Apostila Completa PO

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Fevereiro, 2009 
 
 
Apostila de Pesquisa 
Operacional 
Prof. Msc. Davi Riani Gotardelo 
 
 
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O que é Pesquisa 
Operacional? 
 
1.1 - A origem da Pesquisa Operacional 
 
Durante a Segunda Guerra Mundial, um grupo de 
cientistas foi convocado na Inglaterra para estudar problemas de 
estratégia e de tática associados com a defesa do país. O objetivo 
era decidir sobre a utilização mais eficaz de recursos militares 
limitados. A convocação deste grupo marcou a primeira atividade 
formal de pesquisa operacional. 
Os resultados positivos conseguidos pela equipe de 
pesquisa operacional inglesa motivaram os Estados Unidos a 
iniciarem atividades semelhantes. Apesar de ser creditada à 
Inglaterra a origem da Pesquisa Operacional, sua propagação 
deve-se principalmente à equipe de cientistas liderada por 
George B. Dantzig, dos Estados Unidos, convocada durante a 
Segunda Guerra Mundial. Ao resultado deste esforço de pesquisa, 
concluído em 1947, deu-se o nome de Método Simplex. 
Com o fim da guerra, a utilização de técnicas de pesquisa 
operacional atraiu o interesse de diversas outras áreas. A 
natureza dos problemas encontrados é bastante abrangente e 
complexa, exigindo, portanto, uma abordagem que permita 
reconhecer os múltiplos aspectos envolvidos. Uma característica 
importante da pesquisa operacional e que facilita o processo de 
análise e de decisão é a utilização de modelos. Eles permitem a 
experimentação da solução proposta. Isto significa que uma 
decisão pode ser mais bem avaliada e testada antes de ser 
efetivamente implementada. A economia obtida e a experiência 
adquirida pela experimentação justificam a utilização da 
Pesquisa Operacional. 
Com o aumento da velocidade de processamento e 
quantidade de memória dos computadores atuais, houve um 
QUESTÕES PARA 
DISCUSSÃO INICIAL DO 
CAPÍTULO 
 
 
O que é pesquisa 
operacional? 
 
Quais as origens da 
pesquisa operacional? 
 
Quais as principais 
aplicações da pesquisa 
operacional? 
 
 
 
CONCEITOS A SEREM 
DEFINIDOS NESSE 
CAPÍTULO 
 
 
Pesquisa Operacional 
 
Sistemas Lineares 
 
 
 
 
 
 
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grande progresso na Pesquisa Operacional. Este progresso é devido também à larga utilização de 
microcomputadores, que se tornaram unidades isoladas dentro de empresas. Isso faz com que os 
modelos desenvolvido pelos profissionais de Pesquisa Operacional sejam mais rápidos e versáteis, 
além de serem também interativos, possibilitando a participação do usuário ao longo do processo de 
cálculo. 
 
1.2 - O que é Pesquisa Operacional? 
 
A programação linear ou pesquisa operacional é uma das muitas técnicas analíticas 
recentemente desenvolvidas que se têm mostrado úteis na resolução de certos tipos de problemas 
empresariais. Esses métodos quantitativos de resolução de problemas, como muitos aplicados na 
pesquisa operacional, são baseados em conceitos matemáticos e estatísticos. Considerando que a 
programação linear seja um “modelo”, um método apropriado de estudo seria estrutura-la dentro da 
estrutura mais extensa do processo de tomada de decisão administrativa. 
 
Assim, a pesquisa operacional é um ramo interdisciplinar da matemática 
aplicada que faz uso de modelos matemáticos e de algoritmos na ajuda à tomada de 
decisões. É usada sobretudo para analisar sistemas complexos do mundo real, 
tipicamente com o objetivo de melhorar ou otimizar a performance. 
 
1.3 - Objetivos de estudo da Pesquisa Operacional 
 
a) reconhecer os problemas que passíveis de análise pelo modelo; 
b) auxiliar o analista no estágio inicial da investigação; 
c) avaliar e interpretar inteligentemente os resultados; 
d) aplicar os resultados com a confiança que é adquirida somente com a compreensão dos 
problemas e dos resultados envolvidos. 
 
 
 
1.4 Modelagem 
 
 
Um modelo é uma representação de um sistema real, que pode já existir ou ser um projeto 
aguardando execução. No primeiro caso, o modelo pretende reproduzir o funcionamento do sistema, 
de modo a aumentar sua produtividade. No segundo caso, o modelo é utilizado para definir a estrutura 
ideal do sistema. 
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A confiabilidade da solução obtida através do modelo depende da validação do modelo na 
representação do sistema real. A validação do modelo é a confirmação de que ele realmente representa 
o sistema real. A diferença entre a solução real e a solução proposta pelo modelo depende diretamente 
da precisão do modelo em descrever o comportamento original do sistema. 
Um problema simples pode ser representado por modelos também simples e de fácil solução. 
Já problemas mais complexos requerem modelos mais elaborados, cuja solução pode vir a ser bastante 
complicada. 
 
 
 
1.5 – Relembrando alguns conceitos da Matemática – Sistemas Lineares 
 
Um sistema de equacões lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de 
equações lineares nas mesmas variáveis. 
 
 
1.5.1 - Método da substituição 
 
O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, 
obtendo igualdade com um polinômio. Então deve-se substituir essa mesma incógnita em outra das 
equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada. 
 
Sistemas com duas equações 
 
Um sistema com duas equações lineares se apresenta por: 
 
Onde e são as incógnitas. 
 
