Exercícios_Eletromagnetismo

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Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 1 / 65 
 
I. Campos Eletrostáticos 
 
1) Durante um domingo ensolarado você e seu amigo estão conversando sobre forças eletromagnéticas e 
gravitacionais. Você, lembrando-se da época da faculdade, declara que o que mantém a carne presa aos 
ossos, faz os músculos contraírem-se e o próprio cérebro funcionar e mantém os elétrons na órbita dos 
átomos é a força elétrica. Seu desavisado amigo acredita que o que mantém o universo unido é a força 
gravitacional. Para encerrar a discussão você faz um estudo comparativo entre a força elétrica e a força 
gravitacional. Para tanto calcula inicialmente a força de atração gravitacional entre um próton e um 
elétron, afastados de um milionésimo de milímetro. Em seguida calcula a força elétrica entre um próton e 
um elétron afastados da mesma distância. E com um sorriso triunfante declara: “Viu, eu estava certo! A 
força elétrica é várias ordens de grandeza maior do que a força gravitacional”. Justifique tal afirmação à 
luz da teoria gravitacional e do eletromagnetismo. 
Dados: 
Carga do elétron: 1,6 × 10−19 C; 
Massa do elétron: 9,11× 10−31 kg; 
Massa do próton: 1,67 × 10−27 kg; 
Constante gravitacional: 6,67 × 10−11 N x m2 / kg2; 
Permissividade do espaço livre: 8,85 × 10−12 F/m. 
Fg = G x m1 x m2 / d
2; 
Fe = (1/4πε0) x (Q1 x Q2 / d
2); 
 
Resposta: 
Fg = 1,01x 10
−49 N; 
Fe = 2,3 x 10
−10 N; 
 
2) Quando dizemos que uma carga elétrica induz um campo elétrico em todos os pontos do espaço, isso 
significa que a carga “radia” o campo elétrico? Explique. 
[ULABY]. 
 
3) Se o campo elétrico for zero em um determinado ponto do espaço, isso implica a ausência de cargas 
elétricas? Explique. 
[ULABY]. 
 
Eletromagnetismo 
 
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4) Descreva o princípio da superposição linear aplicada ao campo elétrico devido a uma distribuição de 
carga elétrica. 
[ULABY]. 
 
 
5) Uma partícula com massa igual a 2 gramas, carregada com 5,6 nC, está suspensa sobre uma placa 
eletricamente carregada, posicionada paralela ao solo, conforme mostrado na figura a seguir. 
Determine a densidade superficial de cargas da placa. Considere a aceleração da gravidade igual a 9,8 
m/s2. 
 
 
Figura 1 
Dados: 
Fe = Q x E = m x g. 
 
Resposta: 
E = 6,19 x 10−5 C/m2. 
 
6) Uma partícula de massa igual a 1 g e carga igual a 2 nC é suspensa, no ar, por um fio de massa 
desprezível cujo comprimento é de 10 cm, formando um ângulo de 30º com um plano vertical carregado, 
conforme mostrado na figura a seguir. Considere a dimensão da placa muito maior do que a dimensão da 
bola e que as únicas forças atuantes são a devidas à gravidade e ao campo elétrico. 
Determine: 
a) A tração no fio; 
b) A distância mínima entre a partícula carregada e o plano carregado; 
c) A intensidade da força elétrica na partícula; 
d) A densidade superficial de cargas elétricas no plano vertical; 
e) A intensidade e a direção do campo elétrico resultante sobre a partícula em relação ao plano carregado. 
 
Eletromagnetismo 
 
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Figura 2 
[BISCUOLA]. 
Dados: 
Fe = Q x E; 
E = ρS /(2 x ε0) 
 
Resposta: 
a) T = 11,3 x 10−3 N; 
b) d = 5 cm; 
c) Fe = 5,66 x 10
−3 N; 
d) ρS = 5 x 10
−5 C/m2; 
e) E = 2,83 x 106 ân V/m; 
 
 
7) A bola mostrada na figura a seguir, com massa igual a 1 grama, está na condição de equilíbrio e foi 
carregada com 1 por cento da carga da barra de ebonite por contato. Considerando-se que a carga da bola 
está concentrada em seu centro geométrico e que a carga da barra está concentrada na extremidade mais 
próxima da bola, determine: 
a) A carga elétrica na bola; 
b) A tração na corda; 
c) A intensidade do campo elétrico resultante sobre a bola. 
 
Dados: 
Distância entre a bola e a barra: 10 cm. 
Ângulo entre a corda e a vertical: 30º. 
 
Eletromagnetismo 
 
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Figura 3 
[REA]. 
 
Resposta: 
a) Qbola = 793 nC; 
b) T = 11,3 × 10−3 N; 
c) E = 711 kV/m. 
 
 
8) Considere a situação de equilíbrio mostrada na figura a seguir. As bolas apresentam carga Q e peso P. 
Determine o ângulo α, considerando a situação de equilíbrio e que este ângulo é muito pequeno. 
 
 
Figura 4 
Resposta: 
3
2
0 .....16 lgm
Q
επ
α = 
 
 
Eletromagnetismo 
 
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9) Uma linha trifásica de alta tensão consiste de três condutores (fases) conduzindo as tensões trifásicas, 
conforme mostrado na figura a seguir. Uma tensão fase-fase típica entre dois condutores é Vff = 13 kV. 
As alturas acima do solo são de 12 metros e a separação de 60 cm. O raio dos condutores (considerados 
sólidos) é de 1,5 centímetros. Determine a intensidade de campo elétrico na posição intermediária entre as 
linhas. Considere um indivíduo com 1,7 metros de altura e o potencial do piso igual a zero. Embora 
estejamos operando com campos variantes no tempo, a freqüência baixa, de 60 Hz, permite aproximações 
para campos estáticos, já que as dimensões elétricas são pequenas quando comparadas com o 
comprimento de onda de operação (cerca de 5.000 km). 
 
 
 
Figura 5 
[PAUL]. 
 
Resposta: 
 
 
10) A questão do efeito dos campos elétricos sobre o corpo humano frequentemente ocupa o 
noticiário. Tratado de forma leiga e alarmista, pouco contribui para o esclarecimento da população leiga. 
Considere a seguinte situação: duas linhas de cargas, com densidades lineares de cargas iguais a 
−20mC/m e −10mC/m, estão localizadas a 6,0 m e 8 metros de altura, conforme indicado na figura a 
seguir. As distâncias d1 e d2 são respectivamente iguais a 3,0 metros e 4,0 metros. Considere um 
indivíduo com 1,7 metros de altura e o potencial do piso igual a zero. Determine a diferença de potencial 
sobre este indivíduo. 
[PAUL]. (Adaptado) 
 
Eletromagnetismo 
 
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Figura 6 
 
[PAUL]. (Adaptado) 
 
Resposta: 
 
 
11) Uma carga equivalente à carga de cem elétrons e massa igual a 1,8 × 10−21 kg é lançada com 
velocidade inicial igual a 2 m/s na região média das placas ao longo da maior extensão em t = 0, 
conforme mostrado na figura a seguir. Considere que a placa superior é carregada positivamente e que o 
campo elétrico é uniforme entre as placas. Determine: 
a) A equação da trajetória da partícula em função dos parâmetros dados; 
b) Um conjunto de equações que relacione a posição da partícula em função do tempo decorrido desde o 
lançamento da partícula; 
c) O valor da tensão aplicada às placas para que a partícula atinja a extremidade superior da placa na 
extremidade oposta à do lançamento; 
d) A energia acumulada pela partícula ao final da trajetória em relação à placa inferior. 
 
Eletromagnetismo 
 
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Figura 7 
Dados: 
Carga do elétron: 1,6 × 10−19 C; 
Massa do elétron: 9,11× 10−31 kg; 
Aceleração da gravidade: 9,8 m/s2; 
x = x0 + v0,xt + ax.t
2/2; 
Ec = m × v
2 / 2; 
Ep: m × g × h. 
F = Q × E. 
 
Resposta: 
a) 
2
.
.
2
1












−=
o
y
v
x
g
m
EQ
y (equação de uma parábola); 
b) x = v0.t; y = (ay.t
2) / 2; 
c) 
d) 
 
 
12) Uma aplicação prática da eletrostática é na separação eletrostática de sólidos. Por exemplo, o 
minério de fosfato da Flórida, consiste de pequenas partículas de quartzo e de rocha de fosfato, pode ser 
separado em seus componentes aplicando-se um campo elétrico uniforme, conforme mostrado na figura a 
seguir. Supondo velocidade e deslocamento iniciais das partículas iguais a zero, e desconsiderando a 
força coulombiana entre as partículas determine: 
a) A equação da trajetória das partículas; 
b) Uma equação que determine a posição da partícula em função do tempo de queda decorrido; 
Eletromagnetismo 
 
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c) Um gráfico da posição da partícula em função do tempo;d) A separação entre as partículas após caírem 80 cm; 
e) A distância a partir da qual as partículas tocam as placas laterais. 
 
