
w +10% 6,52% 6,52% 6,52% 0,75 3,40 77,59% 18,67%
w - 10% 5,12% 5,12% 5,12% 4,10 -1,67 70,64% 20,21%
Shock
Capacity 
Utilization
Notes/EBIBills/GDPg_Kg_Vg_Y_d
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Todo Modelos SFC pode ser convertido em um DAG(Grafo Acíclico 
Direcionado) 
 
65 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Todo Modelos SFC pode ser convertido em um DAG(Grafo Acíclico 
Direcionado) 
 
66 
Modelo IS-LM SFC (Oreiro-Santos et al.) 
• Representação como DAG (Grafo Acíclico Direcionado) 
 
67 
G – Gasto Público 
I – Investimento 
K – Capital Físico, 
W – Salários 
Ph – Lucros Distribuídos 
YD – Renda Disponível 
Pf – Lucros Retidos 
T – Tributos 
C – Consumo 
V – Riqueza 
Bs – Títulos Públicos ofertados 
Bh – Títulos Públicos em posse das famílias 
Bf – Títulos Privados 
Bcb – Títulos em posse do Bacen 
dBf – Variação T.P 
dBs – Variação T.P. 
dHs – Variação da oferta monetária. 
Modelos Não-lineares 
Mas e se o modelo for não linear? 
 
Newton-Raphson 
Função: 𝑦 = 𝑥2 − 2. 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que o método faz é utilizar um chute 
inicial 𝑥0 e calcular até o ponto onde 
𝑓(𝑥0) seja 0. O método extrapola 
assumindo que a função é linear e 
utiliza de um laço iterativo para utilizar 
a cada nova iteração o 𝑓𝑛𝑜𝑣𝑜 obtido 
anteriormente como o novo chute. 
Calcula a derivada da função no ponto 
𝑥0 vezes o deslocamento em x. O 
método irá parar de iterar quando o 
𝑓𝑛𝑜𝑣𝑜 estiver bem perto do 𝑓(𝑥) = 0. 
 
Modelos Não-lineares 
Mas e se o modelo for não linear? 
 
Newton-Raphson 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelos Não-lineares 
Mas e se o modelo for não linear? 
 
Newton-Raphson 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelos Não-lineares 
Mas e se o modelo for não linear? 
 
Newton-Raphson 
 
Formas de minimizar o erro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelos Não-lineares 
Formas de minimizar o erro: 
 
Exemplo Simples: 
 
 
 
 
 
 
 
Modelos Não-lineares 
Formas de minimizar o erro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outras Referências