92027065-Classes-Laterais

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4 - CLASSES LATERAIS E TEOREMA DE LAGRANGE 
 
4.1 - Classes Laterais 
 
Proposição 1: 
i) A relação R sobre G definida por “ aRb se, e somente se, 1a b H− ∈ ” é uma 
relação de equivalência. 
ii) Se a G∈ , então a classe de equivalência determinada por a é o conjunto 
{ / }aH ah h H= ∈ . 
 
Dem: 
i) Como 1e a a H−= ∈ , então aRa e, portanto, vale a reflexividade. 
Se aRb então 1a b H− ∈ , mas sendo H um subgrupo de G , então 1 1 1( )a b b a H− − −= ∈ . 
Isso mostra que bRa e, portanto, que a simetria também se verifica para R . 
Suponhamos que aRb e bRc , então 1a b− , 1b c− daí, 
1 1 1 1 1 1( )( )a b b c a b bc a ec a c H− − − − − −= = = ∈ 
Logo, aRc , de onde a transitividade é válida. 
ii) Seja a a classe de equivalência do elemento a . Se x a∈ , então xRa , ou seja, 
1x a H− ∈ . 
Portanto 1x a h− = , para um elemento h H∈ . Mas 1x ah−= e, portanto, x aH∈ , uma 
vez que 1h H− ∈ . 
Por outro lado, se x aH∈ , então x ah= , para algum h H∈ . Daí, 1 1x a h H− −= ∈ e, 
portanto, xRa , de onde, x a∈ . 
Segue que a aH= . 
 
Definição 1: Para cada a G∈ , a classe de equivalência aH definida pela relação R 
introduzida na proposição 1 é chamada classe lateral à direita, módulo H , determinada 
por a . 
Uma decorrência imediata da proposição anterior é que o conjunto das classes laterais à 
direita, módulo H , determina uma partição em G , ou seja: 
A) Se a G∈ , então aH ≠ ∅ 
B) Se ,a b G∈ , então aH bH= ou aH bH∩ =∅ 
C) A união de todas as classes laterais é igual a G . 
 
O conjunto quociente de G por essa relação, denotado por /G H é o conjunto das 
classes laterais ( )aH a G∈ . Um dos elementos desse conjunto é o próprio H , pois 
H eH= . 
De maneira análoga se demonstra que a relação R definida por “ aRb se, e somente se, 
1ab H− ∈ ” também é uma relação de equivalência sobre o grupo G . Só que, neste caso, 
a classe de equivalência de um elemento a G∈ é o subconjunto { / }Ha ha h H= ∈ , 
chamado classe lateral à esquerda, módulo H, determinada por a . É claro que, se G for 
comutativo, então aH Ha= , para qualquer a G∈ . 
 
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Exemplo 1: No grupo multiplicativo {1, 1, , }G i i= − − das raízes quárticas da unidade, 
considere o subgrupo {1, 1}H = − . As classes laterais são: 
1 {1 1,1 ( 1)} {1, 1}H = ⋅ ⋅ − = − 
( 1) {( 1) 1, ( 1) ( 1)} { 1,1}H− = − ⋅ − ⋅ − = − 
{ 1, ( 1)} { , }iH i i i i= ⋅ ⋅ − = − 
( ) {( ) 1, ( ) ( 1)} { , )}i H i i i i− = − ⋅ − ⋅ − = − 
Logo, 1 ( 1)H H= − e ( )iH i H= − 
Portanto, / {1 , }G H H iH= 
Essas duas classes laterais unidas coincidem com o grupo G . 
 
Exemplo 2: Seja G o grupo aditivo 6Z . Para facilitar, escreveremos os elementos de 
6Z sem os traços, ou seja, 6 {0,1,2,3,4,5}=Z . 
Considerando o subgrupo {0,3}H = , temos: 
0 {0,3}H H+ = = 
1 {1,4}H+ = 
2 {2,5}H+ = 
A reunião dessas 3 classes é igual a G . 
Portanto, / { ,1 , 2 }G H H H H= + + . 
 
