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Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
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Olá pessoal, faremos hoje mais alguns exercícios da matéria dada 
até agora. 
 
Vamos então treinar mais o conteúdo e tirar as dúvidas pelo meu 
email, ok? 
 
 
 
Forte abraço, 
 
Prof Alexandre Azevedo 
 
alexandre@estrategiaconcursos.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mailto:alexandre@estrategiaconcursos.com.br
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1)(AFTN-96) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 
na compra de um equipamento, e paga mais 4 prestações 
mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A 
instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% aa, 
capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas 
informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima 
do valor à vista do equipamento adquirido é: 
 
a) $ 70,00 
b) $ 76,83 
c) $ 86,42 
d) $ 88,00 
e) $ 95,23 
Resolução: 
Antes de fazermos o desenho dessa questão, que por sinal é bem 
simples, percebemos, já na leitura do enunciado, a presença de uma taxa 
nominal. Já estamos carecas de saber que ela terá que ser convertida 
em taxa efetiva, por meio do conceito de taxas proporcionais. 
Fazendo isso, teremos: 
 
120% ao ano, c/ capit. mensal = (120/12) = 10% ao mês = taxa 
efetiva! 
Pronto. Agora, passemos ao desenho da questão. Teremos: 
O que vemos? Uma compra a prazo, sujeita a uma taxa composta! É 
amortização? Sem dúvidas! Só que o valor de uma entrada não nos 
interessa! 
 
Basta nos lembrarmos do “desenho-modelo” da Amortização! Não é 
mesmo? 
 
Daí, para fazermos essa entrada desaparecer, só precisamos fazer uma 
subtração. Teremos, pois, que: 
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Pronto! Morreu a questão! Agora, uma vez que o desenho da questão já 
está de acordo com o “desenho-modelo” da Amortização, só nos resta 
aplicarmos a velha e boa fórmula. Teremos: 
 
T=P.An¬i 
(X-23,60)=14,64 . A4¬10% 
Consultando a Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que: 
 
Daí, teremos que: 
 
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T=P.An¬i 
 
(X-23,60)=14,64 x 3,169865 
 
Daí: X-23,60 = 46,40 
X=70,00 
Gabarito: A 
2)(AFTN-96) Um empréstimo de $ 20.900,00 foi realizado com 
uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, 
e deverá ser liquidado através do pagamento de duas prestações 
trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final 
do primeiro trimestre). O valor que mais se aproxima do valor 
unitário de cada prestação é: 
a) $ 10.350,00 
b) $ 10.800,00 
c) $ 11.881,00 
d) $ 12.433,33 
e) $ 12.600,00 
Resolução: 
Neste enunciado também surgiu uma taxa nominal. Transformando-a em 
taxa efetiva, por uso do conceito de taxas proporcionais, teremos que: 
 
- 36% ao ano, c/ capit. trimestral = (36/4)= 9% ao trimestre (taxa 
efetiva!) 
 
O enunciado nos fala de um empréstimo. Quando é que pegamos o valor 
de um empréstimo? Hoje, obviamente. Pegamos hoje para devolver no 
futuro! Daí, o desenho de nossa questão será o seguinte: 
 
Observemos que a taxa composta é trimestral e o intervalo entre as 
parcelas também é o trimestre! Tudo compatível. 
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O que nos resta? Aplicarmos, diretamente, a fórmula da Amortização. 
Teremos: 
T=P.An¬i 
20.900=P x A2¬9% 
Consultando a Tabela Financeira da Amortização, encontraremos que: 
 
Daí, teremos que: 
 
20.900=Px 1,759111 
P=20.900 / 1,759111 
Daí: P=11.881,00 
Gabarito: C 
3) (TÉCNICO DE SUPRIMENTOS DE BENS E SERVIÇOS PETROBRAS 
CESGRANRIO 2010) Genivaldo contraiu um empréstimo de R$ 
100.000,00 (cem mil reais), junto a uma instituição financeira, 
para adquirir maquinário e insumos agrícolas. Estabeleceu-se que 
a dívida deveria ser quitada em vinte parcelas, a taxa de juros 
efetiva de 30 % ao ano. Foi acordado, ainda, que o principal da 
dívida seria restituído em parcelas iguais, e os juros, calculados 
sobre o saldo devedor imediatamente anterior, sendo que a 
prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de 
amortização do principal, acrescida dos juros correspondentes. 
Nesse sentido, o sistema de amortização utilizado na transação 
descrita foi: 
 
(A) Amortização Constante. 
(B) Amortização Francês (Tabela Price). 
(C) Amortização Americano. 
(D) Amortização Misto. 
(E) Amortizações Variáveis. 
 
Resolução: 
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Quando operações de empréstimo são realizadas a determinada taxa de 
juros, há várias formas de devolver o principal (valor de empréstimo) 
mais os juros devidos à taxa estipulada. Essas várias formas de devolução 
do empréstimo são chamadas de sistemas de amortização. 
 
Na ocorrência do empréstimo, o devedor fica obrigado a pagar um 
determinado número de prestações. Cada prestação é composta por cotas 
de amortização e de juros. A cota de amortização é destinada ao 
pagamento do principal e a cota de juros é destinada ao pagamento dos 
juros. Temos aqui três elementos: prestação (P), cota de amortização (A) 
e cota de juros (J), sendo que P = A + J. 
 