Para solucioná-lo por substituição, substituem-se as variáveis em suas equações por seus 
polinômios correspondentes: 
 
Portanto: 
 
 
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1.5.2 - Método da soma 
 
O método da soma é o mais direto para se resolverem os sistemas, pois é uma forma 
simplificada de usar o método da substituição. Só é possível quando as equações são dispostas de 
forma que, ao subtrair ou somar os polinômios das equações, todas as incógnitas, exceto uma, se 
anulam. É mais simples e direto que o outro método. 
 
 
Sistemas com duas equações 
 
Para solucionar um sistema como o apresentado a seguir por soma, onde e são as 
incógnitas, deve-se subtrair os polinômios das equações. 
 
 
 
 
O método da soma é possível apenas com determinadas incógnitas, dependendo das equações 
do sistema. Nesse caso, é possível apenas com uma. A outra deve ser determinada substituindo o valor 
descoberto para a primeira incógnita em uma das equações do sistema. 
 
 
1.5.3 – Equação Linear 
 
Uma equação linear é uma equação composta exclusivamente de adições e subtrações de 
termos que são constantes ou o produto de uma constante pela primeira potência de uma variável. 
Conforme a natureza do problema que dá origem a equação, as constantes e as variáveis 
podem ser números inteiros, reais, complexos ou ter uma estrutura ainda mais geral. No caso dos 
números inteiros, chama-se a equação de "equação linear diofantina", e seu estudo é feito na teoria de 
números. 
Uma equação linear em n variáveis é uma equação que pode ser colocada na forma 
, sendo que os escalares são 
denominados coeficientes, e b é chamado de termo independente, ou termo constante. Ex.: 
 
 
 
 
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Como foi ressaltado no exemplo, para uma equação ser chamada de "linear", ela não precisa 
necessariamente estar com todas as variáveis no membro esquerdo da equação, embora seja usual 
escrevê-la assim. Como será visto posteriormente, usando essa convenção é possível simplificar a 
resoluçãode sistemas de equações lineares (veja adiante), introduzindo o conceito de matriz. 
Uma solução da equação linear é uma n-
upla (um vetor) , cujas entradas sj podem ser colocadas no lugar de cada xj, 
para , de modo que a igualdade seja verdadeira. O conjunto solução de uma equação 
linear é aquele formado por todas as suas soluções. 
Por exemplo, ( − 1, − 1) é uma solução da equação linear x + 3y = − 4, uma vez que 
, mas (1,5) não. 
No caso em que a quantidade de variáveis em uma equação linear é menor ou igual a três, 
pode-se associar ao seu conjunto solução, uma interpretação geométrica. Acompanhe os exemplos a 
seguir: 
 
 Se n é igual a 2, a equação linear tem como correspondente geométrico uma linha reta. 
 
Exemplos 
 pode ser representada pela reta que passa pelos pontos (0,5) e 
(5,0). 
 corresponde a reta que contém os pontos ( − 4,0) e (2,3). 
Observe que o ponto (2,3) também está na reta dada pela primeira equação (veja a figura). 
 
 Se n for 3, o conjunto solução é representado geometricamente como um plano no espaço 
tridimensional. 
 
1.5.4 - Sistemas de equações lineares 
 
Um sistema de equações lineares (ou sistema linear) é uma coleção de equações lineares 
envolvendo o mesmo conjunto de variáveis. 
Um sistema geral de m equações lineares com n incógnitas (ou variáveis) pode ser escrito 
como 
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Uma solução de um sistema linear é uma n-upla de valores s = (s1,s2,....,sn) que 
simultâneamente satisfazem todas as equações do sistema. 
 
 
 
Cada equação de um sistema linear em três variáveis determina um plano. Uma solução do 
sistema corresponde a um ponto na interseção desses planos 
A coleção de todas as possíveis soluções de um sistema linear será chamada de conjunto 
solução, sendo geralmente denotado por S. Uma fórmula que descreva todos os vetores do conjunto 
solução é chamada de solução geral. Dessa definição, decorre que o conjunto solução de um sistema 
linear é a interseção entre os conjuntos soluções de cada equação do sistema (veja a figura). Um 
sistema linear é dito consistente se possui alguma solução. Caso contrário, é chamado de inconsistente. 
Em geral, para qualquer sistema linear existem três possibilidades a respeito das soluções: 
 Uma única solução: Neste caso, existe apenas uma solução específica (uma certa n-upla). O 
conjunto S tem um único elemento. Geometricamente, isto implica que os n-planos 
determinados pelas equações do sistema se intersectam todos em um mesmo ponto do espaço, 
que é especificado pelas coordenadas da solução (as "entradas" da n-upla). O sistema é dito 
possível (existe alguma solução) e determinado (existe uma única solução); 
 Nenhuma solução: Nesta situação, não existe qualquer n-upla de valores que verifiquem 
simultaneamente todas as equações do sistema. O conjunto S é vazio. Geometricamente, os n-
planos correspondentes as equações não se intersectam (são paralelos). O sistema é dito 
impossível (não existe solução). 
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 Infinitas soluções: As equações especificam n-planos cuja intersecção é um m-plano onde é 
possível explicitar um conjunto S com infinitas soluções. O sistema é dito possível (existe 
alguma solução) e indeterminado (sua quantidade é infinita) 
As seguintes figuras ilustram os casos acima: 
 
 
 
Uma única solução Nenhuma solução Infinitas soluções 
 
Exemplos de sistemas lineares 
 
 
 
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A Modelagem 
Matemática na 
Pesquisa Operacional 
 
 
2.1 - Componentes iniciais da Modelagem 
 
Em um modelo matemático, são incluídos três conjuntos 
principais de elementos: 
 
1. Variáveis de decisão e parâmetros: variáveis de 
decisão são as incógnitas a serem determinadas pela solução do 
modelo. Parâmetros são valores fixos no problema; 
2. Restrições: de modo a levar em conta as limitações 
físicas do sistema, o modelo deve incluir restrições que limitam 
as variáveis de decisão a seus valores possíveis (ou viáveis); 
3. Função Objetivo: é uma função matemática que 
define a qualidade da solução em função das variáveis de decisão. 
 