Exemplo 3: Considere o grupo multiplicativo ∗R dos números reais e H o subgrupo 
formado pelos números reais estritamente positivos, ou seja, { / 0}H x x∗= ∈ >R . 
Como aH H= , se 0a > e { / 0}aH x x∗= ∈ <R , se 0a < então / H∗R é formado por 
duas classes: a dos números reais maiores que zero e a dos números reais menores que 
zero. 
 
Proposição 2: Seja H um subgrupo de G . Então duas classes laterais quaisquer 
módulo H têm a mesma cardinalidade. 
 
Dem: Dadas duas classes laterais aH e bH , temos que mostrar que é possível construir 
uma aplicação bijetora :f aH bH→ . Lembrando a forma geral dos elementos dessas 
classes, é natural definir f da seguinte maneira: ( )f ah bh= , para qualquer h H∈ . 
Sem maiores dificuldades, prova-se que f é injetora e sobrejetora. De fato: 
(Injetora) Se 1,h h H∈ e 1( ) ( )f ah f ah= , então 1bh bh= , como, porém, todo elemento 
de G é regular, então 1h h= . 
(Sobrejetora) Seja y bH∈ . Então y bh= , para algum h bH∈ . Tomando-se 
x ah aH= ∈ , então ( ) ( )f x f ah bh y= = = . 
Em particular, todas as classes têm a mesma cardinalidade de H eH= ( e = elemento 
neutro). 
 
Obviamente, se G é um grupo finito, então o conjunto /G H também é finito. O 
número de classes distintas do conjunto /G H é chamado índice de H em G é 
denotado por ( : )G H . Então, no exemplo 1, ( : ) 2G H = , no exemplo 2, ( : ) 3G H = , no 
exemplo 3, ( : ) 2G H = . 
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Devido ao fato de 1aH Ha−→ é uma aplicação bijetora, como já observamos, então o 
índice de H em G é o mesmo, quer se considerem classes laterais à direita ou à 
esquerda, módulo H . 
 
4.2 - O Teorema de Lagrange 
 
Proposição 3: (Teorema de Lagrange): Seja H um subgrupo de um grupo finito G . 
Então ( ) ( ) ( : )o G o H G H= e, portanto, ( ) / ( )o H o G . 
 
Dem: Suponhamos ( : )G H r= e seja 1 2/ { , , , }rG H a H a H a H=  . Então devido à 
proposição 1, 1 2 rG a H a H a H= ∪ ∪ ∪ e i ja H a H∩ =∅ , sempre que i j≠ . Mas, 
devido à proposição 2, o número de elementos de cada uma das classes laterais é igual 
ao número de elementos de H , ou seja, é igual a ( )o H . Portanto, 
( ) ( ) ( ) ( )o G o H o H o H= + + + em que o número de parcelas é ( : )r G H= . De onde: 
( ) ( : ) ( )o G G H o H= e ( ) / ( )o H o G . 
 
Corolário 1: Seja G um grupo finito. Então a ordem (período) de um elemento a G∈ 
divide a ordem de G e o quociente é ( : )G H , em que [ ]H a= . 
 
Dem: Basta lembrar que a ordem de a é igual à ordem de [ ]a o que, devido ao 
Teorema de Lagrange: ( ) ( : ) ([ ])o G G H o a= . 
 
Corolário 2: se a é um elemento de um grupo finito G , então ( )o Ga e= (elemento 
neutro do grupo). 
 
Dem: Seja h a ordem de a . Portanto, h é o menor inteiro estritamente positivo tal que 
ha e> (elemento neutro do grupo). Mas devido ao corolário anterior: ( ) ( )o G G H h= : 
em que [ ]H a= . Portanto ( ) ( : ) ( : ) ( : )( )o G G H h h G H G Ha a a e e= = = = . 
 
Corolário 3: Seja G um grupo finito cuja ordem é um número primo. Então G é 
cíclico e os únicos subgrupos de G são os triviais, ou seja, { }e e o próprio G . 
 
Dem: Seja ( )p o G= . Como 1p > , o grupo G possui um elemento a diferente do 
elemento neutro. Assim, se [ ]H a= , pelo Teorema de Lagrange garante que ( ) /o H p . 
Logo, ( ) 1o H = ou p e, portanto, { }H e= ou H G= . 
Como a primeira dessas hipóteses é impossível, então G H= e, portanto, G é cíclico. 
Por outro lado, se J é um subgrupo de G , então, ainda devido ao Teorema de 
Lagrange, ( ) / ( )o J o G . Daí, ( ) 1o J = ou p e, portanto, { }J e= ou J G= . 
 