Os três principais sistemas de amortização são: Sistema de Amortização 
Francês, Sistema de Amortização Constate e Sistema de Amortização 
Americano. No Sistema Francês a prestação é constante. No Sistema de 
Amortização Constante, como o próprio nome indica, a cota de 
amortização é constante. No Sistema de Amortização Americano, a cota 
de juros é constante. 
 
A questão deseja que identifiquemos o sistema de amortização por trás 
da situação descrita no enunciado. Para tanto, temos de identificar qual 
dos três elementos (prestação, cota de amortização e cota de juros) é 
constante. 
Em uma leitura rápida, o trecho “o principal da dívida seria restituído em 
parcelas iguais” pode nos levar a concluir que a prestação é constante, 
tratando-se, portanto, do Sistema Francês. Mas acontece que as parcelas 
que restituem o principal são as cotas de amortização, indicando assim o 
Sistema de Amortização Constante. 
Para confirmar que as referidas parcelas são as cotas de amortização, 
mais a frente, a questão passa então a se referir à prestação, dizendo 
“que a prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de 
amortização do principal, acrescida dos juros correspondentes”. Assim, as 
parcelas anteriormente citadas correspondem às cotas de amortização. 
Gabarito: A 
4) (ECONOMISTA PETROBRAS DISTRIBUIDORA 2008) Se a taxa 
de desconto for de 1% a. m., um fluxo de pagamentos mensais 
sucessivos e constantes de R$ 10,00, durante 1.000 meses, tem 
valor presente líquido: 
a) aproximadamente igual a R$ 1.000,00. 
b) aproximadamente igual a R$ 10.000,00. 
c) exatamente igual a R$1.000,00. 
d) exatamente igual a R$ 10.000,00. 
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e) maior que R$ 1.000,00. 
 
Resolução: 
A questão deseja saber o valor presente líquidodo fluxo de caixa a 
seguir: 
Em um fluxo de caixa, as entradas são representadas por valores 
positivos, e as saídas, por valores negativos. O fluxo de caixa 
fornecido pela questão possui apenas entradas, razão porque nossa 
representação possui apenas valores positivos. 
O valor presente líquido é definido como a diferença entre a soma 
das entradas na data zero e soma das saídas na data zero. Veja: 
Elementos da fórmula: 
-VPL: valor presente líquido; 
-Eo: soma das entradas na data zero; 
-So: somas das saídas na data zero. 
 
Para calcular o VPL, temos de executar três passos: 
 
1º Passo: calcular o valor presente (valor na data zero) de todas 
as entradas e depois somar esses valores, resultando em Eo . 
 
Para calcular o valor presente de algum valor monetário, basta dividi-lo 
pelo fator de acumulação de capitais, que é dado por (1+i)n, onde i 
corresponde à taxa e n à data na qual a valor monetário se encontra. 
1ª Entrada: 
Seja VP1 o valor presente da primeira entrada. Como ela figura na 
data 1, n = 1. Segundo o enunciado, a taxa é de um 1% a. m. Segue o 
cálculo do VP1. 
VP1 = 
 
 
 
 
 
 
2ª Entrada: 
Seja VP2 o valor presente da segunda entrada. Como ela figura na 
data 2, n = 2. Segundo o enunciado, a taxa é de um 1% a. m. Segue o 
cálculo do VP2. 
VP2 = 
 
 
 
 
 
 
3ª Entrada: 
 
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Seja VP3 o valor presente da terceira entrada. Como ela figura na 
data 3, n = 3. Segundo o enunciado, a taxa é de um 1% a. m. Segue o 
cálculo do VP3. 
VP3 = 
 
 
 
 
 
 
Com base nos cálculos acima, podemos concluir que: 
VP4 = 
 
 
 VP5= 
 
 
 VP6 =
 
 
 ... VP1000 = 
 
 
 
Portanto, a soma das entradas na data zero (E0) é: 
Eo = VP1 + VP2 + ... + VP1000 
Eo = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Passo: calcular o valor presente (valor na data zero) de todas 
as saídas e depois somar esses valores, resultando em So. 
O fluxo de caixa fornecido pela questão não possui saídas. Então a somas 
das saídas na data zero (S0) é nula. Assim: 
So = 0 
3º Passo: calcular a diferença entre Eo e So, ou seja, o valor 
presente líquido . 
 
Já vimos que o VPL é definido como: 
 
Como S0 é nulo, o VPL coincide com o valor de E0. Veja: 
 
Substituindo o valor de E0, temos: 
 
As parcelas da soma acima formam uma PG com a1 =
 
 
 e q =
 
 
 . Para 
calcular o VPL, temos de calcular a soma dos mil primeiros da referida PG. 
Como são muitos termos, aproximaremos essa soma (de mil termos) por 
uma soma infinita. 
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Trata-se, agora, de uma PG infinita, com a1 = 
 
 
 e q = 
 
 
. A fórmula 
da soma dos infinitos termos de uma PG é dada por: 
 
Substituindo os elementos na fórmula, obtemos: 
 
Se não tivéssemos aproximado para uma PG infinita, teríamos encontrado 
um valor ligeiramente inferior a 1.000. 
Gabarito: A 
5) (INSPETOR/ANALISTA CVM ESAF 2010) Pretende-se trocar 
uma série de oito pagamentos mensais iguais de R$ 1.000,00, 
vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês, por outra série 
equivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro 
pagamento também ao fim de um mês. Calcule o valor mais 
próximo do pagamento da segunda série considerando a taxa de 
juros compostos de 2% ao mês. 
 
a) R$ 750,00 
b) R$ 693,00 
c) R$ 647,00 
d) R$ 783,00 
e) R$ 716,00 
 
Resolução: 
 
Trata-se de uma questão de Rendas Certas ou Anuidades. Estas 
situações são caracterizadas por apresentarem séries de pagamentos com 
taxa de juros compostos, parcelas de mesmo valor (renda 
constante) e mesmo intervalo de tempo entre as parcelas (renda 
periódica). As séries de pagamentos são classificadas em antecipadas 
(parcelas vencendo no início de cada período) e postecipadas 
(parcelas vencendo no final de cada período). Na maioria das vezes, 
o objetivo é calcular o valor atual ou valor futuro da série de pagamentos. 
 