Dados: 
E = 500 kV/m; 
Q/m = 9 µC/kg, tanto para as partículas positivas quanto para as partículas negativas; 
Aceleração da gravidade: 9,8 m/s2; 
y = y0 + v0,yt + ay.t
2/2; 
 
 
Figura 8 
[SADIKU]. (Adaptado). 
 
Resposta: 
a) x
EQ
gm
y .
.
.






= (equação de uma reta); 
b) y = g.t2 / 2 m; x = (Q.E.t2) / 2 m; 
c) 
d) 36 cm; 
e) 
 
 
Eletromagnetismo 
 
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13) Explique a lei de Gauss. Sob quais condições ela é útil? 
[ULABY]. 
 
 
14) Como se deve proceder para fazer a escolha da superfície gaussiana? 
[ULABY]. 
 
 
15) Em que situação é razoável considerar-se uma distribuição de cargas como uma carga pontual? 
[ULABY]. 
 
 
16) Demonstre que externamente ao redor de um cabo coaxial de comprimento infinito o campo elétrico 
estático é igual a zero, ou seja, o cabo coaxial fornece uma blindagem eletrostática. Trace um gráfico da 
intensidade de campo elétrico versus distância, tomando como referência o centro geométrico 
longitudinal do cabo coaxial. 
 
 
17) Na figura a seguir uma barra de cobre com 4 metros de comprimento, com seção reta quadrada, tem 
um furo circular, centrado no centro geométrico da barra, ao longo de seu comprimento. O furo é 
preenchido com aço. 
Determine: 
a) A resistência da barra de aço; 
b) A resistência da barra de cobre; 
c) A resistência total do conjunto ao longo do comprimento de 4 metros; 
d) A corrente que circula no conjunto quando é aplicada uma tensão de 150 volts nas extremidades do 
conjunto; 
e) A corrente que circula na haste de aço quando é aplicada uma tensão de 150 volts nas extremidades do 
conjunto; 
f) A corrente que circula na haste de cobre quando é aplicada uma tensão de 150 volts nas extremidades 
do conjunto; 
g) A densidade de corrente na haste de aço quando é aplicada uma tensão de 150 volts nas extremidades 
do conjunto; 
Eletromagnetismo 
 
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h) A densidade de corrente na haste de cobre quando é aplicada uma tensão de 150 volts nas 
extremidades do conjunto; 
i) A potência dissipada no conjunto quando é aplicada uma tensão de 150 volts nas extremidades do 
conjunto; 
j) A potência dissipada na haste de aço quando é aplicada uma tensão de 150 volts nas extremidades do 
conjunto; 
k) A potência dissipada na haste de cobre quando é aplicada uma tensão de 150 volts nas extremidades do 
conjunto; 
 
 
Figura 9 
Dados: 
l: 3,0 cm; r: 0,5 cm; 
Condutividade do aço: 0,6 × 107 S/m; 
Condutividade do cobre: 5,8 × 106 S/m; 
Resistência da barra condutora: 
S
l
R
×
=
σ
 
I = J × S. 
[SADIKU]. (Adaptado). 
 
Resposta: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
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g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
 
18) O que é um campo conservativo? 
 
 
19) Porque o potencial elétrico em um ponto do espaço sempre é definido em relação ao potencial de um 
ponto de referência? 
 
 
20) O que é um dipolo elétrico? 
 
 
21) Qual a diferença entre um isolante, um condutor e um semicondutor? 
 
 
22) O que acontece com o material quando ocorre a ruptura do dielétrico? 
 
 
23) Os sistemas de proteção contra descarga atmosférica, SPDA, são constituídos por um elemento 
captador da descarga, o pára-raios, ligado a um cabo condutor, o cabo de descida, até o sistema de 
aterramento (barras ou hastes de aterramento). Ao receber uma descarga atmosférica (o raio) o cabo 
desvia o pulso de corrente através do condutor até o sistema de aterramento, protegendo as instalações 
vizinhas. Ao atingir a superfície da terra o pulso de corrente produz linhas de potencial elétrico, em 
função da condutividade do solo. Define-se o potencial de passo como a diferença de potencial entre duas 
linhas equipotenciais afastadas da distância de um passo. Caso esta diferença ultrapasse um determinado 
valor poderá provocar lesões fatais. O potencial de passo é um risco em locais tais como estações 
geradoras ou distribuidoras de energia elétrica ou durante uma descarga elétrica no solo (raio). Em 
estações de energia, diversas medidas são tomadas para reduzir-se tal risco ao mínimo. Considere a 
Eletromagnetismo 
 
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seguinte situação hipotética: para um valor máximo de potencial de passo igual a 70 volts e um campo 
potencial de tensão dado por 
1
000.50
+
=
ρ
V volts, simétrico em relação ao eixo “z”, determine: 
a) O gradiente, ou a taxa de variação, da tensão com a distância radial; 
b) A distância da origem ao ponto cujo potencial é igual a 20.000 volts; 
c) A distância radial entre os pontos cujos potenciais são respectivamente 10.000 volts e 9.000 volts; 
d) A distância radial entre os pontos cujos potenciais são respectivamente 9.000 volts e 8.000 volts; 
e) A distância a partir da qual é seguro deslocar-se um passo de 40 cm na direção radial, afastando-se da 
origem; 
f) A distância a partir da qual é seguro deslocar-se um passo de 40 cm ao longo de uma linha 
equipotencial. 
 
 
Figura 10 
 
Resposta: 
a) δV / δρ = − (ρ + 1)−2 x 5 x 104 V/m; 
b) ρ = 1,5 metros; 
c) 0,55 metros; 
d) 0,7 metros; 
e) 15,9 metros; 
f) Qualquer distância. 
 
 
24) Descargas atmosféricas, linhas de alta tensão bem como emissoras de radio difusão de alta potência 
induzem campos potenciais cujos valores podem ser prejudiciais a equipamentos eletro-eletrônicos. Uma 
aplicação militar é o arrebentamento nuclear de baixa altitude, produzindo campos elétricos da ordem de 
kV/m, destruindo os equipamentos de telecomunicações e eletrônicos na região de atuação. 
Eletromagnetismo 
 
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Considere o campo potencial V = 1/(2x2y) – 5/z kV. Determine: 
a) O potencial no ponto P(-3;-4;1) cm; 
b) A diferença de potencial entre o ponto P(-3;-4;1) cm e o ponto Q(1; 2; -5) cm; 
c) O módulo do campo elétrico no ponto P; 
d) O módulo do campo elétrico no ponto Q; 
e) A densidade de fluxo elétrico no ponto P, considerando o espaço livre; 
f) A densidade de fluxo elétrico no ponto Q, considerando o espaço livre; 
g) A densidade volumétrica de cargas que origina o campo potencial dado. 
 
Resposta: 
a) 13.388,9 V; 
b) – 237,11 kV; 
c) – 9,26 x 105 âx – 3,472 x 105 ây + 5 x 104 âz V/m 
d) 51,54 MV/m; 
e) – 8,2 x 10−6 âx – 3,1 x 10
−6 ây + 4,4 x 10
−7 âz C/m
2; 
f) 
g) 
 
 
25) Nas aulas de circuitos elétricos você aprendeu a calcular a capacitância equivalente de dois 
capacitores em série e em paralelo. Obtenha as equações de cálculo à partir da teoria eletromagnética. 
Considere apenas dois materiais distintos. Em seguida aplique a equação para dois capacitores; o primeiro 
com dielétrico com constante dielétrica igual a 5, com o dielétrico ocupando 30% do afastamento, e o 
segundo com o dielétrico com constante dielétrica igual a 10, ocupando os 70% restante da área, 
conforme mostrado na figura a seguir. As placas são paralelas e quadradas, com 100 cm2 de área total e 
afastamento de 0,01 mm. Determine: 
a) O capacitor equivalente da ligação desses dois capacitores; 
b) A carga armazenada no conjunto, quando submetido à tensão de 50 volts; 
c) A energia armazenada no conjunto, quando submetido à tensão de 50 volts. 
 
Eletromagnetismo 
 
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Figura 11 
Dados: 
Q = C x V coulombs; 
Ec = C x V
2 / 2 J; 
C = ε x A / d. 
 
Resposta: 
a) 75,1 nF; 
b) 3,76 µC; 
c) 93,8 µJ. 
 
 
26) Um capacitor é montado a partir de infinitos capacitores ligados em paralelo, todos com a mesma 
área de placas e mesmo dielétrico, mas cada um com o dobro do espaçamento do antecessor. 
Considerando uma área de “A” m2, espaçamento de “d” mm para o primeiro capacitor e dielétrico com 
constante dielétrica ε para todos os capacitores determine;a) a capacitância total; 
b) a capacitância para os 4 primeiros capacitores em paralelo com A = 100 cm2, d = 0,1 mm e εr =4. 
 
