Estruturas de Madeira e Metálicas com BIM

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Estruturas de Madeira e Metálicas com BIM
Peças Flexionadas
Michael Leone Madureira de Souza
michael.souza@ibmr.br
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Sumário
1 Introdução
2 Dimensionamento à Flexão
3 Dimensionamento ao Cisalhamento
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1 Introdução
2 Dimensionamento à Flexão
3 Dimensionamento ao Cisalhamento
3 / 67
Introdução
Conceitos
Em projetos no estado limite último de vigas sujeitas à flexão
simples calculam-se, para as seções cŕıticas, o momento e o esforço
cortante resistentes de projeto para compará-los aos respectivos
esforços solicitantes de projeto.
A resistência à flexão das vigas pode ser afetada pela flambagem
local e pela flambagem lateral.
A flambagem local é a perda de estabilidade das chapas comprimidas
componentes do perfil a qual reduz o momento resistente da seção.
Na flambagem lateral a viga perde seu equiĺıbrio no plano principal
de flexão (em geral vertical) e passa a apresentar deslocamentos
laterais e rotações de torção.
Para evitar a flambagem de uma viga I, cuja rigidez à torção é
pequena, é preciso prover contenção lateral à viga.
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Introdução
Conceitos
5 / 67
Introdução
Conceitos
A resistência ao esforço cortante de uma viga pode ser reduzida pela
ocorrência de flambagem da chapa de alma sujeita às tensões
cisalhantes.
Os tipos de seções transversais mais adequados para o trabalho à
flexão são aqueles com maior inércia no plano de flexão, ou seja, com
áreas mais afastadas do eixo neutro
As vigas com muita área próxima ao eixo neutro, como por exemplo
as peças maciças de seção quadrada ou circular, trabalham com
menor eficiência na flexão (menor capacidade de carga).
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1 Introdução
2 Dimensionamento à Flexão
3 Dimensionamento ao Cisalhamento
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
A figura abaixo apresenta o comportamento de uma viga de aço
bi-apoiada sob carga distribúıda crescente, através da relação
momento X curvatura da seção mais solicitada.
Adota-se a hipótese de não existir flambagem local ou flambagem
lateral da viga.
O comportamento é linear enquanto a máxima tensão é menor do
que a tensão de escoamento do aço.
σmax =
M ·ymax
I < fy
onde M é o momento
solicitante, I é o momento de
inércia e ymax a distância
entre a linha neutra e o ponto
de maior tração na análise.
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
O momento My de ińıcio de plastificação da seção não representa a
capacidade resistente da viga, já que é posśıvel coninuar aumentando
a carga após atingi-lo.
A partir de My o comportamento passa a ser não-linear pois as
”fibras” mais internas da seção vão também plastificando-se
progressivamente até ser atingida a plastificação total da seção.
A equação de equiĺıbrio das forças horizontais impõe a igualdade das
resultantes de tração e de compressão uma vez que não há forças
axiais aplicadas. Esta equação fornece a posição da linha neutra
elástica (LNE), que neste caso passa pelo centróide G.
Quando da plastificação total da seção, o equiĺıbrio das forças
horizontais define a posição da linha neutra plástica (LNP) como
sendo o eixo que divide a seção em duas áreas iguais, uma tracionada
(At) e outra comprimida (Ac). Nas seção simétrica LNE coincide
com LNP.
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
Módulo plástico da seção:
Z = At · yt +Ac · yc
onde At e Ac são as áreas de tração e compressão da seção e yt e yc
a distância entre o centróide da áreas At e Ac à linha neutra.
Coeficiente de forma:
Mp
My
=
Z
W
onde My e Mp são os momentos de plastificação inicial e total, Z o
módulo plástico da seção e W o módulo elástico, W = Iy .
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
Exemplo: Coeficiente de forma para flexão em torno do eixo x-x.
Momento de inércia:
Ix =
0,8·(90−1,9)3
12 +
2
[
20·(0,95)3
12 + 20 · 0, 95 ·
(
90
2 −
0,95
2
)2]
Ix = 120923 cm
4
Módulo elástico:
Wx =
120923
90/2 = 2687 cm
3
Momeno plástico:
Zx =
2
[
20 · 0, 95 ·
(
90
2 −
0,95
2
)
+ 0, 8 · (90/2−0,95)
2
2
]
Zx = 3244 cm
3
Coeficiente de forma: Zx/Wx = 1, 21
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
Vigas com contenção lateral cont́ınua não estão sujeitas ao
fenômeno de flambagem lateral. Porém a resistência das vigas à
flexão pode ser reduzida por efeito da flambagem local das chapas
que constituem o perfil.