 O valor atual (T) de uma renda com as características acima é dado 
por: T = P.an,i , onde P é valor da parcela, an,i é o fator de valor presente, 
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n é o número de parcelas e i é a taxa. O valor futuro (F) é dado por: F 
= P.sn,i , onde é valor da parcela, é o fator de valor presente, n é o 
número de parcelas e i é a taxa. 
No caso desta questão, temos duas rendas equivalentes. Duas rendas 
são consideradas equivalentes quando assumem o mesmo valor 
monetário em uma mesma data. A primeira série de pagamentos 
possui: 8 parcelas de R$ 1.000,00, à taxa de juros compostos de 2% ao 
mês. A segunda série de pagamentos possui: 12 parcelas, à mesma taxa 
de juros compostos de 2% ao mês. 
O objetivo da questão é calcular o valor da parcela da segunda renda. 
Porém, não é possível fazer este cálculo diretamente, pois dispomos 
apenas da taxa e do número de parcelas. As duas fórmulas (do valor 
atual e do valor futuro) possuem quatro elementos. Para encontrar um 
dos quatro, é necessário possuir os outros três. Precisamos, portanto, de 
mais um elemento. 
Como as rendas são equivalentes, elas possuem o mesmo valor 
presente. Da primeira série de pagamentos, conhecemos o número de 
parcelas (8), o valor de cada uma delas (R$ 1.000,00), bem como a taxa. 
Com estes três elementos, podemos calcular o quarto: o valor presente 
(T). Segue o cálculo. 
T =P. an,i = 1000.a8,2% 
A prova forneceu a tabela do fator de valor atual. O valor de a8,2% 
corresponde ao número que figura no cruzamento da linha do n = 8 com 
a coluna do i = 2%. Veja: 
 
Substituindo: 
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Como as rendas são equivalentes, o valor atual da primeira série 
corresponde ao valor atual da segunda. Agora podemos calcular o 
valor da parcela da segunda série, pois dispomos de três elementos: valor 
atual (R$ 7.325,48), o número de parcelas (12), bem como a taxa de 
juros (2% ao mês). Segue o cálculo. 
Como mencionamos, a prova forneceu a tabela do fator de valor 
presente. O valor de a12,2% corresponde ao número que figura no 
cruzamento da linha do n = 12 com a coluna do i = 2%. Veja: 
 
Como a questão solicitou o valor aproximado, substituiremos a12,2% por 
10,575. Substituindo: 
7325,48 = P. 10,575 
P = 
 
 
 = 692,72 
Gabarito: B 
6) (AGENTE FISCAL DE RENDAS SEFAZ SP FCC 2009) Considere 
que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um 
capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com 
capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento 
do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual 
a 
a) 12 meses. 
b) 15 meses. 
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c) 18 meses. 
d) 21 meses. 
e) 24 meses. 
 
Resolução: 
Trata-se de uma questão de capitalização contínua. Comecemos, 
relembrando as fórmulas dos juros simples e dos juros compostos, bem 
como alguns conceitos relativos a esses assuntos. 
 
Na capitalização simples, a taxa sempre incide sobre o principal (capital 
ou valor presente). Assim, em todos os períodos de aplicação, os juros 
gerados são sempre os mesmos. Nessas condições, para resolveras 
questões de juros simples, temos as seguintes fórmulas: 
M = C.( 1 + i.n) 
M = C + J 
Na capitalização composta, a taxa incide sobre o resultado do período 
anterior, ou seja, a taxa incide sobre o principal acrescido dos juros. Em 
outras palavras, tanto o capital como os juros são capitalizados. Daí a 
famosa expressão “juros sobre juros”. Nessas condições, para resolver as 
questões de juros compostos, temos as seguintes fórmulas: 
M = C.( 1+i )n 
M = C + J 
Tanto no regime simples como no regime composto as capitalizações 
ocorrem ao final de cada período. Se a taxa é mensal, a capitalização 
ocorre ao final de cada mês. Se a taxa é bimestral, a capitalização ocorre 
ao final de cada bimestre. E assim por diante. Assim, dizemos que os 
regimes simples e composto são discretos. No regime contínuo, a 
capitalização ocorre a todo instante e não apenas ao final de cada 
período. Por isso, se chama contínuo. 
 