Resposta: 
a) 1,77 nC; 
b) 13,26 nC. 
 
 
27) Um capacitor de placas paralelas afastadas da distância d apresenta a região entre as placas 
preenchida por um dielétrico cuja constante dielétrica é igual a εr,1. As dimensões das placas são: 
Eletromagnetismo 
 
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comprimento “c” e largura “l”. As placas são mantidas sob uma diferença de potencia constante igual a 
∆U. Se o bloco dielétrico for retirado ao longo da dimensão c e preenchido pelo ar até que apenas um 
comprimento x esteja entre as placas, determine a força que tende a puxar o bloco de volta à posição 
inicial. 
Dicas: 
Calcule o trabalho para deslocar a placa; 
A energia armazenada é o trabalho. 
 
 
Figura 12 
[REA]. 
Dados: 
21 . .
2
vol
W E dvε= ∫ joule. 
 
Resposta: 
( )
2
0
1
.( ). .
2x
U
F l
d
ε ε
∆
= − newton. 
 
28) Os capacitores de mica são empregados em circuitos de alta frequência devido a elevada estabilidade 
térmica e baixo valor de perdas deste dielétrico. Um determinado capacitor de mica é obtido a partir de 
três placas de mica, com depósito de prata, ligadas em paralelo. A área de cada placa é 15 cm2 e a 
espessura de cada placa de mica é igual a 1/100 da polegada. A espessura da camada de prata é igual a 
1/1.000 da polegada. O capacitor assim formado é submetido a uma tensão de 20 volts. Determine. 
a) A capacitância total do conjunto, em pF; 
b) A carga total depositada, em nC; 
c) A energia total armazenada; 
d) O campo elétrico sobre cada placa, em kV/m; 
e) A relação entre a densidade de corrente de condução e a densidade de corrente de deslocamento no 
dielétrico. 
Eletromagnetismo 
 
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Resposta: 
a) 281 pF; 
b) 16,9 nC; 
c) 168 nJ; 
d) 78,4 kV/m; 
e) 
 
 
29) No circuito mostrado na figura a seguir tem-se que C1 = 220 nF, C2 = 22 nF e C3 = 1,0 µF. A bateria 
U é de 70 volts. Considere o estado estacionário. Determine: 
a) A capacitância total equivalente; 
b) A energia acumulada em cada capacitor; 
c) O tempo para descarga do conjunto até o valor de 1,2 volts, quando desligado da bateria e ligado a um 
resistor de 100 ohms. 
 
 
Figura 13 
Dados: 
.. t R Cf iV V e volts
−= 
 
Resposta: 
a) 
b) 
c) 
 
 
30) Na figura a seguir é mostrado um dispositivo de medida de potencial denominado eletrômetro. 
Basicamente, consiste em um capacitor de placas circulares paralelas, com uma das placas tendo uma 
Eletromagnetismo 
 
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posição móvel suspensa pelo braço de uma balança, de tal modo que a força F sobre ela é medida em 
termos do peso do prato da balança. 
 
 
Figura 14 
 
 Caso S seja a área de cada placa: 
a) Demonstre que: 
2/1
0
2
21
2






×
××
=−
S
dF
VV
ε
; 
b) Determine a massa de um bloco quando a diferença de potencial entre as placas do capacitor é igual a 
10 volts e o espaçamento entre as placas é igual a 1,2 cm. 
 
Dados: 
Raio das placas do capacitor: 4,5 cm; 
Aceleração da gravidade: 9,8 m/s2; 
Intensidade de campo elétrico devido à uma placa carregada: 
0
/,
/ 2
2
ε
ρ
mCS
mVE = ; 
Permissividade do ar: mF /
36
10 9
π
−
 
Capacitância de placas paralelas: 
m
m
F
d
S
C
2
ε= 
 
Resposta: 
a) 
b) 
 
 
Eletromagnetismo 
 
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31) Capacitores são empregados como componentes de circuitos de filtros ou como elementos 
armazenadores de energia no campo elétrico. Uma aplicação são os capacitores colocados em paralelos 
com as baterias que alimentas a memória da BIOS nos computadores. Durante a substituição da bateria os 
dados não são perdidos porque o capacitor mantém a tensão por um período limitado, suficiente para a 
rápida troca da bateria descarregada por uma nova. Considere um capacitor constituído por duas placas 
paralelas com 30 cm2 de área e afastadas entre si de 1/100 de polegada pelo ar. O capacitor é então ligado 
a uma bateria de 30 volts até a estabilização da tensão. Determine: 
a) A capacitância do capacitor em pF e a carga armazenada no capacitor nesta situação; 
b) Uma placa de polietileno com 1/200 de polegada de espessura é então introduzido entra as placas do 
capacitor de forma a não alterar a carga previamente colocada. Determine a nova tensão resultante e a 
energia disponível no capacitor; 
c) Se este novo capacitor é agora ligado a um resistor de 100 kilo ohms determine o tempo para a tensão 
atingir 12% de seu valor original. 
 
 
Resposta: 
a) 
b) 
c) 
 
 
32) Os receptores de telecomunicações do tipo super heteródino requerem um oscilador local, que junto 
com um circuito misturador processam a conversão do sinal de radio freqüência (RF) de entrada para a 
frequência intermediária (FI). Em receptores antigos ou de baixo custo é comum encontrar-se um 
capacitor de sintonia constituído por placas metálicas semi-circulares, separadas pelo ar, com um eixo 
comum, conforme mostrado na figura a seguir, denominado capacitor variável. O eixo é eletricamente 
isolado das placas metálicas. Os capacitores formados por cada par de placas são então ligados em 
paralelo. Considere a seguinte situação hipotética: um capacitor variável cuja capacitância total varia de 
10 pF até 410 pF é constituído por placas semicirculares. Considere que com zero grau ocorra a máxima 
coincidência entre as áreas das placas e a capacitância seja de 410 pF e com 180o ocorra o máximo 
desencontro entre as placas e a capacitância seja devida aos efeito parasíticos alcançando 10 pF. As placas 
são semicírculos com raios de 3cm separadas pelo ar por 0,3659 mm. Determine: 
a) A capacitância produzida por cada par de placas; 
b) O total de placas paralelas para obter-se o valor nominal máximo de capacitância; 
Eletromagnetismo 
 
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c) Uma equação que relacione a capacitância total com o ângulo do eixo e a capacitância parasítica. 
d) O ângulo para a sintonia em 2 MHz, quando o capacitor é ligado em paralelo com um indutor de 42 
µH; 
e) A energia armazenada pelo capacitor no campo elétrico caso a tensão aplicada seja de 50 volts. 
 
 
Figura 15 
Dados: 
Permissividade do ar: mF /
36
10 9
π
−
 
Capacitância de placas paralelas: 
m
m
F
d
S
C
2
ε= 
Área comum às placas: 
2
2. . 1
2
radrA m
θπ
π
 
= − 
 
 
 
Resposta: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
33) Ao trabalharmos com componentes eletrônicos devemos ter especial cuidado com as cargas estáticas 
que podem acumular-se em períodos precedentes a tempestades. Um fato lamentável, devido às perdas 
humanas ocorridas, aconteceu quando a ogiva de um míssil era retirada do corpo principal. A capacitância 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 20 / 65 
 
e as cargas acumuladas causaram a explosão da carga militar devido à ruptura do dielétrico, o ar 
(centelhamento). Vejamos um exemplo do que aconteceu. Suponha que o conjunto ogiva-corpo do míssil 
quando montado possa ser modelado por um capacitor com placas paralelas de 900 cm2 de área, 
separados de 0,1 mm pelo ar. As cargas acumuladas produzem uma tensão de 50 volts entre as placas do 
capacitor. Considere o valor de rigidez dielétrica para o ar de 1 kV/mm. Quando o míssil é desmontado as 
placas são rapidamente afastadas até 1 mm. Considere que não houve alteração na carga acumulada. 
Determine a tensão resultante e se a operação de desmontagem é segura nessas condições. 
 
Resposta: 
 
 
34) Os sensores capacitivos encontram uma série de aplicações na área de medições eletro - eletrônicas e 
mesmo na medição de níveis de fluido em reservatórios. Considere a figura a seguir. Dois eletrodos de 
metal são montados no interior de um reservatório, cujo nível de fluido deve ser monitorado. Quando o 
reservatórioestá em sua capacidade máxima o dielétrico entre as placas é constituído pelo fluido. 
Conforme o nível de fluido diminui, o fluido entre as placas é substituído pelo ar, e a capacitância então 
varia. Medindo-se a capacitância é então possível avaliar-se o nível do reservatório. Determine: 
a) A equação da capacitância total quando a capacidade está abaixo do valor máximo de volume de 
fluido; 
b) Uma equação que relacione a altura do fluido com a capacitância nos terminais do capacitor; 
c) Trace um gráfico da altura do fluido versus capacitância para as seguintes condições: constante 
dielétrica do fluido igual a 4,5,largura das placas igual a 12 cm, distância entre as placas igual a 8 cm, 
capacitância do tanque quando totalmente vazio igual a 120 pF. Considere que a altura máxima do fluido 
é de 40 cm. 
 