Para melhor ilustrar ao conjuntos acima, considere o 
seguinte exemplo: 
 
"Uma empresa de comida canina produz dois tipos de 
rações: Tobi e Rex. Para a manufatura das rações são utilizados 
cereais e carne. Sabe-se que: 
I) a ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a 
ração Rex utiliza 4 kg de carne e 2 kg de cereais; 
II) o pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de ração 
Rex custa $ 30; 
III) o kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1; 
IV) estão disponíveis por mês 10 000 kg de carne e 30 
000 kg de cereais. 
 
Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a 
 
CONCEITOS A SEREM 
DEFINIDOS NESSE 
CAPÍTULO 
 
 
 
Componentes da 
Modelagem Matemática 
 
Fases do Estudo da 
Pesquisa Operacional 
 
 
 
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produzir de modo a maximizar o lucro. 
 
Neste problema as variáveis de decisão são as quantidades de ração de cada tipo a serem 
produzidas. Os parâmetros fornecidos são os preços unitários de compra e venda, além das 
quantidades de carne e cereais utilizadas em cada tipo de ração. As restrições são os limites de carne e 
cereais e a função objetivo é uma função matemática que determine o lucro em função das variáveis de 
decisão e que deve ser maximizada. 
 
2.2 - Fases do Estudo de Pesquisa Operacional 
 
Um estudo de pesquisa operacional geralmente envolve as seguintes fases: 
 
(1) definição do problema; 
(2) construção do modelo; 
(3) solução do modelo; 
(4) validação do modelo; 
(5) implementação da solução. 
Apesar da seqüência acima não ser rígida, ela indica as principais etapas a serem vencidas. A 
seguir, é apresentado um resumo da cada uma das fases. 
 
 
2.2.1 Definição do problema 
 
A definição do problema baseia-se em três aspectos principais: 
I) descrição exata dos objetivos do estudo; 
II) identificação das alternativas de decisão existentes; 
III) reconhecimento das limitações, restrições e exigências do sistema. 
 
A descrição dos objetivos é uma das atividades mais importantes em todo o processo do 
estudo, pois a partir dela é que o modelo é concebido. Da mesma forma, é essencial que as alternativas 
de decisão e as limitações existentes sejam todas explicitadas, para que as soluções obtidas ao final do 
processo sejam válidas e aceitáveis. 
 
 
2.2.2 Construção do modelo 
 
A escolha apropriada do modelo é fundamental para a qualidade da solução fornecida. Se o 
modelo elaborado tem a forma de um modelo conhecido, a solução pode ser obtida através de métodos 
matemáticos convencionais. Por outro lado, se as relações matemáticas são muito complexas, talvez se 
faça necessária a utilização de combinações de metodologias. 
 
 
2.2.3 Solução do modelo 
 
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O objetivo desta fase é encontrar uma solução para o modelo proposto. Ao contrário das outras 
fases, que não possuem regras fixas, a solução do modelo é baseada geralmente em técnicas 
matemáticas existentes. 
No caso de um modelo matemático, a solução é obtida pelo algoritmo mais adequado, em 
termos de rapidez de processamento e precisão da resposta. Isto exige um conhecimento profundo das 
principais técnicas existentes. A solução obtido, neste caso, é dita "ótima". 
 
 
2.2.4 Validação do modelo 
 
 
Nessa altura do processo de solução do problema, é necessário verificar a validade do modelo. 
Um modelo é válidose, levando-se em conta sua inexatidão em representar o sistema, ele for capaz de 
fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema. 
Um método comum para testar a validade do sistema é analisar seu desempenho com dados 
passados do sistema e verificar se ele consegue reproduzir o comportamento que o sistema apresentou. 
É importante observar que este processo de validação não se aplica a sistemas inexistentes, ou 
seja, em projeto. Nesse caso, a validação é feita pela verificação da correspondência entre os resultados 
obtidos e algum comportamento esperado do novo sistema. 
 
 
2.2.5 Implementação da solução 
 
 
Avaliadas as vantagens e a validação da solução obtida, esta deve ser convertida em regras 
operacionais. A implementação, por ser uma atividade que altera uma situação existente, é uma das 
etapas críticas do estudo. 
É conveniente que seja controlada pela equipe responsável, pois,eventualmente, os valores da 
nova solução, quando levados à prática, podem demonstrar a necessidade de correções nas relações 
funcionais do modelo conjunto dos possíveis cursos de ação, exigindo a reformulação do modelo em 
algumas de suas partes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Programação Linear 
 
