Matemática Básica

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MateMática Básica
2009
Prof.ª Maricélia Soares
Copyright © UNIASSELVI 2009
Elaboração:
Profª Maricélia Soares
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
510
S676c Soares, Maricélia
 Caderno de Estudos: Matemática / Maricélia Soares. 
Centro Universitário Leonardo da Vinci – Indaial: Grupo 
UNIASSELVI, 2009. x;
 152 p. : il 
 ISBN 978-85-7830-233-7
 1. Matemática 2. Lógica e Aritmética
 I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
 II. Núcleo de Ensino a Distância III. Título
Impresso por:
III
apresentação
Caro(a) acadêmico(a)!
Vivemos num mundo em constantes transformações e nos deparamos 
todos os dias com experiências e acontecimentos inesperados, por vezes 
inadiáveis, que exigem habilidades no que diz respeito à tomada de decisões.
A Matemática mostra-se como um recurso crucial neste processo, 
tendo em vista que a ação de decidir não se constitui mero palpite; exige 
conhecimento e mensuração.
Como essas características, tão visíveis na Matemática, podem auxiliar 
um administrador em sua prática ou um contador em seu fazer profissional?
Escolher o instrumento errado ou decidir no momento inoportuno 
pode ser fatal, tanto na administração quanto em qualquer outra ciência. No 
entanto, não se espera de um administrador que ele seja um matemático, 
porém, conforme afirma Leithold (1988, p.15):
Para uma completa compreensão das aplicações, seja a análise 
marginal em economia, a otimização em administração, o 
crescimento de bactérias em biologia, ou o crescimento logístico 
em sociologia, é necessário um conhecimento dos conceitos 
matemáticos envolvidos nesses processos. 
Diversas competências são requeridas aos profissionais da área de 
administração e, algumas delas, refletem bem claramente a necessidade do 
raciocínio lógico-matemático, essa linguagem universal cuja atuação exige 
muito mais do que puramente racionalidade, uma vez que se faz necessário 
sensibilidade para perceber o momento certo e o modo de como atuar.
A habilidade de decidir fazendo uso de recursos matemáticos torna-
se cada vez mais essencial e pode significar o diferencial de um profissional, 
quer seja na conferência da contabilidade, nas análises dos demonstrativos 
estatísticos, nas apreciações mercadológicas, programas financeiros ou 
planejamentos econômicos. A matemática se configura como um instrumento 
elementar, ampliando a perspectiva do administrador e permitindo 
estruturação de técnicas mais arrojadas, assim como planejamentos mais 
consistentes no emprego adequado dos mais variados recursos.
 
Lembre-se, caro(a) acadêmico(a), de que o encantamento com a 
Matemática deriva do seu entendimento; a beleza desta área do conhecimento 
é a compreensão da lógica envolvida na sua construção. Não cabe, em um 
IV
mundo globalizado, uma visão medíocre ou cerceada. É necessário vencer 
o temor e colocá-la ao nosso lado, desenvolvendo nossas habilidades para 
tornarmo-nos profissionais diferenciados.
Bons estudos!
Prof.ª Maricélia Soares
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades 
em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o 
material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato 
mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação 
no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir 
a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
UNI
V
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
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utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
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mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
VI
VII
Sumário
UNIDADE 1 – UNIDADE 1: CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS .................. 1
TÓPICO 1 – A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO ................................... 3
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................... 3
2 A NOÇÃO DE CONJUNTO ............................................................................................................. 4
3 REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO E RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA ........ 5
3.1 REPRESENTAÇÃO TABULAR (OU DESCRITIVA) ................................................................. 5
3.2 REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DE UMA PROPRIEDADE ...................................................... 6
4 TIPOS DE CONJUNTO ...................................................................................................................... 7
4.1 CONJUNTO UNITÁRIO .............................................................................................................. 7
4.2 CONJUNTO VAZIO ....................................................................................................................... 7
4.3 CONJUNTO FINITO ...................................................................................................................... 7
4.4 CONJUNTO INFINITO ................................................................................................................. 8
4.5 CONJUNTO UNIVERSO ............................................................................................................... 8
5 SUBCONJUNTO E RELAÇÃO DE INCLUSÃO ................................................................. 8
6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS .................................................................................................. 10
6.1 UNIÃO (OU REUNIÃO) DE CONJUNTOS ............................................................................... 10
6.1.1 Representação da união de conjuntos em diagramas de Venn .......................................... 11
6.2 INTERSECÇÃO (OU INTERSEÇÃO) DE CONJUNTOS .......................................................... 11
6.2.1 Representação da intersecção de conjuntos em diagramas de Venn ................................. 12
6.3 DIFERENÇA DE CONJUNTOS (OU CONJUNTO DIFERENÇA) .......................................... 13
6.3.1 Representação da diferença de conjuntos em diagramas de Venn .................................... 14
6.4 COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO (OU CONJUNTO COMPLEMENTAR) .............. 15
6.4.1 Representação do complementar de um conjunto em diagramas de Venn ..................... 16
7 PROBLEMAS SOBRE QUANTIDADES DE ELEMENTOS DE 
 CONJUNTOS FINITOS ...............................................................................................................17
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 24
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 26
TÓPICO 2: CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: OS CONJUNTOS NUMÉRICOS ............... 29
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 29
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) .................................................................. 29
2.1 SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE N .................................................................................. 30
2.2 OPERAÇÕES E PROPRIEDADE DO FECHAMENTO EM N ................................................. 30
3 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) .................................................................... 31
3.1 SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE Z ................................................................................... 31
3.2 MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO E NÚMEROS OPOSTOS ......................................... 31
4 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) ............................................................... 32
5 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ................................................................. 33
6 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) ............................................................................ 33
6.1 OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS ................................................................................ 36
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 37
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 38
VIII
TÓPICO 3: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO ................................................................................ 41
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 41
2 POTENCIAÇÃO EM Z ....................................................................................................................... 41
2.1 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO EM Z ........................................................................... 42
2.2 POTÊNCIAS DE BASE 10 .............................................................................................................. 44
2.3 NOTAÇÃO CIENTÍFICA .............................................................................................................. 45
3 RADICIAÇÃO EM Z ........................................................................................................................... 46
3.1 PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO EM Z ............................................................................... 46
3.2 SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS ................................................................................................ 47
3.3 OPERAÇÕES COM RADICAIS .................................................................................................... 48
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 49
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 50
TÓPICO 4: EQUAÇÕES ALGÉBRICAS ............................................................................................. 53
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 53
2 EQUAÇÕES DO 1º GRAU ................................................................................................................. 53
2.1 PORCENTAGEM ............................................................................................................................ 55
3 EQUAÇÕES DO 2º GRAU ................................................................................................................. 57
4 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS .......................................................................................................... 59
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 61
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 62
UNIDADE 2: A LINGUAGEM DAS FUNÇÕES .............................................................................. 65
TÓPICO 1: RELAÇÕES E FUNÇÕES ............................................................................................. 67
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 67
2 O CONCEITO DE FUNÇÃO ............................................................................................................. 67
3 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ................................................................................................................ 69
4 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ................................................................................. 70
5 CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES ................................................................................................. 73
5.1 FUNÇÃO INJETORA ..................................................................................................................... 73
5.2 FUNÇÃO SOBREJETORA ............................................................................................................. 74
5.3 FUNÇÃO BIJETORA ...................................................................................................................... 77
6 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE RELAÇÕES MATEMÁTICAS ....................................... 78
6.1 PAR ORDENADO ........................................................................................................................... 78
6.2 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL .................................................................................... 78
6.3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO ................................................... 79
7 FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE ................................................................. 81
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 84
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 85
TÓPICO 2: FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU ................................................................ 89
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 89
2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM ................................................... 89
3 CASOS PARTICULARES DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU .................................. 90
3.1 FUNÇÃO LINEAR ......................................................................................................................... 90
3.2 FUNÇÃO CONSTANTE ................................................................................................................ 91
3.3 FUNÇÃO IDENTIDADE ............................................................................................................... 92
3.4 FUNÇÃO TRANSLAÇÃO ............................................................................................................ 93
4 DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO AFIM A PARTIR DE DOIS PONTOS 
 DISTINTOS ..........................................................................................................................................94
IX
5 FUNÇÃO AFIM CRESCENTE E FUNÇÃO AFIM DECRESCENTE ......................................... 95
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 97
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 98
TÓPICO 3: FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ................................................................ 101
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 101
2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA ................................. 101
3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ................................................... 102
4 PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA .......................................................................................... 104
4.1 OS PONTOS DE INTERSECÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO X (SE EXISTIREM) ....... 104
4.2 OS PONTOS DE INTERSECÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO Y ..................................... 108
4.3 O VÉRTICE DA PARÁBOLA ........................................................................................................ 109
5 MÁXIMO OU MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU ...................................................... 109
5.1 VALOR MÁXIMO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU .............................................................. 110
5.2 VALOR MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU ............................................................... 110
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 111
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 112
TÓPICO 4: FUNÇÃO EXPONENCIAL ......................................................................................... 113
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 113
2 FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................................................. 113
3 GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL ..................................................................................... 114
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 117
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 118
UNIDADE 3: APLICAÇÕES À ADMINISTRAÇÃO E ÀS CIÊNCIAS CONTÁBEIS .............. 121
TÓPICO 1: MODELOS LINEARES ............................................................................................... 123
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 123
2 VANTAGENS DOS MODELOS MATEMÁTICOS ...................................................................... 123
3 FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO DO 1º GRAU .............................................................. 124
3.1 DOMÍNIO DISCRETO E DOMÍNIO CONTÍNUO .................................................................... 127
4 DEPRECIAÇÃO LINEAR .................................................................................................................. 128
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 131
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 132
TÓPICO 2: MODELOS POLINOMIAIS ......................................................................................... 135
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 135
2 OFERTA E DEMANDA ...................................................................................................................... 135
3 FUNÇÃO RECEITA E LUCRO QUADRÁTICAS ......................................................................... 136
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 138
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 139
TÓPICO 3: MODELOS EXPONENCIAIS ....................................................................................... 141
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 141
2 MODELO DE CRESCIMENTO EXPONENCIAL ......................................................................... 141
3 JUROS COMPOSTOS ........................................................................................................................ 143
4 DECAIMENTO EXPONENCIAL DE VENDAS ............................................................................ 144
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 146
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 147
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 149
ANEXO A .................................................................................................................................................. 151
 
X
1
UNIDADE 1
CONCEITOS MATEMÁTICOS 
FUNDAMENTAIS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade, você será capaz de:
• utilizar a linguagem dos conjuntos com propriedade, dominando sua sim-
bologia particular, operações e propriedades, bem como resolver proble-
mas sobre quantidades de elementos de conjuntos finitos;
• reconhecer e classificar conjuntos numéricos e seus subconjuntos;
• realizar operações de potenciação e radiciação, fazendo uso de suas pro-
priedades como forma de minimizar processos de cálculo;
• comunicar-se matematicamente, explicitando uma situação-problema na 
forma de equação algébrica, resolvendo-a através de processos matemáti-
cos adequados.