Conteção lateral cont́ınua:
a) e b)
Contenção lateral pontual
(não cont́ınua):
c), d) e e).
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
As normas americana (AISC) e a brasileira (NBR 8800), dividem as
seções das vigas em três classes conforme a influência da flambagem
local sobre os respectivos momentos resistentes, MRd, seção:
* compacta: aquela que atinge o momento de plastificação
total(MRd =Mp) e exibe suficiente capacidade de rotação inelástica
para configurar uma rótula plástica.
* semicompacta: aquela em que a flambagem local ocorre após ter
desenvolvido plastificação parcial (MRd > Mp) mas sem apresentar
significativa rotação.
* esbelta: seção na qual a ocorrência de flambagem local impede que
seja atingido o momento de ińıcio de plástificação (MRd < Mp).
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Dimensionamento à Flexão
Introdução
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
As classes de seções transversais são definidas por valores limites das
relações largura-espessura, λb, das chapas de compõem o prefil.
Para perfis I fletidos no plano da alma, os limites λb e λr estão
detalhados na próxima tabela.
* λb ≤ λp - Seção compacta;
* λp < λb ≤ λr - Seção semicompacta;
* λr < λb - Seção esbelta.
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
Os elementos comprimidos de um perfil podem estar em diferentes
classes. Porém, este deve ser classificado pelo caso mais desfavorável.
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
Exemplo 1: Verificar a classe dos perfis laminados de aço MR250;
I508(20”) × 121,2, IPE 550 e W 530 × 66
Perfil I508(20”) × 121,2: compacta
bf = 17, 78 cm, tf = 2, 33 cm, h = 50, 8 cm e t0 = 1, 52 cm.
λb,mesa =
1
2 ·
17,78
2,33 = 3, 82 < 10, 7; λb, alma =
50,8−2·4,4
1,52 = 27, 6 < 106
Perfil IPE550: compacta
bf = 21 cm, tf = 1, 72 cm, h = 55 cm e t0 = 1, 11 cm.
λb,mesa =
1
2 ·
21
1,72 = 6, 10 < 10, 7; λb, alma =
55−2·(1,72+2,4)
1,1 = 42, 5 <
106
Perfil W 530 × 66: compacta
bf = 16, 5 cm, tf = 1, 14 cm, h = 52, 5 cm e t0 = 0, 89 cm.
λb,mesa =
1
2 ·
16,5
1,14 = 7, 2 < 10, 7; λb, alma = 53, 7 < 106
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
Exemplo 2: Verificar a classe dos perfis soldados de aço MR250; CS
250 × 52, CS 650 × 305 e VS 1400 × 260
CS 250 × 52: semicompacta
λb,mesa = 13, 2 > 10, 7; λr = 0, 95 ·
√
20000
0, 7 · 25/(4/
√
28, 9)
= 27, 7
λb, alma = 28, 9 < 106
CS 650 × 305: semicompacta
λb,mesa = 14, 5 > 10, 7; λr = 0, 95 ·
√
20000
0, 7 · 25/(4/
√
37, 8)
= 25, 9
λb, alma = 37, 8 < 106
VS 1400 × 260: semicompacta
λb,mesa = 15, 6 > 10, 7; λr = 0, 95 ·
√
20000
0, 7 · 25/(4/
√
109, 4)
= 19, 9
λb, alma = 109, 4 > 106; λr = 5, 7 ·
√
20000
25
= 161, 2
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
O momento resistente de projeto MRd é dado por:
MRd =
Mn
γa1
onde Mn é o momento resistente nominal, obtido por análise, sendo o
valor determinado pelo limite de escoamento do aço, ou por
flambagem conforme a Tabela abaixo.
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
Na situação entre seções semicompactas e seções esbeltas, isto é
λb = λr o momento resistente nominal denomina-se Mr igual ao
momento de ińıcio de plastificação considerando-se a presença de
tensões residuais.