Exemplo 1: Determine todas as classes laterais de {0, 3, 6, 9}H = no grupo aditivo 12Z . 
Logo, vamos encontrar as classes laterais, módulo H . 
0 {0, 3, 6, 9}H H+ = = 
1 {1, 4, 7,10} 1H H+ = = + 
2 {2, 5, 8,11} 2H H+ = = + 
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Portanto, 12 / { ,1 , 2 }H H H H= + +Z 
 
Exemplo 2: Determine todas as classes laterais de 4Z no grupo aditivo Z . 
Lembrando que 4 {0, 4, 8, 12, }= ± ± ± Z . 
Temos que 0∈Z vamos verificar se será uma classe lateral módulo 4Z 
0 4 {0, 4, 8, 12, }+ = ± ± ± Z 
1 4 { , 3,1,5,9,13, }+ = − Z 
2 4 { , 2,2,6,10,14, }+ = − Z 
3 4 { , 1,3,7,11,15, }+ = − Z 
Podemos concluir que a união destas 4 classes resulta no conjunto dos Z . 
Portanto, / 4 {4 ,1 4 ,2 4 ,3 4 }= + + +Z Z Z Z Z Z . 
 
Exemplo 3: Sendo {0, , 2 , }H m m= ± ±  , m∈Z , um subgrupo do grupo aditivo Z , 
mostre que {0, 1, , 1} mm − = Z é o conjunto das classes laterais de H . Logo, 
( : )H m=Z . 
Dem: Vamos mostrar que mZ é o conjunto das classes laterais de H . Sendo 
( : )H m=Z . Teremos m classes laterais de H . 
0 {0, , 2 , } 0H m m+ = ± ± = 
1 {1, 1, 2 1, } 1H m m+ = ± + ± + = 
2 {2, 2, 2 2, } 2
1 { 1, 1, 2 1, } 1
H m m
m H m m m m m m
+ = ± + ± + =
− + = − ± + − ± + − = −



 
Portanto, mZ é o conjunto das classes laterais de H . 
 
Exemplo 4: Considerando Z como subgrupo do grupo aditivo Q , descreva as classes 
(-1)+Z e 1
2
+Z . 
m∀ ∈Z , temos ( 1) ( 1) 1m m+ − = + − = − =Z Z 
( 1)∴ + − =Z Z 
Agora, 1 1 2 1/ /
2 2 2
nn n n+   + = + ∈ = ∈   
   
Z Z Z 
1 2 1,
2 2
n n+∴ + =∈Z Z 
	MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
	1 - GRUPOS E SUBGRUPOS
	1.1 - Conceito de Grupo
	1.2 - Propriedades imediatas de um grupo
	1.3 - Grupos Finitos
	1.4 - Alguns Grupos Importantes
	1.4.1 - Grupo Aditivo dos Inteiros (comutativo)
	1.4.2 - Grupo Aditivo dos Complexos (comutativo)
	1.4.3 - Grupo Multiplicativo dos Racionais (comutativo)
	1.4.4 - Grupo Aditivo de Matrizes m x n (comutativo)
	1.4.5 - Grupos Lineares de Grau n (multiplicativo, Não Comutativo se )
	1.4.6 - Grupos Aditivos de Classes Restos (Comutativo)
	1.5 - Subgrupos
	2 - HOMOMORFISMOS E ISOMOSFISMOS
	2.1 - Homomorfismo de Grupos
	2.2 - Proposições Sobre Homomorfismo de Grupos
	2.3 - Núcleo de um Homomorfismo
	2.4 - Isomorfismos de Grupos
	3 - GRUPOS CÍCLICOS
	3.1 - Potências e Múltiplos
	3.2 - Grupos Cíclicos
	3.3 - Classificação dos Grupos Cíclicos
	4 - CLASSES LATERAIS E TEOREMA DE LAGRANGE
	4.1 - Classes Laterais
	4.2 - O Teorema de Lagrange
	BIBLIOGRAFIA