Esta unidade de ensino está dividida em quatro tópicos. No final de cada um 
deles você encontrará atividades que contribuirão para a apropriação dos 
conteúdos.
TÓPICO 1 – A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
TÓPICO 2 – CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: 
 OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
TÓPICO 3 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
TÓPICO 4 – EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Assista ao vídeo 
desta unidade.
2
3
TÓPICO 1UNIDADE 1
A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA 
REPRESENTAÇÃO
1 INTRODUÇÃO
Nas ciências de modo geral e, em particular, nas ciências exatas o uso de 
definições é costumeiro. Isso porque, para que uma teoria seja elaborada, faz-se 
necessário definir seus elementos constituintes.
Segundo o Dicionário Aurélio, definir é “enunciar os atributos essenciais e 
específicos de (uma coisa), de modo que a torne inconfundível com outra”. (FERREIRA, 
1999, p. 614). Em Matemática, dizemos que um objeto matemático só está definido 
quando se pronuncia um número finito de palavras que se aplicam a esse objeto 
e somente a ele. No entanto, uma definição de um objeto só pode conter termos 
que foram definidos previamente, pois, do contrário, o seu significado não ficará 
preciso ou corre-se o risco de que a definição a ele atribuída contenha um termo 
cuja definição fará referência ao próprio objeto, de forma redundante. 
Exemplos claros de “definições”que pecam em relação a este aspecto de 
redundância são: um ponto é a intersecção de duas retas e uma reta é um conjunto 
de infinitos pontos. Com estas “definições”, para se entender o que é ponto seria 
necessário, de antemão, saber o que é reta e, para compreender o que é reta, é 
indispensável saber o que é ponto: um ciclo gramatical que não define nem reta, 
nem ponto!
Com relação à teoria dos conjuntos, encontramos em alguns livros de 
Matemática do Ensino Médio as seguintes “definições” para o termo conjunto: 
“Entende-se por conjunto toda coleção de objetos, de animais, de palavras, 
de números, ou seja, de qualquer coisa.” (BIANCHINI; PACCOLA, 2003, p. 36).
“Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos.” (DANTE, 2005, p. 8).
O problema é que estas “definições” dão margem à seguinte pergunta: “o 
que é uma coleção de objetos?” A resposta não poderia ser conjunto, pois cairíamos 
novamente no aspecto de redundância gramatical citado acima. Isso ocorre porque
[...] algumas ciências, como a matemática e a física, necessitam 
considerar entes, relações e grandezas que não são definidos, ditos 
então entes primitivos, grandezas primitivas ou relações estabelecidas 
primitivamente. Por exemplo, ponto, reta e plano são entes primitivos 
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
4
2 A NOÇÃO DE CONJUNTO
Diante do que vimos até aqui, podemos então assumir a noção de conjunto, 
sem nos preocuparmos com a “definição” de conjunto que, por ser um elemento 
primitivo da Matemática, não assume definição.
A noção de conjunto é a mais simples e fundamental da Matemática, pois 
a partir dela podem se expressar todos os conceitos matemáticos. Assim, na teoria 
dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de objetos. Estes objetos 
são chamados de elementos ou membros do conjunto. Por exemplo:
• conjunto dos países do MERCOSUL: Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai
• conjunto das regiões brasileiras: Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sul, Sudeste
• conjunto dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
• conjunto dos números quadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
Um objeto x qualquer pode ou não ser elemento de um determinado 
conjunto A. Se x é um membro de A, então também é dito que x pertence a A, ou 
que x está em A.
da geometria euclidiana enquanto que o tempo, a distância e a massa 
são grandezas primitivas da mecânica newtoniana. (EVARISTO; 
PERDIGÃO, 2002, p. 1).
Os conceitos que iniciam uma determinada teoria são aceitos sem definição, 
pois, não existindo ainda a teoria, não há como defini-los; por isso são chamados 
de conceitos primitivos. Estabelecidos alguns entes primitivos de uma ciência, 
podem-se então definir novos objetos e, a partir destes, definir outros novos objetos 
e assim sucessivamente, construindo-se a teoria.
No estudo da Teoria dos Conjuntos trabalhamos com alguns conceitos 
primitivos que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Esses conceitos são: 
conjunto, elemento de um conjunto e pertinência entre elemento e conjunto. 
Sobre estes entes primitivos atribuímos apenas conceitos, ideias do que sejam, 
porém, não os definimos.
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
5
3.1 REPRESENTAÇÃO TABULAR (OU DESCRITIVA)
A representação tabular (forma de tabela) de um conjunto é aquela em que 
os elementos são apresentados entre chaves e separados por vírgula.
Exemplos: M = {Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai}
A = {a, e, i, o, u} 
B = {1, 2, 3, 4}
É usual dar nomes aos conjuntos usando letras maiúsculas do alfabeto 
latino: A, B, C, D, ... Os elementos de um conjunto são comumente representados 
por letras minúsculas do alfabeto latino: a, b, c, d, ...
Note que, no exemplo anterior, u é elemento do conjunto A e não é elemento 
do conjunto B, nem do conjunto M. Esses fatos serão indicados, respectivamente, por:
u ∈ A (lê-se “u pertence a A”) e u ∉ B (lê-se “u não pertence a B”)
Na teoria dos conjuntos, o símbolo matemático para a negação é a barra ( / ).
Os símbolos ∈ e ∉ são utilizados exclusivamente para relacionar um
elemento a um conjunto. Por exemplo: a ∈ A ou 2 ∈ N.
É errôneo utilizar esta simbologia para relacionar um subconjunto ao seu conjunto, como, 
por exemplo, dizer que o conjunto dos números pares positivos pertence ao conjunto dos 
números naturais. 
Para isso utilizamos outro termo e outra simbologia a qual estudaremos adiante.
A representação de um conjunto através de um diagrama de Venn (John 
Venn, 1834-1923) é aquela em que os elementos são simbolizados por pontos 
interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada que não se entrelaça. 
Essa forma de representação é muito útil para realizar operações com conjuntos.
3 REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO E RELAÇÃO DE 
PERTINÊNCIA
IMPORTANT
E
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
6
Exemplos:
3.2 REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DE UMA PROPRIEDADE
A representação de um conjunto A através de uma propriedade é aquela 
em que os elementos são descritos por uma característica comum que os determina.
