Quartis, Decis e Percentis na Estatística

Prévia do material em texto

Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 6 
 
 1 
Quartis, Decis e Percentis 
 
A mediana é o valor que separa a quantidade de dados em duas partes iguais: 50% 
dos dados abaixo dela e 50% acima. Assim como a mediana, existem outros valores 
que separam os dados em partes iguais. Eles são chamados genericamente de quantis. 
Os quantis mais importantes e usados são: 
 
• Quartis: dividem os dados em quartas partes (cada parte tem 25% dos dados). São 
indicados por Q1, Q2 = Md e Q3. 
 
• Decis: dividem os dados em décimas partes (cada parte tem 10% dos dados). São 
indicados por D1, D2, ..., D9. 
 
• Percentis: dividem os dados em centésimas partes (cada parte tem 1% dos dados). 
São indicados por P1, P2, ..., P99. 
 
Um conjunto de dados pode ser dividido em 3 quartis, 9 decis e 99 percentis. Veja o 
exemplo a seguir para os quartis. 
 
 
Para uma coleção de n dados discretos, os postos dos quartis, decis e percentis são 
calculados como: 
 
Quartis: 1o quartil: (n)/4; 2o quartil (Md): 2n/4 = n/2; 3o quartil: 3n/4. 
Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 6 
 
 2 
 
Decis: 1o decil (D1): n/10; 2o decil: 2n/10; ...; i-ésimo decil: in/10; ...; 
 9o decil: 9n/10. 
 
Percentis: 1o percentil (P1): n/100; 2o percentil: 2n/100; ...; 
 i-ésimo percentil: in/100; ... ; 99o percentil: 99n/100. 
 
A partir do posto, pode-se calcular o valor do quartil, do decil ou do percentil 
desejado. Como regra geral, se o posto coincide com um número inteiro i o valor a 
ser usado é o da média aritmética entre os dados que ocupam as posições i e i+1. Já se 
o posto não for um número inteiro a convenção que vamos usar é arredondar para a 
posição do número inteiro acima do posto e tomar o valor correspondente. 
 
Por exemplo, sejam os 16 números ordenados: 
 
0,5; 0,7; 0,7; 0,9; 1,0; 1,1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,3; 1,5; 1,8; 2,1; 2,2; 2,5; 2,5. 
 
Posto de Q1 = n/4 = 16/4 = 4. Toma-se a média entre o 4o e o 5o valores: Q1 = (0,9 + 
1,0)/2 = 0,95. 
 
Posto de Q2 = n/2 = 16/2 = 8. Q2 = Md = (1,2 + 1,3)/2 = 1,25. 
 
Posto de Q3 = 3n/4 = 3.4 = 12. Q3 = (1,8 + 2,1)/2 = 1,95. 
 
Posto de D1 = n/10 = 16/10 = 1,6. Arredondando para 2, D1 = 0,7. 
 
Posto de D9 = 9.n/10 = 9.1,6 = 14,4. Arredondando para 15, D9 = 2,5. 
 
Posto de P95 = 95.n/100 = 95.0,16 = 15,2. Arredondando para 16, P95 = 2,5. 
Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 6 
 
 3 
 
Quando temos dados agrupados, os quartis, decis e percentis podem ser calculados 
por um raciocínio idêntico ao que foi usado para o cálculo da mediana. 
 
Exemplo: Um teste de raciocínio abstrato foi aplicado a 816 alunos de uma escola de 
1o grau, dando os seguintes resultados: 
 
Pontos Alcançados no Teste No de Alunos Freqüência Acumulada 
 4 ├ 8 10 10 
 8 ├ 12 89 99 
12 ├ 16 206 305 
16 ├ 20 219 524 
20 ├ 24 155 679 
24 ├ 28 78 757 
28 ├ 32 30 787 
32 ├ 36 18 805 
36 ├ 40 11 816 
Total 816 816 
 
a) Qual é o máximo de pontos que classifica um aluno entre os 25% mais fracos? 
O valor pedido é o do primeiro quartil, Q1. O Posto do Q1 é 816/4 = 204. Portanto, 
o Q1 é média aritmética entre o 204o e o 205o elementos, ou seja é o 204,5o 
elemento, que cai entre 12 e 16. 
( ) ( ) .05,1405,212
206
4995,204121 =+=−+=−+=
q
aii f
hfPLQ 
b) Qual é o mínimo de pontos necessários para um aluno se classificar entre os 25% 
mais fortes? 
O valor pedido é o do terceiro quartil, Q3. O posto do Q3 é P = 3.816/4 = 612. 
Portanto, o Q3 é o 612,5o elemento, que cai na quinta classe, entre 20 e 24. 
( ) ( ) .28,2228,220
155
45245,612203 =+=−+=−+=
q
aii f
hfPLQ 
Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 6 
 