Na capitalização contínua, a taxa também incide sobre o resultado do 
período anterior, ou seja, a taxa incide sobre o principal acrescido dos 
juros, como no regime composto. A diferença é que este último é discreto 
(incide apenas ao final de cada período) e aquele outro é contínuo (incide 
a todo instante). 
Nessas condições, para resolver as questões de juros contínuos, temos 
seguintes as fórmulas 
M = C.eit 
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M = C + J 
Onde: 
 
Com essas informações, podemos resolver a questão. Os dados do 
enunciado são: 
 
 
Observação: logaritmo neperiano (ln) nada mais é do que logaritmo na 
base e (loge). 
A questão solicitou o período de aplicação. Para calculá-lo, vamos 
substituir os dados na primeira fórmula dos juros contínuos. 
M = C.eit 
45000 = 25000.e0,04t 
Como nós queremos calcular n, isolaremos a potência e0,04t, que contém 
n. 
Logo: 
e0,04t = 45000/25000 = 1,8 
A última igualdade é uma equação cuja incógnita figura no expoente, ou 
seja, é uma equação exponencial. Existem várias técnicas para resolver 
uma equação exponencial. A mais comum consiste em reduzir as 
potências à mesma base. Mas, para esse caso, não será possível, pois, de 
um lado da igualdade, temos 1,8 e, do outro, . Nenhum desses números 
pode ser escrito como potência do outro. 
Nesse caso, a técnica mais recomendada é utilizar logaritmo. O enunciado 
forneceu um logaritmo (neperiano). Assim, vamos “passar” o logaritmo 
(neperiano) dos dois lados da igualdade. 
e0,04t = 1,8 
ln e0,04t = ln 1,8 
O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo 
logaritmo da base da potência (logb a
n = n . logba ), de forma mais 
simplificada, dizemos que o expoente passa multiplicando. Além disso, 
segundo o enunciado, ln 1,8 = 0,6 . 
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ln e0,04t = ln 1,8 
0,04 t x ln e = ln 1,8 
Quando o logaritmando e base são iguais, o logaritmo vale 1 (ln e = logee 
= 1 ). 
0,04 t x 1 = 0,6 
0,04 t = 0,6 
t = 0,6/0,04 = 15 meses 
Gabarito: B 
7) (APOFP SP SEFAZ FCC 2010) Os juros auferidos pela aplicação 
de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma 
taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da 
aplicação de um outro capital no valor de R$ 10.400,00, a juros 
simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital 
ficou aplicado foi igual a 
(A) 15 meses. 
(B) 16 meses. 
(C) 18 meses. 
(D) 20 meses. 
(E) 22 meses. 
Resolução: 
A questão fala de duas aplicações distintas, uma a JUROS COMPOSTOS e 
outra a JUROS SIMPLES, sendo que na aplicação a JUROS COMPOSTOS o 
capital é no valor R$ 12.500,00, à uma taxa de 8% ao ano, durante um 
tempo dois anos e a aplicação a JUROS SIMPLES o capital é no valor R$ 
10.400,00, à uma taxa de 15% ao ano, sendo que o tempo da 
aplicação a JUROS SIMPLES é desconhecido e é justamente a 
pergunta da questão, para a condição que os juros gerados pelas 
duas aplicações sejam iguais. Dessa forma vamos organizar os dados 
e partir para os cálculos. Vamos lá! 
1º APLICAÇÃO: JUROS COMPOSTOS 
Como será necessário calcular o valor dos juros compostos , iremos 
determinarem primeiro lugar o valor do montante composto para aí sim 
calcular o valor dos juros compostos. 
 
Observando os elementos utilizados nas fórmulas e os dados da questão, 
vemos que: 
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Capital inicial = C = 12500 
Tempo = n = 2 anos 
Taxa = i = 8 % = 0,08 
Assim iremos inicialmente calcular o valor do MONTANTE COMPOSTO 
que iremos representar por Mc. Logo: 
Mc = C.( 1 + i)
n = 12500 .( 1 + 0,08)2 = 12500 . (1,08)2 
Calculando o fator de capitalização (1,08)2 encontramos: 
(1,08)2 = 1,08 x 1,08 = 1,1664 
Continuando o cálculo do Montante Composto, temos: 
Mc = 12500.1,1664 = 12500 . 
 
 
 = 125. 
 
 
 = 14580 
Agora que sabemos o valor do Montante Composto (Mc = 14580 ), 
podemos calcular o valor dos Juros Compostos obtidos na aplicação desse 
capital. Para isso vamos utilizar a definição de Montante, que independe 
do Regime de Capitalização. Logo: 
M = C + J 
Mc = C + Jc 
14580 = 12500 + Jc 
Jc = 14580 – 12500 = 2080 
2º APLICAÇÃO: JUROS SIMPLES 
Nesta parte, vamos utilizar os seguintes dados: 
C = 10400 
n = ? 
Taxa = i = 15 % = 0,15 
Como a questão afirma que o valor dos juros compostos = valor dos juros 
simples, temos: 
Js = C.i.n = 10400.0,15.n 
Js = 1560.n 
Igualando os juros compostos aos juros simples, temos: 
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2080 = 1560. n 
n = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
Gabarito: B 
8) (AFTN-85) Uma máquina tem preço de $ 2.000.000, podendo 
ser financiada com 10% de entrada e o restante em prestações 
trimestrais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a financiadora 
cobra juros compostos de 28% a.a., capitalizados 
trimestralmente, e que o comprador está pagando $ 205.821 por 
trimestre, a última prestação vencerá em: 
 
a) 3 anos e 2 meses 
b) 3 anos e 6 meses 
c) 3 anos e 9 meses 
d) 4 anos 
e) 4 anos e 3 meses 
Resolução: 
Mais uma vez foi fornecida pela questão uma taxa nominal. 
Transformando-a em taxa efetiva, encontraremos que: 
 
28% ao ano, c/ capit. trimestral = (28/4) = 7% ao trimestre = taxa 
efetiva! 
 