Considere a altura das placas igual a H, a área das placas igual a S e o afastamento entre as placas igual a 
d. Despreze os efeitos capacitivos dos terminais das placas. Considere ainda que as placas são 
retangulares, estão posicionadas paralelamente entre si com a base paralela ao fundo do reservatório, que 
encontra-se nivelado com o solo. 
 
Dados: 
Permissividade do ar: mF /
36
10 9
π
−
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 21 / 65 
 
Capacitância de placas paralelas: 
m
m
F
d
S
C
2
ε= 
 
 
Figura 16 
 
[ULABY]. 
 
Resposta: 
a) 
b) 
c) 
 
 
35) Sensores de pressão podem ser projetados a partir do efeito capacitivo. Um exemplo é o sensor 
mostrado na figura a seguir, constituído por um reservatório com entrada para o fluido cuja pressão deve 
ser monitorada e uma membrana metálica flexível. Conforme aumenta a pressão do fluido a membrana 
desloca-se para baixo, alterando a capacitância C2. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 22 / 65 
 
 
Figura 17 
 
A pressão pode ser obtida indiretamente por meio de uma ponte capacitiva, como a mostrada na figura a 
seguir. 
 
 
Figura 18 
 
Determine: 
a) Uma equação que relacione a distância d2 com a distância total (d1 + d2), a tensão da saída e a tensão 
da fonte; 
b) Considerando-se que a pressão do fluido, em pascal, e a distância d2, em cm, relacionam-se por P = 
0,02 × e(d2 – 12), trace um gráfico pressão versus distância, para uma variação de d2 de 12 cm (posição de 
repouso) até 2 cm (pressão máxima). 
c) Para as condições do item “b” anterior, trace um gráfico pressão versus tensão de saída, considerando-
se que a frequência da fonte é de 250 kHz com tensão de pico de 2,0 volts. 
[ULABY]. (Adaptado). 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 23 / 65 
 
 
Resposta: 
a) 2
1
1 2 total
dC
C C d
=
+
 
b) 
c) 
 
 
36) Um dispositivo é constituído por duas placas metálicas alinhadas e paralelas com a mesma área igual 
a 100 cm2 e afastadas de 0,1 milímetro cujo dielétrico é o ar. A espessura das placas é desprezível. O 
conjunto é submetido a uma diferença de potencial de cinqüenta volts até alcançar-se o equilíbrio das 
cargas. Considerando-se que a diferença de potencial máxima segura para o ser humano é de setenta 
volts, determine o afastamento máximo das placas que atinge tal valor, considerando-se o valor inicial de 
tensão dado acima. Determine a energia acumulada no campo elétrico devido a esse capacitor na 
condição inicial. 
 
Resposta: 
 
 
37) Um cabo coaxial com raios internos e externos respectivamente iguais a 1,2 milímetros e 4,8 
milímetros tem como dielétrico o poliestireno. O cabo é submetido a uma diferença de potencial entre o 
condutor interno (“vivo”) e o externo (malha) igual a 200 volts. Trace um gráfico campo elétrico versus 
distância, para o eixo radial cujo centro é o cento geométrico do condutor interno até 2 milímetros fora do 
condutor externo. Determine a capacitância de um segmento de 30 cm deste cabo. 
 
Resposta: 
 
 
38) Um dos fatores limitantes para a transmissão de sinais digitais em banda base por linhas telefônicas é 
a capacitância das linhas. Determine a frequência de corte de 3 dB para uma seção de cabo paralelo com 
1200 metros de comprimento, com 0,4 mm2 de área, afastados de 3 mm por polietileno sólido. Considere 
a resistência total da linha igual a 20 ohms. A frequência de corte, ou de 3 dB ou de meia potência é dada 
por: 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 24 / 65 
 
RC
f HzdB
π2
1
,3 = 
 
Onde R é a resistência ôhmica e C é a capacitância, do segmento de cabo coaxial considerado. 
 
 
Resposta: 
 
 
39) Vivemos em um ambiente de constante aumento das taxas de transmissão. Poucos usuários se 
contentariam com um acesso à Internet nas taxas de linha discada tendo experimentado a banda larga em 
velocidades acima de 4 Mbps. No entanto, a natureza parece conspirar contra nós, engenheiros de 
telecomunicações. Na verdade o próprio Universo é um filtro passa baixa. Particularmente as linhas de 
transmissão, quer sejam singelos pares paralelos de telefonia, cabos de rede ou mesmo cabos coaxiais. 
Esse limite na velocidade de transições do sinal é intrínseco de cada canal. Considere por exemplo o cabo 
coaxial. Podemos estabelecer um modelo no qual a capacitância característica do cabo e sua resistência 
ôhmica formam um circuito passa-baixa de 1ª ordem. A frequência de corte, ou de 3 dB ou de meia 
potência é dada por: 
RC
f HzdB
π2
1
,3 = 
 
Onde R é a resistência ôhmica e C é a capacitância, do segmento de cabo coaxial considerado. 
Considere a seguinte situação: um segmento de cabo coaxial cujo dielétrico é o polietileno, com 100 
metros de comprimento apresenta uma resistência ôhmica de 10 mΩ/metro. O condutor interno e externo 
apresentam dimensões respectivamente iguais a 0,4 cm e 0,8 cm. Determine se este segmento de cabo é 
adequado para transmissão de dados em velocidades de 100 Mbps. Considere a transmissão em banda 
base. 
 
Reposta: 
 
 
40) Um placa fina de teflon mergulhada no ar é submetida à um campo elétrico estacionário. As 
componentes do campo elétrico tangencial e normal são ambas iguais a 100 mV/m ao incidirem na placa, 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 25 / 65 
 
vindas do ar. Considere a placa suficientemente grande para desprezar efeitos de segunda ordem. 
Considere a placa de teflon sem cargas elétricas depositadas. Determine: 
a) Os campos elétricos tangenciais e normais na placa; 
b) As densidades de fluxo elétrico tangencial e normal, na placa; 
c) O vetor polarização, P, no interior da placa; 
d) Os campos elétricos tangenciais e normais, fora da placa, no lado oposto da face de incidência; 
e) O vetor polarização, P, fora da placa, no lado oposto da face de incidência. 
 
Resposta: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
41) Um campo elétrico de 10 mV/m faz 15o com um meio 1 cuja constante dielétrica é 9 e passa para um 
meio 2 cuja constante dielétrica é 4. Determine: 
a) A componente tangencial de campo elétrico no meio1; 
b) A componente normal de campo elétrico no meio 1; 
c) A componente tangencial de campo elétrico no meio 2; 
d) A componente normal de campo elétrico no meio 2; 
e) A intensidade do vetor deslocamento no meio 1; 
f) A intensidade do vetor deslocamento no meio 2; 
g) O que aconteceria com o ângulo do campo elétrico no meio 1 se o meio 2 fosse substituído por um 
condutor ideal. 
 
Resposta: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 26 / 65 
 
f) 
g) 
 
 
42) Um sistema detector apresenta um detector formado por um capacitor constituído por duas placas 
verticais conforme a figura a seguir. A capacitância é função das características geométricas das placas, 
do dielétrico entre as placas e do ângulo entre elas. Determine a capacitância em função desses 
parâmetros. Despreze o efeito das bordas. V1 e V2 são os potenciais de cada placa. O ângulo entre as 
placas é α e o dielétrico apresenta uma permissividade elétricaigual a Ɛ. 
[NASSAR]. 
 
 
Figura 19 
Resposta: 
 
 
43) Um capacitor é formado por placas cilíndricas conforme a figura a seguir. Determine a capacitância. 
Despreze o efeito das bordas. V1 e V2 são os potenciais de cada placa. O ângulo das placas é α e o 
dielétrico apresenta uma permissividade elétrica igual a Ɛ. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 27 / 65 
 
 
Figura 20 
[EDMINISTER]. 
 
Resposta: 
 
 
 
 
II. Campos Magnetostáticos 
 
 
44) Demonstre que um cabo coaxial de comprimento infinito, percorrido por uma corrente oferece 
blindagem magnética. Trace um gráfico da intensidade de campo magnético versus distância, tomando 
como referência o centro geométrico longitudinal do cabo coaxial. 
 