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
Flambagem local da mesa:
Mr =Wc(fy − σc) < Wt fy
onde σc representa a tensão residual de compressão nas mesas tomada
igua a 0,3 fy e Wc e Wt os móduloselásticos da seção referidos às
fibras mais comprimida e mais tracionadas respectivamente.
Flambagem local da alma:
Mr =W fy
onde W é o menor módulo resistente elástico da seção.
Nas seções semicompactas os momentos nominais podem ser
interpolados linearmnete entre os valores limites Mr e Mp:
Mn =Mp − λb−λpλr−λp (Mp −Mr)
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Dimensionamento à Flexão
Conceitos
Quando a determinação dos esforços solicitantes, deslocamentos,
flechas, etc. é feita com base no comportamento elástico, o momento
resistente de projeto fica limitado a:
MRd < 1, 5 ·
W fy
γa1
onde W é o menor módulo resistente elástico da seção.
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Dimensionamento à Flexão
Vigas I com Mesa Esbelta
Nas vigas contidas lateralmente com alma atendendo ao limite para
seção semicompacta, porém com mesas esbeltas o momento
resistente pode ser calculado com a tensão resistente na mesa
reduzida pelo valor Q de flambagem local elástica de plásticas
não-enrijecidas, dadas pela Tabela abaixo.
Mn = QsWc fy
Atenção! Na coluna de Qs é necessário modificar as variáveis b/f
por λb =
bf
2 tf
.
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Dimensionamento à Flexão
Vigas I com Mesa Esbelta
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Dimensionamento à Flexão
Vigas I com Mesa Esbelta
Portanto, de acordo com a NBR 8800, tem-se:
* Perfis laminados:
Mn =
0, 69EWc
λ2b
* Perfis solados:
Mn =
0, 9E kcWc
λ2b
onde kc =
4√
h0/t0
e 0, 35 ≤ kc ≤ 0, 763
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Dimensionamento à Flexão
Vigas I com Alma Esbelta
Nas vigas I com alma esbelta onde
h0
t0
> 5, 7
√
E
fy
,
h0
t0
≤ 260
classificadas como seção compacta, o momento resistente de projeto pode
ser calculado com MRd =Mn/γa1 onde Mn é o menor valor entre as
equações:
Mn =Wt fy ou Mn =Wc k fy com
k = 1− ar
1200 + 300 ar
(
hc
t0
− 5, 7
√
E
fy
)
onde ar é a razão entre as áreas da alma e da mesa comprimida (menor ou
igual a 10), hc o dobro da distância entre o centróide da seção e a face
interna da mesa comprimida.
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Dimensionamento à Flexão
Vigas I com Mesa Esbelta
A flambagem da alma transfere tensões para a mesa comprimida,
reduzindo o momento resistente.
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Dimensionamento à Flexão
Vigas I com Mesa Esbelta
Exemplo 3: Calcular o momento resistente de projeto de um perfil W
530x66 em aço MR250 com contenção lateral cont́ınua.
Conforme demonstrado no Exemplo 1 esse perfil é compacto.
Momento resistente de projeto MRd = Z fy/γa1:
MRd = 1558 · 25/1, 1 = 35409 kN.cm → MRd = 354, 1 kN.m
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Dimensionamento à Flexão
Vigas I com Mesa Esbelta
Exemplo 4: Calcular o momento resistente de projeto de um perfil VS
400x49 em aço MR250 com contenção lateral cont́ınua.
Conforme demonstrado no Exemplo 1 esse perfil é compacto.
Momento resistente de projeto MRd = Z fy/γa1:
Z = 2
[
0, 95 · 20 ·
(
40−0,95
2
)]
+ 2
(
0, 63 · 38,12 ·
38,1
4
)
= 971 cm3
MRd = 971 · 25/1, 1 = 22068 kN.cm → MRd = 220, 7 kN.m
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Dimensionamento à Flexão
Vigas I com Mesa Esbelta
Exemplo 5: Calcular o momento resistente de projeto de um perfil VS
1400x260 em aço MR250 com contenção lateral cont́ınua.
Conforme demonstrado no Exemplo 2 esse perfil é semicompacto.