 
3.1 - Definição 
 
O problema geral de programação linear é utilizado para 
otimizar (maximizar ou minimizar) uma função linear de 
variáveis, chamada de "função objetivo", sujeita a uma série de 
equações ou inequações lineares, chamadas restrições. A 
formulação do problema a ser resolvido por programação linear 
segue alguns passos básicos. 
Deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, 
a otimização a ser alcançada. Por exemplo, maximização de 
lucros, ou de desempenhos, ou de bem-estar social; minimização 
de custos, de perdas, de tempo. Tal objetivo será representado 
por uma função objetivo, a ser maximizada ou minimizada; 
Para que esta função objetivo seja matematicamente 
especificada, devem ser definidas as variáveis de decisão 
envolvidas. Por exemplo, número de máquinas, a área a ser 
explorada, as classes de investimento à disposição etc. 
Normalmente, assume-se que todas estas variáveis possam 
assumir somente valores positivos; 
Estas variáveis normalmente estão sujeitas a uma série 
de restrições, normalmente representadas por inequações. Por 
exemplo, quantidade de equipamento disponível, tamanho da 
área a ser explorada, capacidade de um reservatório, exigências 
nutricionais para determinada dieta etc. 
Todas essas expressões, entretanto, devem estar de 
acordo com a hipótese principal da programação linear, ou seja, 
todas as relações entre as variáveis deve ser lineares. Isto implica 
proporcionalidade das quantidades envolvidas. Esta 
característica de linearidade pode ser interessante no tocante à 
simplificação da estrutura matemática envolvida, mas prejudicial 
na representação de fenômenos não lineares (por exemplo, 
funções de custo tipicamente quadráticas). 
 
 
 
 
 
CONCEITOS A SEREM 
DEFINIDOS NESSE 
CAPÍTULO 
 
 
Programação Linear 
 
 O Exemplo da Dieta 
 
 O Exemplo do Mix de 
Produção 
 
O Exemplo do 
Transporte 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2 - Formulação de Modelos 
 
O problema geral de programação linear pode ser definido por Maximizar (ou minimizar) 
 
Z = c¹ x¹ + c² x² + ...+ cn xn 
 
 
3.3 - Exemplo 
 
Voltando ao exemplo anterior: Uma empresa de comida canina produz dois tipos de rações: 
Tobi e Rex. Para a manufatura das rações são utilizados cereais e carne. Sabe-se que: 
 
a) a ração Tobi utiliza 5 kg de cereais e 1 kg de carne, e a ração Rex utiliza 4 kg de carne e 
2 kg de cereais; 
b) o pacote de ração Tobi custa $ 20 e o pacote de ração Rex custa $ 30; 
c) o kg de carne custa $ 4 e o kg de cereais custa $ 1; 
d) estão disponíveis por mês 10 000 kg de carne e 30 000 kg de cereais. 
 
Deseja-se saber qual a quantidade de cada ração a produzir de modo a maximizar o lucro. 
 
 
Nosso modelo deseja maximizar o lucro (Z) a partir da quantidade de ração Tobi (x1) e de 
ração Rex (x2). A Tabela a seguir apresenta o cálculo do lucro unitário de cada ração. 
 
 
 
 
3.4 – O Exemplo da Dieta, do Mix de Produção e do Transporte 
 
No problema da dieta, o objetivo é determinar qual a quantidade ideal de alimentos a ser 
ingerida com custo mínimo e que satisfaça às necessidades nutricionais. Por exemplo, suponha que o 
Governo Federal tenha feito uma pesquisa numa comunidade desfavorecida do interior do Brasil e 
tenha identificado uma série de doenças desencadeadas especialmente devido à deficiência de 
vitaminas A e C, cálcio e ferro. A falta de vitamina A provoca problemas de visão e falta de defesa 
contra as infecções, enquanto a falta de vitamina C provoca inflamacões gengivais e perda dos dentes. 
A falta de cálcio provoca espasmos musculares e tendência à osteoporose. Finalmente, a falta de ferro 
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provoca anemia, comprometimento da capacidade de aprendizado e diminuição do rendimento no 
trabalho. 
Com isso, a Pesquisa Operacional auxilia no processo de definição de qual a composição ideal 
de dieta de forma a minimizar o custo do Governo e maximizar a eficência das composições dos 
alimentos e, consequentemente, dos complexos vitamínicos. 
 Já no problema do mix de produção, a Pesquisa Operacional visa otimizar a utilização das 
matérias-primas, mão-de-obra, tempos produtivos e outros insumos, de forma a maximizar a 
rentabilidade da cadeia produtiva. 
Por fim, no problema do transporte, a Pesquisa Operacional tem o objetivo de reduzir o custo 
logístico, ou seja, otimizar desperdícios de distâncias e trajetos, bem como minimizar os custos 
envolvidos (transporte, armazenagem, carregamento, etc). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solução Gráfica 
 
 
4.1 Solução Gráfica 
 
 
Os problemas de pesquisa operacional com apenas duas 
variáveis podem ser resolvidos através da solução gráfica. 
A solução gráfica pode ser feita em 03 passos: 
 
a) Identificação e construção das retas de restrição; 
b) Identificação da região viável; 
c) Identificação do ponto ótimo; 
 
 
a) Voltando ao exemplo anterior 
 
 
O problema da empresa de comida canina com apenas 
duas variáveis pode ser resolvido graficamente. Traça-se um 
gráfico com os seus eixos sendo as duas variáveis x1 e x2, 
conforme explicado no capítulo 01. A partir daí, traçam-se as 
retas referentes às restrições do problema e delimita-se a região 
viável (Figura A). 
 
b) Identificação e construção das retas de 
restrição 
 
Na solução gráfica com 02 variáveis, utiliza-se o plano 
cartesiano, com os dois eixos (abcissa e ordenada) representados 
pelas duas variáveis do problema. As variáveis X e Y representam 
os eixos do plano cartesiano. As restrições definem o que é 
chamado de região viável, ou sejam a região onde a solução ótima 
deve estar. A região viável é criada utilizando-se todas as 
restrições do problema. As restrições de não-negatividade 
estabelecem que a solução ótima deve estar apenas na região 
onde as variáveis assumem valores positivos. 
Como normalmente as restrições são descritas em forma 
de inequação, as retas na verdade tornam-se planas já que 
contêm valores menores e/ou iguais ou maiores e/ou iguais. 
CONCEITOS A SEREM 
DEFINIDOS NESSE 
CAPÍTULO 
 