 
45) Para o circuito magnético mostrado na figura a seguir um enrolamento de N espiras é percorrido por 
uma corrente contínua I, produzindo um fluxo magnético no núcleo magnético igual a 0,4 mWb. 
Determine: 
a) O percurso magnético médio total; 
b) A área de cada trecho; 
c) A densidade de fluxo em cada trecho para um; 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 28 / 65 
 
d) A intensidade de campo magnético para cada trecho para o fluxo dado; 
e) A força magneto motriz para cada trecho para o fluxo dado; 
f) A relutância de cada trecho 
g) A força magneto motriz total (f.m.m.) para o fluxo dado; 
h) A corrente para essa f.m.m, considerando-se um enrolamento com 2.000 espiras. 
 
 
Figura 21 
 
Dados: 
l1 = 12 cm; 
l2 = 10 cm; 
l3 = 2 cm; 
l4 = l6 = 2 cm; 
l5 = l7 = 3 cm; 
Material: aço laminado. 
Utilizar curvas do Anexo 1. 
 
Resposta: 
Trecho Φ, Wb A,m2 B, T H,A/m µ, H/m l,m R H×l R ×Φ 
ab 0,4×10−4 6×10−4 0,6 85 7,88×10−3 10×10−2 21.150 8,5 8,46 
bc 0,4×10−4 4×10−4 1,0 170 5,88×10−3 7×10−2 29.762 11,9 11,9 
cd 0,4×10−4 6×10−4 0,6 85 7,88×10−3 10×10−2 21.150 8,5 8,46 
da 0,4×10−4 4×10−4 1,0 170 5,88×10−3 7×10−2 29.762 11,9 11,9 
 
 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 29 / 65 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
 
46) Deseja-se estabelecer um campo magnético cuja densidade seja de 1,0 T. Esse campo magnético se 
situará em um meio cuja relutância é de 5 × 105 Ae/Wb e seção reta de 10−3 m2. O número de espiras e a 
corrente elétrica circulando pelo enrolamento que atenderão as exigências acima é: 
a) 50 espiras e 10 A. 
b) 25 espiras e 10 A. 
c) 5 espiras e 10 A. 
d) 50 espiras e 5 A. 
e) 25 espiras e 5 A. 
 
Resposta: f.m.m. = 500, letra “a”. 
 
 
47) Para o circuito magnético toroidal mostrado na figura a seguir, um enrolamento de N espiras é 
percorrido por uma corrente contínua I. Deseja-se estabelecer um fluxo magnético Φ = 0,4 mWb. O 
material do núcleo é aço fundido. Determine: 
a) a densidade de fluxo magnético no material; 
b) o campo magnético no material; 
c) o valor da permeabilidade relativa do material nessa condição; 
d) a relutância do material; 
e) o valor da corrente I, para estabelecer o fluxo especificado. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 30 / 65 
 
 
Figura 22 
 
Dados: 
N = 400 espiras; 
A = 2 × 10−3 m2; 
lm = 16 cm, 
Utilizar curvas do Anexo 1. 
 
Resposta: 
a) 0,2 T; 
b) 170 A/m; 
c) 935,8; 
d) 68.027,2 H−1; 
e) 68 mA. 
 
 
48) Deseja-se operar o circuito magnético mostrado na figura a seguir na saturação. O enrolamento de N 
espiras é percorrido por uma corrente contínua I. Determine: 
a) A densidade de fluxo magnético; 
b) O fluxo magnético; 
c) A força magneto motriz; 
d) A relutância do material. 
e) A corrente no enrolamento. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 31 / 65 
 
 
Figura 23 
Dados: 
Raio externo = 18 cm; 
Raio interno = 17 cm; 
d = 2 cm: 
Material: aço laminado; 
Enrolamento: 1.000 espiras. 
Utilizar curvas do Anexo 1. 
 
Resposta: 
a) Bsat = 1,5 T; 
b) Ф = 3×10−4 Wb; 
c) Fmm = 3630 Ae/m; 
d) R = 12,1 H−1; 
e) I = 3,63 A 
 
 
49) O eletroímã mostrado na figura a seguir atraiu uma barra de ferro fundido. O fluxo é igual 0,35 
mWb. O enrolamento é constituído por 50 espiras e percorrido por uma corrente contínua I. 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 32 / 65 
 
 
Figura 24 
 
Determine: 
a) A densidade de fluxo magnético em cada material; 
b) O campo magnético em cada trecho; 
c) A relutância de cada trecho; 
d) O valor da permeabilidade magnética relativa de cada material do núcleo; 
e) A corrente contínua, I, necessária para estabelecer um fluxo especificado. 
 
Dados: 
lab = lcd = lef = lfa = 4 pol; 
 lbc = lde = 0,5 pol. 
Área (constante) = 1 pol2. 
Perfil “U”: aço laminado; 
Perfil “I”: ferro fundido. 
Utilizar curvas do Anexo 1. 
Resposta. 
Trecho Φ, Wb A,m2 B, T H,A/m µ, H/m l,m R H×l R ×Φ 
efab 3,5×10−4 6,45×10−4 0,54 60 9,033× 10−3 0,3048 52.298,4 18,29 18,3 
bcde 3,5×10−4 6,45×10−4 0,54 1600 3,39× 10−4 0,127 581.072,1 203,2 203,4 
 
 
a) 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 33 / 65 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
50) Para o circuito magnético mostrado na figura a seguir deseja-se estabelecer um fluxo resultante no 
núcleo igual a 1,5 × 10−5 Wb, no sentido horário. O enrolamento com N1 espiras é percorrido por uma 
corrente contínua I1. O enrolamento com N2 espiras é percorrido por uma corrente contínua I2. O 
material do núcleo magnético é o aço silício. 
 
 
Figura 25 
Determine: 
a) A densidade de fluxo magnético no núcleo; 
b) O campo magnético no núcleo; 
c) O valor da permeabilidade magnética relativa do núcleo nessa situação; 
d) A força magneto motriz total; 
e) A relutância do material; 
f) O valor da corrente contínua para estabelecer o fluxo especificado. 
 
Dados: 
N1 = 60 espiras; N2 = 30 espiras; 
I1 = 2 A (fluxo no sentido horário); 
I2 gera fluxo no sentido anti-horário; 
Área (constante) = 0,15 × 10−3 m2; labcd = 0,16 m. 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 34 / 65 
 
Utilizar curvas do Anexo 1. 
 
Resposta: 
a) 0,1 T; 
 b) 20 A/m; 
c) 3.979; 
 d) 116,8 Ae/m; 
e) 213.333,3; 
f) 3,98 A. 
 
51) Em um campo magnético situado no ar, se houver um incremento na sua intensidade igual a ∆H = 
103 A.espira/m, então o incremento de sua densidade será de: 
a) ∆B = 4.π.103 Wb/m2. 
b) ∆B = Zero. 
c) ∆B = 4.π.10−2 Wb/m2. 
d) ∆B = 4.π.10−3 Wb/m2. 
e) ∆B = 4.π.10−4 Wb/m2. 
 
Resposta: letra “e” 
 
 
52) No circuito magnético mostrado na figura a seguir, o enrolamento com N espiras é percorrido por 
uma corrente contínua I, produzindo um fluxo magnético no sentido horário. Deseja-se estabelecer um 
fluxo magnético no trecho “cd” do núcleo igual a 1,5 × 10−4 Wb. 
 
 
Figura 26 
Determine: 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 35 / 65 
 
a) A densidade de fluxo magnético no trecho “cd”; 
b) A intensidade de campo magnético no trecho “cd”; 
c) A intensidade de campo magnético no trecho “be”; 
d) A densidade de fluxo magnético no trecho “be”; 
e) O fluxo magnético no trecho “be”; 
f) O fluxo no trecho “af”; 
g) A densidade de fluxo magnético no trecho “af”; 
h) A intensidade de campo magnético no trecho “af”; 
i) A corrente contínua necessária para estabelecer-se o fluxo magnético especificado; 
j) O valor da permeabilidade magnética relativa em cada seção do núcleo. 
 
Dados: 
lbcde = lefab = 0,2 m; 
lbe = 5 cm. 
N: 50 espiras; 
Material: aço silício; 
Área da seção reta: a 6 × 10−4 m2. 
Utilizar curvas do Anexo 1. 
 
Resposta: 
a) 0,25 T; 
b) 40 A/m; 
c) 160 A/m; 
d) 0,97 T; 
e) 5,82×10−4 Wb; 
f) 7,32×10−4 Wb; 
g) 1,22 T; 
h) 400 A; 
i) 1,76 A; 
j) µrbcde = 4.972,2; µrbe = 4.281; µrefab = 2.426,4 
 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 36 / 65 
 
53) Para o circuito magnético mostrado na figura a seguir o enrolamento com N espiras é percorrido por 
uma corrente contínua I. 
 
 
Figura 27 
 
Determine: 
a) A intensidade de campo magnético no núcleo;b) A densidade de fluxo magnético no núcleo; 
c) O fluxo magnético no núcleo; 
d) O valor da permeabilidade relativa do material nessas condições. 
e) A relutância do núcleo. 
 