Faremos agora o desenho da questão, observando a existência de uma 
entrada de 10%. Logo, nosso desenho será o seguinte: 
 
 
Observemos que essa questão foi diferente de todas as demais: aqui não 
foi revelado qual o número de parcelas! Isso nós teremos que descobrir! 
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Antes de mais nada, para adequar o desenho da questão ao “desenho-
modelo” das amortizações, teremos que desaparecer com essa entrada! 
E isso é facílimo! Teremos: 
 
 
Agora, sim! Estando de acordo com o “desenho-modelo”, resta-nos 
aplicar a fórmula da Amortização. Teremos que: 
 
T=P.An¬i 
 
1.800.000=205.821 x An¬7% 
 
Daí, isolando o Fator de Amortização, teremos o seguinte: 
An¬7%=1.800.000 /205.821 Daí: An¬7%=8,745468 
Foi dito durantes várias vezes neste curso que para consultarmos 
umaTabela Financeira, trabalharemos com três elementos, dos quais dois 
são conhecidos e um terceiro é desconhecido. 
Neste nosso caso, o elemento desconhecido é o n, quesignifica número 
de parcelas, enquanto que os elementos conhecidos são a taxa (i=7%) e 
o resultado do fator (8,745468). 
 
Nossa consulta à Tabela Financeira da Amortização será feita assim: 
correremos nossa vista pela coluna da taxa 7%, procurando nesta coluna 
(no miolo da tabela) por um valor igual ou mais próximo possível de 
8,745468. 
 
Quando encontrarmos esse valor, pararemos, e correremos nossa vista 
pela linha correspondente, nos dirigindo para a esquerda, até chegarmos 
ao valor do n. 
 
Fazendo isso, teremos: 
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O que descobrimos? 
Descobrimos que n=14. Mas 14 o quê? 14 parcelas, naturalmente! 
Uma vez que sabemos que as parcelas são trimestrais, então 
concluímos que as aplicações terão duração de exatamente 14 
trimestres! 
 
As opções de resposta não vêm em termos de trimestres. Então, façamos 
o seguinte: transformemos logo tudo para meses. Teremos: 
 
14 trimestres = 14x3 = 42 meses 
 
Agora vamos passar para anos e meses: 1 ano são 12 meses; 2 anos são 
24 meses; 3 anos são 36 meses. 36 para chegar a 42 faltam 6 meses. 
 
Logo: 42 meses = 3 anos e 6 meses 
Gabarito: B 
8) (AFC TCU 2000/ESAF) Um financiamento no valor de R$ 
19.908,00, deve ser amortizado em 12 prestações mensais iguais, 
vencendo a primeira ao fim de 30 dias, e assim sucessivamente, a 
uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor do saldo devedor do 
financiamento imediatamente após o pagamento da sexta 
prestação. 
 
a) R$ 9.954,00 
b) R$ 10.834,38 
c) R$ 10.252,62 
d) R$ 10.000,00 
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e) R$ 12.000,00 
Resolução: 
Essa questão se resolve facilmente, desde que estejamos atentos e que 
façamos corretamente o desenho! A primeira coisa que teremos que fazer 
é descobrir o valor da prestação P. Teremos: 
 
Aplicando a formula da Amortização, teremos: 
 
T=P.An¬i 
19.908=P x A12¬3% 
P=19908 / 9,954004 
 
Daí: P=1.999,9999 que arredondaremos para P=2.000,00 
 
Agora vamos ver o que a questão está perguntando: qual o saldo devedor 
após o pagamento da sexta parcela! Ora, quando tivermos terminado de 
pagar a sexta parcela, então quantas ainda faltarão pagar? Seis, 
obviamente! Se eram doze e já pagamos seis, restam seis para serem 
pagas. Vamos desenhar, portanto, somente aquelas parcelas que ainda 
têm que ser pagas! Teremos: 
 
 
Aplicando a Amortização, teremos: 
 
T=P.An¬i 
X=2000.A6¬3% 
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X=2000x5,417191 
Daí: X=10.834,38 
Gabarito: B 
9) Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros 
compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ 100.000,00 
que venceu há um ano mais um capital de R$ 
110.000,00 que vai vencer daqui a seis meses? 
 
a) R$ 210.000,00 
b) R$ 220.000,00 
c) R$ 221.000,00 
d) R$ 230.000,00 
e) R$ 231.000,00 
Resolução: 
Fazendo o desenho da questão, teremos: 
 
Com o desenho acima já cumprimos praticamente todos os passos 
preliminares de resolução de uma questão de Equivalência de Capitais. Só 
nos resta escolhermos a data focal. Sabemos que essa escolha é livre, 
pois estamos no regime composto. 
Escolhendo a data zero (que é o dia de hoje) como sendo a data focal, 
teremos que o primeiro passo efetivo de resolução já estará feito por si 
próprio, uma vez que o único valor de primeira obrigação, que é o X, já 
está sobre a data focal, e não vai precisar ser levado para lugar nenhum. 
Passando, pois, ao segundo passo efetivo, levaremos os valores de 
segunda obrigação para a data focal. Começando pela parcela 100.000 
que está na data dois semestres antes de hoje! Teremos: 
 
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E=100000 . (1+0,10)2 
 
E=100000x1,21 
 
E=121.000,00 
Agora, trazendo a parcela 110.000 para a data focal, teremos: 
F=110.000/(1+0,10)1 
 