 
Programação Linear 
 
Solução pelo Método 
Gráfico 
 
 
 
 
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Exemplo do exercício da Ração Tobi e Rex: 
 
X1 + 4x2 10.000 
5X1 + 2x2 30.000 
 
 
c) Identificação da região viável 
 
Após definidas todas as retas (ou planos) de restrições, o próximo passo é identificar a região 
viável, que será a região de intersecção de todos os planos ou retas, conforme demonstrado abaixo: 
 
Figura A – Região viável 
 
 
 
 
d) Identificação do ponto ótimo 
 
Após o estabelecimento da região viável, o próximo passo é a determinação das curvas de nível 
que representem a função-objetivo. Lembre-se de que a função-objetivo é uma função relativa à X e Y. 
Definiremos essa função de Z. Para representá-la, precisamos ou desenhar uma figura tridimensional, 
em que dois eixos são estabelecidos conforme dito anteriormento, ou podemos trabalhar no plano 
bidimensional e a terceira dimensão é representada por curvas de nível. Optaremos nesse caso pelas 
curvas de nível. 
Inicialmente precisamos identificar dois pontos em que a curva de nível da função-objetivo 
tem o mesmo valor. Normalmente os valores de X e Y iguais a zero (0) zeram a função-objetivo, exceto 
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de a função conter alguma constante. Após isso, define-se valores aleatórios de X e Y para que se 
conheça a inclinação e trajetória da curva de nível Z. São então traçadas diversas paralelas a ela no 
sentido de Z crescente (maximização da função), como na Figura B . O ponto ótimo é o ponto onde a 
reta de maior valor possível corta a região viável (normalmente num vértice). 
 
Figura B – Solução ótima 
 
 
 
 
 
e) Método de Tentativas pelos extremos ou vértices: 
 
Como normalmente o ponto ótimo é localizado em algum dos vértices da região viável, o 
procedimento para encontrar a solução ótima é o da tentativa pelos extremos ou vértices. Ou seja, 
definida a região viável, encontra-se a coordenada (x;y) de cada vértice e logo após substitui-se na 
equação da função-objetivo. Das soluções encontradas, aquela que apresentar o maior valor ou menor 
valor esperado (dependendo da função-objetivo) é a que deverá ser escolhida. 
Veja o exemplo abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2 - Exercício (em sala de aula) 
 
Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos e 5 cintos por hora, se fizer 
somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro 
para fabricar 1 unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o 
lucro unitário por sapato é de 5 reais e o de cinto é de 4 reais, pede-se: o modelo do sistema de 
produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. Resolva o problema 
graficamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pesquisa Operacional 
no Excel: Solver 
 
 
1. - O que é o Solver? 
 
 
Existem diversos softwares que trabalham com os 
conceitos de Pesquisa Operacional. Todos tem o mesmo objetivo: 
o de efetuar os cálculos e tentativas necessárias (também 
chamadas de iterações) até se encontrar a solução ótima objeto 
de estudo. Como exemplo, podemos citar: Matlab, Aimms, Gams, 
Lindo. 
 O software mais popular, até pela grande difusão do 
Microsoft Excel é o Solver, que na verdade foi desenvolvido pela 
empresa Frontline Systems e incluído como suplemento no Ms 
Excel ®. Antes de mais nada, cumpre recordar alguns conceitos 
básicos de Excel. 
 
 
1.2 - Relembrando Excel... 
 
Conceitos iniciais importantes de: 
 
1. Diferença entre Pasta, Arquivo e Planilha: 
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CONCEITOS A SEREM 
DEFINIDOS NESSE 
CAPÍTULO 
 
 
O que é o Solver 
 
 
 
 
 
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2. Principais fórmulas e funções : 
 
a) Aritméticas: 
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______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
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______________________________________________________________________
______________________________________________________________________ 
b) Tempo: 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________ 
c) Estatísticas: 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
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d) Financeiras: 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
 
e) Dicas de Formatação 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________ 
f) Dicas finais de utilização 
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
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______________________________________________________________________
______________________________________________________________________ 
 
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1.3 - Passo a Passo do Solver 
 
 
A opção Solver no Excel pode ser utilizada para resolver problemas de otimização lineares e 
nãolineares. As restrições de inteiros podem ser colocadas nas variáveis de decisão. O Solver pode ser 
utilizado para resolver problemas com até 200 variáveis de decisão, 100 restrições implícitas e 400 
restrições simples (limites inferior e superior e/ou restrições de inteiros nas variáveis de decisão). Para 
ativar o Solver, selecione Ferramentas no menu principal ou Menu Dados (Excel 2007) e, a seguir, 
Solver. A caixa de diálogo Parâmetros do Solver será exibida como mostrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.1 Caixa de Diálogo Parâmetros do Solver 
 
A Caixa de Diálogo Parâmetros do Solver é utilizada para descrever o problema de otimização 
para o Excel. 
A caixa Definir célula de destino deve conter a localização da célula da função de objetivo para 
o problema em consideração. Máx ou Mín podem ser selecionados para encontrar o máximo ou 
mínimo da célula - alvo. Se Valor de for selecionado, o Solver tentará encontrar um valor para a Célula 
-Alvo igual a qualquer valor colocado na caixa, logo à direita dessa seleção. 
A caixa Células variáveis deve conter a localização das variáveis de decisão para o problema. 
Finalmente, as restrições devem ser especificadas na caixa Submeter às restrições, clicando-se em 
Adicionar. Alterar permite a modificação de uma restrição já inserida e Excluir permite a exclusão de 
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uma restrição previamente inserida. Redefinir tudo limpa o problema atual e reinicializa todos os 
parâmetros aos seus valores padrão. 
Opções ativa a caixa de diálogo de opções do Solver (a ser discutido mais adiante). A caixa de 
seleção Estimar não é particularmente útil para nossos objetivos e não será discutida aqui. As partes 
relevantes da caixa de diálogo Parâmetros do Solver estão identificadas abaixo para uma referência 
mais fácil. 
 