Dados: 
N: 60 espiras. 
I: 5 A. 
Área: 2 × 10−4 m2. 
Material: ferro fundido. 
Comprimento médio: 30 cm. 
Utilizar curvas do Anexo 1. 
 
Resposta: 
a) 1.000 A/m; 
b) 0,39 T; 
c) 0,78×10–4 Wb; 
d) 3,9×10–4 H/m; 
e) 3846153,8 H–1. 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 37 / 65 
 
 
 
54) Deseja-se estabelecer-se um fluxo magnético de 0,52 mWb na perna central do enrolamento do 
circuito magnético mostrado na figura a seguir. 
 
 
Figura 28 
Determine: 
a) A densidade de fluxo magnético na perna central do núcleo; 
b) A intensidade de campo magnético na perna central do núcleo; 
c) O fluxo magnético nas pernas laterais do núcleo; 
d) A densidade de fluxo magnético nas pernas centrais do núcleo; 
e) A intensidade de campo magnético nas pernas laterais do núcleo; 
f) A força magneto motriz total; 
g) A permeabilidade magnética relativa de cada trecho do circuito magnético 
h) A relutância de cada trecho do núcleo; 
i) A corrente contínua a ser aplicada ao enrolamento para obter-se o fluxo especificado. 
 
Dados: 
l1: 6 cm; 
l2: 5,0 cm; 
l3 = l4 = l8 = l5 = l7 = 1,6 cm; 
l6 = 2,5 cm. 
Material magnético: aço silício. 
Enrolamento: 100 espiras. 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 38 / 65 
 
Utilizar curvas da Figura 39. 
 
Resposta: 
a) 1,3 T; 
b) 600 Ae/m; 
c) 0,26×10–3 Wb; 
d) 0,65 T; 
e) 80 Ae/m; 
f) 26,64 Ae; 
g) µr,central = 1742,2 H/m; µr,lateral = 6466; 
h) Rcentral = 3917050,7 H
–1; Rlateral = 24000 H
–1; 
i) 
 
 
55) Para o circuito magnético mostrado na figura a seguir determine a corrente contínua no enrolamento 
para estabelecer-se uma densidade de fluxo de 1,4 T (Wb/m2) no material magnético. 
 
 
Figura 29 
Dados: 
Comprimento médio do núcleo: 60 cm. 
Área da seção reta: 10 cm2. 
Comprimento do gap: 2mm. 
Permeabilidade do núcleo: 10−3 H/m. 
Número de espiras do enrolamento: 100. 
Material: aço fundido. 
Utilizar curvas da Figura 39. 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 39 / 65 
 
 
Resposta: 
 
 
56) Para o circuito magnético mostrado na figura a seguir determine o número de espiras do enrolamento 
para produzir-se 300.000 linhas no entreferro com uma corrente de 2,5 A. O material magnético é o ferro-
níquel. 
 
 
Figura 30 
Dados: 
1 pol = 2,54 cm 
1 Wb = 108 linhas. 
Entreferro: 0,08 pol. 
Área: 3 pol quadradas. 
 
Resposta: 1003 espiras. 
 
 
57) Para o circuito magnético mostrado na figura a seguir o enrolamento é constituído por 200 espiras. 
Determine o valor da corrente contínua no enrolamento para estabelecer-se um fluxo de 0,75 × 10−4 Wb. 
O material magnético é o ferro-níquel. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 40 / 65 
 
 
Figura 31 
 
Correspondência entre os valores B×H para o material magnético. 
 
B(T) 0,1 0,3 0,5 0,6 0,7 0,9 1,0 
H(A/m) 40 150 280 400 700 1000 2300 
 
Dados: 
Área: 1,5 cm2; 
Entreferro: 2,0 mm; 
Raio médio: 1,59 cm. 
 
Resposta: 
I = 4,116 A. 
 
58) Para o circuito magnético da figura mostrado na figura a seguir deseja-se estabelecer um fluxo 
magnético de 0,75 × 10−4 Wb. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 41 / 65 
 
 
Figura 32 
 
Determine: 
a) A densidade de fluxo magnético no aço; 
b) A intensidade de campo magnético no aço; 
c) A intensidade de campo magnético no entreferro; 
d) A força magneto motriz total; 
e) A relutância de cada trecho; 
f) A corrente contínua necessária para estabelecer o fluxo dado. 
 
Dados: 
N: 200 espiras 
Material: aço fundido; 
Área: 1,5 × 10−4 m2; 
lcdefab = 100 mm; 
lbc (gap) = 2 mm. 
 
Resposta: 
a) 0,5 T; 
b) 280 A/m; 
c) 3,98×105 A/m; 
d) 824 Ae; 
e) Rentreferro = 1592 H
–1; Raço = 373333,3 H
–1; 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 42 / 65 
 
f) 4,12 A; 
 
 
59) Para o circuito magnético série mostrado na figura a seguir o material magnético é ferro fundido. A 
área da seção reta é constante e igual a 3 × 10−3 m2. O comprimento médio do circuito magnético é igual a 
16 cm. O comprimento do entreferro é de 1 mm. Determine o fluxo magnético no circuito para um erro de 
± 5%. 
Dados: 
N: 100 espiras; 
I: 4 A. 
 
 
Figura 33 
 
 
Resposta: para um erro de cerca de 5%: 1,057×10–3 Wb; 
 
 
60) Considere o circuito magnético representado na figura abaixo. Despreza-se a dispersão e considera-se 
que a permeabilidade magnética das peças de ferro é suficientemente elevada para que se possa desprezar 
a sua relutância magnética, considerando-se apenas a relutância dos entreferros de ar. Considera-se o 
campo uniforme nos entreferros. O espaçamento é de 1 mm e a área de 10 cm2. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 43 / 65 
 
 
Figura 34 
Determine: 
a) A intensidade dos campos magnéticos H1, H2 e H3 nos entreferros; 
b) As intensidades das induções magnéticas B1, B2 e B3 nas peças verticais; 
c) Os fluxos Φ1, Φ2 e Φ3 nas peças verticais. 
 
Resposta: 
a) 
b) 
c) 
 
 
61) Considere dois circuitos magnéticos 1 e 2, sendo 1 inserido em 2. O comprimento dos dois circuitos 
pode ser considerado igual a 0,4 m. A área atravessada pelo fluxo no circuito 1 é 0,2 m2 e a área 
atravessada pelo fluxo no circuito 2 é 0,8 m2. Nos dois circuitos magnéticos o núcleo é o ar, cuja 
permeabilidade magnética tem valor 4×π×10−7 H/m. Considere que não há dispersão. Calcule: 
a) A relutância magnética para o circuito 1; 
b) A relutância magnética para o circuito 2; 
c) O fluxo gerado no circuito 1, Φ1; 
d) O fluxo gerado no circuito 1, Φ2; 
e) A indutância própria da bobina do circuito 1, L1; 
f) A indutância mútua L12 (k12 é a relação entre as áreas). 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 44 / 65 
 
 
Figura 35 
Dados: 
N1: 200 espiras; 
N2: 200 espiras; 
I1: 2 A; 
I2: 2 A. 
 
Resposta. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
 
62) A figura abaixo mostra o processo de imantação de um anel, através da circulação de uma corrente 
contínua I, de grande intensidade, pelo condutor cilíndrico. Determine: 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 45 / 65 
 
 
Figura 36 
 
a. A intensidade da corrente I, para que se atinja um fluxo de 10−5 Wb no anel da figura. 
 
b. Explique porque o processo industrial de imantação emprega um circuito como o da figura abaixo. 
 
 
Figura 37 
Dados: 
Considere o ângulo de abertura do gap igual a 1º. 
“r” é o raio do anel, r = 5 cm; 
“s” é a seção reta do anel, s = 0,5 cm2; 
NI é o número de Ampéres-espiras. 
∫=Φ
S
sdB
rr
. 
∫ =
l
IldH
rr
. 
HB
rr
.µ= 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 46 / 65 
 
µ0 = 4 × π × 10
−7 H/m 
s
L
×
=ℜ
µ
 
R é a relutância do material de comprimento L e seção reta s. 
Correspondência entre valores B × H para o material magnético do anel. 
 
B(Wb/m2) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
H(A/m) 50 62 80 90 95 100 120 140 165 200 
 
Resposta. 
a) I = 158,37 A; 
b) 
 
 
63) Considere a bobina mostrada na figura a seguir. Determine a corrente contínua no enrolamento de 
200 espiras. A densidade de fluxo magnético no ferro fundido é BFF = 0,6 Wb/m
2. O material do perfil em 
“U” (enrolamento) é ferro fundido. O material do perfil “I” é aço fundido. 
 
