5- MATEMATICA E RACIOCINIO LOGICO

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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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SUMÁRIO 
 
1. Conjuntos .......................................................................................................................................... 02 
2. Contagem .......................................................................................................................................... 08 
3. Probabilidades .................................................................................................................................. 23 
4. Aritmética e Álgebra ......................................................................................................................... 39 
5. Números e Grandezas Proporcionais ............................................................................................... 42 
6. Sistema Métrico Decimal ................................................................................................................. 62 
7. Geometria e Trigonometria .............................................................................................................. 68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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CONJUNTOS 
 
 
 
1.1 SUBCONJUNTOS 
Conjuntos: A, B, C, ... Elementos: a, b, c, ... 
Pertinência: ∈ (símbolo usado entre um elemento e o conjunto ao qual ele pertence. 
Inclusão: ⊂ (símbolo usado entre um conjunto e outro conjunto do qual ele é subconjunto). 
 
 
A ⊂ B: 
 A B 
 
 
“Um conjunto com n elementos admite exatamente 2n subconjuntos”. 
 
Exemplo: Determine todos os subconjuntos do conjunto A= { a, b, c }. 
Solução: Ф, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}. Veja que o número de subconjuntos de A é 23=8. 
 
 1.2 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
Intersecção (∩) 
A∩B = {x| x∈A e x∈B} 
 
 
 
 
 
A B 
 
 
 
 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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União ( ∪ ) 
 
A∪B= {x| x∈A ou x∈B} (“ou” não exclusivo) 
 
 
Número de Elementos da União 
Sendo: 
n(A)= nº de elementos do conjunto A 
n(B)= nº de elementos do conjunto B 
n(A∩B)= nº de elementos do conjunto A∩B 
n(A∪B)= nº de elementos do conjunto A∪B, temos 
 A B 
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) •3 •7 
Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B = { 5, 6, 7, 8, 9 } 1 • •2 •5 •8 
n(A∪B) = 6 + 5 – 2 = 9 •4 •6 •9 
 conjunto AxB, sendo A= {a, b, c } e B = {1, 2 }. 
 Solução: n(AxB) = 3x2= 6 
 conjunto AxB, sendo A= {a, b, c } e B = {1, 2 }. 
 Solução: n(AxB) = 3x2= 6 
 
Diferença ( - ) 
A – B = { x|x∈A e x∉B } 
 
 
 
Observação: se A ⊂ B , então B-A é dito complementar de A em relação a B e é 
 
representado por CBA ( A' ou A se B = conjunto universo= U). 
A B 
 
A B 
 
 
 
 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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Diferença Simétrica ( ∆) 
A ∆ B = {x | ou x∈A ou x∈B } (“ou” exclusivo) 
 
 
 
 
Produto Cartesiano ( x ) 
 
 AxB = { (x,y) | x∈A e y∈B } 
 
Número de Elementos do Produto Cartesiano: n(AxB) = n(A). n(B) 
 
Exemplo: Determine o número de pares ordenados do conjunto 
AxB, sendo A= {a, b, c } e B = {1, 2 }. 
 Solução: n(AxB) = 3x2= 6 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) Dados os conjuntos A= { 0, 1 }, B= { 1, 2, 3 } e C= { 0, 2 }, determine: 
a) A∩B 
b) B∪C 
c) A - B 
d) B - A 
e) A x B 
f) B x C 
g) O número de subconjuntos de A, de B e de C 
h) O número de subconjuntos de A x B e de B x C 
 
Resp.: a) {1} b) {0,1, 2, 3} c) {0} d) {2, 3} e) {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), 
(1,2) (1,3)} f) {(1,0), (1,2), (2,0), (2,2), (3,0), (3,2)} 
g) 22, 23, 22 h) 26, 26 
 
02) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de 
A é 
a) 8 b) 256 c) 6 d) 128 e) 100 
 
Resp.: b 
A B 
 
 
 
 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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03) Se A e B são dois conjuntos tais que A ⊂ B e A ≠ ∅, então 
a) se x∈A, então x∉B 
b) se x∈B, então x∉A 
c) se x∈B, então x∈A 
d) se x∉B, então x∉A 
e) A∩B = ∅ 
 
Resp.: d 
 
04) Num universo de 800 pessoas é sabido que 200 delas gostam de samba, 
300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas pessoas não gostam nem de 
samba nem de rock? 
a) 800 
b) 730 
c) 670 
d) 560 
e) 430 
 
Resp.: e 
 
 
05) Se A, B e A∩B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, 
então o número de elementos do conjunto A∪B é 
a) 10 b) 70 c) 85 d) 110 e) 170 
 
Resp. : d 
 
06) Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche , 
verificou-se que 68 receberam a vacina Sabin, 50 receberam a vacina 
contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças 
receberam as duas vacinas? 
a) 11 b)18 c) 22 d) 23 e) 46 
 
Resp. : e 
 
 
07) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há 3 programas de TV 
favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela seguinte indica 
quantas pessoas assistem a esses programas: 
 
Programas 
 
Nº de telespectadores 
E 400 
N 1220 
H 1080 
E e N 220 
 
 
 
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RACIOCÍNIO LÓGICO 
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N e H 800 
E e H 180 
E, N e H 100 
 
Através desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que 
não assiste a qualquer dos 3 programas é 
a) 100 
b) 200 
c) 900 
d) 1 000 
e) 1 100 
 
Resp.: b 
 
08) Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de 3 
embalagens A, B e C, para o lançamento de um novo produto. O resultado 
foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem 
B; 90 indicaram a embalagem C; 30 indicaram as embalagens A e B; 40 
indicaram as embalagens A e C; 50 indicaram as embalagens B e C; 10 
indicaram as 3 embalagens. Dos funcionários entrevistados, quantos não 
tinham preferência por nenhuma das 3 embalagens? 
 a) É impossível calcular b) 60 c) 55 d) 40 
e) 80 
 
Resp.: d 
 
09) (ESAF)-Numa pesquisa de opinião sobre três revistas A, B e C, foi obtido o 
seguinte resultado: 700 pessoas liam a revista A, 500 liam a revista B, 400 liam 
a revista C, 250 liam as revistas A e B, 180 liam as revistas A e C, 110 liam as 
revistas B e C, 30 liam as três revistas e 110 não liam nenhuma.Quantas 
pessoas foram consultadas e quantas liam apenas uma das três revistas? 
a) 1.090 e 520 
b) 1.110 e 430 
c) 1.200 e 610 
d) 1.600 e 680 
e) 1.710 e 430 
 
 Resp.: c 
 
 
10) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o 
seguinte: 80 delas têm sangue com fator RH negativo, 65 têm sangue tipo O e 
25 têm sangue tipo O com fator RH negativo. O número de pessoas com 
sangue de tipo diferente de O e com fator RH positivo é 
a) 40 b) 65 c) 80 d) 120 e) 135 
 
Resp.: c 
 
 
 
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RACIOCÍNIO LÓGICO 
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11) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem 
os jornais A e B, 106 leem apenas um dos jornais e 66 não leem o jornal B. O 
valor de n é 
a) 249 
b) 137 
c) 158 
d) 127 
e) 183 
 
Resp.: c 
 
12) (ESAF)- Uma pesquisa entre 800 consumidores, sendo 400 homens e 400 
mulheres, mostrou os seguintes resultados: 
 
• do total de pessoas entrevistadas: 
500 assinam o jornal X 
350 têm curso superior 
250 assinam o jornal X e têm curso superior 
 
• do total de mulheres entrevistadas: 
200 assinam o jornal X 
150 têm curso superior 
50 assinam o jornal X e têm curso superior. 
 
O número de homens entrevistados, que não assinam o jornal X e não têm curso 
superior é, portanto, igual a 
a) 50 
b) 100 
c) 0 
d) 200 
e) 25 
 
Resp.: b 
 
13) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou 
jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Qual o número de homens que não 
jogam xadrez? 
 
Resp.: 20 
 
14) Numa prova constituída de duas questões, 300 alunos acertaram apenas 
uma das questões, 260 acertaram a segunda questão, 100 acertaram as duas 
questões e 210 erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? 
 
 Resp. 450 
 
 
 
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CONTAGEM 
 
 
 2.1 PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (PM) 
 
 “ Se um determinado evento pode ocorrer em k etapas sucessivas e 
independentes E1, E2, E3,..., Ek, sendo n1, n2, n3,...,nk o número de possibilidades de 
ocorrer cada etapa E1, E2, E3,..., Ek, respectivamente, então o número de 
possibilidades de ocorrerem todas as etapas, ou seja, ocorrer E1 e E2 e E3 e... ...e Ek, é 
igual ao produto n1.n2.n3....nk “. 
 
 
 
Exemplo 
Vanessa comprou 2 calças, 2 tênis e 3 blusas. Quantas possibilidades que ela tem 
de vestir uma calça, 1 tênis e uma blusa usando essas peças novas? 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
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O desenho acima, conhecido como a “Árvore das Possibilidades”, mostra todas as 
12 possibilidades que Vanessa tem para escolher uma calça, um tênis e uma saia. 
Utilizando o Princípio Multiplicativo (PM), chegamos ao mesmo resultando, sem 
desenhar a árvore das possibilidades, o que é muito mais rápido e prático. Então, 
pelo PM, temos: Etapa E1: escolha de uma calça: 2 possibilidades. 
 Etapa E2: escolha de um tênis: 2 possibilidades. 
 Etapa E3: escolha de uma blusa: 3 possibilidades. 
Nº de possibilidades para escolher uma calça, um tênis e uma blusa: 
2.2.3 = 12 possibilidades. 
 