F=110.000/1,1 
 
F=100.000,00 
 
Pronto! Só falta agora aplicar a equação de equivalência, que consiste no 
terceiro passo efetivo de resolução. Encontraremos que: 
 
X = 121.000 + 100.000 
X=221.000 
Gabarito: C 
10) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco 
aplicar mensalmente R$1.000,00 durante seis meses, R$2.000,00 
mensalmente durante os seis meses seguintes e R$3.000,00 
mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a 
primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes 
sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros 
compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do 
montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1º de 
fevereiro. 
 
a) R$ 36.000,00 
b) R$ 38.449,00 
c) R$ 40.000,00 
d) R$ 41.132,00 
e) R$ 44.074,00 
Resolução: 
O desenho da questão será o seguinte, já dividido em níveis de blocos de 
parcelas de mesmo valor. Teremos: 
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Vemos, pelo desenho acima, que as parcelas de cada nível têm 
R$1.000,00. 
 
De modo que: 
 
1º nível: 18 parcelas de R$1.000,00; 
2º nível: 12 parcelas de R$1.000,00; 
3º nível: 6 parcelas de R$1.000,00. 
 
A taxa da questão é uma taxa composta de 2% ao mês. Trabalharemos 
cada nível, fazendo uma operação de Rendas Certas. Teremos: 
 
1º nível: T=P. S n i 
 
T’=1000. S 18 2% 
 
2º nível: T=P. S n i 
 
T’’=1000. S 12 2% 
 
3º nível: T=P. S n i 
T’’’=1000. S 6 2% 
Faremos, de uma feita, as três consultas à Tabela Financeira das Rendas 
Certas. Teremos: 
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Sabemos que o X da questão será dada pela soma T’+T’’+T’’’. Fazendo 
essa soma, vemos que o valor 1000 é um fator comum! Daí, fazemos o 
seguinte: 
 
X=1000.(6,308121+13,41209+21,412312) 
 
X=1000x41,132523 
 
Daí, chegamos a: X=41.132 
Gabarito: D 
 
11) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00 , 
60(sessenta) dias antes do vencimento, sob o regime de desconto 
racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de 
juros efetiva de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa foi de 
(desprezar os centavos no resultado final) 
 
Dados: 
 
(1,84)1/3= 1,22538514 
(1,84)1/4= 1,1646742 
(1,84)1/6= 1,10697115 
 
a) $ 429.304,00 
b) $ 440.740,00 
c) $ 446.728,00 
d) $ 449.785,00 
e) $ 451.682,00 
Resolução: 
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Esta questão é bem interessante, embora fácil. Ela nos trará um 
ensinamento! Vou logo até revelando que ensinamento é esse: toda vez 
que o enunciado da questão nos trouxer alguns dados adicionais, 
deveremos olhar com muito carinho para eles, pois certamente, com 
quase certeza absoluta, teremos que utilizar pelo menos um deles! 
 
E se vamos usar, quase sempre, apenas um desses dados adicionais, por 
que razão o enunciado fornece três? Ora, meu caro, se ele fornecesse 
apenas um, então você já saberia qual iria utilizar. Não é verdade? Aí 
ficava mais fácil ainda... 
 
Também aqui foi dito na leitura “...desconto racional composto...”! Já 
identificamos tudo! Os nossos dados serão os seguintes: 
 
N=500.000,00n= 60 dias = 2 meses 
i=84% ao ano 
A=? 
A fórmula do desconto composto racional, já sabemos, é a seguinte: 
 
N=A.(1+i)n 
 
Percebamos que taxa e tempo não estão na mesma unidade! Porém, 
antes de partirmos para as duas tentativas (para compatibilizar taxa e 
tempo) vamos analisar melhor os dados adicionais que o enunciado nos 
deu. 
 
Ora, esses dados adicionais foram os valores de três parênteses. Existe 
algum parêntese na nossa fórmula? Sim! E é justamente o parêntese 
famoso! Nos três parênteses fornecidos, existe o valor (1,84). 
 
Mas (1,84) é igual a (1+0,84). E 0,84=84%. Ora, dentro do parêntese 
famoso temos (1+i). Logo, percebemos que a questão quer que nós 
trabalhemos com essa taxa de 84%, que é uma taxa anual. 
 
Conclusão: resolveremos essa questão, adotando, para taxa e tempo, a 
unidade anual. Nossos dados agora serão: 
 
N=500.000,00 
n= 60 dias = 2 meses = (1/6) ano 
i=84% ao ano 
A=? 
 
Daí, aplicando a fórmula, teremos: 
N=A.(1+i)n 
 
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A=N/(1+i)n 
 
A=500000/(1+0,84)1/6 
 
E o valor desse parêntese foi dado adicional da questão: 
 
(1,84)1/6= 1,10697115 
 
Daí: A=500000/1,10697115 
A=451.682,00 
Gabarito: E 
12) (BACEN) Desconto composto por fora a uma taxa de 20% ao 
mês é equivalente a um desconto composto por dentro a uma taxa 
mensal de: 
 
a) 10% 
b) 15% 
c) 17% 
d) 20% 
e) 25% 
Resolução: 
Essa é fácil. Serve só para memorizarmos a fórmula que nos fornece a 
relação entre as taxas de desconto composto por dentro e por fora. 
Aprendemos que: 
 
Logo, aplicando a fórmula acima, teremos que: 
 
 
Gabarito: E 
13) A quantia de R$10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos 
do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os 
juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. 
 