 
 
Quando o botão Adicionar é clicado, a caixa de diálogo Adicionar restrição é exibida: 
 
 
 
Ao clicar na Caixa Referência de célula, você pode especificar uma localização de célula 
(normalmente uma célula com uma fórmula). O tipo de restrição pode ser definido por meio da seleção 
com a seta para baixo (<=, >=, =, int, onde int significa inteiro ou bin significa binário). A caixa 
Restrição pode conter uma fórmula de células, uma referência de célula simples ou um valor numérico. 
O botão Adicionar adiciona a restrição atualmente especificada ao modelo existente e retorna à caixa 
de diálogo Adicionar Restrição. 
O botão OK adiciona a restrição atual ao modelo e retorna à caixa de diálogo do Solver. 
 
Nota: O Solver não supõe não-negatividade das variáveis de decisão. A caixa de diálogo de 
opções discutida abaixo permite a especificação das variáveis como não-negativas. 
 
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Se o botão Opções for selecionado na caixa de diálogo Parâmetros do Solver, a caixa de diálogo 
a seguir será exibida: 
 
 
 
 
Tempo máximo permite a definição do número de segundos antes do Solver parar. 
Iterações, de forma similar ao Tempo Máximo, permitem a especificação do número máximo 
de iterações (passos do algoritmo do Solver) antes de parar. 
Precisão é o grau de precisão do algoritmo do Solver (por exemplo, quão próximo do valor o 
ladoesquerdo de uma restrição ele deve estar antes de ser considerado igual ao lado direito). 
Tolerância é usada para programas de inteiros. Ela especifica uma porcentagem dentro da qual 
a solução é garantida como sendo a ótima. 
Se você busca a solução ideal, esse valor deve ser definido como zero. Se o tempo de execução 
for muito longo, você pode definir um valor mais alto (caso queira aceitar uma solução dentro desse 
percentual de idealização). 
Caso o seu modelo seja um programa linear ou um programa linear de inteiros, você deve 
marcar a caixa Presumir modelo linear. Ela informa o Solver para utilizar o algoritmo simplex em vez 
de um algoritmo não-linear que consumirá um tempo maior (Método do Gradiente Reduzido 
Generalizado). 
A caixa Presumir não- negativos deve ser marcada se você deseja que todas as mudanças nos 
seus valores de células sejam >= 0. 
Marque Mostrar resultado de iteração se deseja ver as informações iteração a iteração (isso 
pode realmente deixar as coisas mais lentas!). A caixa Usar escala automática é útil se o seu modelo 
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apresentar uma escala deficiente (caso as entradas tenham ordens de magnitude drasticamente 
diferentes). 
Finalmente, a seção inferior da caixa de diálogo diz respeito às opções do algoritmo não-linear, 
a saber, como ele calcula as não-linearidades, como as taxas de mudança são estimadas e o tipo de 
técnica de pesquisa empregada. 
Falando de forma geral, os valores padrão da maioria desses parâmetros funcionam bem. A 
coisa importante a ser lembrada é a marcação da caixa Presumir modelo linear se você tiver um 
programa linear ou um programa linear de inteiros. Marque Presumir não negativos se quiser que as 
mudanças nas células produzam somente valores não-negativos. Além disso, se estiver resolvendo um 
programa de inteiros e em busca da solução ideal, certifique-se de que a Tolerância seja definida como 
0%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTAS DE EXERCÍCIOS 
 
LISTA I: 
LISTA DE REVISÃO 
EXERCÍCIO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
 
01. Resolva os seguintes sistemas, pelo método de adição ou substituição, descrevendo o conjunto 
Verdade ou Solução. Faça o gráfico das retas encontradas nas soluções, lembrando que o sistema 
pode gerar conjunto solução vazio. 
 
a) 3x + 4y = 5 
4x – 18y = 25 
 
b) 7x + 2y = 9 
3x – 10y = 16 
 
c) 2x + 5y = 4 
3x – 10y = 18 
 
d) x + 4y = 5 
2x – 1y = 10 
 
e) x - y = 5 
x – 2y = 10 
 
f) 3x - 4y = 8 
4x – 10y = 4 
 
g) 2x + 6y = 5 
x – 8y = 32 
 
h) 3x - 2y = 5 
7x – 10y = 20 
 
i) 3x - 18y = 5 
x + 10y = 17 
 
j) 2x + y = 15 
-4x – 10y = 9 
 
k) x + y = 12 
4x – y = 2 
 
 
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LISTA II 
LISTA – AV01 
 
01. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos e 5 cintos por hora, se 
fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato 
e 1 unidade de couro para fabricar 1 unidade de cinto. Sabendo-se que o total 
disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 reais e o 
de cinto é de 4 reais, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o 
objetivo é maximizar seu lucro por hora. Resolva o problema graficamente. 
 
 
02. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 reais e 
o lucro unitário de P2 é de 150 reais. A empresa necessita de 2 horas para fabricar 
uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal 
disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois 
produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não 
devem ultrapassar40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa e 
resolva o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o 
lucro da empresa. 
 
03. Uma empresa fabrica dois modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor 
qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se 
todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1000 unidades 
por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos 
por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 
para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de R$ 4,00 para M1 e R$ 3,00 para 
M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da 
empresa? Resolva-o graficamente. 
 
