aula dia 17 de agosto

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Geometria 
Espacial
Formas geométricas espaciais
Cubo
Essa é, provavelmente, a figura geométrica mais conhecida — um exemplo do cotidiano é o cubo mágico. O cubo ou o hexaedro é um poliedro composto por seis faces quadrangulares de mesmo tamanho, 8 vértices e 12 arestas.
Tetraedro
O tetraedro, também conhecido como pirâmide triangular, é um poliedro com 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas.
Dodecaedro
O dodecaedro é um poliedro composto por 12 faces pentagonais, 20 vértices e 30 arestas. Normalmente é utilizado em jogos RPG que precisam de dados.
Cilindro
O cilindro é uma figura alongada, em que sua base é circular. Ele tem o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.
Esfera
A esfera é simetricamente proporcional, sendo formada por uma superfície curva contínua. Um exemplo do dia a dia é a bola de futebol.
Octaedro
O octaedro também é um poliedro, só que é composto por 8 faces triangulares de lados iguais (triângulos equiláteros), 6 vértices e 12 arestas. É uma figura que também pode ser vista nos dados de jogos de tabuleiro.
Prisma
O prisma é uma figura com algumas particularidades a mais — por exemplo, ele pode ter a base de diferentes formatos:
triangular;
retangular;
pentagonal;
hexagonal;
heptagonal;
octagonal.
Além disso, ele pode ser inclinado (prisma oblíquo), fazendo com que em sua lateral se forme um paralelogramo, ou reto (prisma reto), fazendo com que sua lateral seja formada por retângulos.
Icosaedro
O icosaedro é um poliedro convexo, composto por 20 faces triangulares, 12 vértices e 30 arestas. Essa também é uma figura espacial que pode ser utilizada como dado em jogos de tabuleiro.
Pirâmide
A pirâmide é uma figura que também tem particularidades, como o prisma. Ela é um poliedro composto por uma base — que pode ser triangular, pentagonal, quadrada, retangular ou paralelogramo — e um vértice que une todas as laterais triangulares.
A altura da pirâmide é a distância entre o vértice e a base. Além disso, ela é classificada em oblíqua, quando é inclinada, ou reta, quando o ângulo é de 90º.
As pirâmides do Egito, por exemplo, têm base quadrada e são retas.
Agora vamos ver as fórmulas que podem ser utilizadas para calcular a área ou volume de cada uma das figuras geométricas espaciais citadas acima.
Cubo
Os elementos que formam esta figura geométrica são os seguintes:
Arestas: possui 12 arestas, essas arestas são segmentos de retas congruentes;
Faces: é formado também por 6 faces quadrangulares, cada face do é um polígono regular, mais especificamente um quadrado.
Diagonais: é possível traçar até quatro diagonais internamente no cubo. Além disso, as faces também possuem suas diagonais.
Vértices: os vértices são formados por pontos onde as arestas se encontram, no total o cubo possui 8 vértices.
Ângulos: nos vértices, ângulos retos são formados, no total o cubo possui 24 ângulos retos.
Área
A área de um objeto ou figura geométrica é a media equivalente a sua superfície. No caso da área do cubo, existem três áreas importantes: a área da base, a área lateral e a área total.
Área da base: a área da base é equivalente a calcular a área de um quadrado, já que as faces são formadas por quadrados. Logo, a fórmula da área da base é:
Ab = a²
Área lateral: a área lateral equivale a calcular a medida das faces que não são bases (a face de cima e a de baixo, são as bases). Assim, a fórmula para a área lateral é:
Al = 4a²
Onde:
Al: é a área da base;
a: a medida da aresta.
Como a lateral é composta por quatro faces, onde essas faces são quadrados, precisamos apenas calcular a área de um quadrado e multiplicar por 4.
Área total: a área total é a medida referente a toda a superfície. Dessa forma, como o cubo tem 6 faces, precisamos calcular a área de uma face e multiplicar o resultado por 6. Então, temos a seguinte fórmula:
A = 6a²
Onde:
A: é a área da base;
a: a medida da aresta.
Volume
O volume é calculado utilizando três medidas: comprimento, largura e altura.
Como as arestas têm as mesmas medidas, então o comprimento, a largura e a altura do cubo são iguais. Dessa forma, precisamos apenas da medida de uma aresta e elevá-la a potencia de 3.
Então, chegamos a seguinte fórmula:
V = a³
Onde:
V: é a medida do volume;
a: é a medida da aresta.
Determine a área total, área lateral, área da base e volume de um cubo cuja aresta mede 4 cm
Tetraedro regular
Temos o tetraedro regular como um dos sólidos de Platão, sendo definido por uma pirâmide regular de base triangular, se somente se, suas faces e arestas são todas iguais.
Como o tetraedro regular é composto por 4 faces triangulares e os triângulos das faces são equiláteros, a área total será dada por:          
O elemento (a) na fórmula descrita acima  é a medida da aresta do tetraedro. Para determinação à altura do tetraedro utilizamos a seguinte formulação:
               