Obs.: O PM utiliza o conetivo e, que está associado à Intersecção de Conjuntos. 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 (CESPE) O BB oferece aos investidores do mercado financeiro vários fundos de 
investimento. Alguns deles estão mostrados na tabela abaixo. 
 
 
Fundo Classificação de risco Taxa de 
administração 
BB Curto Prazo mil muito baixo 3,00% 
BB Referenciado DI mil muito baixo 3,00% 
BB Referenciado DI LP mil baixo 3,00% 
BB Referenciado DI 10 mil muito baixo 2,50% 
BB Referenciado DI LP 50 
mil 
baixo 1,00% 
BB Renda Fixa mil baixo 3,00% 
BB Renda Fixa LP Índice de 
Preço 20 mil 
alto 1,50% 
BB Renda Fixa Bônus Longo 
Prazo 
baixo 2,00% 
BB Renda Fixa 25 mil baixo 2,00% 
BB Renda Fixa LP Premium 
50 mil 
médio 1,00% 
BB Multimercado 
Moderado LP 10 mil 
muito alto 1,50% 
 
Considerando apenas os investimentos mostrados na tabela acima, julgue o 
item seguinte. 
 
 
 
 
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01. Se um investidor pretende aplicar, simultaneamente, em 3 tipos diferentes 
de fundo de investimento e aceita que a taxa de administração do primeiro 
seja de 3%, a taxa do segundo seja de 2% e a do terceiro seja de 1%, então 
ele tem mais de 15 formas diferentes de compor suas opções de 
investimento. 
 Solução: a tabela mostra 
Taxa de administração = 3%: 4 fundos; 
Taxa de administração = 2%: 2 fundos; 
Taxa de administração = 1%: 2 fundos; 
Pelo Princípio Multiplicativo (PM), teremos um total de 4x2x2 = 16 formas diferentes 
de composição. 
O item está Certo. 
 
02. Quantos números naturais de 2 algarismos diferentes podemos formar 
usando 4, 5, 6 e 7? 
Solução 
 ___ ___ 
 ↓ ↓ 
 4 3 
Etapas: 
Escolha do 1º algarismo: 4 possibilidades (ou 4, ou 5, ou 6, ou 7). 
Escolha do 2º algarismo: 3 possibilidades (porque não podemos repetir o 1º 
algarismo escolhido). 
Total: de acordo com o PM, teremos um total de 4.3 = 12 números. 
 
Observação 
Acabamos de calcular o número de Arranjos simples de 4 elementos, tomados 2 a 2, que se 
representa por A4,2 . 
 
03. Quantos números naturais de 2 algarismos podem ser formados usando os 
dígitos 2, 3, 4 e 5? 
Solução 
 ___ ___ 
 ↓ ↓ 
4 4 
Etapas: 
Escolha do 1º algarismo: 4 possibilidades. 
Escolha do 2º algarismo: 4 possibilidades (porque podemos repetir o 1º 
algarismo escolhido). Total: de acordo com o PM, termos um total de 4.4 = 16 
números. 
 
Observação 
Acabamos de calcular o número de Arranjos com Repetição de 4 elementos, tomados 2 
a 2, que é representado por (AR)4,2 . 
 
04. Existem 5 caminhos diferentes para ir do ponto A ao ponto B. De quantas 
maneiras diferentes pode-se ir de A a B e retornar, se o retorno deve ser por 
um caminho diferente do utilizado na ida? 
 
 
 
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a) 9 
b) 10 
c) 20 
d) 22 
e) 24 
 
05. Uma loteria esportiva tem 14 jogos de futebol. Cada jogo tem 3 
possibilidades de resultado: coluna 1, coluna 2 e coluna de meio. Quantos 
cartões diferentes posso fazer, marcando apenas uma coluna por jogo? 
 
06. Um retângulo é dividido em 6 quadrinhos. De quantas maneiras é possível 
pintar a figura resultante, cobrindo os quadrinhos de preto ou vermelho? 
 
07. (PUCRS) Sabendo que, num novo município, os números de telefones 
devem ter 6 algarismos e não podem começar por zero, então o número 
máximo de telefones que podem ser instalados é 
a)106 b) 9.105 c) 10.96 d) 10.95 
e) 96 
08. (UFRGS) Se cada placa de carro deve ter 3 letras de um alfabeto de 26 
letras, seguidas de um número de 4 algarismos, a totalidade de carros que 
podem ser emplacados é 
a) 3! 
b) 7! 
c) 26.25.24.10.9.8.7 
d) 263.104e) (26!).(10!) 
 
09. (UFRGS) De um ponto A a um ponto B existem 5 caminhos, de B a um 
terceiro ponto C existem 6 caminhos e, de C a um quarto ponto D existem 
também 6 caminhos. Quantos caminhos existem para ir do ponto A ao ponto 
D? 
a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080 
10. Quantos são os números com quatro algarismos distintos, no 
sistema decimal, que tem o algarismo das centenas igual a 5? 
 
11. (CESPE) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos 
para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere que 
se deseja gerar códigos cujos caracteres pertençam ao conjunto das 26 letras 
de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, 
julgue os itens que se seguem. 
 
1) Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a 
reposição de caracteres, então podem ser gerados menos de 400.000 
protocolos distintos. 
 
2) Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão 
ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então é 
possível obter mais de 1.000 códigos distintos. 
 
 
 
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3) O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é 
superior a 15.000. 
 
Solução: 
1) Cada código deve ter 4 letras, podendo haver repetição. Então, a 
escolha de cada uma das 4 letras tem 26 possibilidades e, pelo PM, teremos um 
total de: 26 × 26× 26× 26 = 456.976 códigos distintos. 
Item 1: Errado. 
 
2) Como não podemos usar vogais, mas é permitida a repetição de 
letras, podemos usar 21 letras. Então, teremos: 
-códigos com 1 letra: 21 possibilidades 
-códigos com 2 letras: 21× 21 = 441 possibilidades 
-códigos com 3 letras: 21× 21× 21 = 9.261 possibilidades. 
Total: 21 + 441 + 9.261 = 9. 723 códigos distintos. 
Item 2: Certo. 
 
3) O número total de códigos diferentes, formados por 3 letras distintas 
é, de acordo com o PM, igual a 26 × 25 × 24 = 15.600. 
Item 3: Certo. 
 
 
GABARITO – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (PM) 
04) c 05) 314 06) 64 07) b 08) d 09) c 10) 448 
 
2.2.1 ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
Dado um conjunto A com n elementos, podemos formar, basicamente, dois tipos 
de subconjuntos de A: 
 
a) Subconjuntos não ordenados de A com p elementos, ou simplesmente, 
subconjuntos de A com p elementos cada um ( p ≤ n ); 
 
b) Subconjuntos ordenados de A com p elementos cada um ( p ≤ n ). 
 
Os subconjuntos não ordenados (subconjuntos comuns) são chamados de 
combinações simples dos n elementos de A, tomados p a p. 
Os subconjuntos ordenados são chamados de arranjos simples dos n elementos 
de A, tomados p a p. 
Uma permutação simples dos n elementos de A, é simplesmente um 
subconjunto ordenado de A, formado por todos os elementos de A. Ou seja, 
uma permutação simples dos n elementos de A, é um arranjo simples dos n 
elementos de A, tomados n a n. 
 
 
 
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Exemplo: 
Dado o conjunto A = { a, b, c }, pede-se: 
a) o número de arranjos simples de A, com 2 elementos, ou seja, A3,2 ; 
b) o número de permutações simples de A, ou seja, P3; 
c) o número de combinações simples de A, com 2 elementos, ou seja, C3,2 ; 
d) a relação entre os números C3,2 e A3,2 ; 
e) a generalização da conclusão tirada no item anterior, mostrando a relação 
entre C n, p e A n ,p ( Fórmula para o cálculo do número de combinações 
simples). 
Solução: 
a) Os arranjos simples de 3 elementos 2 a 2, são os subconjuntos ordenados de 
A, com dois elementos: (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c) e (c,b). Veja que A3,2 = 6. 
 
Para determinar o número A3,2 , basta usar o Princípio Multiplicativo (PM): 
-Escolha do 1º elemento: 3 possibilidades; 
-Escolha do 2º elemento: 2 possibilidades; 
Total : 3.2 = 6 possibilidades. 
Logo, A3,2 = 6. 
 