04. Um fazendeiro tem que decidir o quanto vai plantar de milho e de alfafa. Os lucros 
são de R$ 2.000,00 por alqueire de milho e de R$ 1.000,00 por alqueire de alfafa. 
Suponha que suas limitações sejam: terra disponível é de 8 alqueires e água 
disponível para irrigação de 80.000 litros sendo que deseja-se plantar no máximo 4 
alqueires de milho. Cada alqueire de milho requererá 10.000 litros de água para 
irrigação e cada alqueire de alfafa requererá 20.000 litros de água. Modele e resolva 
o problema. 
 
05. Resolva novamente o problema anterior supondo que seja requerido que mais de 
50% do total cultivado sejam plantados com alfafa. 
 
06. Um carpinteiro possui 6 peças de madeira e dispõe de 28 horas de trabalho para 
confeccionar biombos ornamentais. Dois modelos venderam muito bem no passado, 
de maneira que ele se limitou a esses dois tipos. Ele estima que o modelo I requer 2 
peças de madeira e 7hs de trabalho, enquanto o modelo II necessita de 1 peça de 
madeira e 8hs de trabalho. Os preços dos modelos são, respectivamente, R$ 120,00 
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e R$ 80,00. Quantos biombos de cada modelo o carpinteiro deve montar se deseja 
maximizar o rendimento obtido com as vendas? 
 
07. Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com 
disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses 
recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os 
custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no 
mercado, verificou-se que P1 daria um lucro de R$ 120,00 por unidade e P2, 
R$150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de 
uso de recursos. 
 
Produto Recurso R1 por 
unidade 
Recurso R2 por 
unidade 
Recurso R3 por 
unidade 
P1 1. 2. 3. 
P2 4. 5. 6. 
Disponibilidade de 
recursos por mês 
100 90 120 
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Modele e resolva o 
problema 
 
08. Uma rede de, televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o 
programa A com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção 
de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 
minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de 
uma semana, o produtor insiste no uso de, no mínimo, 5 minutos para propaganda e 
que não há verba para mais que 80 minutos de música. Quantas vezes por semana 
cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de 
telespectadores? 
09. Formule e resolva o problema. Certo fabricante de combustível para avião vende 2 
tipos de combustível, A e B. O combustível de tipo A possui 25% de gasolina 1, 25% 
de gasolina 2 e 50% de gasolina 3. 0 combustível B tem 50% de gasolina 2 e 50% de 
gasolina 3. Há disponível para produção 500 galões de gasolina 1 e 200 galões de 
cada gasolina 2 e 3. Os lucros pela venda dos combustíveis A e B são, 
respectivamente, 20 e 30 dólares. Quanto se deve fazer de cada combustível para se 
obter um lucro máximo? Formule e resolva o problema. 
 
 
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LISTA III 
LISTA – AV02 
 
01. Uma companhia de armazéns tem 1200 dólares para alocar a um de seus armazéns. 
Três produtos 1, 2 e 3 exigem 30, 3 e 15 m2 de espaço por unidade, respectivamente. 
Há 1500 m2 de espaço disponível. O produto 1 custa 12 dólares, o produto 2 custa 
4,50 dólares e o produto 3 custa 17 dólares. Quanto de cada produto deve ser 
comprado se os preços de venda dos produtos 1, 2 e 3 são, respectivamente, de 15, 6 
e 21 dólares, de modo a maximizar o lucro? Formule o resolva problema. 
02. Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades 
produtivas: 
a) Arrendamento - Destinar certa quantidade de alqueires Para a plantação de cana 
de açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da 
terra R$ 300,00 por alqueire por ano; 
b) Pecuária - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das 
pastagens requer adubação (100 kg/alqueire) e irrigação (100.000 litros de 
água/alqueire) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$400,00 por alqueire 
por ano. 
c) Plantio de Soja - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 
200 kg por alqueire de adubos e 200.000 litros de água por alqueire para irrigação 
por ano. O lucro estimado nessa atividade é de R$ 500,00 por alqueire por ano. 
A disponibilidade de recursos por ano é de 12.750.000 litros de água, 14.000 kg de 
adubo e 100 alqueires de terra. Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade 
para proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão e resolva-o no 
Excel. 
03. Uma fábrica produz três tipos de chapas metálicas, A, B e C, que são primeiramente 
prensadas e depois esmaltadas. A prensa dispõe de 1190 minutos livres por mês e 
cada chapa, A ou B, leva um minuto para ser prensada, enquanto a chapa C leva o 
dobro do tempo devido ao tamanho maior. Por outro, lado, a aplicação de esmalte 
nesta última leva apenas um minuto, enquanto as chapas A e B exigem 3 e 4,5 
minutos, respectivamente. O total de tempo disponível na seção de esmaltagem é de 
4000 minutos por mês. A demanda dos três tipos de chapas absorve facilmente toda 
a produção e o lucro para a chapa A, B e C é de 5, 7 e 8 dólares por unidade, 
respectivamente. Formule o problema de modo a maximizar o lucro e resolva-o. 
04. Formule, sob forma de programação linear, o problema a seguir. Deseja-se 
determinar as misturas de 4 derivados do petróleo, que serão os constituintes de três 
tipos de gasolina (extra, super e comum). 0 objetivo é maximizar o lucro. 
 
Constituintes Máximo disponível (barris) Custo/barril 
1 5000 4 
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2 2000 7 
3 6000 3 
4 1000 6 
A fim de manter a qualidade de cada tipo de gasolina, é preciso manter as 
porcentagens dos diversos constituintes. Os preços de venda de cada tipo de gasolina 
por barril também estão indicados na tabela abaixo. 
 