Cálculo do volume do tetraedro
O volume do tetraedro, assim como o de qualquer pirâmide, é obtido fazendo:
           
Onde,
SB → é a área da base do tetraedro.
Como,
          
e
Obtemos:
             
Ou
          
Calcule a área total e o volume de um tetraedro regular de 4 cm de aresta.
Dodecaedro regular
O dodecaedro regular é um dos sólidos de Platão.
Ele é formado por 12 faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices.
Área
A área de um dodecaedro regular pode ser calculada através da seguinte fórmula matemática:
  
                   
Onde:
A = área total
a = medida das arestas
Volume
O volume de um dodecaedro regular pode ser calculado através da seguinte fórmula matemática:
   
Onde:
V = volume
a = medida das arestas
Cilindro
O cilindro é composto por alguns componentes essenciais a sua existência, são eles:
Base: o cilindro possui duas bases opostas, congruentes (mesma medida) e paralela entre si. Uma base é superior e a outra é a base inferior.
Raio: as bases possuem a forma circular, como toda circunferência ela possui um raio que inicia no centro até a linha da base.
Geratriz: a geratriz são os segmentos de retas que vai de uma extremidade de uma base a outra, e equivale a altura do cilindro (h = g).
Diretriz: é o ponto de cada geratriz na base, a diretriz é que indica a direção de cada segmento de reta.
Classificação dos Cilindros
Os cilindros podem ser classificados de acordo com o seu formato, que pode ser reto ou oblíquo. Dessa forma, se a altura for perpendicular as bases, temos um cilindro reto, caso contrário, temos um cilindro oblíquo.
Reto
Um cilindro é considerado reto quando a geratriz (altura), ou seja, a reta que forma a lateral do cilindro de uma base a outra, for perpendicular as bases.
Oblíquo
Um cilindro é considerado não reto ou oblíquo, quando a geratriz não for perpendicular as bases
Equilátero
Um cilindro é considerado equilátero quando o diâmetro das bases for igual a geratriz (altura), ou seja, quando a altura for igual a 2r.
Área da Base
A área da base é equivalente a calcular a área de uma circunferência. Assim, para calcular a área da base usamos a seguinte fórmula:
Ab = π . r²
Onde:
Ab: é a área da base;
π: é o número pi (3,14);
r: é o raio da base.
Área Lateral
Para calcular a área lateral do cilindro, temos que considerar também a altura e o diâmetro da base. Então, utilizamos a seguinte fórmula:
Al = 2 . π . r . h
Onde:
Al: é a área lateral;
π: é o número pi (3,14);
r: é o raio da base;
h: é a altura.
Área Total
A área total é a soma das áreas da base e da lateral. Como o cilindro possui duas bases, ao somar as bases temos que considerar o dobro da medida da área da base. Assim, utilizamos a seguinte fórmula:
At = 2 . Ab + Al ou At = 2 . (π . r²) + (2 . π . r . h)
Onde:
At: é a área total;
Ab: é a área da base;
Al: é a área lateral;
π: é o número pi (3,14);
r: é o raio da base;
h: é a altura.
Volume
O volume é calculado realizando o produto da medida da área da base pela medida da altura (geratriz). Então, o volume é calculado usando a seguinte fórmula:
V = Ab . h ou V = π . r² . h
Onde:
V: é o volume;Ab: é a área da base;
h: é a altura;
π: é o número pi (3,14);
Um tambor com 110 cm de altura e raio da base medindo 60 cm. Calcule a área da base, da lateral e total do tambor. Calcule também a capacidade desse tambor.
Elementos de uma esfera
Conhecemos como esfera todos os pontos no espaço que estão a uma distância igual ou menor que o raio da sua origem, por isso dois elementos importantes dessa figura são o raio r e a origem O. A esfera é classificada como um corpo redondo por conta do formato da sua superfície.
Polos: representados pelos pontos P1  e P2, são os pontos de encontro da esfera com o eixo central.
Equador: a maior circunferência que conseguimos ao interceptar a esfera por um plano na horizontal. O equador divide a esfera em duas partes iguais conhecidas como hemisférios.
Paralelos: qualquer circunferência que conseguimos ao interceptar a esfera por um plano na horizontal. O equador, que mostramos anteriormente, é um caso particular de paralelos e o maior deles.
Meridiano: a diferença entre meridiano e paralelos é que o primeiro é obtido na vertical, mas também é uma circunferência contida na esfera e obtida pela interceptação de um plano.
Volume da esfera
O cálculo do volume de sólidos geométricos é de grande importância para sabermos a capacidade desses sólidos, e com a esfera não é diferente, é de grande importância calcular seu volume para sabermos, por exemplo, a quantidade de gás que podemos colocar em um recipiente esférico, entre outras aplicações. O volume de uma esfera é dado pela fórmula:
         