Regra prática 
No cálculo de An,p , consideramos o produto dos números naturais decrescentes a partir de n, 
tomando p fatores. Veja que p funciona aqui como um “contador”, pois ele nos indica o 
número de fatores que devemos tomar. 
A3,2 = 3.2 =6; A4,3 = 4.3.2 = 24 ; A10,4 = 10.9.8.7 = 5040 ; etc. 
 2 fatores 3 fatores 4 fatores 
 
b) As permutações simples de A, são os arranjos simples de 3 elementos 3 a 3: 
(a,b,c), (b,a,c), (b,c,a), (c,b,a), (c,a,b) e (a,c,b). 
Temos então, P3 = 6. 
Para determinar o número P3 , usamos o PM novamente: 
 
-Escolha do 1º elemento: 3 possibilidades; 
-Escolha do 2º elemento: 2 possibilidades; 
-Escolha do 3º elemento: 1 possibilidade; 
Total: 3.2.1 = 6 possibilidades. Logo, 
P3 = A3,3 = 6. 
 
 
c) As combinações simples de 3 elementos 2 a 2, são os subconjuntos não 
ordenados {a,b}, {a,c} e {b,c}. Observe que C3,2 = 3. 
Para determinar o número C3,2 , basta observar que nos subconjuntos 
ordenados ou arranjos simples (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b), cada 
combinação foi contada duas vezes , pois {a,b}={b,a}, {a,c}={c,a} e {b,c}= {c,b}. 
Assim, C3,2 = = 3. 
 
 
 
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 FATORIAL 
 
O produto 3.2.1 é chamado de Fatorial de 3 e escreve-se 3! 
Assim, P3 = 3! = 3.2.1 = 6. 
De um modo geral, dado um número natural n diferente de zero, definimos 
Fatorial de n por: n! = n(n-1)(n-2)(n-3)……3.2.1 
 
 
d) No item anterior vimos que: 
-A combinação {a,b} se desdobrou nos 2 arranjos 
(a,b) e (b,a); -A combinação {a,c} se desdobrou nos 
2 arranjos (a,c) e (c,a); -A combinação {b,c} se 
desdobrou nos 2 arranjos (b,c) e (c,b). 
Em outros termos, cada uma das 3 combinações se desdobrou em 2 arranjos , 
obtendo-se o total de 6 arranjos . Mas esse “2”, é exatamente o número de 
permutações que podemos formar com os dois elementos de cada combinação, 
pois P2 = 2.1 = 2. 
Conclusão: a relação entre os números C3,2 e A3,2 é A3,2 = P2 .C3,2 ou 
A3,2 
 C3,2 = . 
P2 
 
e) Generalizando a conclusão tirada no item (d) teremos: 
 
 
, sendo p≤ n. 
 
 
A relação acima é a fórmula que usaremos para calcular o número de 
combinações simples de n elementos, tomados p a p. 
 
Observação 
 An,p e Pn podem ser calculados diretamente pelo Princípio Multiplicativo (PM). Mas Cn,p 
 
não. Para calcular o número Cn,p utilizaremos a fórmula : Cn,p = An,p 
Pp 
 
COMBINAÇÕES COMPLEMENTARES 
 
As combinações Cn,p e Cn,n-p são conhecidas como Combinações 
Complementares. Por exemplo, C12,9 e C12,3 , C30,28 e C30,2 , C100,97 e C100,3 são 
combinações complementares. 
Pode-se demonstrar que Cn,p = Cn,n-p , ou seja, duas combinações 
complementares sempre são 
iguais. Assim, C12,9 = C12,3 , C30,28 = C30,2 e C100,97 = C100,3 . 
Cn,p = An,p 
 Pp 
 
 
 
a 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
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Essa propriedade facilita muito o cálculo de algumas combinações. Por exemplo, 
para calcularmos C30,28 , fazemos : 
 
C30,28 = C30,2 = 30.29 = 435. 
 2.1 
EXERCÍCIOS 
01. Calcule: 
a) A5,2 e) P2 i) C4,2 
b) A10,3 f) P1 j) C8,3 
c) A8,1 g) P0 k) C5,5 
d) P5 h) Pn l )C20,2 
 
02. Dado o conjunto A= { 1,2,3,4,5,6} , determine : 
a) o número de subconjuntos de A com 3 elementos; 
b) o número de subconjuntos ordenados de A com 3 elementos; 
c) o número de subconjuntos de A com zero elementos; 
d) o número de subconjuntos ordenados de A com zero elementos. 
 
03. (ESAF) Em um campeonato de padel participam 10 duplas, todas com 
a mesma possibilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes podemos ter 
a classificação para os 3 primeiros lugares? 
 
Solução: A10,3 = 10.9.8= 720. 
 
04. Dez competidores disputam um torneio de natação, em que apenas 
os 4 primeiros colocados classificam-se nas finais. Quantos resultados possíveis 
existem para os 4 primeiros lugares? 
 
Solução 
A10,4 = 10.9.8.7 = 5 040. 
 
05. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 podemos formar x números 
pares com 4 algarismos distintos. O valor de x é a) 420 
b) 240 
c) 120 
d) 80 
e) 60 
 
Solução 
Os números pares formados com 4 dos algarismos dados terminam em 0, 2, 4 ou 
6: 
_ _ _ 0 ⇒ A6,3 
_ _ _ 2 ⇒ A6,3 
 _ _ _ 4 ⇒ A6,3 
_ _ _ 6 ⇒ A6,3 
 
 
 
a 
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e são em número de 4A6,3 = 4(6.5.4)= 480. 
Mas nos números pares que terminam em 2, 4 e 6, estão incluídos os números 
que começam por 0, que são números com 3 algarismos: 
0 _ _ 2 ⇒ A5,2 
0 _ _ 4 ⇒ A5,2 
0 _ _ 6 ⇒ A5,2 
 
e que são em número de 3A5,2 = 3(5.4) =60. 
Descontando esses números, teremos 480 – 60 = 420 números pares com 4 
algarismos distintos. 
A alternativa correta é (a). 
Observação: Um outro caminho (bem mais curto!) é usar o PM. Tente. 
 
06. (CESGRANRIO) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e 
uma senha pessoal de 4 algarismos distintos entre 1000 e 9999. A quantidade de 
senhas, em que a diferença positiva entre o 1º algarismo e o último algarismo é 
3, é igual a 
a) 936 
b) 896 
c) 784 
d) 768 
e) 728 
 
07. (ESAF) Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma podem ser 
formadas com 10 funcionários de uma empresa? 
 
Solução 
C10,4 = = 210 comissões. 
 
08. Quantas diagonais tem um octógono? 
 
09. (ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 
são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se 
pode formar com 3 homens e 2 mulheres é ? a) 1.560 
b) 1.650 
c) 5.830 
d) 5.400 
e) 5.600 
 
10. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas a partir de um grupo 
de 10 pessoas, de modo que duas pessoas A e B estejam presentes em todas as 
comissões? 
 
Solução 
 
 
 
a 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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Cada comissão deve ter 4 pessoas. Como as duas pessoas A e B devem estar em 
todas as comissões, restam apenas duas vagas para completar cada comissão. 
Basta eliminar as pessoas 
 
 A e B do grupo das 10 pessoas e calcular C8,2: C8,2 = 8.7 = 28 comissões. 
 2.1 
 
11. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas a partir de um grupo 
de 12 pessoas, de modo que duas pessoas A e B não estejam presentes em 
nenhuma comissão? 
 
Solução 
Para garantir que as pessoas A e B não estejam em nenhuma comissão, basta 
eliminar as pessoas A e B do grupo de 12 pessoas e calcular C10,3 : 
C10,3 = = 120 comissões. 
 
12.(FGV) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 
pessoas poderão ser formadas, contendo, no mínimo, 1 diretor? 
 
Solução 
Como cada comissão deve conter no mínimo 1 diretor, devemos calcular quantas 
são as comissões com 1, 2 ou 3 diretores. 
 
Comissões: 
-com 1 diretor e 4 gerentes ⇒ C3,1 × C5,4 ; 
-com 2 diretores e 3 gerentes ⇒ C3,2 × C5,3 ; 
-com 3 diretores e 2 gerentes ⇒ C3,3 × C5,2 . 
 
Total: C3,1 × C5,4 + C3,2 × C5,3 + C3,3 × C5,2 = 55 comissões. 
 
Outro método (“Atalho”): 
3 diretores + 5 gerentes = 8 pessoas. 
Basta calcular o total de comissões com 5 pessoas (C8,5) e subtrair deste total o 
número de comissões com nenhum diretor (C5,5). A diferença nos dará o número 
de comissões que contém pelo menos um diretor: 
 
C8,5 – C5,5 = 56 – 1 = 55 comissões. 
 
Notas 
a) Cuidado! Este “atalho” só pode ser aplicado a problemas que falam em “no 
mínimo um”. Para problemas que falam em “no mínimo dois”,” no mínimo 
três”, etc, o raciocínio não se aplica. 
 
b) Para calcular C8,5 use combinações complementares: 
 C8,5 = C8,3 = 8.7.6 = 56 . 
 3.2.1 
 
 
 
a 
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RACIOCÍNIO LÓGICO 
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13. (ESAF) Em uma empresa existem 10 supervisores e 6 gerentes. Quantas 
comissões de 6 pessoas podem ser formadas de maneira que participem 
pelo menos 3 gerentes em cada uma delas? 
 
14. Num encontro de 12 cientistas, 3 são matemáticos. Quantas comissões de 
cinco elementos podem ser formadas, tendo cada comissão no mínimo um 
matemático? 
 