Tipo de gasolina Especificações Preço 
A Não mais que 30% de 1 
Não mais que 50% de 3 
Não menos que 40% de 2 
5,50 
B Não mais que 60% de 1 
Não menos que 10% de 2 
4,50 
C Não mais que 80% de 1 3,50 
Resolva o problema usando a planilha EXCEL. 
05. Três produtos químicos derivados do petróleo P1, P2 e P1 são utilizados na produção 
de dois tipos de óleo para motor M1 e M2. Conhecemos as composições percentuais 
das misturas (tabela Q1), a disponibilidade de PI, P2 e P3 (tabela Q2) e os lucros 
unitários da venda de cada um dos produtos (tabelaQ3). Deseja-se saber como 
planejar a produção de modo a maximizar o lucro total. Pode-se imaginar aqui que se 
trata do planejamento mensal da firma, em função de um fornecimento conhecido e 
dos preços e custos estabelecidos (ou previstos) para o período. Admite-se que o 
mercado tem capacidade para absorver toda a produção. 
 
Quadro Q1 Quadro Q2 Quadro Q3 
 P1 P2 P3 P1 P2 P3 M1 M2M1 30 50 20 Estoque 
em galões 
9000 7500 4000 Lucro em 
R$ por 
galão 
12 10 
M2 60 15 25 
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06. Uma certa agroindústria do ramo alimentício tirou de produção uma certa linha de 
produto não lucrativo. Isso criou um considerável excedente na capacidade de 
produção. A gerência está considerando dedicar essa capacidade excedente a um ou 
mais produtos, identificados como produtos 1, 2 e 3. A capacidade disponível das 
máquinas que poderia limitar a produção está resumida na tabela a seguir: 
 
 
 
 
 O lucro unitário estimado é de $ 30, $ 12 e $ 15, respectivamente, para os produtos 1, 2 
e 3. Determine a quantidade de cada produto que a firma deve produzir para maximizar 
seu lucro. 
 
07. Uma certa corporação tem três fábricas filiais com capacidade de produção 
excedente. As três unidades têm capacidade para fabricar um certo produto, tendo a 
gerência decidido utilizar parte dessa capacidade de produção excedente para fazê-
lo. Ele pode ser feito em três tamanhos - grande, médio e pequeno -, os quais geram 
um lucro unitário líquido de $ 140, $ 120 e $ 100, respectivamente. As fábricas l, 2 e 3 
têm capacidade excedente de mão-de-obra e de equipamento para produzirem 750, 
900 e 450 unidades do produto por dia, respectivamente, independentemente do 
tamanho ou combinação de tamanhos envolvidos. Entretanto, a quantidade de 
espaço disponível para estoque de produtos em processo também impõe um limite 
às taxas de produção. As fábricas 1, 2 e 3 têm 1.170, 1.080 e 450 metros quadrados 
de espaço disponível para estoque de produtos em processo, em um dia de 
produção, sendo que cada unidade dos tamanhos grande, médio e pequeno, 
produzida por dia, requer 1,8, 1,35 e 1,08 metros quadrados, respectivamente. As 
previsões indicam que podem ser vendidas, por dia, 900, 1.200 e 750 unidades dos 
tamanhos grande, médio e pequeno, respectivamente. Para manter uma carga de 
trabalho uniforme entre as fábricas, e para reter algum tipo de flexibilidade, a 
gerência decidiu que a produção adicional designada a cada fábrica deve utilizar a 
mesma porcentagem da capacidade excedente de mão-de-obra e de equipamento. A 
gerência deseja saber a quantidade de produto, por tamanho, que deveria ser 
produzida em cada uma das fábricas, para maximizar o lucro. 
 
08. Uma determinada empresa quer utilizar do melhor modo possível os recursos de 
madeira de uma de suas regiões florestais. Dentro dessa região, há uma serraria e 
uma fábrica de compensados, o que possibilita que as toras possam ser convertidas 
em madeira beneficiada ou compensada. Produzir uma mistura comercializável de 1 
m³ de produtos beneficiados requer 1 m³ de pinho e 4 m³. Produzir 100 m² de 
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madeira compensada requer 2 m³ de pinho e 4 m³ de canela. A região em questão 
dispõe de 32 m² de pinho e 72 m³ de canela. Compromissos de vendas exigem que 
sejam produzidos, durante o período em planejamento, pelo menos 5 m³ de madeira 
beneficiada e 1.200 m² de madeira compensada. As contribuições ao lucro são de $ 
45 por 1 m³ de produtos beneficiados e $ 60 por 100 m² de madeira compensada. 
Determine as quantidades (em m³) de madeira beneficiada e de madeira 
compensada (em 100 m²) a serem produzidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
ANDRADE, E. L. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e técnicas de análise de 
decisão. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2004. 
ARAÚJO, L. A. Pesquisa Operacional: Aplicada à Área de Negócios. Disponível em:< 
http://groups.google.com/group/pesquisa-operacional/ > Acesso em: 12 fev. 2007. 
COLIN, Emerson C. Pesquisa Operacional: 170 aplicações em Estratégia, Finanças, Logística, 
Produção, Marketing, Vendas. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2007. 
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. Modelagem em Excel. 
Rio de Janeiro: Campus, 2006. 
MOREIRA, D. A. Pesquisa Operacional: curso introdutório. São Paulo: Thomson Learning, 
2007. 
PRADO, D. S. Programação Linear. Belo Horizonte: Editora de Desenvolvimento Gerencial, 
2003. (Série Pesquisa Operacional, Vol. 1). 
SILVA, E. M.; et. al. Pesquisa Operacional para Cursos de Economia, Administração e 
Contábeis. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2000.