 4 
 
c) Qual é o máximo de pontos que ainda classifica um aluno entre os 10% mais 
fracos? 
O valor pedido é o do primeiro decil, D1. O posto do D1 é P = 816/10 = 81,6, que será 
arredondado para 82. Portanto, o D1 cai na segunda classe, entre 8 e 12. 
( ) ( ) 24,1124,38
89
4108281 =+=−+=−+=
d
aii f
hfPLD . 
d) Qual é o mínimo de pontos para que um aluno esteja entre os 10% mais fortes? 
O valor pedido é o do nono decil, D9. O posto do D9 é P = 9.(816/10) = 734,4, 
arredondado para 735. Portanto, o D9 cai na sexta classe, entre 24 e 28. 
( ) ( ) .87,2687,224
78
4679735249 =+=−+=−+=
d
aii f
hfPLD 
e) Qual é o máximo de pontos que ainda classifica o aluno entre os 1% mais fracos? 
O valor pedido é o do primeiro percentil, C1. O posto do C1 é P = 816/100 = 8,16, 
arredondado para 9. Portanto, o C1 cai na primeira classe, entre 4 e 8. 
( ) ( ) .6,76,34
10
40941 =+=−+=−+=
c
aii f
hfPLC 
f) Qual é o mínimo de pontos para que um aluno esteja entre os 5% mais fortes? 
O valor pedido é o do 95o percentil, C95. O posto do C95 é P = 95.(816/100) = 
775,2, arredondado para 776. Portanto, o C95 cai na sétima classe, entre 28 e 32. 
( ) ( ) .5,305,228
30
47577762895 =+=−+=−+=
c
aii f
hfPLC 
 
 
 
 
Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 6 
 
 5 
Exemplo. Distribuição de renda de uma população: Construção da curva de 
Lorenz e o índice de Gini 
Uma aplicação importante do conceito quantis ocorre na caracterização da 
distribuição de renda de uma população através da construção da chamada curva de 
Lorenz. 
Considere a população economicamente ativa de um país, por exemplo, o Brasil. Seja 
N o tamanho dessa população. Suponha que as rendas de todas essas N pessoas sejam 
conhecidas; vamos denominar a renda da i-ésima pessoa de ri. Podemos então 
ordenar as rendas em ordem crescente, desde a mais baixa até a mais alta: 
r1, r2, r3, r4, ..., rN-1, rN. 
Com as rendas ordenadas, podemos dividi-las em quantis. A título de exemplo, 
vamos considerar aqui que elas foram divididas em decis: o primeiro decil separa os 
10% mais pobres do resto da população, o segundo decil separa os 20% mais pobres 
e assim por diante. Para cada decil, podemos calcular qual a proporção da renda total 
da população que corresponde aos indivíduos delimitados por ele. Levantando essa 
informação para todos os decis, podemos montar uma tabela como a dada abaixo (os 
dados mostrados são fictícios). 
 
Estrato da 
população 
Proporção 
da 
população 
Proporção da 
renda 
Proporção 
acumulada 
da população 
(p) 
Proporção 
acumulada da 
renda (R) 
Até o 1o decil 0,10 0,01 0,10 0,01 
Até o 2o decil 0,10 0,025 0,20 0,035 
Até o 3o decil 0,10 0,03 0,30 0,065 
Até o 4o decil 0,10 0,035 0,40 0,1 
Até o 5o decil 0,10 0,04 0,50 0,14 
Até o 6o decil 0,10 0,06 0,60 0,2 
Até o 7o decil 0,10 0,08 0,70 0,28 
Até o 8o decil 0,10 0,1 0,80 0,38 
Até o 9o decil 0,10 0,16 0,90 0,54 
Acima do 9o 
decil 0,10 0,46 1,00 1,00 
Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 6 
 
 6 
A tabela mostra a porcentagem da renda total da população que corresponde a cada 
estrato contendo 10% da população. Ela também mostra, para cada decil, os valores 
acumulados da proporção da população (chamados de p) e da proporção da renda 
(chamados de R). 
Com os dados da tabela pode-se montar o gráfico de R versus p, mostrado abaixo. 
 
A curva formada pela união dos pontos (p, R) foi proposta inicialmente por Max 
Lorenz em 1905 para representar a distribuição de renda de uma população. Por isso 
ela é denominada de curva de Lorenz para a distribuição de renda da população. Ela 
ilustra como a proporção da renda total aumenta em função da proporção da 
população. 
A partir da curva de Lorenz pode-se definir um índice que caracterize a distribuição 
de renda da população. 
Do ponto de vista teórico, há dois casos extremos com relação à renda de uma 
população: aquele em que todos os indivíduos têm exatamente a mesma renda 
(distribuição perfeitamente equilibrada) e aquele em que apenas um indivíduo tem 
toda a renda da população e os demais nada possuem (distribuição de máxima 
desigualdade). 
Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 6 
 
 7 
A tabela dando a distribuição de renda para a população com distribuiçãoperfeitamente equilibrada é a seguinte: 
 
Estrato da 
população 
Proporção 
da 
população 
Proporção da 
renda 
Proporção 
acumulada 
da população 
(p) 
Proporção 
acumulada da 
renda (R) 
Até o 1o decil 0,10 0,10 0,10 0,10 
Até o 2o decil 0,10 0,10 0,20 0,20 
Até o 3o decil 0,10 0,10 0,30 0,30 
Até o 4o decil 0,10 0,10 0,40 0,40 
Até o 5o decil 0,10 0,10 0,50 0,50 
Até o 6o decil 0,10 0,10 0,60 0,60 
Até o 7o decil 0,10 0,10 0,70 0,70 
Até o 8o decil 0,10 0,10 0,80 0,80 
Até o 9o decil 0,10 0,10 0,90 0,90 
Acima do 9o 
decil 0,10 0,10 1,00 1,00 
A curva de Lorenz para o caso de perfeito equilíbrio é a linha reta R = p, mostrada no 
gráfico abaixo juntamente com a curva de Lorenz do exemplo anterior. 
 
Para o caso da distribuição de máxima desigualdade, a curva de Lorenz seria a linha 
reta que sai da origem no gráfico acima (ponto indicado por O) e vai até o ponto 
indicado por A, subindo dali até o ponto B (como apenas 1 indivíduo tem toda a renda 
da população sua posição é a última na lista ordenada de rendas, coincidindo com a 
linha AB). 
Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 6 
 
 8 
Os dois casos extremos mencionados acima são apenas teóricos. Nenhuma população 
real corresponde a eles. Para qualquer população real, sua curva de Lorenz é uma 
curva dentro do triângulo OAB na figura acima. Note que quanto mais afastada 
estiver essa curva da linha OB de equilíbrio perfeito, maior será o grau de 
desigualdade na distribuição de renda da população. 
Define-se a área entre a linha de equilíbrio perfeito e a curva de Lorenz (indicada por 
D na figura abaixo) como a área de desigualdade da população. 
 
Observe que, como a área do triângulo OAB é 0,5, temos que: 
0 ≤ D ≤ 0,5. 
O índice de Gini (indicado por G) é definido como a razão entre a área de 
desigualdade e o máximo valor que ela pode assumir, 
.2
5,0
DDG == 
Note que, pela definição, 
0 ≤ G ≤ 1. 
Estatística Aplicada à Educação– Antonio Roque – Aula 6 
 
 9 
Quando G = 0 temos o caso de perfeito equilíbrio na distribuição de renda e quando 
G = 1 temos o caso de perfeito desequilíbrio na distribuição de renda. 
O índice de Gini foi proposto por Corrado Gini em 1914 e é uma das principais 
medidas de desigualdade de renda usadas internacionalmente para avaliar populações 
e países. 
Exercício para casa: Procure na internet pelos valores do índice de Gini para os 
diferentes países do mundo. Se organizarmos os valores do índice de Gini dos países 
em ordem crescente, em que quartil se encontra o Brasil?