15. Determine o valor de A7,2 – C7,2. 
 
16. O valor de n na equação An,2 = 3Cn,3 é 
a) 4 b) 5 c) 7 d) 10 
e) 12 
 
Solução 
 
 An,2 = n(n-1) e Cn,3 = n(n−1)(n− 2) = n(n−1)(n−2) . 
 3.2.1 6 
Substituindo na igualdade dada, teremos: 
 
n(n-1) = 3 . 
 n(n−1)(n− 2)
 ⇒ n(n-1) = n(n−1)(n− 2) ⇒ 
 6 2 
 2n(n-1) = n(n-1)(n-2) ⇒ 2 = n-2 ⇒ n = 4. 
Resposta: a 
Obs.: Outro método é testar as respostas (substituir n por 4, 5, etc na equação 
An,2 = 3Cn,3). 
 
17. Se Cn, 2 = 28, então n é igual a 
a) 4 
b) 8 
c) 16 
d) 24 
e) 40 
 
18. (FCC) Oito processos deverão ser distribuídos entre três juízes de modo que 
o primeiro juiz receba 4 processos, o segundo 2 e o terceiro também 2. O 
número de maneiras em que a distribuição poderá ser feita é a) 124 
b) 250 
c) 380 
d) 400 
e) 420 
 
19. Marcamos 8 pontos sobre uma reta r e 5 pontos sobre uma reta s, 
paralela a r. Quantos triângulos podemos obter unindo 3 quaisquer desses 
pontos? 
 
 
 
 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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CESPE/ UnB 
Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de contagem. 
 
20. Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para 
serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco 
do Bruno, Banco da Rosa, etc. Suponha também, que a quantidade total de 
nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção 
da propaganda na TV,sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse 
caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que 
pode ocorrer é inferior a 70. 
 
21. Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 
funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 
funcionários. 
 
 
 
CESPE/UnB 
O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no 
Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do 
Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, 
julgue os itens que se seguem. 
 
22. Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 
atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-
Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação no 1º, 
2º e 3º lugares foi igual a 6. 
 
Solução: 
-Classificação em 1º lugar: 3 possibilidades-Classificação em 2º lugar: 2 possibilidades -
-Classificação em 3º lugar: 1 possibilidade. 
Pelo PM, teremos um total de 3.2.1 = 6 possibilidades. 
Resposta: Certo. 
 
23. Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia 
exatamente 1 atleta de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-
Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse 
continente competirem entre si é igual a 66. 
 
Solução: 
Como temos 12 atletas da América do Sul, basta calcular C12,2 . 
C12,2 = = 66. 
Resposta: Certo. 
 
 
 
 
a 
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24. Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê 
com representantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-
Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e 2 do Caribe. 
 
Solução: 
-Comitês com 3 representantes da América do Sul: C12,3 
-Comitês com 2 representantes da 
América Central: C8,2 -Comitês com 2 
representantes do Caribe: C19,2 De acordo 
com o PM, teremos um total de: 
 C12,3 x C8,2 x C19,2 = 220 x 28 x 171 > 419 e a resposta é Errado. 
 
Observação: 
Essa questão é uma “pegadinha”, pois 220 + 28 +171 = 419. Nem precisamos 
fazer a multiplicação para ver que 220 × 28 × 171 > 419. Na verdade, 220 × 28 × 
171 = 1.053.360, que é bem maior do que 419. 
 
25. Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América 
Central participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 
países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América 
Central é inferior a 180. 
Solução: 
-América do Norte: 3 países participantes 
-América Central: 8 países participantes. 
Como cada comitê tem que ter representantes de 5 países, sendo pelo menos 3 
países da América Central, teremos um total de : 
 C8,3 × C3,2 + C8,4 × C3,1 + C8,5 × C3,0 = ...= 287 > 180. 
Resposta: Errado. 
 
26.(ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 
delas tenham menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos , e 
que as demais tenham idade superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a 
seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29 anos, sendo a idade, em anos, 
de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de 
dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual 
a: a) 120 
b) 1220 
c) 870 
d) 760 
e) 1120 
 
27. Permutando os algarismos 1, 2, 3 e 4 de todos os modos possíveis, obtemos 
números com 4 algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, 
constatamos que o lugar ocupado pelo número 3 214 é o 
a) 15º 
b) 17º 
c) 20º 
d) 34º 
 
 
 
a 
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e) 40º 
 
28. Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos 
distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 
61. 473 será a 
a) 74ª b) 76ª c) 78ª d) 80ª e) 82ª 
 
29. Calcule o valor de: 
a) 
!
 b) 
!
 c) 
30. Simplificando a expressão obtemos: 
a) (n+1) 
b) (n+1)(n+2) 
c) n(n+2) 
d) n(n+1)(n+2) 
e) (n+1)(n+ 2) 
 
n−1 
 
31. Considerando os anagramas da palavra LIVRO, pergunta-se: 
a) O número total deles; 
b) Quantos começam com R? 
c) Quantos têm a sílaba LI? 
d) Quantos têm as letras L e I juntas? 
 
32. Quantos anagramas da palavra ”VESTIBULAR” têm as letras “V”, 
“E” e “S” 
a) juntas e nessa ordem? 
b) juntas e em qualquer ordem? 
 
33. (ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os 
cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem 
distribuir-se nos assentos, de modo que as duas moças fiquem sempre juntas, 
uma ao lado da outra, é igual a: 
a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120 
 
34. Tenho 4 livros de matemática, 5 de física e 3 de química. De quantos 
modos diferentes posso colocar esses livros numa prateleira de uma estante, de 
modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos? 
 
35. Quatro pares de casais estão sentados em uma fileira de 8 cadeiras. 
De quantas maneiras elas podem sentar, se: 
a) Não existir nenhuma restrição; 
b) Sentarem homens juntos e mulheres juntas; 
c) Sentarem homens juntos; 
d) Sentarem pares de casais juntos. 
 
 
 
a 
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36. (ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma 
mesma fila de teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-
se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados e que 
b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, 
são, respectivamente: a) 1.112 e 1.152 
b) 1.152 e 1.100 
c) 1.152 e 1.152 
d) 384 e 1.112 
e) 112 e 384 
 
37. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e 
desejam sentar-se , os cinco, lado a lado na mesma fila. O número de maneiras 
pelas quais eles podem distribuir-se 
nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do 
outro, é igual a 
a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48 
 
38. (FCC) Considere todos os números de 3 algarismos distintos, escolhidos entre 
os elementos do conjunto A = {1,2,3,4,5}. Em quantos desses números a soma 
dos algarismos é ímpar? 
a) 8 b) 12 c) 16 d) 24 e) 48 
 
39.(ESAF) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres 
em uma mesa redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um 
homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens? 
a) 72 b) 36 c) 216 d) 720 e) 360 
 
40.(ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, 
sendo 4 homens e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar 
uma equipe de vendas de 3 funcionários, havendo na equipe pelo menos um 
homem e pelo menos uma mulher? a) 192 
b) 36 
c) 96 
d) 48 
e) 60 
 
41.(ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão 
localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro 
são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de reta que 
ficam determinadas por estes sete pontos é igual a : 
a) 16 
b) 28 
c) 15 
d) 24 
e) 32 
 
 
 
 
 
a 
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RACIOCÍNIO LÓGICO 
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GABARITO- ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
 
 
 
PROBABILIDADES 
 
 
 
 CONCEITOS 
 
EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS são experimentos que, mesmo realizados 
repetidas vezes, nas mesmas condições, apresentam resultados diferentes, sendo 
impossível uma previsão lógica dos resultados. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL (OU CONJUNTO UNIVERSO) é o conjunto de todos os 
resultados possíveis de um experimento aleatório. 
 
Exemplo 
Determine o número de elementos do Espaço Amostral ou Conjunto Universo (U), isto 
é, n(U), nos seguintes experimentos: 
 
 
 
 
 
a 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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01. Jogar um dado e ler o número da face 
voltada para cima. 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
n(U) = 6 
 
02. Jogar uma moeda e ler a figura da face 
voltada para cima. 
U = {Cara, Coroa} 
n(U) = 2 
 
03. Jogar dois dados e ler os números das 
faces voltadas para cima. 
U= {(1,1), (1,2),..., (6,6), (2,1), (2,2),..., (3,1), (3,2), ... (6,6)} 
n(U)= ? 
Para determinar n(U) usamos o PM: 
 
Total = 6 . 6 = 36 possibilidades. Logo, n(U) = 36 . 
 
04. Jogar um dado e uma moeda e ler as faces voltadas para cima. 
U = {(1,C),(1,K), (2,c), (2,K), ..., (6,C), (C,K)}, onde C=cara e K=coroa. 
 
Total = 6 . 2 = 12 possibilidades. Logo, n(U) = 12. 
 
05.Um casal planeja ter 3 filhos. Considerando o sexo (M ou F) dos futuros 
filhos, quantas são as possibilidades? 
U = {(M, M, M), (M, M, F), ... , (F, F, F)}. 
 
Total = 2. 2. 2 = 8 possibilidades. Logo, n(U) = 8. 
 