Momento resistente de projeto: MRd =Mn/γa1
Momento nominal: Mn =Mp − λb−λpλr−λp (Mp −Mr)
Z = 2
[
1, 6 · 50 ·
(
140−1,6
2
)]
+ 2
(
1, 25 · 136,82 ·
136,8
4
)
= 16920 cm3
Mp = 16920 · 25 = 423000 kN.cm = 4230 kN.m
Flambagem local da mesa:
Mr =W ·(fy−σc) = 14756·(25−0, 3·25) = 258230 kN.cm = 2582 kN.m,
λb,mesa = 15, 6, λp, alma = 10, 7, λr, alma = 19, 9
Momento nominal: Mn = 4230− 15,6−10,719,9−10,7(4230− 2582) = 3352 kN.m
MRd = 3352/1, 1 → MRd = 3047 kN.m
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Dimensionamento à Flexão
Vigas I com Mesa Esbelta
Flambagem local da alma:
Mr =W · fy = 14756 · 25 = 368900 kN.cm = 3689 kN.m,
λb, alma = 109, 4, λp, alma = 106, λr, alma = 161, 2
Momento nominal: Mn = 4230− 109,4−106161,2−106(4230− 3689) = 4197 kN.m
MRd = 4197/1, 1 → MRd = 3815 kN.m
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1 Introdução
2 Dimensionamento à Flexão
3 Dimensionamento ao Cisalhamento
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Conceitos
As almas das vigas servem principalmente para ligar as meses e
absorver os esforços cortantes. Por razões econômicas procura-se
concentrar massas nas mesas para obter maior inércia, reduzindo a
espessura da alma.
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Conceitos
A alma das vigas é dimensionada basicamente para a condição de
flambagem sob ação de tensões cisalhantes.
Nos perfis laminados as almas são pouco esbeltas (h0/t0
moderado), tendo geralmente resistência à flambagem suficiente para
atender aos esforços solicitantes de mofo que a resistência é
determinada pelo escoamento a cisalhamento do material
(fv ≈ 0, 6 fy).
Nos perfis fabricados as almas são geralmente esbeltas (h0/t0
elevado), de modo que a resistência da viga fica limitada pela
flambagem da alma. Nesses casos, para aumentar a resistência à
flambagem utilizam-se enrijecedores transversais, que dividem a alma
em painéis retangulares.
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Conceitos
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Conceitos
A tensão cŕıtica de flambagem local elástica por cisalhamento de
um painel de alma é dada por:
τcr = k
π2E
12(1− ν2)(h0/t0)2
= 0, 904
k E
(h0/t0)2
onde k é o fator que considera as condições de contorno da placa e é
uma função do espaçamento a entre enrijecedores transversais.
As tensões de cisalhamento τ em peças de altura constante
solicitadas por esforço cortante V são dadas por:
τcr =
V S
t I
onde t é a espessura da chapa no ponto de análise, S momento
estático referido ao centro de gravidade da seção bruta e I o momento
de inércia da seção bruta referido ao mesmo centro de gravidade.
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Conceitos
No caso particular de perfil I, simples ou composto, o esforço cortante
é absorvido quase em sua totalidade pela alma da viga, com tensões
variando pouco ao longo de seu comprimento.
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Conceitos
Para o cálculo das tensões solicitantes de cisalhamento no estado
limite de projeto utiliza-se a relação
τr =
Vd
Av
onde Vd é o esforço cisalhante de cálculo e Av a área efetiva de
cisalhamento dada por perfis de seção:
* I: h0 t0;
* Retangular cheia: 2/3Ag;
* Circular cheia: 3/4Ag;
* Tubular circular: 1/2Ag.
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Vigas I com Valores Moderados de hw/t0
Para vigas I com alma pouco esbelta (valores baixos de hw/t0), a
flambagem da alma por cisalhamento não é determinante (o material
entra em escoamento para cargas inferiores à carga cŕıtica de
flambagem).
Os valores limites de hw/t0 para esta categoria de almas são dados
pela expressão:
hw/t0 ≤ 2, 46
√
E
y
onde hw é a altura da alma, tomada igual à distância h0 entre as
faces internas das mesas em perfis soldados e igual a (h0 − 2r) nos
perfis laminados.
* Aço MR250: 69,6;
* Aço AR350: 58,8.
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Vigas I com Valores Moderados de hw/t0
O esforço cortante resistende de projeto VRd para vigas atendendo
aos limites de hw/t0 detalhados anteriormente, é dado por:
VRd =
Aw (0, 6 fy)
γa1
onde Aw é tomada igual a h t0 sendo h a altura total da seção.