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Resolução: 
O enunciado foi explícito, afirmando que o capital de R$10.000,00 foi 
aplicado a juros simples exatos. E teria que ter sido, mesmo! Porque, 
se os juros exatos são a exceção, só iremos considerá-lo quando o 
enunciado falar expressamente que trabalharemos com ele! 
 
Em outras palavras: se a questão de juros simples não falar em juros 
exatos, trabalharemos com a forma convencional – os Juros Comerciais 
ou Ordinários – considerando todos os meses com 30 dias. 
 
Mas aqui temos os Juros Exatos. Veja que foram dados os dias do início e 
do final da aplicação. Temos, portanto, que contar quantos dias durou 
essa operação. Eu costumo fazer assim: coloco os meses da aplicação, 
um abaixo do outro, seguido de quantos dias tem, efetivamente (juros 
exatos), cada um deles. Neste caso, começamos a aplicação em abril e 
terminamos em setembro. 
 
Daí, teremos: 
 
Abril :30 dias 
Maio :31 dias 
Junho :30 dias 
Julho :31 dias 
Agosto:31 dias 
Setembro :30 dias 
 
Agora, ao lado do número de dias de cada mês completo, colocaremos 
quantos dias destes meses foram efetivamente utilizados na operação. 
 
Vejamos que é fácil concluir que os meses do “miolo”, que não são nem o 
primeiro mês e nem o último, foram integralmente usados! Vejamos: 
 
Resta saber agora a respeito do primeiro e do último mês! Quantos dias 
foram usados na operação nestes dois meses? 
A respeito do último mês, é muito fácil. Basta perguntarmos: em qual 
dia terminou a aplicação? No dia 5 de setembro. Então, foram usados 
apenas 5 dias deste último mês. Teremos: 
 
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E em relação ao primeiro mês, faremos uma subtração: quantos dias 
tem o mês de abril? Tem 30 dias. Qual foi o dia do início da aplicação? Foi 
o dia 12. Daí faremos: Dias usados no mês de abril = 30 – 12 = 18. Daí, 
teremos: 
 
 
Agora é só somar! E chegaremos ao total de dias da nossa operação, ou 
seja, chegaremos ao tempo da aplicação de juros. Teremos: 
 
Abril :30 dias  18 dias 
Maio :31 dias  31 dias 
Junho : 30 dias 30 dias 
Julho : 31 dias  31 dias 
Agosto :31 dias  31 dias 
Setembro : 30 dias  5 dias 
 
Total = 146 dias 
 
Ou seja: n = 146 dias 
 
Retomando os dados da questão, teremos: Capital=10.000,00; taxa: 
18% ao ano; tempo: n=146 dias (acabamos de contar)! O enunciado 
pede o valor dos juros, logo, trabalharemos com capital e juros. A nossa 
equação será: 
 
A exigência, sabemos, é que taxa e tempo estejam na mesma unidade! 
Como temos o tempo em dias, vamos trabalhar também com a taxa ao 
dia! 
 
Daí, como estamos no regime simples, vamos alterar a unidade da taxa, 
utilizando o conceito de Taxas Proporcionais! 
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O raciocínio é o seguinte: taxa ao ano para taxa ao dia; ano para dia; 
maior para menor; do maior para o menor, nós dividimos; um ano tem 
quantos dias? ATENÇÃO AQUI! Estamos trabalhando com os Juros 
Exatos!! 
 
Logo, o ano terá 365 dias (nosso calendário comum!), ou 366, se for ano 
bissexto (essa circunstância teria que ser dita expressamente na 
questão!). 
 
Logo, dividiremos a taxa anual por 365. Teremos: 
 
Lançando os dados na equação, teremos: 
 
Pronto! Só isso! Então, quando nos depararmos em nossa prova com 
uma questão de Juros Simples Exatos, nos lembraremos do seguinte: 
 
Trabalharemos com o tempo em dias; 
 
Consideraremos os meses conforme o nosso calendário convencional, 
de modo que o ano terá 365 dias (ou 366, se bissexto); 
 
Trabalhando com o tempo em dias, obviamente teremos que considerar a 
taxa também diária. Ou seja, i = [ ]% ao dia. 
 
Gabarito: 720,00 
 
 
 
 
 
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Questões Resolvidas nesta aula: 
1)(AFTN-96) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 
na compra de um equipamento, e paga mais 4 prestações 
mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A 
instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% aa, 
capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas 
informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima 
do valor à vista do equipamento adquirido é: 
 
a) $ 70,00 
b) $ 76,83 
c) $ 86,42 
d) $ 88,00 
e) $ 95,23 
2)(AFTN-96) Um empréstimo de $ 20.900,00 foi realizado com 
uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, 
e deverá ser liquidado através do pagamento de duas prestações 
trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final 
do primeiro trimestre). O valor que mais se aproxima do valor 
unitário de cada prestação é: 
a) $ 10.350,00 
b) $ 10.800,00 
c) $ 11.881,00 
d) $ 12.433,33 
e) $ 12.600,00 
3) (TÉCNICO DE SUPRIMENTOS DE BENS E SERVIÇOS PETROBRAS 
CESGRANRIO 2010) Genivaldo contraiu um empréstimo de R$ 
100.000,00 (cem mil reais), junto a uma instituição financeira, 
para adquirir maquinário e insumos agrícolas. Estabeleceu-se que 
a dívida deveria ser quitada em vinte parcelas, a taxa de juros 
efetiva de 30 % ao ano. Foi acordado, ainda, que o principal da 
dívida seria restituído em parcelas iguais, e os juros, calculados 
sobre o saldo devedor imediatamente anterior, sendo que a 
prestação mensal devida compõe-se da respectiva cota de 
amortização do principal, acrescida dos juros correspondentes. 
Nesse sentido, o sistema de amortização utilizadona transação 
descrita foi: 
 