 
 
EVENTO é qualquer subconjunto do espaço amostral. 
A seguir, vamos definir os principais eventos utilizados na teoria das probabilidades 
dando um exemplo de cada. Em todos os exemplos dados, consideraremos o 
experimento aleatório lançamento de um dado e leitura do número na face voltada 
para cima. Neste caso, o espaço amostral ou conjunto universo será U = {1, 2, 3, 4, 5, 
6}. 
 
Evento certo é o próprio espaço amostral. 
Exemplo: 
Evento C: ocorrência de um número menor que 9 
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U 
 
Evento impossível é o subconjunto vazio. 
 
 
 
a 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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Exemplo: 
Evento I: ocorrência de um número maior que 7 
I = ∅ 
 
Evento união é a união de dois eventos. 
Exemplo: 
Evento A: ocorrência de um número maior que 3: 
A = {4, 5, 6} 
Evento B: ocorrência de um número ímpar: 
B = {1, 3, 5} 
Evento A ∪ B: ocorrência de um número maior que 3 ou 
ímpar: A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6}. 
 
Evento intersecção é a intersecção de dois eventos. 
Exemplo: 
Evento A: ocorrência de um número par: 
A = {2, 4, 6} 
Evento B: ocorrência de um número múltiplo de 3: 
B = {3, 6} 
Evento A ∩B: ocorrência de um número par e 
múltiplo de 3: A ∩B = {6}. 
 
Eventos mutuamente exclusivos são dois eventos que têm intersecção vazia. 
Exemplo: 
Evento P: ocorrência de um 
número par: P = {2, 4, 6} evento 
I: ocorrência de um número 
ímpar: 
I = {1, 3, 5} 
P ∩ I = ∅ 
 
Eventos complementares (ou contrários) são dois eventos mutuamente exclusivos 
cuja união é igual ao espaço amostral. Ou seja, são dois eventos A e B tais que A ∩B = 
∅ e A ∪ B = U. 
Exemplo: 
Evento A: ocorrência de um número par: 
A = {2, 4, 6}; 
Evento B: não ocorrência de um número par (ou seja, ocorrência de um número 
ímpar): 
B = {1,3,5} 
Vemos que A ∩B = ∅ e A ∪ B = U. 
PROBABILIDADE DE UM EVENTO 
 
Supondo que num experimento aleatório, o número de elementos do espaço amostral é 
n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), a probabilidade de ocorrer o evento 
A é o número real P(A) dado por 
 
 
 
 
a 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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n(A) 
P(A) = 
n(U) 
 
Notas: 
a) Na definição acima supomos que todos os elementos do espaço amostral sejam 
equiprováveis, isto é, tenham a mesma chance de ocorrer; 
b) É óbvio que P (∅) = 0 e P(U) = 1; 
c) 0 ≤ P(A) ≤ 1; 
d) Em termos de porcentagem, temos 0% ≤ P(A) ≤ 100%. 
 
EXEMPLOS 
01. Numa urna há 10 bolas pretas e 30 bolas brancas. Qual a probabilidade de 
sortearmos a) uma bola preta? 
b) uma bola branca? 
 
a) P(P) = = ou 25% 
b) P(B) = = ou 75%. 
 
02. Num baralho com 52 cartas, há 13 cartas de cada naipe. Qual a probabilidade 
de tirarmos uma carta do naipe copas? 
 
 P(C) = = ou 25% 
 
03. Jogando-se dois dados, um vermelho e outro azul, qual a probabilidade de 
obtermos soma igual a 10? 
U = {(1,1), (1,2),..., (6,5), (6,6)} 
n(U) = 6 . 6 = 36 
Evento E = {(4,6), (5,5), (6,4)} 
n(E) = 3 
P(E) = = ou 8,33% 
 
04. Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de terem 2 homens e 1 mulher? 
 
n(U) = 2 . 2. 2 = 8 
Evento E = {(H, H, M), (H, M, H), (M, H, H)} 
n(E) = 3 
P(E) = 
 
05. Um cartão da Quina é composto por 80 dezenas (de 01 a 80). Qual a probabilidade 
do sr. Hazharad fazer a quina num cartão com 8 números? 
 
 
 
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►PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (REGRA DO “OU”) 
 
Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de que 
ocorram A ou B é dada por 
 
P(A ∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
Nota: se A e B são eventos mutuamente exclusivos, ou seja, A∩B=∅, então 
 P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 
 
Exemplos 
1) Numa urna há 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a 
probabilidade de retirarmos uma bola com número par ou maior que 4? 
 
n (U) = 10 
 
 
n(A) = 5, n(B) = 6, n (A ∩ B) = 3 
P (A ou B) = 
 
2) Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho com 52 cartas, qual a 
probabilidade da carta escolhida ser um 4 ou um 9? 
 
n(U) = 52 
 
n (A ∩ B) = 0 
P(A ou B) = + − 0 = = 
 
3) Jogando-se dois dados não viciados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos 
obtidos seja 4 ou 5? 
 
n(U) = 6 . 6 = 36 
 
n (A ∩ B) = 0 
 
 
 
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RACIOCÍNIO LÓGICO 
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P(A ou B) = + − 0 = 
 
 
►PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (REGRA DO “E”) 
 
Dados dois eventos sucessivos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade 
de que ocorram A e B é dada por 
 
P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) 
 
onde P(B/A) é a probabilidade de ocorrer B após ter ocorrido A. 
 
Notas: 
a) o número P(B/A) é chamado probabilidade de B condicionada a A; 
b) se os eventos A e B são independentes, ou seja, a ocorrência de A não afeta a 
probabilidade da ocorrência de B, temos P(B/A) = P(B) e a expressão acima 
fica 
 
P(A ∩ B) = P(A).P(B) 
 
Exemplos 
1) Uma urna contém 10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Se sortearmos 2 bolas, 
uma de cada vez, repondo a primeira na urna, qual a probabilidade de a 
primeira ser branca e a segunda ser preta? 
P(B e P) = . = 
 
2) Considerando a mesma situação do exemplo anterior, mas sem reposição da 
primeira bola sorteada, qual a probabilidade de a primeira ser branca e a 
segunda ser preta? 
P(B e P) = . = 
 
3) Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Uma 
peça é escolhida ao acaso e, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra 
peça é retirada. Qual a probabilidade de as duas peças retiradas serem usadas? 
P(u e u) = . = 
 
4) Uma moeda é lançada duas vezes. Qual a probabilidade de sair coroa nos dois 
lançamentos? 
P(K e K) = . = 
 
5) Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de sair cara nas 5 vezes? 
 
 
 
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P(C, C, C, C, e C) = 
 
6) Tira-se 3 cartas ao acaso, com reposição, de um baralho com 52 cartas. Qual a 
probabilidade de ser a primeira de paus, a segunda de ouros e a terceira de 
espadas? 
P(p, o, e) = 
 
7) Temos 3 caixas: caixa 1 com 5 bolas brancas e 5 bolas pretas; caixa 2 com 10 
bolas azuis e 40 bolas verdes; caixa 3 com 16 bolas amarelas e 4 bolas 
vermelhas. Sorteando uma bola de cada caixa, qual a probabilidade de sair 
branca da caixa 1, verde da caixa 2 e amarela da caixa 3? 
 
P(B, V, A) = . . = ou 32% 
 
►PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR 
 
Se A e B são dois eventos complementares (contrários) do mesmo espaço amostral U, 
temos: 
 
P(A) + P(B) = 1 ou 
P(B) = 1 – P(A) 
 
Exemplos 
1) Qual a probabilidade de sair um número diferente de 2 no lançamento de um dado? 
 
a) P(A) = b) P(B) = 1 - = 
 
2) No lançamento de um dado não viciado, qual a 
probabilidade de: a) sairum múltiplo de 3; 
b) não sair um múltiplo de 3. 
 
a) P(A) = = b) P(B) = 1 - = 
B 
A 
 
 
 
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3) São lançados dois dados. Calcule a 
probabilidade de 
a) se obter uma soma de 7 pontos; 
b) não se obter uma soma de 7 pontos. 
a) P(A) = = b) P(B) = 1 - = 
 
 
EXERCÍCIOS 
01. (OSECSP) Foram preparadas 90 empadinhas de camarão, sendo que, a 
pedido, 60 delas deveriam ser bem mais apimentadas. Por pressa e confusão de 
última hora, foram todas colocadas ao acaso, numa mesma travessa para serem 
servidas. A probabilidades de alguém retirar uma empadinha mais apimentada é 
a) 1/3 b) 1/2 c) 1/60 d) 2/3 e) 1/90 
Resp.: d 
 
02. (OSECSP)-A probabilidade de uma bola branca aparecer, ao se retirar uma 
única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é 
a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/12 e) nra 
Resp.: a 
 
03. (FUVEST) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores 
positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é 
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 
Resp.: c 
 
04. (CESGRANRIO) A probabilidade de um inteiro n, 1 ≤ n ≤ 999, ser um 
múltiplo de 9 é 
a) 1/ 909 b) 1/10 c) 2/9 d) 1/3 e) 1/9 
Resp.: e 
 
05. (UFRGS) Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meia estão misturados. 
Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo 
par é 
a) 1/10 b) 1/9 c) 1/5 d) 2/5 e) 1/2 
Resp.: b 
 