Apresenta-se o conjunto A por: A = {x  x tem a propriedade p}. Lê-se: “A é 
o conjunto de todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”.
Essa forma de descrição de um conjunto é muito útil, pois, para conjuntos 
grandes, é inconveniente, ou impossível, relacionarmos seus elementos através da 
forma tabular ou descritiva. Ao invés disso, tentamos caracterizar os elementos 
por meio de palavras ou afirmações matemáticas. 
Por exemplo, somos incapazes de relacionar todos os números maiores 
que 5 porque este conjunto inclui não somente inteiros, mas também números 
racionais e irracionais. Consequentemente, introduzimos um elemento variável x 
e caracterizamos os elementos através de uma propriedade, requerendo que x > 5. 
O conjunto é então escrito: S = {x  x > 5}.
Outros exemplos:
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
7
Nos exemplos anteriores, entenda que a propriedade p descreve todos os 
elementos x que possuem a característica em questão, o que pode, inclusive, denotar um 
conjunto infinito, como é o caso dos conjuntos S, C e D.
4 TIPOS DE CONJUNTO
4.1 CONJUNTO UNITÁRIO 
Conjunto unitário é todo conjunto formado por um único elemento.
Exemplos:
a) A = {2}
b) B = {x  x é estrela do Sistema Solar} = {Sol}
4.2 CONJUNTO VAZIO 
Conjunto vazio é aquele que não possui elemento algum. Representa-se o 
conjunto vazio por ∅ ou por { }.
Exemplos:
a) A = {x  x é número e 0 ⋅ x = 3} = ∅
b) B = {x  x é palavra proparoxítona, da língua portuguesa, não acentuada} = { }
c) C = {x  x ∈ R e é solução da equação x2 + 4 = 0} = { }
4.3 CONJUNTO FINITO
Conjunto finito é todo conjunto que, contando os elementos, um a um, 
chega-se ao fim da contagem.
Exemplos:
a) A = {a, b, c, d, e}
b) B = {x  x é brasileiro}
c) C = ∅
ATENCAO
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
8
4.4 CONJUNTO INFINITO 
Conjunto infinito é todo conjunto que não é finito.
Exemplos:
Um importante conjunto infinito é o conjunto dos números naturais: 
a) IN = {0, 1, 2, 3, ...}
Outro importante conjunto infinito é o conjunto dos números inteiros: 
b) Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
4.5 CONJUNTO UNIVERSO 
Conjunto universo de um estudo é aquele ao qual pertencem todos os 
elementos desse estudo.
Exemplos:
a) Quando estudamos a história da humanidade, o conjunto de todos os seres 
humanos que viveram e vivem até hoje é chamado de “Conjunto Universo” (U).
b) Quando estudamos os números que podem resultar da contagem de 
unidades, o “Conjunto Universo” (U) é o conjunto dos números naturais (U = N).
5 SUBCONJUNTO E RELAÇÃO DE INCLUSÃO
Consideremos o conjunto B formado por todas as pessoas brasileiras. Com 
os elementos de B podemos formar o conjunto H, de todos os homens brasileiros, 
e o conjunto M de todas as mulheres brasileiras. Dizemos que os conjuntos H e M 
são subconjuntos de B. Se um conjunto T de pessoas possui como elemento pelo 
menos uma pessoa que não seja brasileira, dizemos que T não é subconjunto de B.
Indicamosesses fatos por:
H ⊂ B (lê-se “H está contido em B”);
M ⊂ B (lê-se “M está contido em B”) e
T ⊄ B (lê-se “T não está contido em B”).
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
9
Os símbolos ⊂ e ⊄ são utilizados exclusivamente para relacionar um conjunto a 
outro.
Seja S um dado conjunto. Qualquer conjunto A, cujos elementos são também 
elementos de S, é dito estar contido em S e é denominado um subconjunto de S.
Exemplos:
a) Considere os conjuntos A = {2, 5, 3}, S = {2, 5, 3, 8, 9}.
Então: A ⊂ S, pois ∀x ∈ A, x ∈ S (lê-se: A está contido em S, pois para todo e 
qualquer elemento x pertencente ao conjunto A, x pertence também ao conjunto S).
b) Considere os conjuntos B = {2, 5, 3}, S = {2, 5, 3}.
Neste exemplo, também B ⊂ S, pois atende à definição enunciada 
anteriormente, onde qualquer elemento de B é também elemento de S.
No entanto, como B = S, ou seja, todo elemento de B é elemento de S e, 
reciprocamente, todo elemento de S é elemento de B, costuma-se empregar 
outra simbologia. Podemos escrever B ⊆ S, uma vez que B está contido em S e 
B = S; dizemos que B é um subconjunto impróprio de S, devido à igualdade que 
estabelece com este conjunto. 
A adoção da simbologia B ⊂ S não está errada, uma vez que, conforme 
a propriedade que veremos a seguir, todo conjunto é subconjunto de si mesmo. 
Assim, mesmo que B = S, B está contido em S.
c) Considere os conjuntos C = {2, 5, 3}, S = {2, 5, 7, 9}.
Neste caso, escrevemos que C ⊄ S, pois nem todo elemento de C é também 
elemento de S; 3 ∈ C, mas 3 ∉ S.
d) O diagrama, ao lado, mostra que a região 
que compreende o conjunto B está inserida em A, ou seja, 
compõe a região pertencente a A. Deste modo, concluímos que 
B ⊂ A.
De forma análoga, podemos dizer que, se um dado 
conjunto A está contido em S, então S contém A. 
ATENCAO
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
10
Representamos por:
Assim, quanto aos exemplos anteriores, temos que:
a) S ⊃ A (lê-se: S contém A; A é dito subconjunto próprio de S).
b) S ⊇ B (S contém B e S = B; ou seja, B é subconjunto impróprio de S).
c) S ⊃ C (S não contém C; C não é subconjunto de S).
Se A ⊂ S, então S ⊃ A.
6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Agora que já estamos familiarizados com os conceitos preliminares e a sua 
respectiva simbologia, vamos estudar as operações estabelecidas entre conjuntos 
e a resolução de problemas que envolvem quantidades de elementos de conjuntos 
finitos.
6.1 UNIÃO (OU REUNIÃO) DE CONJUNTOS
Com dois conjuntos arbitrários, A e B, podemos sempre formar um novo 
conjunto, C, simplesmente pelo agrupamento de seus elementos. A esse novo 
conjunto chamamos de união.
A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B, que indicaremos por A ∪ B 
(lê-se “A união B”), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem 
a A ou a B. 
Matematicamente, representamos:
A ∪ B = {x  x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplos: 
a) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, temos que C = A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Observe que A e B possuem alguns elementos em comum, que não são 
repetidos no conjunto C = A ∪ B.
b) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3}, temos que C = A ∪ B = {1, 2, 3}. 
Observe que, como A = B, o conjunto C = A ∪ B será igual ao próprio A (ou 
ao próprio B).
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
11
c) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, temos que C = A ∪ B = {1, 2, 3}.
Observe que A ⊃ B, fazendo com que o conjunto C = A ∪ B resulte no 
próprio A.
d) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {5, 6, 7}, temos que C = A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}.
Observe que A e B são conjuntos distintos (também chamados de conjuntos 
disjuntos), ou seja, não possuem elementos em comum. 
6.1.1 Representação da união de conjuntos em diagramas 
de Venn
Os diagramas a seguir representam as situações apresentadas nos exemplos 
anteriores.
Nas três situações, toda a região hachurada representa A ∪ B.
6.2 INTERSECÇÃO (OU INTERSEÇÃO) DE CONJUNTOS 
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Podemos estar interessados em 
saber se há sobreposição em relação a alguns elementos destes conjuntos, isto é, se 
os dois conjuntos possuem elementos em comum. Chamamos o conjunto de todos 
os elementos comuns, seja ele vazio ou não, a intersecção de A e B.
A intersecção de dois conjuntos A e B, que indicaremos por A ∩ B (lê-se “A 
intersecção B”), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a 
A e a B.
Matematicamente, representamos:
A ∩ B = {x  x ∈ A e x ∈ B}
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
12
Exemplos: 
a) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, temos que C = A ∩ B = {1, 2}.
Observe que A e B possuem alguns elementos em comum, que não são 
repetidos no conjunto C = A ∩ B, como já visto anteriormente na operação de união.
b) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3}, temos que C = A ∩ B = {1, 2, 3}. 
Observe que, como A = B, o conjunto C = A ∩ B será igual ao próprio A (ou 
ao próprio B).
c) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, temos que C = A ∩ B = {1, 2}.
Observe que A ⊃ B, ou B ⊂ A, fazendo com que o conjunto C = A ∩ B resulte 
no próprio B.
d) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {5, 6, 7}, temos que C = A ∩ B = { }.
Observe que A e B são conjuntos disjuntos, ou seja, não possuem elementos 
em comum; assim a operação de intersecção resulta em conjunto vazio.
6.2.1 Representação da intersecção de conjuntos em 
diagramas de Venn
Os diagramas a seguir representam as situações apresentadas nos exemplos 
anteriores.
Nas três situações, toda a região hachurada representa A ∩ B.
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
13
6.3 DIFERENÇA DE CONJUNTOS (OU CONJUNTO DIFERENÇA)
A ideia de diferença de conjuntos é usada frequentemente no nosso dia a 
dia. Um exemplo simples apresenta o conceito envolvido nesta operação: Pergunta-
se a um estudante: “Você tem aulas todos os dias da semana?”. Provavelmente o 
estudante responderá: “Todos os dias menos sábado e domingo”.
Na verdade, para dar essa resposta o estudante utiliza o conceito de 
diferença de conjuntos, ou seja, retira do conjunto A = {segunda, terça, quarta, 
quinta, sexta, sábado, domingo} o conjunto B = {sábado, domingo}. Essa ideia será 
formalizada pela definição de diferença de conjuntos.
A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, que indicaremos por 
A – B (lê-se “A menos B”), é o conjunto cujos elementos são todos aqueles que 
pertencem a A e não pertencem a B.
Matematicamente, representamos:
A – B = {x  x ∈ A e x ∉ B}
Exemplos: 
a) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {3, 6, 7}, temos que A – B = {1, 2} e B – A = {6, 7}.
Observe que não há comutatividade na operação efetuada, ou seja, A – B ≠ 
B – A. No caso de A – B, a operação sugere os elementos que pertencem a A, mas 
não pertencem a B. No caso de B – A, o conjunto solução compõe os elementos que 
pertencem a B, mas não pertencem a A. 
b) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3}, então A – B = { } e B – A = { }.
Neste caso, onde A = B, a propriedade comutativa é possível, porém a 
solução será conjunto vazio.
c) Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, temos que A – B = {3} e B – A = { }.
Observe que B – A resulta em conjunto vazio, pois A ⊃ B (A contém B); logo 
não há elementos que pertençam ao conjunto B e não pertençam a A.
d) Sendo A = { } e B = {1, 2, 3}, temos que A – B = { } e B – A = {1, 2, 3}.
 
O fato de A ser conjunto vazio faz com que A – B também seja vazio, pois 
não há elementos exclusivos de A que não pertençam a B. Consequentemente, B – 
A será igual ao próprio B.
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
14
6.3.1 Representação da diferença de conjuntos em 
diagramas de Venn
Os diagramas a seguir representam a operação de diferença entre conjuntos, 
onde a região hachurada é o conjunto solução.
1ª situação: A e B possuem elementos em comum.
2ª situação: A e B são conjuntos disjuntos.
3ª situação: B está contido em A.
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
15
6.4 COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO (OU CONJUNTO 
COMPLEMENTAR)
No Dicionário da Língua Portuguesa, encontramosque complemento é 
“aquilo que completa; palavra ou expressão que completa o sentido de outra” 
(BUENO, 1981, p. 280). 
Em teoria dos conjuntos essa mesma ideia é utilizada para expressar o 
complemento de um conjunto. Por exemplo: dado o conjunto A = {1, 2} e o conjunto 
B = {1, 2, 5, 6}, poderíamos analisar o complementar de A, tomando como parâmetro 
o conjunto B e, de igual forma, o complementar de B em relação ao conjunto A. 
No primeiro caso teríamos que analisar os elementos que B possui e que 
faltam ao conjunto A para que ele fique igual ao conjunto B. Esses elementos são 
{5, 6}. Assim, dizemos que o conjunto {5, 6} é o complementar de A em relação a B.
Na segunda situação, queremos analisar o complementar de B em relação 
ao conjunto A. Neste caso o conjunto complementar é inexistente, pois não há 
elementos que acrescentaríamos em B e o tornariam igual a A. 
Como outro exemplo, poderíamos sugerir a pergunta qual é o conjunto 
complementar do conjunto A = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, 
agosto} em relação ao conjunto dos meses do ano?. A solução é o conjunto B = 
{setembro, outubro, novembro, dezembro}, isto é, o conjunto dos meses que faltam 
em A para completar todos os meses do ano. 
Os exemplos anteriores podem ser formalizados pela definição de conjunto 
complementar que segue.
Sejam A e B dois conjuntos tais que A ⊂ B. Chama-se ‘complementar de 
A em relação a B’, que indicamos por , o conjunto cujos elementos são todos 
aqueles que pertencem a B e não pertencem a A.
Matematicamente, representamos:
A ⊂ B ⇔ = {x  x ∈ B e x ∉ A}
Observe que a definição do complementar de A em relação a B é a mesma 
que a diferença entre os conjuntos B e A, estudada no item anterior. Assim, temos 
que = B – A, pois em ambos os casos o conjunto solução é composto deelementos 
x, tal que x pertence a B e não pertence a A, simbolicamente: = B – A = {x  x ∈ B 
e x ∉ A}. Desse modo, podemos reescrever a definição de complementar de A em 
relação a B como: A ⊂ B ⇔ = B – A.
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
16
Observe também que a condição necessária e suficiente para que exista 
 é que A ⊂ B. Caso contrário, dizemos que não existe .
Exemplos: 
Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}; como A ⊂ B, então existe , que é o 
mesmo que B – A = {4, 5}. Em contrapartida, como B ⊄ A, então não existe , 
ou seja, não há elementos que poderíamos acrescentar em B que o tornariam igual 
a A.
Sendo N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}, ou seja, o conjunto dos número naturais incluso 
o zero, e Z = {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}, ou seja, o conjunto dos números 
inteiros incluso o zero. Então temos que = Z – N = {... -5, -4, -3, -2, -1}; em outras 
palavras, o complementar dos números naturais em relação aos inteiros são os 
inteiros negativos.
6.4.1 Representação do complementar de um conjunto em 
diagramas de Venn
Os diagramas a seguir representam a operação de complementar de um 
conjunto, onde a região hachurada é o conjunto solução.
Neste caso, a operação só existirá quando A ⊂ B, logo, não teremos as 
mesmas situações apresentadas nas operações anteriores, resumindo-se a duas 
situações: 
1ª situação: A condição necessária e suficiente é atendida: A está contido 
em B.
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
17
2ª situação: Complementar de A em relação a um conjunto universo.
7 PROBLEMAS SOBRE QUANTIDADES DE ELEMENTOS DE 
CONJUNTOS FINITOS
Agora que estudamos as operações entre conjuntos, vamos analisar alguns 
exemplos de problemas práticos que envolvem quantidades de conjuntos finitos. 
Apresentaremos alguns problemas resolvidos e proporemos outros para você.
Vamos em frente!
 Exemplos:
 
Situação 1: Num grupo de 22 universitários há 8 que cursam Ciências 
Contábeis, 10 que cursam Administração e 2 que cursam ambos. Quantos não 
estão cursando nem Contábeis nem Administração?
Resolução: 
Primeiramente, vamos fazer a representação do problema em diagramas 
de Venn:
C. Contábeis
Administração
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
18
Atente para o fato de que apenas colocamos as informações do problema 
no diagrama, agora precisamos “limpar” as intersecções. 
Observe que o texto se refere a 8 estudantes, que estudam Ciências 
Contábeis, mas isso não significa que eles estudem apenas Ciências Contábeis, 
pois destes 8, temos 2 que estudam também Administração. Igualmente para os 10 
alunos que cursam Administração, destes, 2 estudam também Ciências Contábeis. 
Desse modo, vamos reorganizar as informações no diagrama, retirando a 
intersecção de ambos os conjuntos.
Organizadas as informações, podemos fazer a seguinte leitura dos dados 
anteriores:
 08 estudantes cursam Ciências Contábeis, mas 06 cursam apenas Ciências 
Contábeis;
 10 estudantes cursam Administração, destes, 08 cursam somente Administração;
 02 estudantes cursam Ciências Contábeis e Administração.
Acadêmico(a), você percebe a diferença nas informações? 
Agora que os dados foram organizados, podemos responder à 
questão enunciada: quantos não estão cursando nem Ciências Contábeis nem 
Administração?
Como o enunciado do problema nos revela de que se trata de um total de 
22 estudantes, então, temos que, destes 22, 6 estudam apenas Ciências Contábeis, 
8 estudam apenas Administração e 2 estudam ambos, totalizando 16 estudantes 
envolvidos com estes dois cursos. Assim, concluímos que os outros 6 estudantes 
(22 – 16 = 6) não cursam nem Ciências Contábeis, nem Administração.
Situação 2: Em um levantamento com 100 vestibulandos, verificou-se que 
o número de alunos que estudou para as provas de Matemática, Física e Português 
foi o seguinte: Matemática: 47, Física: 32, Português: 21, Matemática e Física: 7, 
C. Contábeis Administração
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
19
Matemática e Português: 5, Física e Português: 06, as três matérias: 2. Quantos dos 
100 alunos incluídos no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias?
Resolução:
Representando o problema em diagramas de Venn:
Antes de solucionarmos este problema, vamos analisar o que significa cada 
região destes diagramas:
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
20
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
21
Voltando ao problema, podemos observar que a única informação que está 
colocada na região correta é a de que 02 alunos estudaram para as três provas. Os 07 
alunos que estudaram Matemática e Física estão colocados na região que pertence 
àqueles que estudaram apenas Matemática e Física, ou seja, precisamos subtrair 
destes 07, os 02 alunos que estudaram também Português. O mesmo procedimento 
se dá para as outras intersecções. Observe:
Quanto aos alunos que estudaram apenas uma das disciplinas:
 Matemática: dos 47 alunos que estudaram esta disciplina, 05 deles estudaram 
também Física, 03 estudaram Português e 02 estudaram, além de Matemática, 
Física e Português.
 Física: dos 32 estudantes considerados, 05 estudaram também para Matemática, 
04 para Português e 02 para Matemática e Português.
 Português: dos 21 estudantes que estudaram Português, 03 estudaram também 
Matemática, 04 estudaram Física e 02 estudaram Matemática e Física.
Organizando estas informações no diagrama, temos:
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
22
Organizadas as informações, podemos concluir que, dos 47 alunos que 
estudaram para a prova de Matemática, apenas 37 estudaram só Matemática; a 
mesma leitura se dá para as demais disciplinas.
Voltando à questão inicial do problema: “Quantos dos 100 alunos incluídos 
no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias?”
Para responder a esta questão, vamos retirar do total de 100 alunos, todos 
os que estudaram para alguma ou algumas das disciplinas. Assim, temos então:
100 – 37 – 21 – 12 – 5 – 3 – 4 – 2 = 100 – 84 = 16 alunos
Concluímos que, dos 100 alunos envolvidos no levantamento, 16 não 
estudaram para nenhuma das disciplinas consideradas.
Situação 3: Uma pesquisasobre a preferência dos consumidores revelou 
que, dos 350 entrevistados: 
• 197 preferem o televisor x; • 85 preferem tanto x como y; 
• 183 preferem o televisor y; • 92 preferem tanto x como z;
• 210 preferem o televisor z; • 103 preferem tanto y como z
• 20 não têm preferência por estas marcas;
a) Quantos consumidores preferem as três marcas?
b) Quantos preferem somente uma das marcas?
Resolução: Organizando as informações na forma de diagrama:
Observe que U representa o 
conjunto universo de todas as 
marcas de TV. Os 20 entrevistados 
que não têm preferência pelas 
marcas em questão pertencem 
ao conjunto universo das demais 
marcas.
A incógnita x representa os 
entrevistados que têm preferência 
pelas três marcas. Como no 
exemplo anterior, vamos organizar 
as informações no diagrama, 
retirando as intersecções: 
 
TÓPICO 1 | A NOÇÃO DE CONJUNTO E SUA REPRESENTAÇÃO
23
Observe que em cada uma das marcas foram retiradas as intersecções com 
as demais. Por exemplo, na marca X, que possui 197 adeptos, (85 – x) preferem 
também a marca Y, (92 – x) preferem também a marca Z e ( x ) preferem a marca X, 
mas também as outras duas.
Assim, efetuamos: 197 – (85 – x) – (92 – x) – x = 197 – (177 – x). O mesmo 
ocorreu com as demais.
Agora, vamos responder às questões: 
a) Quantos consumidores preferem as três marcas?
Como o total de entrevistados é 350, então:
x = 20 consumidores.
Resposta: 20 consumidores.
b) Quantos preferem somente uma das marcas?
Somente a marca X: 197 – 177 + x = 20 + 20 = 40 consumidores
Somente a marca Y: 183 – 188 + x = - 5 + 20 = 15 consumidores
Somente a marca Z: 210 – 195 + x = 15 + 20 = 35 consumidores
Resposta: 90 consumidores preferem somente uma das marcas.
X e Z X e Z
24
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
 Quanto à representação de um conjunto:
- Tabular (ou descritiva)
- Diagrama de Venn
- Propriedade
 Quanto à relação de pertinência:
- O símbolo ∈ (pertence) e sua negação ∉ (não pertence) são usados, exclusivamente, 
para relacionar elemento a conjunto.
 Quanto à relação de inclusão:
- Um conjunto A está contido num conjunto S quando todos os elementos de A 
pertencem a S.
- O símbolo ⊂ (está contido) e sua negação ⊄ (não está contido) são usados, 
exclusivamente, para relacionar dois conjuntos.
- Dizemos que, se um conjunto A está contido num conjunto S (A ⊂ S), então S 
contém A (S ⊃ A).
 Quanto à operação de união entre A e B:
- É o agrupamento dos elementos de A com os elementos de B.
- Matematicamente: A ∪ B = {x  x ∈ A ou x ∈ B}
 Quanto à operação de intersecção entre A e B:
- É o agrupamento dos elementos comuns entre A e B.
- Matematicamente: A ∩ B = {x  x ∈ A e x ∈ B}
 Quanto à operação de diferença entre A e B:
- A diferença A – B consiste nos elementos que pertencem a A e não pertencem 
a B, ou seja, “o que tem no A que não tem no B”.
- Matematicamente: A – B = {x  x ∈ A e x ∉ B}
 Quanto à operação de complementar de um conjunto A em relação a B:
- Consiste nos elementos de B que não pertencem a A e que complementariam o 
conjunto A, fazendo com que A = B.
- Para que exista o complementar de A em relação a B é condição necessária 
e suficiente que A esteja contido em B (A ⊂ B), caso contrário a operação será 
RESUMO DO TÓPICO 1
25
inexistente.
- Matematicamente: A ⊂ B ⇔ = {x  x ∈ B e x ∉ A}
- A definição de complementar de A em relação a B é a mesma que B – A, quando 
A ⊂ B.
 Quanto à resolução de problemas com conjuntos finitos:
- Organizar as informações em diagramas de Venn e retirar as intersecções dos 
dados.
26
As autoatividades que seguem são fundamentais para averiguar a 
aprendizagem do tópico que você acabou de estudar. Portanto, lápis, caderno 
e mãos à obra!
1 Determine os seguintes conjuntos, apresentando os seus elementos na forma 
tabular ou descritiva:
a) A = {x  x é estado brasileiro da Região Sul}
b) B = { x x é algarismo do sistema de numeração}
c) C = { x  x é número par entre 9 e 21}
d) D = { x  x é vogal da palavra Brasil}
2 Observe os diagramas a seguir e classifique as afirmações em verdadeiras 
(V) ou falsas (F):
AUTOATIVIDADE
a) ( ) 1 ∈ A f) ( ) 4 ∉ B 
b) ( ) 2 ∈ A g) ( ) 5 ∈ A 
c) ( ) 2 ∉ B h) ( ) 5 ∉ B 
d) ( ) 3 ∈ A i) ( ) 7 ∉ B 
e) ( ) 3 ∈ B j) ( ) 8 ∈ B 
3 Sejam A = { x  x é número par compreendido entre 3 e 15},
 B = { x  x é número par menor que 15} e
 C = { x  x é número par diferente de 2}.
Usando os símbolos ⊂ ou ⊄, complete:
a) A ________ B b) A _________ C c) B __________ C
4 No diagrama seguinte, A, B e C são três conjuntos não vazios. Associe V ou 
F a cada uma das seguintes sentenças conforme ela seja verdadeira ou falsa, 
respectivamente:
a) ( ) A ⊂ B b) ( ) C ⊂ B
c) ( ) B ⊂ A d) ( ) A ⊂ C
e) ( ) B ⊄ A f) ( ) A ⊄ C
g) ( ) B ⊃ A h) ( ) A ⊃ C
27
5 Observe os diagramas a seguir e classifique as afirmações em verdadeiras 
(V) ou falsas (F):
a) ( ) 1 ∈ A 
b) ( ) 4 ∈ A
c) ( ) 7 ∈ A
d) ( ) 7 ∈ B
e) ( ) 3 ∈ B
f) ( ) 11 ∈ C
g) ( ) 10 ∉ C
h) ( ) 14 ∉ C
i) ( ) 15 ∉ U
j) ( ) 9 ∉ A
k) ( ) 17 ∉ A
l) ( ) 14 ∉ B
m) ( ) A ⊂ B
n) ( ) B ⊂ C
o) ( ) A ⊄ C
p) ( ) C ⊂ U
q) ( ) A ⊄ U
r) ( ) U ⊂ B
6 Sendo A = {0, 1, 2, 3}, 
 B = {0, 2, 3, 5}, 
 C = {x  x é número par positivo menor que 10} e 
 D = {x  x é número ímpar compreendido entre 4 e 10}, determine:
a) A ∪ B = b) A ∪ C = 
c) A ∪ D = d) C ∪ D = 
e) B ∪ D = f) C ∩ D =
g) A ∩ B = h) A ∩ C =
i) A ∩ D = j) B ∩ C =
k) (A ∩ B) ∩ C = l) (A ∩ C) ∩ D =
7 O que se pode dizer do conjunto A ∪ B, sabendo que A = ∅ ? Justifique sua 
resposta.
8 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, determine o conjunto 
A – B e B – A.
28
9 Dados os conjuntos A = {x  x é número inteiro par entre 1 e 11} e B = {x  x 
é número inteiro entre 0 e 10}, determine A – B e B – A.
10 Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. 
Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 
20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?
11 Numa pesquisa feita com 1.000 famílias para se verificar a audiência dos 
programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 
famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 ao 
programa C. Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos programas A e B, 
60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem 
aos três programas.
a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas?
b) Quantas famílias assistem somente ao programa A?
c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B?
12 Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados leem o jornal A, 29% leem 
o jornal B, 22% leem o jornal C, 13% leem A e B, 6% leem B e C, 14% leem A 
e C e 6% leem os três jornais.
a) Quanto por cento não lê nenhum desses três jornais? 
b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê C?
c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?
13 Uma empresa fabricante de achocolatados pretende lançar um novo produto 
no mercado. Para isso encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos 
consumidores entre duas embalagens A e B. Foram consultadas 402 pessoas, 
e o resultado foi precisamente o seguinte:
• 150 pessoas gostaram somente da embalagem A;
• 240 pessoas gostaram da embalagem B;
• 60 pessoas gostaram das duas embalagens.
Quantas pessoas não gostaram de nenhuma das duas embalagens, sabendo 
que todas as 402 pessoas opinaram?
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 11
29
TÓPICO 2
CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: 
OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Os dois principais objetos com que se ocupa a Matemática são os números 
e as figuras geométricas. O objetivodesse tópico é um estudo sobre conjuntos 
numéricos. Damos o nome de conjuntos numéricos a certos conjuntos importantes 
cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica comum. 
Neste tópico abordaremos apenas as características que definem o conjunto 
dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e, enfim, o conjunto dos 
números reais.
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de contagem: 
quantos dias no mês, quantos meses no ano, quantas luas para a colheita, quantas 
cabeças de gado etc. 
O conjunto dos números naturais é representado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 
..., n, ...}, n representa o elemento genérico do conjunto e as reticências fornecem a 
ideia de infinito.
Podemos considerar uma representação geométrica do conjunto dos 
números naturais através da ordenação de seus elementos sobre uma reta, como 
mostra o gráfico a seguir:
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
30
2.1 SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE N
Conjunto dos números naturais não nulos: N* = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...}.É comum 
utilizarmos o símbolo * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se quer 
suprimir o elemento zero. 
Deste modo, o conjunto dos números naturais não nulos corresponde ao 
conjunto dos números naturais, excluso o zero: N* = N – {0}.
 Conjunto dos números naturais pares: Np = {0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...}, com n ∈ N.
 Conjunto dos números naturais ímpares: Ni = {1, 3, 5, 7, ..., 2n + 1, ...}, com n ∈ N.
 Conjunto dos números naturais primos: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}. Consiste no 
conjunto dos números naturais divisíveis por 1 e por eles próprios.
2.2 OPERAÇÕES E PROPRIEDADE DO FECHAMENTO EM N
No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações: adição 
e multiplicação. Adicionando-se ou multiplicando-se dois números naturais, a 
soma ou o produto será também um número natural. 
Matematicamente, representamos:
∀m, n ∈ N, temos que m + n ∈ N e m ⋅ n ∈ N
Esta propriedade é chamada de Fechamento, ou seja, o conjunto dos 
números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. O mesmo não 
se verifica no caso da subtração, por exemplo, onde, 5 – 3 = 2 ∈ N, mas 3 – 5 = - 2 ∉ 
N, ou seja, não há fechamento com relação à subtração.
Por esse motivo, ampliou-se o conjunto dos números naturais, surgindo o 
conjunto dos números inteiros.
TÓPICO 2 | CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS OS CONJUNTOS NUMÉRICOS: 
31
3 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado por: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 
3, ...}. Observe que todos os elementos de N pertencem a Z, o que equivale a dizer 
que N é subconjunto de Z ou N ⊂ Z ou ainda Z ⊃ N.
Podemos considerar o conjunto dos números inteiros ordenados sobre 
uma reta, conforme mostra o gráfico a seguir:
3.1 SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DE Z
 Conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}.
Este conjunto equivale ao conjunto dos números inteiros, excluso o zero: 
Z* = Z – {0}.
 Conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Observe que este conjunto equivale ao conjunto dos números naturais: Z
+
 = IN.
Conjunto dos números inteiros positivos: = {1, 2, 3, 4, ...}. Corresponde 
ao conjunto dos números naturais, excluso o zero.
Conjunto dos números inteiros não positivos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}.
Conjunto dos números inteiros negativos: = {..., -4, -3, -2, -1}.
3.2 MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO E NÚMEROS 
OPOSTOS
Módulo, ou valor absoluto, de a, o qual é representado por a , é a distância 
da origem ao ponto que representa o número a. Assim, tomando como origem o 
ponto que representa o número zero, na reta numérica dos inteiros, temos que 
NOTA
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
32
o módulo de 5 corresponde a 5 unidades, assim como também o módulo de -5 
corresponde a 5 unidades de distância com relação ao zero. Logo, 5  = -5  = 5.
Dois números inteiros são ditos opostos um ao outro quando sua soma 
é zero, deste modo ambos distam a mesma medida da origem, ou seja, possuem 
mesmo módulo. Desta forma, o oposto de 2 é -2 e vice-versa, pois ambos distam a 
mesma medida com relação à origem representada pelo número zero.
O conjunto dos números inteiros não apresenta fechamento com relação à 
divisão. Observe que, apesar de (-10) ÷ (+2) = -5 ∈ Z, a recíproca não é válida, ou 
seja, (+2) ÷ (-10) = -0,2 ∉ Z e sim ao conjunto dos números racionais, que estudamos 
na sequência.
4 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma 
de fração (com o numerador pertencente a Z e o denominador pertencente a Z*). 
Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números 
inteiros com as frações positivas e negativas.
Então: são exemplos de números racionais.
Outros exemplos:
a) b) 
Assim, podemos generalizar representando matematicamente o conjunto 
dos números racionais por:
Q = {x  x = , com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0}
É interessante considerar a representação decimal de um número racional 
, que se obtém dividindo a por b, formando uma dízima periódica.
Exemplos:
a) decimais exatas ou finitas
TÓPICO 2 | CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS OS CONJUNTOS NUMÉRICOS: 
33
b) decimais periódicas ou infinitas
5 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os 
números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). 
Como exemplos de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2, a 
raiz quadrada de 3, de modo geral, números que não formam dízimas periódicas, 
os algarismos após a vírgula não se repetem periodicamente, não comportando, 
portanto, a representação fracionária.
a) = 1,4142135.. 
b) = 1,7320508..
c) 1, 212112111...
Um número irracional bastante conhecido é o número π = 3.1415926535...
A representação do conjunto dos números irracionais é variável. Alguns 
autores utilizam a letra I de irracionais, outros utilizam a simbologia QC, indicando 
que os irracionais são os complementares dos racionais com relação ao conjunto 
dos números reais, considerado aqui como conjunto universo.
6 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos 
o conjunto dos números reais como:
NOTA
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número.
ATENCAO
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
34
R = Q ∪ {irracionais} = {x  x é racional ou x é irracional}
O diagrama a seguir mostra a relação entre os conjuntos numéricos 
estudados:
Observe pelo diagrama que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R e ainda {irracionais} ⊂ R, então: 
R = Q ∪ {irracionais} e Q ∩ {irracionais} = ∅ Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e 
irracionais são todos números reais.
Como subconjuntos importantes de IR temos:
 R* = conjunto dos números reais não nulos: R – {0}
 R+ = conjunto dos números reais não negativos
 R_ = conjunto dos números reais não positivos
Observe que entre dois números inteiros existem infinitos números reais. 
Entre os números inteiros 1 e 2 existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 
1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 19999 ...
IMPORTANT
E
ATENCAO
TÓPICO 2 | CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS OS CONJUNTOS NUMÉRICOS: 
35
Intuitivamente, podemos construir o conjunto dos números reais a partir 
dos racionais da seguinte forma: uma reta formada por números racionais tem 
“buracos” (por exemplo, existe um buraco onde deveria estar a raiz quadrada de 
2); assim como também entre dois inteiros existe “um buraco”, pois sabemos que 
entre 1 e 2, por exemplo, podemos assumir infinitos números fracionários. 
O conjunto dos números reais completa essa reta, “tapando todos os 
buracos”, de forma que é classificado como um conjunto denso (assunto abordado 
com maior propriedade na disciplina de Análise Matemática).
FONTE: Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Real_number_line.svg>.Acesso em: 20 set. 2009.
Observe, então, que se x ∈ R ⇒ x é racional ⇒ x = inteiros, infinitos periódicos 
ou então, se x ∈ R ⇒ x é irracional ⇒ x = inteiros, infinitos não periódicos, sendo 
ambas possibilidades excludentes, ou seja, ou x é racional ou x é irracional. 
Resumindo, esta também poderia ser uma definição de número real: 
todo número real possui uma forma decimal com parte inteira e parte decimal 
infinita, ou x ∈ R ⇒ x é do tipo: x = inteiro, decimal infinito; observando que esse 
decimal infinito será periódico ou não, dependendo do caso em que seja racional 
ou irracional.
Exemplos:
FIGURA 1 – NÚMEROS REAIS
Observe que todos os exemplos possuem uma parte inteira e uma parte 
decimal.
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
36
6.1 OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS
No conjunto dos números reais são válidas todas as técnicas operatórias, 
tais como adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação, 
logaritmação.
Costumeiramente usamos a forma decimal para operarmos em R, mas 
devemos observar que, como não podemos operar com demais infinitos, esses 
cálculos são aproximados. Ao usarmos as calculadoras ou os computadores, mesmo 
os de grande porte, devemos lembrar que eles possuem uma certa capacidade, 
sempre finita, e que por isso “trabalham” com um certo número limitado de 
“casas” após a vírgula. Isso significa que estaremos trabalhando com números 
racionais decimais exatos.
Em geral os cálculos são efetuados na forma decimal, isto é, usando a base 
10 para o sistema de numeração, porém, se usarmos outra base, as representações 
serão completamente diferentes. “Um exemplo bem ilustrativo é quando usamos 
a base binária ou hexadecimal nos cálculos na área de informática”. (MAIO, 2007, 
p.169).
Devemos atentar para os erros de aproximação que são introduzidos nos 
cálculos operacionais em R; observe alguns exemplos:
Exemplos:
a) Seja calcular 
Erros de aproximação ficam evidentes quando efetuamos o cálculo anterior 
trabalhando com decimais: 0,33 + 0,14 = 0,47. Observe que “tende mais” para 
0,48 do que para 0,47; o cálculo com duas casas decimais impossibilita verificar 
isso.
b) Seja calcular . Se efetuássemos esse cálculo como 1,41 ⋅ 
1,41, obteríamos 1,98, apresentando um erro de arredondamento que, em alguns 
casos, pode ser expressivo.
É evidente que o erro depende da capacidade da calculadora; aqui estamos 
dando exemplos extremos onde o arredondamento foi feito para duas casas 
decimais, mas, por melhor que seja, sempre dará resultados aproximados, pois sempre 
limitará seu número de casas decimais em algum valor e sabemos que os reais apresentam 
dízimas infinitas periódicas (racionais) ou não (irracionais).
37
RESUMO DO TÓPICO 2
 Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
 Quanto ao conjunto dos números naturais:
- É representado por N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}, as reticências fornecem a ideia 
de infinito.
 Quanto ao conjunto dos números inteiros:
- É representado por: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. 
- Todos os elementos de N pertencem a Z, o que equivale a dizer que N é 
subconjunto de Z ou N ⊂ Z ou ainda Z ⊃ N.
 Quanto ao conjunto dos números racionais:
- Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de 
fração (com o numerador pertencente a Z e o denominador pertencente a Z*).
- Matematicamente, representamos: Q = {x  x = , com a ∈ Z, b ∈ Z e b ≠ 0}.
 Quanto ao conjunto dos números irracionais:
- São decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser 
escritos na forma de fração (divisão de dois inteiros). 
 Quanto ao conjunto dos números reais:
38
Prezado(a) acadêmico(a)!
As autoatividades que seguem buscam fazer com que você elabore 
conceitos apropriados para cada um dos conjuntos numéricos estudados neste 
tópico.
Bom trabalho!
1 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
a) ( ) Z+ é o conjunto dos números inteiros positivos.
b) ( ) Z– é o conjunto dos números inteiros negativos. 
c) ( ) Z ⊂ Q, ou seja, todo número inteiro é racional.
d) ( ) ∃ x ∈ Q x ∉ R (verifique tabela de símbolos no anexo A).
2 Usando os símbolos ∈ ou ∉, complete os espaços:
AUTOATIVIDADE
3 Observe os números a seguir:
Dentre esses números, determine quais são:
 a) naturais b) inteiros c) racionais d) irracionais
39
4 Localize, na reta, aproximadamente, o ponto correspondente a cada número 
da questão anterior:
Exportações Importações Balança Comercial
1999 25 18
2000 30 -2
2001 26,8 -2,1
b) Quais são os números naturais que constam nessa tabela?
c) Quais são os números inteiros que constam nessa tabela?
d) Quais são os números racionais que constam nessa tabela?
e) Quais são os números racionais não inteiros que constam nessa tabela?
f) Quando a balança comercial é positiva, diz-se que houve um superávit; 
quando é negativa, diz-se que houve um déficit. No triênio 1999/2001, em que 
ano(s) houve superávit? Em que ano(s) houve déficit?
5 Identifique quais dos números a seguir não são números reais:
6 A balança comercial de um país, em um determinado período, é a diferença 
entre o valor total das exportações e o das importações, nessa ordem.
a) Complete a tabela a seguir com os valores correspondentes às importações, 
às exportações e à balança comercial de certo país nos anos de 1999, 2000 e 2001, 
em bilhões de dólares:
40
41
TÓPICO 3
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Potenciação é uma operação unária usada em Aritmética para indicar a 
multiplicação de uma dada base por ela mesma tantas vezes quanto indicar 
o expoente. O uso desta operação é muito costumeiro, tendo em vista que as 
potências estão envolvidas em grande variedade de problemas de cálculo e técnicas 
estatísticas.
Em Matemática, denominamos unária a operação que possui apenas um 
operador, ou seja, trata-se de uma função com somente uma variável de entrada.
A notação científica, ou seja, a escrita de um número com o auxílio de 
potências de base 10 é um recurso comum para a representação simplificada de 
números muito grandes ou muito pequenos, tendo em vista a facilidade de operar 
com esses números diante de seus equivalentes numéricos. Na utilização dos 
computadores ou máquinas de calcular, por exemplo, a notação científica tem uso 
regular, tornando os cálculos mais rápidos devido às propriedades da potenciação.
Por sua vez, o termo radiciação pode ser entendido como uma operação 
que, se fornecida uma potência de um número e o seu grau, pode-se determinar 
esse número, ou seja, uma operação recíproca à potenciação.
Neste tópico vamos estudar ambas as operações e suas propriedades 
fundamentais.
2 POTENCIAÇÃO EM Z
Dados dois números naturais a e n, chama-se potência n de a, e representa-
se por an ao número obtido efetuando o produto de n fatores iguais a a.
NOTA
42
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
n parcelas iguais
Chamamos a de base, n de expoente e ao resultado da operação an 
denominamos potência.
2.1 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO EM Z
Decorrentes da definição e das propriedades da multiplicação têm-se que:
 1n = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ... ⋅ 1 = 1
 0n = 0
Das propriedades básicas da potenciação de números inteiros, destacamos 
as seguintes:
 Produto de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
am ⋅ an = am + n
Exemplos: 
a) 23 ⋅ 24 = 23+4 = 27 b) 3-3 ⋅ 34 = 3-3+4 = 31 = 3 c) 105 ⋅ 103 = 108
 Quociente de potências de mesma base: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
am : an = am – n
IMPORTANT
E
TÓPICO 3 | POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
43
Exemplos:
 Distributiva em relação ao produto e divisão: ∀a, b, m ∈ Z, temos que:
(a ⋅ b)m = am ⋅ bm
e
(a : b)m = am : bm
Exemplos:
 Potência de potência: ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
(am)n = am ⋅ n
Exemplos:
a) (23)2 = 26 = 64 
 
b) (3-3)2 = 3-6 = 
 
c) (102)3 = 106 = 1.000.000
Observe a diferença entre as expressões (am)ne amn:
• (23)2 = 23.2 = 26 = 64
• 232 = 23.3 = 29 = 512
IMPORTANT
E
44
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
 Se n = 1, então: a1 = a  Se n = 0 e a ≠ 0, então: a0 = 1
Exemplo: Exemplo: 
 Se n = -1 e a ≠ 0, então: a-1 = 
Exemplos: a) b) 
 
 
 c) 
2.2 POTÊNCIAS DE BASE 10
Observe, no quadro a seguir, algumas potências de base 10, seus expoentes 
inteiros positivos e a quantidade de zeros da potência.
Expoente Inteiro 
Positivo (n)
Indicação de 10n Potência (resultado)
Número de zeros da 
potência
1 101 10 1
2 102 100 2
3 103 1.000 3
4 104 10.000 4
n 10n n
FONTE: A autora
Agora observe neste outro quadro algumas potências de base 10, seus 
expoentes inteiros negativos e a quantidade de algarismos à direita da vírgula.
QUADRO 1 – POTÊNCIAS DE BASE 10
ATENCAO
TÓPICO 3 | POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
45
2.3 NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Expoente Inteiro 
Negativo (n)
Indicação de 10n
Potência 
(resultado)
Número de algarismos à 
direita da vírgula
-1 10-1 0,1 1
-2 10-2 0,01 2
-3 10-3 0,001 3
-4 10-4 0,0001 4
n 10n n
FONTE: A autora
As notações científicas são baseadas no uso de potências de base 10. Um 
número escrito em notação científica segue a seguinte configuração:
m · 10e
Onde: 
• m é denominado mantissa e corresponde a um valor numérico maior ou igual a 
1 e menor que 10, ou seja, 1 ≤ m < 10.
• e, dado sob a forma de expoente, é denominado ordem de grandeza.
Observe os exemplos de números grandes e pequenos, expressos em 
notação científica:
• 600.000 = 6 · 105
• 30.000.000 = 3 · 107
• 500.000.000.000.000 = 5 · 1014
QUADRO 2 – POTÊNCIAS DE BASE 10
A observação feita a partir dessas tabelas vai auxiliá-lo(a) a escrever 
potências de base 10 na representação decimal e vice-versa.
Por exemplo:
a) 1.000.000.000.000 = 1012 b) 10-8 = 0,00000001
12 zeros 8 algarismos
46
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
• 7.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 = 7 · 1033
• 0,0004 = 4 · 10-4
• 0,00000001 = 1 · 10-8
• 0,0000000000000006 = 6 · 10-16
Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois 
apresenta a vantagem de representar adequadamente a quantidade de algarismos 
significativos, em detrimento de seus equivalentes numéricos que trazem pouco 
significado prático. 
Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase 
inexistente na vida cotidiana. Porém, em áreas como Física, Química e Engenharias 
de um modo geral, esses valores são frequentes. Também na área de Economia, ao 
se fazer referência a um valor monetário, em bilhões de dólares, por exemplo, é 
comum o uso da notação científica.
3.1 PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO EM Z
Das propriedades básicas da radiciação, destacamos as seguintes:
• Distributiva em relação ao produto e à divisão: ∀a, b, m ∈ Z, temos que:
3 RADICIAÇÃO EM Z
A operação pela qual, dada a potência e o expoente, se determina a base 
denomina-se radiciação.
Dados três números naturais a, b, n tais que a = bn. O número b é dito raiz 
de índice n de a e representa-se pelo símbolo .
Assim, a = bn implica que = b, 
onde a é dito radicando e n índice do radical, a b chamamos de raiz enésima.
TÓPICO 3 | POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
47
3.2 SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS
Para viabilizar o trabalho com radicais é conveniente transformá-los, 
colocando-os na forma mais simples possível. Essa forma simplificada é obtida 
através das propriedades dos radicais.
Exemplos: 
a) b) 
• ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
Exemplos:
• ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
Exemplos:
a) b) 
• ∀a, m, n ∈ Z, temos que:
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
As propriedades são válidas apenas para as divisões e radiciações possíveis.
48
UNIDADE 1 | CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
Vejamos alguns exemplos:
3.3 OPERAÇÕES COM RADICAIS
Para operar com radicais, usamos suas propriedades e as propriedades 
operatórias da adição e multiplicação de números reais (comutativa, associativa e 
distributiva). 
Vejamos alguns exemplos:
a) 
Lembre-se de que só é possível adicionar radicais com mesmo índice e 
mesmo radicando.
b) 
Observe que neste exemplo fez-se necessário, inicialmente, o processo de 
simplificação de radicais, tendo em vista que só é possível adicionar radicais com 
mesmo índice e mesmo radicando.
c) 
Lembre-se de que só é possível o produto de radicais com mesmo índice.
d) 
De igual modo ao produto, só é possível o quociente de radicais com 
mesmo índice.
49
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você estudou os seguintes conteúdos:
 Quanto à operação de potenciação:
 - an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a, com n parcelas iguais, onde chamamos a de base, n de 
expoente e ao resultado da operação an denominamos potência.
 Quanto às propriedades da potenciação:
- Produto de potências de mesma base: am ⋅ an = am + n
- Quociente de potências de mesma base: am : an = am – n
- Distributiva em relação ao produto e divisão: (a ⋅ b)m = am ⋅ bn e (a : b)m = am : bn
- Potência de potência: (am)n = am ⋅ n
 Quanto à definição de notação científica:
- Um número escrito em notação científica configura-se na forma m · 10e, onde 
m é denominado mantissa e corresponde a um valor numérico maior ou igual 
a 1 e menor que 10, ou seja, 1 ≤ m < 10, enquanto que e, dado sob a forma de 
expoente, é denominado ordem de grandeza.
 Quanto à operação de radiciação:
 - Dados três números naturais a, b, n tais que a = bn. O número b é dito raiz de 
índice n de a e representa-se pelo símbolo .
 Quanto às propriedades da radiciação:
- Dados a, b, m ∈ Z, temos que: 
50
Prezado(a) acadêmico(a), realize todas as autoatividades propostas, 
a fim de averiguar sua aprendizagem sobre as operações de potenciação e 
radiciação abordadas neste tópico.
Bons estudos!
1 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso). Não esqueça as propriedades que você 
acabou de estudar.
AUTOATIVIDADE
2 Efetue, observando as definições e propriedades:
3 Calcule o valor da expressão:
51
4 Descubra a potência de base 10 que deve ser colocada no lugar de  para 
que se tenha:
a) 56,754 ·  = 567.540 c)  · 23 = 0,000023
b) 0,003 ·  = 30 d)  · 4,5 = 0,00045
5 Resolva as expressões, apresentando os resultados em notação científica:
a) b) 
6 O produto 0,000015 · 0,000000002 é igual a:
a) ( ) 3 . 10-40 d) ( ) 30 . 10-13
b) ( ) 3 . 10-14 e) ( ) 3 . 10-4
c) ( ) 30 . 10-14
7 O valor da expressão (-2)-2 + (-2)-1 + (-2)1 + (-2)2 é igual a:
8 Efetue as adições algébricas com radicais, observando as propriedades 
estudadas:
9 Reduza os radicais a uma expressão da forma , com a e b inteiros, fazendo 
uso de simplificação de radicais:
Assista ao vídeo de 
resolução da questão 7
52
53
TÓPICO 4
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Existem vários caminhos para resolver um problema. Um deles é representar 
a solução do problema por uma letra e escrever uma sentença envolvendo uma 
igualdade, as operações e a letra escolhida, o que denominamos equação algébrica.
Em documentos antigos, o registro da resolução de um problema 
normalmente é bastante longo. Isso se deve ao raciocínio aritmético detalhado e ao 
tipo de linguagem utilizada. 
Com o avanço da Matemática no campo da Álgebra, essas resoluções 
puderam ser resumidas em algumas linhas. O processo algébrico envolve, muitas 
vezes, igualdades que são as equações dos problemas. Esse é um procedimento 
bastante recente.
Um dos objetivos do estudo de equações é determinar soluções dos 
problemas do dia a dia nas diversas áreas de trabalho.
Neste tópico vamos estudar os principais tipos de equações que serão o 
aporte teórico para a fundamentação das Unidades 2 e 3: equações do 1º grau, 
equações do 2º grau e equações exponenciais.
2 EQUAÇÕES DO 1º GRAU
As equações do 1º grau são aquelas que podem ser representadas 
sob a forma ax + b = 0, em que a e b são constantes reais, 
com a ≠ 0