(A) Amortização Constante. 
(B) Amortização Francês (Tabela Price). 
(C) Amortização Americano. 
(D) Amortização Misto. 
(E) Amortizações Variáveis. 
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4) (ECONOMISTA PETROBRAS DISTRIBUIDORA 2008) Se a taxa 
de desconto for de 1% a. m., um fluxo de pagamentos mensais 
sucessivos e constantes de R$ 10,00, durante 1.000 meses, tem 
valor presente líquido: 
a) aproximadamente igual a R$ 1.000,00. 
b) aproximadamente igual a R$ 10.000,00. 
c) exatamente igual a R$1.000,00. 
d) exatamente igual a R$ 10.000,00. 
e) maior que R$ 1.000,00. 
 
5) (INSPETOR/ANALISTA CVM ESAF 2010) Pretende-se trocar 
uma série de oito pagamentos mensais iguais de R$ 1.000,00, 
vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês, por outra série 
equivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro 
pagamento também ao fim de um mês. Calcule o valor mais 
próximo do pagamento da segunda série considerando a taxa de 
juros compostos de 2% ao mês. 
 
a) R$ 750,00 
b) R$ 693,00 
c) R$ 647,00 
d) R$ 783,00 
e) R$ 716,00 
 
6) (AGENTE FISCAL DE RENDAS SEFAZ SP FCC 2009) Considere 
que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um 
capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com 
capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento 
do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual 
a: 
a) 12 meses. 
b) 15 meses. 
c) 18 meses. 
d) 21 meses. 
e) 24 meses. 
 
7) (APOFP SP SEFAZ FCC 2010) Os juros auferidos pela aplicação 
de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma 
taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da 
aplicação de um outro capital no valor de R$ 10.400,00, a juros 
simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital 
ficou aplicado foi igual a 
(A) 15 meses. 
(B) 16 meses. 
(C) 18 meses. 
(D) 20 meses. 
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(E) 22 meses. 
8) (AFTN-85) Uma máquina tem preço de $ 2.000.000, podendo 
ser financiada com 10% de entrada e o restante em prestações 
trimestrais, iguais e sucessivas. Sabendo-se que a financiadora 
cobra juros compostos de 28% a.a., capitalizados 
trimestralmente, e que o comprador está pagando $ 205.821 por 
trimestre, a última prestação vencerá em: 
 
a) 3 anos e 2 meses 
b) 3 anos e 6 meses 
c) 3 anos e 9 meses 
d) 4 anos 
e) 4 anos e 3 meses 
8) (AFC TCU 2000/ESAF) Um financiamento no valor de R$ 
19.908,00, deve ser amortizado em 12 prestações mensais iguais, 
vencendo a primeira ao fim de 30 dias, e assim sucessivamente, a 
uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor do saldo devedor do 
financiamento imediatamente após o pagamento da sexta 
prestação. 
 
a) R$ 9.954,00 
b) R$ 10.834,38 
c) R$ 10.252,62 
d) R$ 10.000,00 
e) R$ 12.000,00 
9) Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros 
compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ 100.000,00 
que venceu há um ano mais um capital de R$ 
110.000,00 que vai vencer daqui a seis meses? 
 
a) R$ 210.000,00 
b) R$ 220.000,00 
c) R$ 221.000,00 
d) R$ 230.000,00 
e) R$ 231.000,00 
10) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco 
aplicar mensalmente R$1.000,00 durante seis meses, R$2.000,00 
mensalmente durante os seis meses seguintes e R$3.000,00 
mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a 
primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes 
sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros 
compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do 
montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1º de 
fevereiro. 
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a) R$ 36.000,00 
b) R$ 38.449,00 
c) R$ 40.000,00 
d) R$ 41.132,00 
e) R$ 44.074,00 
11) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00 , 
60(sessenta) dias antes do vencimento, sob o regime de desconto 
racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa de 
juros efetiva de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa foi de 
(desprezar os centavos no resultado final) 
 
Dados: 
 
(1,84)1/3= 1,22538514 
(1,84)1/4= 1,1646742 
(1,84)1/6= 1,10697115 
 
a) $ 429.304,00 
b) $ 440.740,00 
c) $ 446.728,00 
d) $ 449.785,00 
e) $ 451.682,00 
12) (BACEN) Desconto composto por fora a uma taxa de 20% ao 
mês é equivalente a um desconto composto por dentro a uma taxa 
mensal de: 
 
a) 10% 
b) 15% 
c) 17% 
d) 20% 
e) 25% 
13) A quantia de R$10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos 
do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os 
juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. 
 
 
 
 
 
 
Matemática para CEF 
Teoria e Exercícios Comentados 
Prof Alexandre Azevedo – Aula 06 
 
 
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Gabarito: 
1-A 2-C 3-A 4-A 5-B 
6-B 7-B 8-B 9-C 10-D 
11-E 12-E 13- 720,00