 
Figura 38 
Dados: 
Φ = B ⊗ S, onde: 
Φ: é o fluxo magnético em Wb; 
B: é a densidade de fluxo magnético em Wb/m2 (Tesla); 
S: é a área da seção reta em m2; 
⊗: indica produto vetorial. 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 47 / 65 
 
F = N . I, onde: 
F: é a força magneto motriz (f.m.m.) em Ampéres (A); 
N: é a quantidade de espiras no enrolamento da bobina; 
I: é a corrente que flui na bobina em Ampéres (A); 
F = H . lm, onde 
F: é a força magnetomotriz (f.m.m.) em Ampéres (A); 
H: é a intensidade de campo magnético em A/m; 
lm: é o comprimento médio em m. 
l1: 14 cm; l2: 2 cm; l3: 28 cm; l4: 4 cm; l5: 4 cm; l6: 4 cm; l7: 4 cm. 
 
Na solução do problema utilize a curva B versus H abaixo. 
 
 
Figura 39 
 
Resposta: 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 48 / 65 
 
I = 7,35 A. 
 
64) Os eletroímãs são utilizados em guindastes magnéticos para elevar grandes massas de materiais 
ferrosos. Considere o eletroímã na forma de U, mostrado na figura a seguir, projetado para levantar uma 
massa de 800 kg (o que inclui a massa do protetor). O núcleo em U de ferro (µr = 3.000) tem uma seção 
reta de 40 cm2 e um comprimento médio de 50 cm e cada entreferro de ar tem 0,1 mm de comprimento. 
Desprezando a relutância do protetor, calcule a corrente de excitação da bobina, quando esta for 
constituída por 200 espiras. 
 
 
Figura 40 
 
Dados / Informações técnicas 
Força magneto motriz 
Fmm = H . l = N . I = ϕ. Rt 
Relutância: R = l / (µ . S) 
Energia magnética 
∫= dvHBWm .2
1
 
[SADIKU]. (Adaptado). 
 
Resposta: 
I = 1,14 A. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 49 / 65 
 
65) No circuito magnético mostrado na figura a seguir, determine a corrente contínua na bobina que irá 
gerar uma densidade de fluxo magnético de 1,5 Wb/m2 no entreferro de ar, supondo que µ = 50µ0, e que 
todos os trechos do núcleo tenham a mesma área de seção reta de 10 cm2. O enrolamento é constituído 
por 20 espiras. 
 
 
Figura 41 
 
[SADIKU. 
 
Dados / Informações técnicas 
Força magneto motriz: Fmm = H . l = N . I = ϕ. Rt 
Relutância: 
S
l
µ
=ℜ 
Onde: 
R: relutância, em Ae/Wb 
l: comprimento do circuito magnético, metros; 
µ: permeabilidade do material, em H/m; 
S: área da seção reta, em m2. 
[SADIKU]. 
 
Resposta: 
I = 44,16 A. 
 
66) No circuito magnético mostrado na figura a seguir, determine a corrente contínua na bobina que irá 
gerar uma densidade de fluxo magnético de 1,5 Wb/m2 no entreferro de ar, supondo que o material 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 50 / 65 
 
magnético é aço silício e que todos os trechos do núcleo tenham a mesma área de seção reta de 10 cm2. O 
enrolamento é constituído por 20 espiras. 
 
 
Figura 42 
[SADIKU]. (Adaptado). 
 
Resposta: 
 
 
III. Força sobre cargas e condutores devido à campos eletromagnéticos. 
 
 
67) Ao injetar um feixe eletrônico perpendicular à periferia de um campo uniforme B0âZ, os elétrons são 
dispersados de acordo com suas velocidades, conforme mostrado na figura a seguir. 
 
Figura 43 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 51 / 65 
 
 
a) Mostre que os elétrons vão ser ejetados do campo em trajetórias paralelas às do feixe que penetra nessa 
região, conforme indicado na figura; 
b) Determine a distância de saída d, para as velocidades de 2 m/s e 200 m/s. 
 
Dados / Informações técnicas 
Equação da força de Lorentz: 
dt
vd
mBvEQF =×+= )( 
Força centrípeta: 
râ
r
mv
F
2
= 
Período de revolução: 
v
r
T
π2
= 
Massa do elétron: 9,1 × 10−31 kg 
Carga do elétron: 1,6 × 10−19 C 
[SADIKU]. (Adaptado). 
 
Resposta: 
a) 
b) 
 
 
68) Para reproduzir uma experiência clássica de medição da densidade de fluxo magnético B (indução 
magnética), foi montado o arranjo ilustrado na figura abaixo. Uma bobina composta de 4 espiras está 
presa no prato direito da balança e tem sua parte inferior submetida a um campo magnético, cuja 
densidade de fluxo magnético é perpendicular ao plano das espiras. Inicialmente, uma corrente de 170 
mA percorre a bobina no sentido anti-horário, e a balança é equilibrada por uma massa colocada no prato 
direito. Em seguida, é invertido o sentido da corrente, e o equilíbrio da balança é restaurado por uma 
massa de 16,4 gramas, colocada no prato esquerdo. Determine o valor do módulo da densidade de fluxo 
magnético B, expresso em gauss. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 52 / 65 
 
 
Figura 44 
 
Dados / Informações técnicas 
BLiF ⊗= 
BvqF ⊗= 
g = 9,8 m/s2 (aceleração da gravidade) 
1 Wb/m2 = 104 gauss 
onde: 
⊗ : é o símbolo de produto vetorial; 
F : é o vetor força, em N; 
L : é o comprimento de condutor, em m; 
B : é o vetor densidade de fluxo magnético, em Wb/m2; 
q: é a carga em C; 
v : é o vetor velocidade do condutor, em m/s. 
 
Resposta: 
 
 
69) Num alto-falante, para a reprodução fiel da voz, é necessário que a força exercida sobre o diafragma 
seja diretamente proporcional à corrente elétrica I da bobina, conforme representado na figura. Como se 
pode observar, o magneto cilíndrico apresenta um campo radial apontado para seu eixo. No entreferro é 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 53 / 65 
 
inserida a parte cilíndrica, onde encontra enrolada a bobina que, quando alimentada com uma corrente I, 
provoca o movimento do diafragma pela ação de uma força F. 
Determine o vetor força F, por unidade de corrente, que atua no diafragma. 
 
 
Figura 45 
 
 
Dados / Informações técnicas 
D = 2 cm 
B = 0,85 Wb/m2 
N = 30 espiras 
 
BdLIdF ×= 
 
(Provão 2002) 
 
Resposta: 
 
 
70) A análise das curvas mostradas na figura a seguir permite concluir que 
(A) o aço-silício é o material que apresenta variação desprezível em H para valores de densidade de fluxo 
magnético no intervalo de 1,40T a 1,60T. 
(B) o ferro fundido é o material que apresenta maior crescimento percentual para intensidade de campo 
magnético na faixa de 1000 Ae/m a 3000 Ae/m. 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 54 / 65 
 
(C) o aço-silício apresenta densidade de fluxo magnético menor que a liga ferro-níquel para intensidade 
de campo de 4500 Ae/m. 
(D) todos os materiais apresentam valores idênticos de B para intensidade de campo magnético igual a 
2600 Ae/m. 
(E) a liga ferro-níquel apresenta saturação em B para valores de H abaixo de 1000 Ae. 
 
 
Figura 46 
(ENADE 2005) 
 
Resposta: 
 
 
71) Um condutor simples de 1 cm de comprimento movimenta-se a uma velocidade constante v de 25 
m/s em um campo magnético uniforme de 2,5 Wb/m2 (Tesla) que intercepta perpendicularmente o 
condutor, como mostrado na figura. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 55 / 65 
 
 
Figura 47 
Condutor movendo-se em um campo magnético (vista frontal) 
 
Determine: 
a) A f.e.m instantânea induzida no condutor quando θ = π/2 rad; 
b) A f.e.m instantânea induzida no condutor quando θ = π/6 rad; 
c) A força sobre o condutor, considerando-se θ = π/2 rad e que circula pelo condutor uma corrente 
induzida de 10 A. 
 
Dados / Informações técnicas 
f.e.m = BLv sen(B, v) sen(B, L) 
onde: 
f.e.m: é a tensão induzida, em volts; 
B: é a densidade de fluxo, em Wb/m2 (Tesla); 
L: é o comprimento da porção ativa do condutor que concatena o fluxo, em metros; 
v: é a velocidade relativa entre o condutor e o campo, em m/s; 
sen(x, y): é o seno do ângulo formado pelos vetores x e y; 
 
F = BIL sen(B, L) 
Onde: 
F: é a força eletromagnética; 
B: é a densidade de fluxo, em Wb/m2 (Tesla); 
I: é o valor da corrente, em Amperes; 
L: é o comprimento do condutor ativo, em metros. 
 