06. (FAMECA) Dois prêmios devem ser sorteados entre 25 alunos de escolas 
superiores, entre os quais 5 cursam Medicina. Qual é a probabilidade de 2 dos 
futuros médicos serem contemplados? 
a) 1/5 b) 2/25 c) 1/30 d) 2/5 e) 9/25 
Resp.: c 
 
07. (UNIRIO) As probabilidades de 3 jogadores marcarem um gol cobrado um 
pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a 
probabilidade de todos errarem é 
a) 3% b) 5% c) 17% d) 20% e) 25% 
Resp.: b 
 
 
 
 
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RACIOCÍNIO LÓGICO 
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08. (FAC. OBJETIVO-SP) Um dado honesto tem seis faces numeradas de 1 a 
6. Joga-se este dado duas vezes consecutivas. A probabilidade de obter um 
número par no primeiro lançamento e um número maior ou igual a 5 no segundo 
lançamento é 
a)1/4 b)1/12 c)1/8 d)2/5 e)1/6 
Resp.: e 
 
09. (FCC) Uma rifa, em que apenas um número será sorteado, contém todos 
os números de 1 a 100. Os funcionários de um cartório compraram todos os 
números múltiplos de 8 ou 10. A probabilidade de que um desses funcionários 
seja premiado no sorteio da rifa é de 
a) 12% b) 18% c) 20% d) 22% e) 30% 
 
Solução n(U) = 100; 
Evento A: ser múltiplo de 8; 
Evento B: ser múltiplo de 10; 
A = { 8, 16, 24, ..., 96} ⇒ n(A) = 96/8 = 12 múltiplos de 8; 
B = {10, 20, 30, ..., 100} ⇒ n(B) = 100/10 = 10 múltiplos de 10; 
n(A∩ B) = ? 
Para obter n(A∩B) temos que determinar os múltiplos comuns (múltiplos de 8 e de 10) 
entre 1 e 100. Para isso, calculamos mmc(8,10) = 40 e temos 2 múltiplos comuns 
entre 1 e 100: 40 e 80. Daí: 
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) = + - = , ou seja, 20%. 
Resposta: c 
10. Lançando-se um dado três vezes, a probabilidade de se obter o número 3 
nas duas últimas jogadas, mas não na primeira, é 
a) 1/216 b) 3/216 c) 5/216 d) 7/216 e) 9/216 
Resp.: c 
 
11. (UFRGS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, 
três pessoas são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um 
homem e duas mulheres é de: 
a) 25% 
b) 30% 
c) 33% 
d) 50% 
e) 60% 
Resp.: e 
 
12. (UFRGS) – Considere dois dados, cada um deles com seis faces, 
numeradas de 1 a 6. Se os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a 
soma dos números sorteados seja 5 é: 
a) 1/15 b) 2/21 c) 1/12 d) 1/11 e) 1/9 
Resp.: e 
 
 
 
 
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13. (UFRGS) – Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a 
probabilidade de que cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada 
bebê seja menina, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é: 
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/6 e) 1/8 
Resp.: c 
 
 14. (UFRGS) – Uma parteira prevê, com 50% de chance de acerto, o sexo da 
cada criança que vai nascer. Num conjunto de três crianças, a probabilidade de 
acertar pelo menos duas previsões é de 
a) 12,5% b) 25% c) 37,5% d) 50% e) 66,6% 
Resp.: d 
 
15. (PUCSP) O jogo da loto consiste em sortear 5 dezenas em 100 dezenas possíveis. 
Alguém, querendo jogar nessa loteria, pode escolher de 5 até 10 dezenas. Se alguém 
que escolhe 5 dezenas tem probabilidade x de ganhar, então quem escolhe 7 dezenas 
tem que probabilidade de ganhar? 
a) 7x 
b) 14x 
c) 21x 
d) 28x 
e) 35x 
Resp.: c 
 
16. (ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de 
ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de 
ouro. Maria guarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa 
de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, 
Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, 
que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a 
probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das 
pulseiras que ganhou de João é igual a a) 1/3 
b) 1/5 
c) 9/20 
d) 4/5 
e) 3/5 
Resp.: a 
 
17. (UFRGS) As máquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A 
porcentagem de parafusos defeituosos produzidos, respectivamente, pelas 
máquinas A e B é de 15% e de 5%. Foram misturados , numa caixa, 100 
parafusos produzidos por A e 100 produzidos por B. Se tirarmos um parafuso ao 
acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenha sido produzido pela 
máquina A é de 
a) 10% 
b) 15% 
c) 30% 
d) 50% 
e) 75% 
Resp.: e 
 
 
 
 
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18. (ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 
110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. 
Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante 
selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em 
Inglês ou em Francês) é igual a 
a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200 
Resp.: d 
 
 
 
 
 
 
 
CESPE (Banco do Brasil) 
Em uma loteria, com sorteio duas vezes por semana, são pagos milhões de reais 
para quem acerta os seis números distintos sorteados. Também há premiação 
para aqueles que acertarem cinco ou quatro dos números sorteados. Para 
concorrer, basta marcar entre seis e quinze números dos sessenta existentes no 
volante e pagar o valor correspondente ao tipo de aposta, de acordo com a tabela 
abaixo. Para o sorteio de cada um dos seis números, são utilizados dois globos, um 
correspondente ao algarismo das dezenas e ooutro, ao algarismo das unidades. 
No globo das dezenas, são sorteadas bolas numeradas de zero a cinco e, no das 
unidades, de zero a nove. Quando o zero é sorteado nos dois globos, considera-se, 
para efeito de premiação, que o número sorteado foi o 60. Além disso, após o 
sorteio de cada número, as bolas sorteadas retornam aos seus respectivos globos. 
 
 
Quantidade de números 
escolhidos no volante 
Tipos de aposta Valor (emR$) 
6 A6 1,00 
7 A7 7,00 
8 A8 28,00 
9 A9 84,00 
10 A10 210,00 
11 A11 462,00 
12 A12 924,00 
13 A13 1.719,00 
14 A14 3.003,00 
15 A15 5.005,00 
 Internet: <http://www.caixa.com.br.Acesso em jul./2003(com adaptações) 
Acerca do texto e das informações nele contidas, julgue os itens subsequentes. 
 
19. Para efeito de premiação, os números passíveis de serem sorteados são 
todos os inteiros positivos compreendidos no intervalo [1, 60]. 
 
20. Para o primeiro número que é sorteado, a probabilidade de que seu 
algarismo das dezenas seja igual a 3 é igual à probabilidade de que seu algarismo 
das unidades seja igual a 5. 
 
 
 
 
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21. Em determinado concurso, a probabilidade de que o primeiro número 
sorteado seja o 58 é superior a 0,02. 
 
22. Fazendo-se uma aposta do tipo A6, a probabilidade de se errar todos os 
seis números sorteados é igual a . 
 
23. Considerando que a população da região Nordeste, em 2003, seja de 50 
milhões de habitantes, é correto concluir que, na loteria descrita, a probabilidade 
de se acertar os seis números com apenas 1 aposta do tipo A6 é menor que a de 
ser contemplado em um sorteio do qual participem, com igual chance, todos os 
habitantes da região Nordeste. 
 
Solução 
19. Representando por D o algarismo das dezenas e por U o algarismo das unidades, 
teremos D = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 e U = 0, 1, 2, 3, ..., 8 ou 9. 
Podem ser sorteados 6.10 = 60 pares : {00, 01, 02, 03, ..., 58, 59} ou {01, 02, ..., 58, 
59 ,60} , substituindo 00 por 60 como diz no enunciado. Este conjunto é igual ao 
intervalo fechado formado por todos os inteiros de 1 a 60, e o item está Certo. 
 
20. A probabilidade do algarismo das dezenas ser igual a 3 é P(3) = ; 
A probabilidade do algarismo das unidades ser igual a 5 é P(5) = . 
Assim, vemos que P(3) ≠ P(5) e o item está Errado. 
 
21. P(58) = . 
Observe que 0,02 = = (Para não fazer cálculos desnecessários). 
Agora é fácil ver que < , ou seja, P(58) < 0,02 e o item está Errado. 
 
22. Evento E:” errar todos os seis números sorteados”. 
 
Vemos que o item está Errado. 
 
23. Evento A: “acertar os seis números com apenas uma aposta do tipo A6”; 
Evento S: “ser contemplado em um sorteio do qual participem, com igual chance, 
todos os habitantes da região Nordeste”. 
 
 C6,6 A6,6/ P6 1 1 
 P(A) = = = = . 
 C60,6 A60,6/ P6 60.59.58.57.56.55 50.063.860 
P(S) = . 
 
Como P(A) < P(S), o item está Certo. 
 