Superfície da esfera
Conhecemos como superfície da esfera a região formada por todos os pontos que estão à distância r da esfera. Note que, neste caso, a distância não pode ser menor, mas sim exatamente igual a r. A superfície da esfera é o contorno de todo o sólido, é a superfície que reveste a esfera. Para calcular a área da superfície da esfera, utilizamos a fórmula:
At = 4 π r²
Um reservatório de gás possui um raio igual a 2 metros, sabendo-se disso, qual é o seu volume? (use π = 3,1)
Em um hospital, será construído um reservatório de gás oxigênio no formato de uma esfera. Sabendo que ele possui 1,5 metro de raio, qual será a área de sua superfície em m²?
Octaedro Regular
O octaedro regular é formado por 12 arestas, 6 vértices e 8 faces. Suas faces possuem o formato de um triângulo equilátero.
O volume de um sólido geométrico que possui forma de octaedro regular é dado pela expressão:
Área de um octaedro regular
O octaedro regular é formado por oito triângulos equiláteros, ao multiplicarmos por 8 a expressão que calcula a área de um triângulo equilátero, teremos o valor da área do octaedro.
PRISMA
Os elementos que compõem o prisma são: base, altura, arestas, vértices e faces laterais.
Assim, as arestas das bases do prisma são os lados das bases do polígono, enquanto as arestas laterais correspondem aos lados das faces que não pertencem às bases.
Os vértices do prisma são os pontos de encontro das arestas e a altura é calculada pela distância entre os planos das bases.
Classificação dos Prismas
Os prismas são classificados em Retos e Oblíquos:
Prisma Reto: possui arestas laterais perpendiculares à base, cujas faces laterais são retângulos.
Prisma Oblíquo: possui arestas laterais oblíquas à base, cujas faces laterais são paralelogramos.
Bases do Prisma
De acordo com o formato das bases, os primas são classificados em:
Prisma Triangular: base formada por triângulo.
Prisma Quadrangular: base formada por quadrado.
Prisma Pentagonal: base formada por pentágono.
Prisma Hexagonal: base formada por hexágono.
Prisma Heptagonal: base formada por heptágono.
Prisma Octogonal: base formada por octógono.
Áreas do Prisma
Área Lateral: para calcular a área lateral do prisma, basta somar as áreas das faces laterais. Num prisma reto, que possui todas as áreas das faces laterais congruentes, a fórmula da área lateral é:
Al = n . a
n: número de lados
a: face lateral
Área Total: para calcular a área total de um prisma, basta somar as áreas das faces laterais e as áreas das bases:
At = Sl+ 2Sb
Sl: Soma das áreas das faces laterais
Sb: soma das áreas das bases
Volume do Prisma
O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula:
V = Ab.h
Ab: área da base
h: altura
Qual é o volume do prisma da imagem a seguir, sabendo que ele é um prisma reto e sua base é quadrada?
a) 5760 cm3
b) 5000 cm3
c) 2500 cm3
d) 1080 cm3
e) 480 cm3
Icosaedro regular
O icosaedro regular é um sólido geométrico formado por 20 faces, 30 arestas e 12 vértices.
Lembrando que para ser regular, todos os triângulos equiláteros devem possuir as mesmas medida
Área
Podemos calcular a área total da superfície de um icosaedro regular através da seguinte fórmula:
Volume
O volume de um icosaedro regular pode ser calculado através da fórmula matemática abaixo:
                    