(Exame Nacional de Cursos – 1998) 
 
Resposta: 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 56 / 65 
 
a) 
b) 
c) 
 
 
72) Calcule a força sobre uma partícula de massa igual a 1,7 × 10-27 kg e carga igual a 1,6 x 10-19 C, 
deslocando-se no vácuo com velocidade inicial de 83,5 × 10-3 ây m/s, caso seja submetida a uma 
densidade de campo magnético 5 × 10-3 âz T. 
 
Resposta: 
 
 
73) Para o exercício acima determine o raio da trajetória circular e o período de revolução da partícula 
considerada. 
Considere: 
r = m × v / (|q| × B) metros; 
T = 2 × π × r / v segundos. 
 
Resposta. 
 
 
74) Determine a força exercida sobre um condutor retilíneo com 0,3 m de comprimento localizadono 
eixo “z”, no ar, percorrido por uma corrente de 5 A na direção – âz, devido ao campo magnético igual a 
3,5 × 10-3 (âx – ây) T. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 57 / 65 
 
 
Figura 48 
 
Resposta: 
 
 
75) Determine o trabalho e a potência necessários para mover um condutor retilíneo com 10 cm de 
comprimento, paralelo ao eixo “z”, percorrido por uma corrente de 5 A no sentido âz, para fazer uma 
volta completa com 3 centímetros de raio, ao redor do eixo “z”, no sentido anti – horário em 20 ms, caso 
B seja igual a 2,5 × 10−3 âr T. 
 
Resposta: 
 
 
Figura 49 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 58 / 65 
 
 
Resposta: 
 
 
76) Uma espira de fio condutor semi – circular com 10 cm de raio, localizada no ar, é percorrida por uma 
corrente de 1,2 A. A região na qual a espira está localizada é submetida a um campo magnético de 400 A 
/ m perpendicular ao plano da espira. Determine a força exercida na espira e seu efeito. 
 
 
Figura 50 
 
Resposta: 
 
 
77) Um fio condutor retilíneo percorrido por uma corrente está localizado no ar sobre o eixo “z”. A 
densidade de fluxo magnético na região ao redor do fio é dada por B = 10-4 x (yâx – xây) / (x2 + y2) T. 
Determine a força exercida sobre uma espira localizada no plano “yz” e limitada pelos pontos (0;0,01;0), 
(0;0,21;0), (0;0,01;0,2) e (0;0,21;0,2). 
 
 
Figura 51 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 59 / 65 
 
 
Resposta: 
 
 
78) Condutores conduzindo corrente dão origem a campos magnéticos. Considere a seguinte aplicação: 
um espira quadrada com 100 cm2 de área é percorrida por uma corrente de 5 mA (I2) e tem um de seus 
lados paralelo e distante de 10 cm (d3) de um condutor retilíneo percorrido por uma corrente de 10 A (I1). 
Determine a força total sobre a espira e em que direção esta força é exercida. Considere o comprimento 
do condutor retilíneo muito maior do que lado da espira. 
 
 
 
Resposta: 
 
 
IV. Campos Variantes no Tempo 
 
79) Deduza a equação do transformador considerando: 
a) Transformador sem perdas; 
b) Transformador com perdas. 
 
 
80) Uma bobina circular com duas espiras e raio circular de 10 cm está localizada no ar, em uma região 
na qual existe um campo magnético uniforme e normal ao plano das espiras, com intensidade de 
1591549,4 A/m. O campo é levado a zero em 1 (um) segundo). Determine: 
a) a densidade de fluxo magnético inicial; 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 60 / 65 
 
b) a densidade de fluxo magnético final; 
c) a taxa de variação da densidade de fluxo magnético ao longo do tempo; 
d) a tensão induzida nos terminais da bobina, devido à variação desse fluxo. 
 
Resposta: 
a) 2 T; 
b) 0 T; 
c) – 2 T /s 
d) 124 mV. 
 
81) Uma bobina retangular com 50 espiras, acoplamento cerrado, dimensões 10 cm × 20 cm está 
mergulhada em uma região na qual a densidade de fluxo magnético inicial é 5 mT, perpendicular ao plano 
das espiras. O fluxo magnético é então reduzido a 1/5 de seu valor inicial em 200 ms. Determine: 
a) O fluxo inicial em mWb; 
b) O fluxo final em mWb; 
c) A variação de fluxo, em mWb; 
d) A f.e.m. induzida em mV; 
e) A corrente média durante o período de indução considerado, supondo uma resistência total do 
enrolamento de 5 Ω. 
 
 
Figura 52 
 
Resposta: 
a) 0,1 mWb; 
b) 0,02 mWb; 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 61 / 65 
 
c) – 0,08 mWb; 
d) 20 mV; 
e) 4 mA. 
 
 
82) Uma espira retangular com dimensões 15 cm × 30 cm está localizada no ar e mergulhada em um 
campo magnético normal ao plano da espira e com densidade B0cos(ωt), onde B0 = 0,5 T e f = 60 Hz. 
Determine a f.e.m. total induzida na espira. 
 
 
Figura 53 
 
Resposta: 
 
 
83) Uma bobina retangular com 100 cm2 de área e 100 espiras é colocada em um fluxo magnético 
constante igual 20 mT, no ar. A bobina é montada de tal modo que possa girar dentro desse campo 
magnético, de modo que ao girar as laterais da espira cortem o fluxo perpendicularmente. A bobina é 
levada a girar a 2.000 rpm. Trace um gráfico da corrente sobre uma resistência de 1 kΩ ligada nos 
terminais da bobina versus tempo. Considere dois ciclos completos. 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 62 / 65 
 
 
Figura 54 
Resposta: 
 
 
84) Uma bobina retangular com 200 cm2 de área e 200 espiras é colocada em um fluxo magnético 
constante igual 10 mT, no ar. A bobina é montada de tal modo que possa girar dentro desse campo 
magnético, de modo que ao girar as laterais da espira cortem o fluxo perpendicularmente. A bobina é 
levada a girar a 3.600 rpm. Trace um gráfico da corrente sobre uma resistência de 2,2 kΩ ligada nos 
terminais da bobina versus tempo. Considere três ciclos completos. 
Resposta: 
 
 
85) Uma espira retangular com três lados fixos e o quarto deslocável está situada no plano XY e 
perpendicular a um campo magnético com densidade constante B = B0.âz. O lado deslizante da espira é 
uma barra condutora que se desloca à velocidade v0, na direção do eixo y. Determine a f.e.m. induzida na 
espira. 
 
 
Figura 55 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 63 / 65 
 
Resposta: 
 
 
86) Uma espira retangular com três lados fixos e o quarto deslocável está situada no plano XY e 
perpendicular a um campo magnético com densidade B = B0.cos(ωt).âz. O lado deslizante da espira é uma 
barra condutora que se desloca à velocidade v0, na direção do eixo y. Determine a f.e.m. induzida na 
espira. Considere a frequência de operação igual a 60 Hz. 
 
 
Figura 56 
 
Resposta: 
 
 
87) Durante uma reunião na praia com você e três amigos surge a seguinte discussão: Você afirma 
peremptoriamente que é possível uma carga permanecer imperturbada em seu deslocamento mesmo que 
na região existam campos eletromagnéticos elevados. Seu amigo José por sua vez afirma que mesmo que 
não exista campo elétrico na região uma carga em movimento sempre terá seu movimento alterado em 
presença de campos magnéticos na região. Pedro afirma que cargas em movimento não são perturbadas 
por campos magnéticos, desde que estejam em velocidade próxima da velocidade da luz, já que neste 
caso a massa tende ao infinito e os efeitos de mudança da trajetória são desprezíveis. Andréia afirma que 
todos estão errados, já que a velocidade depende do observador e se as fontes dos campos magnético e 
elétrico acompanharem a carga não haverá efeito perceptível. Quem tem razão? Justifique. 
 
Resposta: 
 
Referências bibliográficas 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 64 / 65 
 
BISCUOLA, G. J., Villas, B., DOCA, R. H. Tópicos de Física. 8.ed. São Paulo: Saraiva, 1992. 
EDMINISTER, J.A. Eletromagnetismo – Coleção Schaum. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
HAYT Jr, William H., BUCK, J. A. Eletromagnetismo. São Paulo: McGraw-Hill, 2008. 
NASSAR, S. A. 2.000 Solved Problems in Electromagnetics – Schaum’s solved problems series. New 
York: McGraw-Hill, 2000. 
PAUL, Clayton R. Eletromagnetismo para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC. 2006. (Adaptado) 
REA’s Problem Solvers – Eletromagnetics. Research & Education Association. 1995. 
SADIKU, Matthew, N.O. Elementos de Eletromagnetismo. 3.ed. Porto Alegre: Bookman. 2004. 
ULABY, F. T. Eletromagnetismo para Engenheiros. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
WENTWORTH, Stuart M. Eletromagnetismo Aplicado. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
 
 
Anexo 1: Curvas B x H de materiais magnéticos. 
 
 
 
Eletromagnetismo 
 
Manoel Gibson Maria Diniz Navas 65 / 65