 
 
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24. (CESGRANRIO) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até 
que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 
4 é a) 25/216 
b) 5/216 
c) 75/216 
d) 91/216 
e) 150/216 
Resp.: d 
 
25. (ESAF) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela 
pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para 
verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar 
ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto 
de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a 
pressão dos pneus é igual a : 
 
 
a) 0,25 
b) 0,35 
c) 0,45 
d) 0,15 
e) 0,65 
Resp.: e 
 
26. (ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma 
venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de 
compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o 
vendedor faça no mínimo, uma venda em três visitas é igual a: 
a) 0,624 
b) 0,064 
c) 0,216 
d) 0,568 
e) 0,784 
Resp.: e 
 
27. (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A 
probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos 
independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: 
a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5 
Resp.: b 
 
28. (ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de 
basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. 
A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. 
Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a 
probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a: 
a) 4/25 b) 10/25 c) 12/25 d) 3/5 e) 
4/5 Resp.: c 
 
 
 
 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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29. (ESAF) Em uma sala de aula, estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças 
são sorteadas para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três 
crianças escolhidas serem do mesmo sexo é: 
a) 0,10 
b) 0,12 
c) 0,15 
d) 0,20 
e) 0,24 
Resp.: d 
 
30. (CESPE) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em 
acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho 
de 2003. 
 
Estado em que 
ocorreu o acidente 
Total de vítimas fatais 
Sexo masculino Sexo feminino 
Maranhão 225 81 
Paraíba 153 42 
Paraná 532 142 
Santa Catarina 188 42 
 
A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para 
cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da 
vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, 
julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente 
entre os citados acima. 
 
1) A probabilidade que esse relatório corresponda a uma vítima de um 
acidente ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,2. 
 
2) A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino 
é superior a 23%. 
 
3) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo 
masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha 
ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5. 
 
4) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um 
acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo 
masculino e de que o acidente tenha ocorrido no Estado do Maranhão é 
superior a 0,27. 
 
5) A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo 
feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do 
Brasil listados na tabela é inferior a 70%. 
 
 
Solução: 
Vamos adotar na resolução de todos os itens, a simbologia 
seguinte: n(U)= nº de elementos do conjunto Universo 
(espaço amostral); n(E)= nº de elementos do Evento E. 
 
 
 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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1) n(U) = 1. 405 
n(E) = 225 + 81 = 306 
 
 n(E) 306 
 P(E) = = ≅ 0,22 > 0,2 e o item está Certo. 
 n(U) 1.405 
 
2) n(U) = 1.405 
 n(E) = 81 + 42 + 142 + 42 = 307 
 
 n(E) 307 
 P(E) = = ≅ 0,22, ou seja, 22% < 23% e o item está Errado. 
 n(U) 1.4053) n(U) = 225 + 153 + 532 + 188 = 1.098 
n(E) = 532 
 
 n(E) 532 
 P(E) = = ≅ 0,48 < 0,5 e o item está Errado. 
 n(U) 1.098 
 
4) n(U) = 225 + 81 + 153 +42 + 188 + 42 = 731 
n(E) = 225 
 
 n(E) 225 
 P(E) = = ≅ 0,31 > 0,27 e o item está Certo. 
 n(U) 731 
 
5) n(U) = 1.405 
 Evento A: “ a vítima é do sexo feminino” . 
n(A) = 81+42+142+42=307. 
 
Evento B:“o acidente ocorreu em um dos estados da região Sul do Brasil” . 
n(B) = 532+142+188+42 = 904. 
 
Evento (A ∩ B): “a vítima é do sexo feminino e o acidente ocorreu em um dos estados 
da região Sul do Brasil”. 
n(A ∩ B)= 142+42 = 184. 
 P(A) = 
P(B) = 
 
P(A e B ) = 
 
Como P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B), teremos: 
 
 
 
 
a 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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P(A ou B) = 0,73, ou seja, 73%. 
73% > 70% e o item está Errado. 
 
31. (CESPE) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: 
paus, espadas, copas e ouros. Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas 
cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base 
nessas informações, julgue os itens subsequentes. 
 
1) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e 
ela conter uma das figuras citadas no texto é igual a 3/13. 
 
2) Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, 
conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de 
ouros é igual a 1/52. 
 
3) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser 
uma carta de paus é igual a 11/26. 
 
Solução: 
1) n(U) = 52 (Universo) 
n(E) = 12 (Evento). 
 
 P(E) = 12 / 52 = 3 / 13 e o item está Certo. 
 
2) n(U) = 52 
n(E) = 51 ( só tem 1 ás de ouros no baralho). 
 P(E) = 51 / 52 e o item está Errado. 
 
3) n(U) = 52 
 Evento A: “a carta contém uma figura” ⇒ n(A) = 12 ; 
 Evento B: “a carta é de paus” ⇒ n(B) = 13 ; 
 Evento (A ∩ B): “a carta contém uma figura e é de paus” ⇒ 
⇒ n(A ∩ B) = 3. 
 
 P(A ou B ) = P(A) + P(B) – P(A e B), ou seja: 
 
 P(A ou B) = + − = = e o item está Certo. 
 
32. (ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da 
probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez? 
a) 35% 
b) 17% 
c) 7% 
d) 42% 
e) 58% 
Resp.: a 
 
 
 
 
a 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
39 
 
33. (ESAF) Beatriz, que é muito rica, possui cinco sobrinhos: Pedro, Sérgio, 
Teodoro, Carlos e Quintino, Preocupada com a herança que deixará para seus 
familiares, Beatriz resolveu sortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A 
probabilidade de que Pedro e Sérgio, ambos, estejam entre os sorteados , ou que 
Teodoro e Quintino, ambos, estejam entre os sorteados é igual a: 
a) 0,8 b) 0,375 c) 0,05 d) 0,6 e) 0,75 
Resp.: d 
 
 
 
 
 
ARITMÉTICA E ÁLGEBRA 
 
 
 
Algoritmo de Euclides 
Sendo q o quociente e r o resto na divisão entre os inteiros positivos a e b, 
tem-se sempre 0 ≤ r < b. 
 
01) Em uma divisão com números naturais em que o resto é 7 e o divisor tem 
apenas um algarismo, os divisores possíveis são 
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 
b) 4, 5, 6 
c) 7 
d) 7, 8, 9 
e) 8, 9 
Resp.: e 
 
02) (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros 
positivos por 17, cujo resto é igual ao quadrado do quociente. A soma dos 
quocientes dessas divisões é? 
Resp.: 10 
 
03) (FCC) Em um dado momento em que Ari e Iná atendiam ao público 
nos guichês de dois caixas de uma Agência do Banco do Brasil, foi observado que 
a fila de pessoas à frente do guichê ocupado por Ari tinha 4 pessoas a mais que 
aquela formada frente ao guichê que Iná ocupava. Sabendo que, nesse momento, 
se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a fila de Iná, esta última ficaria com o 
dobro do número de pessoas da de Ari, então, o total de pessoas das duas filas 
era: a) 24 
b) 26 
c) 30 
d) 32 
e) 36 
Resp.: e 
 
04)(FCC) A expressão N / 0,0125 é equivalente ao produto de N por 
 
 
 
a 
DELEGAÇÃO DE SERVIÇOS NOTARIAIS E REGISTRAIS DO RS 
 
 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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a) 1,25 b) 12,5 c) 1/80 d) 80 e) 125/100 
Resp.: d 
 
05) (FCC) O valor da expressão , para A=2 e B=-1, é um número 
compreendido entre 
a) -2 e 1 
b) 1 e 4 
c) 4 e 7 
d) 7 e 9 
e) 9 e 10 
Resp.: b 
 
06) (FCC) Para percorrer um mesmo trajeto de 72.900 metros, dois veículos 
gastaram: um, 54 minutos, e o outro, 36 minutos. A diferença positiva entre as 
velocidades médias desses veículos, nesse percurso, em quilômetros por hora, era 
a) 11,475 
b) 39,25 
c) 40,5 
d) 42,375 
e) 45,5 
Resp.: c 
 
07) Há 19 anos, uma pessoa tinha 1/4 da idade que terá daqui a 14 anos. A idade 
da pessoa, em anos está hoje entre a) 22 e 26 
b) 27 e 31 
c) 32 e 36 
d) 37 e 41 
e) 42 e 46 
Resp.: b 
 
08) (FCC) Certo dia um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo 
número de páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45minutos, adotando 
o seguinte procedimento: 
 
- nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página; 
- nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia 
página; Nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia 
página. 
Se dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número 
compreendido entre 
a) 5 e 8 b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17 e) 17 e 20 
Resp.: a 
 
09) (ESAF) A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade 
que ele terá daqui a 20 anos e a terça parte da que teve 5 anos atrás. Qual é a 
idade atual de Carlos? 
Resp.: 14 anos 
 
 
 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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10) (ESAF) Que horas são, se 4/11 do que resta do dia é igual ao tempo 
decorrido? 
Resp.: 6h24min 
 
11) (FCC) Num mesmo instante, dois automóveis começam a rodar em 
uma estrada, um em direção ao outro, quando a distância entre eles é de 480 km. 
Se a velocidade de um deles é de 105 km/h e a do outro é de 95 km/h, após 
quanto tempo da partida eles se cruzarão nessa estrada? 
a) 1 hora e 40 minutos 
b) 1 hora e 55 minutos 
c) 2 horas 
d) 2 horas e 20 minutos 
e) 2 horas e 24 minutos 
Solução: 
d1= distância percorrida pelo 1º automóvel até o ponto de encontro; 
d2= distância percorrida pelo 2º automóvel até o ponto de encontro. 
Supondo que o tempo para se cruzarem seja t horas, teremos: 
d1= 105t e d2= 95t. 
Como d1 + d2 = 480, vem que 105t + 95t = 480 e daí t= h ou 2h24min. 
Resp.: e 
 
12) (ESAF) Em um laboratório, duas velas que têm a mesma forma e a mesma 
altura são acesas simultaneamente. Suponha que: 
- as chamas das duas velas ficam acesas, até que seja consumidas totalmente; 
- ambas as velas queimam em velocidades constantes; 
- uma delas é totalmente consumida em 5 horas, enquanto a outra o é em 4 horas. 
 