Calcule a área e o volume de um icosaedro regular, sabendo-se que a altura que forma suas faces mede 2√3cm
Pirâmide
Elementos da Pirâmide  
Base: corresponde à região plana poligonal na qual se sustenta a pirâmide.
Altura: designa a distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
Arestas: são classificadas em arestas da base, ou seja, todos os lados do polígono da base, e arestas laterais, segmentos formados pela distância do vértice da pirâmide até sua base.
Apótemas: corresponde à altura de cada face lateral; são classificadas em apótema da base e apótema da pirâmide.
Superfície Lateral: É a superfície poliédrica composta por todas as faces laterais da pirâmide.
Tipos de Pirâmide
Segundo as bases e o número arestas que formam as pirâmides, elas são classificadas em:
Pirâmide Triangular: sua base é um triângulo, composta de quatro faces: três faces laterais e a face da base.
Pirâmide Quadrangular: sua base é um quadrado, composta de cinco faces: quatro faces laterais e a face da base.
Pirâmide Pentagonal: sua base é um pentágono, composta de seis faces: cinco faces laterais e a face da base.
Pirâmide Hexagonal: sua base é um hexágono, composta de sete faces: seis faces laterais e face da base.
No tocante à inclinação da base, as pirâmides são classificadas de duas maneiras:
Pirâmides Retas, que formam um ângulo de 90º;
Pirâmides Oblíquas, que apresentam ângulos diferentes de 90º.
Área da Pirâmide
Para calcular a área total da pirâmide, utiliza-se a seguinte fórmula:
Área total: Al + Ab
Onde,
Al: Área lateral (soma das áreas de todas as faces laterais)
Ab: Área da base
Volume da Pirâmide
Para calcular o volume da pirâmide, tem-se a expressão:
V=1/3 Ab.h
Onde:
Ab: Área da base
h: altura
Determine o volume de uma pirâmide regular de base com formato hexagonal, considerando que sua altura equivale a 12 cm e que cada aresta da base mede 8 cm.
Uma embalagem, no formato de uma pirâmide com base quadrada, está sendo produzida por uma fábrica. Sabendo que a geratriz dessa embalagem tem 30 cm, e que o lado da base mede 12 cm, a área total dessa pirâmide é de:
A) 864 cm²
B) 1440 cm²
C) 1684 cm²
D) 964 cm²
E) 832 cm²