Os perfis laminados em geral e os perfis soldados de pequena
altura têm relações hw/t0 que atendem aos valores moderados, de
modo que a flambagem da alma por cisalhamento não é determinante
no dimensionamento desses perfis, nos quais podem ser
dispensados os enrijecedores transversais intermediários.
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Vigas I com Valores Elevados de hw/t0
Em vigas I com valores hw/t0 superiores aos limites dados
anteriormente, a resistência ao cisalhamento é reduzida por efeito da
flambagem da alma.
Esse fato é levado em conta multiplicando-se a equação de VRd um
coeficiente de redução Cv. Portanto:
VRd =
Aw Cv (0, 6 fy)
γa1
Para valores de hw/t0 > 3, 06
√
E/fy, Cv é a razão entre a tensão
cŕıticade flambagem elástica e a tensão de escoamento ao
cisalhamento fv.
Cv =
τcr
fv
=
τcr
0, 6 fy
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Vigas I com Valores Elevados de hw/t0
Para valores de hw/t0 superiores ao limite, porém inferiores à
3, 06
√
E/fy, o Cv traduz uma transição linear entre a resistência à
flambagem elástica e a resistência ao escoamento por cisalhamento.
Nas vigas I sem enrijecedores intermediários, Cv pode ser obtido por:
* Flambagem elástica:
Cv =
7, 5E
fy(hw/t0)2
→ hw
t0
> 3, 06
√
E
fy
* Flambagem inelástica:
Cv =
2, 46
hw/t0
√
E
fy
→ 2, 46
√
E
fy
<
hw
t0
≤ 3, 06
√
E
fy
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Vigas I com Valores Elevados de hw/t0
Exemplo 1: Calcular a relação hw/t0 dos perfis dados abaixo e
determinar se estão sujeitos à flambagem por cisalhamento da alma.
Aço MR250.
W 200x15: hw/t0 = 39, 4 < 69, 6
W 310x21: hw/t0 = 53, 3 < 69, 6
W 360x32,9: hw/t0 = 53, 1 < 69, 6
W 410x38,8: hw/t0 = 55, 8 < 69, 6
W 610x101: hw/t0 = 51, 5 < 69, 6
VS 550x64: hw/t0 = 84, 3 > 69, 6
VS 1000x140:
hw/t0 = 121, 9 > 69, 6
VS 1200x200:
hw/t0 = 122, 9 > 69, 6
VS 1500x270:
hw/t0 = 117, 4 > 69, 6
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Dimensionamento ao Cisalhamento
Vigas I com Valores Elevados de hw/t0
Em vigas soldadas (hw = h0) com alta extremamente esbelta pode
ocorrer flambagem no plano vertical, da mesa comprimida pelo
momento fletor.
O limite superior de hw/t0 é dado portanto, conforme informado
anteriormente, hw/t0 ≤ 260
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
Exerćıcio 1: Compare os momentos resistentes de projeto de uma viga
de perfil laminado W 530x85 com uma viga soldada VS 500x86, de
mesmo peso próprio aproximadamente, supondo as vigas contidas
lateralmente. Adote aço MR250.
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
Perfil W 530x85:
Flambagem local da mesa: λb =
bf
2 tf
= 5 < 10, 7 Ok!
Flambagem local da alma: λb =
hw
t0
= 46, 4 < 106 Ok!
Seção compacta: MRd =Mn/γa1, → Mn = Z fy
Variáveis de cálculo: Zx = 2100 cm
3, fy = 25 kN/cm
2 e γa1 = 1, 1.
Momento resistente de cálculo:
MRd =
2100·25
1,1 → MRd = 47727 kN.cm = 477, 3 kN.m
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
Perfil VS 500x86:
Flambagem local da mesa: λb =
bf
2 tf
= 7, 8 < 10, 7 Ok!
Flambagem local da alma: λb =
hw
t0
= 74, 3 < 106 Ok!
Seção compacta: MRd =Mn/γa1, → Mn = Z fy
Variáveis de cálculo: Zx = 2281 cm
3, fy = 25 kN/cm
2 e γa1 = 1, 1.
Momento resistente de cálculo:
MRd =
2281·25
1,1 → MRd = 51841 kN.cm = 518, 4 kN.m
Apesar de ter uma altura um pouco menor que o perfil laminado de peso
equivalente, o perfil soldado tem maior eficiência à flexão.
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
Exerćıcio 2: Uma viga biapoiada de vão L de pise de edif́ıcio, perfil
VS 500x86, está sujeita a cargas uniformemente distribúıdas
permanente g (estruturas pré-moldadas) e variável q, sendo válida a
razão q/g = 0, 5 para esse cenário de projeto. Nesse contexto calcule
a carga permanente máxima a ser aplicada para três valores de L/h:
a) 8; b) 13 e c) 20. Sabe-se que a viga é contida lateralmente e é
composta por aço MR250.
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
a) L/h = 8 → L = 8 · 0, 5 = 4 m.
Combinação (ELU): p = 1, 3 · g + 1, 5 · (0, 5 g) = 2, 05 g
Verificação do Momento Fletor:
Momento solicitante (viga bi-apoiada): MSd = p
L2
8 = 4, 1 g m
2
Flambagem local da mesa: λb =
bf
2 tf
= 7, 8 < 10, 7 Ok!
Flambagem local da alma: λb =
hw
t0
= 46, 4 < 106 Ok!
Seção compacta: MRd =Mn/γa1, → Mn = Z fy
Variáveis de cálculo: Zx = 2281 cm
3, fy = 25 kN/cm
2 e γa1 = 1, 1.
Momento resistente de cálculo:
MRd =
2281·25
1,1 → MRd = 51841 kN.cm = 518, 4 kN.m
Carga máxima de flexão: MRd =MSd
518, 4 = 4, 1 g → g = 126, 4 kN/m → q = 63, 2 kN/m
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
a) L/h = 8 → L = 8 · 0, 5 = 4 m.
Combinação (ELU): p = 1, 3 · g + 1, 5 · (0, 5 g) = 2, 05 g
Verificação do Cisalhamento:
Esforço solicitante (viga bi-apoiada): VSd = p
L
2 = 4, 1 g m
Flambagem local da alma: λb =
h0
t0
= 74, 3 > 69, 6 Não Ok!
3, 06
√
E/fy = 3, 06
√
20000/25 = 86, 5 Flambagem inelástica.
Coeficiente: Cv =
2,46
hw/t0
√
E/fy =
2,46
74,3
√
20000/25 → Cv = 0, 936.
Cortante resistente de cálculo: VRd =
Aw Cv (0,6 fy)
γa1
VRd =
(50·0,63)·0,936·(0,6·25)
1,1 → VRd = 402 kN
Carga máxima de flexão: VRd = VSd
402 = 4, 1 g → g = 98 kN/m → q = 49 kN/m
52 / 67
Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
a) L/h = 8 → L = 8 · 0, 5 = 4 m.
Combinação (ELS quase-permanente): p = g + 0, 4 · (0, 5 g) = 1, 2 g
Verificação da Flecha Máxima: δmax = L/350.
Flecha máxima (viga bi-apoiada): δ = 5384
pL4
EI
δ = 5384
1,2 g 4004
20000·52250 → δ = 0, 383 g cm
2/kN
Carga máxima de flexão: δmax = δ
400/350 = 0, 383 g → g = 2, 98 kN/cm→ g = 298 kN/m
O esforço determinante para esse dimensionamento é o cisalhamento.
Portanto, gmax = 98 kN/m.
Qual seria o impacto nessa verificação se fosse adotado um Fs = 2?
53 / 67
Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
b) L/h = 13 → L = 13 · 0, 5 = 6, 5 m.
Combinação (ELU): p = 1, 3 · g + 1, 5 · (0, 5 g) = 2, 05 g
Verificação do Momento Fletor:
Momento solicitante (viga bi-apoiada): MSd = p
L2
8 = 10, 8 g m
2
Flambagem local da mesa: λb =
bf
2 tf
= 7, 8 < 10, 7 Ok!
Flambagem local da alma: λb =
hw
t0
= 46, 4 < 106 Ok!
Seção compacta: MRd =Mn/γa1, → Mn = Z fy
Variáveis de cálculo: Zx = 2281 cm
3, fy = 25 kN/cm
2 e γa1 = 1, 1.
Momento resistente de cálculo:
MRd =
2281·25
1,1 → MRd = 51841 kN.cm = 518, 4 kN.m
Carga máxima de flexão: MRd =MSd
518, 4 = 10, 8 g → g = 48 kN/m → q = 24 kN/m
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
b) L/h = 13 → L = 13 · 0, 5 = 6, 5 m.
Combinação (ELU): p = 1, 3 · g + 1, 5 · (0, 5 g) = 2, 05 g
Verificação do Cisalhamento:
Esforço solicitante (viga bi-apoiada): VSd = p
L
2 = 6, 7 g m
Flambagem local da alma: λb =
h0
t0
= 74, 3 > 69, 6 Não Ok!
3, 06
√
E/fy = 3, 06
√
20000/25 = 86, 5 Flambagem inelástica.
Coeficiente: Cv =
2,46
hw/t0
√
E/fy =
2,46
74,3
√
20000/25 → Cv = 0, 936.
Cortante resistente de cálculo: VRd =
Aw Cv (0,6 fy)
γa1
VRd =
(50·0,63)·0,936·(0,6·25)
1,1 → VRd = 402 kN
Carga máxima de flexão: VRd = VSd
402 = 6, 7 g → g = 60 kN/m → q = 30 kN/m
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
b) L/h = 13 → L = 13 · 0, 5 = 6, 5 m.
Combinação (ELS quase-permanente): p = g + 0, 4 · (0, 5 g) = 1, 2 g
Verificação da Flecha Máxima: δmax = L/350.
Flecha máxima (viga bi-apoiada): δ = 5384
pL4
EI
δ = 5384
1,2 g 6504
20000·52250 → δ = 2, 669 g cm
2/kN
Carga máxima de flexão: δmax = δ
650/350 = 2, 669 g → g = 0, 696 kN/cm→ g = 70 kN/m
O esforço determinante para esse dimensionamento é a flexão. Portanto,
gmax = 48 kN/m.
Qual seria o impacto nessa verificação se fosse adotado um Fs = 2?
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
c) L/h = 20 → L = 20 · 0, 5 = 10 m.
Combinação (ELU): p = 1, 3 · g + 1, 5 · (0, 5 g) = 2, 05 g
Verificação do Momento Fletor:
Momento solicitante (viga bi-apoiada): MSd = p
L2
8 = 25, 6 g m
2
Flambagem local da mesa: λb =
bf
2 tf
= 7, 8 < 10, 7 Ok!
Flambagem local da alma: λb =
hw
t0
= 46, 4 < 106 Ok!
Seção compacta: MRd =Mn/γa1, → Mn = Z fy
Variáveis de cálculo: Zx = 2281 cm
3, fy = 25 kN/cm
2 e γa1 = 1, 1.
Momento resistente de cálculo:
MRd =
2281·25
1,1 → MRd = 51841 kN.cm = 518, 4 kN.m
Carga máxima de flexão: MRd =MSd
518, 4 = 25, 6 g → g = 20, 3 kN/m → q = 10, 2 kN/m
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
c) L/h = 20 → L = 20 · 0, 5 = 10 m.
Combinação (ELU): p = 1, 3 · g + 1, 5 · (0, 5 g) = 2, 05 g
Verificação do Cisalhamento:
Esforço solicitante (viga bi-apoiada): VSd = p
L
2 = 10, 3 g m
Flambagem local da alma: λb =
h0
t0
= 74, 3 > 69, 6 Não Ok!
3, 06
√
E/fy = 3, 06
√
20000/25 = 86, 5 Flambagem inelástica.
Coeficiente: Cv =
2,46
hw/t0
√
E/fy =
2,46
74,3
√
20000/25 → Cv = 0, 936.
Cortante resistente de cálculo: VRd =
Aw Cv (0,6 fy)
γa1VRd =
(50·0,63)·0,936·(0,6·25)
1,1 → VRd = 402 kN
Carga máxima de flexão: VRd = VSd
402 = 10, 3 g → g = 39 kN/m → q = 19, 5 kN/m
58 / 67
Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
c) L/h = 20 → L = 20 · 0, 5 = 10 m.
Combinação (ELS quase-permanente): p = g + 0, 4 · (0, 5 g) = 1, 2 g
Verificação da Flecha Máxima: δmax = L/350.
Flecha máxima (viga bi-apoiada): δ = 5384
pL4
EI
δ = 5384
1,2 g 10004
20000·52250 → δ = 14, 952 g cm
2/kN
Carga máxima de flexão: δmax = δ
900/350 = 14, 952 g → g = 0, 172 kN/cm→ g = 17, 2 kN/m
O esforço determinante para esse dimensionamento é a flecha. Portanto,
gmax = 17, 2 kN/m.
Qual seria o impacto nessa verificação se fosse adotado um Fs = 2?
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
Exerćıcio 3: Refaça o Exerćıcio 2 utilizando o perfil soldado W
530x85 para as mesmas condições de projeto.
Exerćıcio 4: Refaça o Exerćıcio 2 adotando Fs = 2 e aço AR350.
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
Exerćıcio 5: Considerando apenas a flexão selecione o perfil W
laminado mais econômico para uma viga de edif́ıcio com quatro vãos
de 4 m sujeita a uma carga de 25 kN/m. A viga está contida
lateralmente pelas lajes dos pisos e é de aço MR250. Admite-se carga
do tipo permanente de elementos construtivos industrializados.
Adote M+max = 34 kN.m e M
−
max = 42, 8 kN.m.
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
Momento máximo solicitante de cálculo:
MSd = 1, 4 · 42, 8 = 60 kN.m = 6000 kN.cm
Admitindo seção compacta e MRd =MRd
MRd = Z · fy/γa1 → 6000 = Z · 25/1, 1 → Z = 264 cm3
Perfil W 250x22,3. Verificação de seção compacta:
Verificação de seção compacta:
Flambagem local da mesa: λb =
bf
2 tf
= 7, 4 < 10, 7 Ok!
Flambagem local da alma: λb =
hw
t0
= 38 < 106 Ok!
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
Exerćıcio 6: Refaça o Exerćıcio 5 adotando Fs = 2 e aço AR350.
Exerćıcio 7: Calcule os momentos resistentes de projeto da viga I
detalhada abaixo, com contenção lateral cont́ınua, admitindo os
seguintes valores de espessura da chapa da alma: a) t0 = 5 mm, b)
t0 = 8 mm e a) t0 = 10 mm. Suponha aço MR250.
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
a) t0 = 5 mm.
Flambagem mesa (comp.): λb =
bf
2 tf
= 2002·9,5 = 10, 5 < 10, 7 Compacta
Flambagem alma: λb =
hw
t0
= 8815 = 176, 2 > 161 Esbelta
Mn = menor {Wt fy , Wc k fy}
k = 1− ar
1200 + 300 ar
(
hc
t0
− 5, 7
√
E
fy
)
ar =
Aalma
Amesa
≤ 10 → ar = 88,1·0,520·0,95 → ar = 2, 32
hc = 2 · (42, 2− 0, 95) → hc = 82, 5 cm
k = 1− 2, 32
1200 + 300 · 2, 32
(
82, 5
0, 5
− 5, 7
√
20000
25
)
≈ 1, 0
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
Momento nominal:
Mn = menor {1962, 5 · 25 ; 2223 · 1, 0 · 25}
Momento resistente de cálculo:
MRd =Mn/fy = 490, 6/1, 1 → MRd = 446 kN.m
65 / 67
Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
b) t0 = 8 mm.
Flambagem mesa (comp.): λb =
bf
2 tf
= 2002·9,5 = 10, 5 < 10, 7 Compacta
Flambagem alma: λb =
hw
t0
= 8818 = 110 > 106 Semicompacta
Mr =W · fy = 2357, 8 · 25 → Mr = 589, 5 kN.m
Mp = Z · fy = 3026, 2 · 25 → Mp = 756, 6 kN.m
λb, alma = 110, λp, alma = 106, λr, alma = 161
Momento nominal: Mn = 756, 5− 110−106161−106(756, 6− 589, 5) = 750, 4 kN.m
MRd = 750, 4/1, 1 → MRd = 682 kN.m
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Dimensionamento de Vigas I
Exerćıcios
c) t0 = 10 mm.
Flambagem mesa (comp.): λb =
bf
2 tf
= 2002·9,5 = 10, 5 < 10, 7 Compacta
Flambagem alma: λb =
hw
t0
= 88110 = 88, 1 < 106 Compacta
MRd = 3415, 4 · 25/1, 1 = 77623 kN.cm → MRd = 776 kN.m
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	Introdução
	Dimensionamento à Flexão
	Dimensionamento ao Cisalhamento