Nessas condições, após quanto tempo do instante em que foram acesas, a altura de 
uma vela será o dobro da altura da outra? 
a) 2 horas e minutos 
b) 2 horas e 30 minutos 
c) 3 horas e 10 minutos 
d) 3 horas e 20 minutos 
e) 3 horas e 30 minutos 
 
Solução: Seja t o tempo pedido (em horas) e H a altura inicial das velas. Para 
simplificar, tomemos H= 1 (uma unidade qualquer de comprimento). Então: 
 
1) Após 1 h: 
1ª vela: queimou 1/5 de H= 1/5 e sua altura será 4/5; 
2ª vela: queimou1/4 de H= 1/4 e sua altura será 3/4. 
 
2) Após t horas: 
 
 
 
a 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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13) (ESAF) Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a uma velocidade 
constante de x quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13:30 horas e voa 
na mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilômetros por 
hora. Sabendo que y > x, o tempo, em horas, que o avião YPS , após sua 
decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a 
a) 2 / (x+y) horas 
b) x / (y-x) horas 
c) 1 / 2x horas 
d) 1 / 2y horas 
e) x / 2(y-x) horas 
 
Solução: Os dois aviões percorrerão a mesma distância até se encontrarem. O 
avião YPS levará t horas e o avião XIS levará t+1/2 horas até o encontro (pois 
XIS decolou meia hora antes de YPS). 
Como a distância percorrida por YPS em t horas é igual à distância percorrida 
por XIS em 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 
 
►RAZÕES 
consequente. 
 
 
Exemplos: 
1.Tiago tem 10 anos de idade e Rodrigo tem 14 anos. A razão entre as idades de Tiago e de 
Rodrigo é = . 
 
 
 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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3.A razão entre um trimestre e um ano é . 
4.A razão entre um minuto e vinte e quatro segundos é = 
 
 
►PROPORÇÕES 
 
 
 
Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
 
 
Aplicação: Calcular x na proporção 
 
Pela propriedade fundamental, temos 
5 (x+1) = 20.3 ⇒ 5 (x+1) = 60 ⇒ x+1 = 12 ⇒ x = 11. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
a 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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01) Num jogo de basquete, André fez 60 arremessos, obtendo 50 pontos e 
Paulo, em 30 arremessos, obteve 20 pontos. Quem tem a maior razão de pontos 
por arremessos? Resp.: André 
 
02) Se a razão entre o valor bruto e o valor líquido de certo salário é de 
6/5, que fração do salário líquido foi descontada? E que fração do 
salário bruto? Resp.: 1/5 e 1/6 
 
03) Numa razão, o consequente excede o antecedente em 3 unidades. 
Adicionando-se 11 unidades ao consequente, a razão fica igual a 3/4. A razão 
original é 
a) 54/57 
b) 30/33 
c) 33/36 
d) 42/45 
e) 18/21 
Resp.: d 
 
04) (FCC) As cidades R e S são ligadas por uma rodovia. Num mesmo instante partem 
dois veículos dessas cidades, um de R para S e outro de S para R. Sem paradas, eles 
mantêm velocidades constantes e cruzam-se em um ponto localizado a 3/7 do percurso 
de R para S. Se a velocidade do que saiu de R era de 60 km/h, a velocidade do outro 
era de 
a) 85 km/h 
b) 80 km/h 
c) 75 km/h 
d) 70 km/h 
e) 65 km/h 
Resp.: b 
 
05) (FCC) Álvaro e José são seguranças de uma empresa e recebem a mesma quantia 
por hora extra de trabalho. Certo dia, em que Álvaro cumpriu 2 horas-extras e José 
cumpriu 1 hora e 20 minutos, Álvaro recebeu R$ 11,40 a mais do que José. Logo, as 
quantias que os dois receberam, pelas horas-extras cumpridas nesse dia, totalizavam 
a) R$ 60,00 
b) R$ 57,00 
c) R$ 55,00 
d) R$ 54,50 
e) R$ 53,80 
Resp.: b 
 
06) (FCC) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim 
como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é 
igual a R$ 6 800,00, qual é a diferença positiva entre os salários dos dois? a) R$ 200,00 
b) R$ 250,00 
c) R$ 300,00 
d) R$ 350,00 
e) R$ 400,00 
 
Solução: resolvendo o sistema de equações abaixo 
 
 
 
a 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
45 
 
 
Resp.: e 
 
07) (FCC) Uma certa mistura contém álcool e gasolina na razão de 1 para 5, 
respectivamente. Quantos centímetros cúbicos de gasolina há em 162 litros dessa 
mistura? 
a) 135 000 b) 32 400 c) 1 350 d) 324 e)135 
 
Obs.: Essa questão também pode ser resolvida pelo método mostrado na questão 06. 
 
08) (FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma de um cubo 
cuja aresta mede 0,8 dm. Considerando que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, 
quantos gramas de madeira foram usados na confecção desse peso de papel ? 
a) 494,18 b) 476,16 c) 458,18 d) 49,418 e) 47,616 
Solução: 
1) O volume do cubo com aresta = 0,8 dm = 8 cm é V = 83 = 512 cm3 ; 
 
2) = 
 
Resp.: b 
 
09) (FCC) Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de uma 
unidade do TRT, que participaram de um curso, foi usada a expressão: 
 
a) h+m=158 b) h-m=68 c) 70<h<100 d) 50<m<70 e) m.h<4000 
Resp.: b 
 
 
 
 
 
 
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 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
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►ESCALAS 
 
 Escala é a razão entre a medida da figura no desenho e a sua medida real, ou seja, 
 
Temos 3 tipos de escala: 
a) Escala Natural: quando d = r (Escala 1:1) 
b) Escala de Redução: quando d < r (Escala 1 : 50, por exemplo) 
c) Escala de Ampliação: quando d > r (Escala 100 : 1, por exemplo). 
EXERCÍCIOS 
01) Um segmento com 15 cm de tamanho real é representado, na escala 
1:1, por um segmento de ... cm. 
Resp.: 15 
 
02) Um segmento de 3,50 m de tamanho real é representado, na escala 
1:50, por um segmento de ... cm. 
Resp.: 7 
 
03) Um segmento com 4cm de tamanho real é representado, na escala 10:1, 
por um segmento de ... cm. 
Resp.: 40 
 
04) Dadas as medidas reais e as respectivas escalas para a transformação, 
indicar a medida do desenho, nos casos seguintes: 
 
Medida Real Escala 
a) 2,00 m ......................... 1:50 
b) 7,35m ………………… 1:100 
c) 92cm ........................ 1:10 
d) 17 mm ........................ 1:1 
e) 6mm ........................ 10:1 
f) 0,4 mm ........................ 20:1 
Resp.: a) 4cm b) 7,35cm c) 9,2 cm d) 17 mm e) 60 mm f) 8 mm 
 
05) Um triângulo cujos lados medem 2cm, 64mm e 0,3dm, representa, num desenho 
feito na escala de 1:50, um terreno que deve ser cercado por uma tela. Determine o 
comprimento da tela, em metros, necessário para cercar todo o terreno. 
Resp.: 5,7 
 
06)(FAURGS) Um mapa está na escala de 1 por 20.000 . Uma distância representada 
no mapa por um segmento de 5 cm, corresponde a uma distância real, no terreno, igual 
a a) 100 m b) 250 m c) 1 km d) 2 km e) 10 km Resp.: c 
 
07)(FAURGS) Numa planta, um terreno de 320 m2 é representado por um desenho de 20 cm2. 
A escala dessa planta é 
a) 1:1,6 
b) 1:16 
c) 1:40 
d) 1:160 
 
 
 
a 
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47 
 
 
 
 DIREITO CONSTITUCIONA 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
47 
 
e) 1:400 
Resp.: e 
 
►DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
01) Calcule a, b, c e d supondo que as sucessões (2,a,6,c,10) e (1,2,b,4,d) são sucessões 
de números 
a) diretamente proporcionais; 
b) inversamente proporcionais. 
 
Solução: 
 
a) Os números serão diretamente proporcionais se 
 
 
A partir daí, obtemos a=4, b=3, c=8, d=5. 
 
b) Os números serão inversamente proporcionais se 
 
2.1 = a.2 = 6.b = c.4 = 10.d = k (no caso, k=2). 
 
 A partir daí, obtemos a=1, b=1/3, c=1/2, d=1/5. 
 
02) Decomponha 92 em partes diretamente proporcionais a 9,8 e 6. 
 
Solução: