ONLINE_Matematica_Aplicada_03

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Matemática Aplicada
Autoria: Carlos Henri
que Dias
Tema 03
Função Polinomial do 2o Grau
Tema 03
Função Polinomial do 2o Grau
Autoria: Carlos Henrique Dias
Como citar esse documento:
DIAS, Carlos Henrique. Matemática Aplicada: Função Polinomial do 2o Grau. Caderno de Atividades. Anhanguera Publicações: Valinhos, 2014.
Índice
© 2014 Anhanguera Educacional. Proibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica, resumida ou modificada em língua 
portuguesa ou qualquer outro idioma.
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ACOMPANHENAWEB
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CONVITEÀLEITURA
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PORDENTRODOTEMA
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Conteúdo 
Nesta aula, você estudará:
•	 A caracterização de uma função polinomial do 2o grau.
•	 Gráficos	de	funções	polinomiais	de	2o grau.
•	 A posição da concavidade da parábola.
•	 Interceptos da função nos eixos das abscissas e ordenadas.
•	 Vértice da parábola.
Habilidades 
Ao	final,	você	deverá	ser	capaz	de	responder	as	seguintes	questões:
•	 O	que	é	uma	função	polinomial	de	2o grau?
•	 Como	é	o	gráfico	da	função	polinomial	do	2o grau?
•	 Como	construir	o	gráfico	da	função?
•	 Como	determinar	o	ponto	de	máximo	ou	mínimo	em	um	gráfico	que	envolve	uma	parábola?
CONVITEÀLEITURA
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Função Polinomial do 2o Grau
Introdução
Neste	tema,	você	estudará	as	funções	polinomiais	do	2o	grau,	funções	em	que	o	gráfico	é	uma	parábola.	Este	tipo	
de	curva,	quando	estendida	para	a	forma	de	superfícies,	gera	o	paraboloide	ou	as	conhecidas	antenas	parabólicas.	A	
forma	parabólica	facilita	a	recepção	de	sinais	provenientes	dos	satélites,	pois	converge	o	sinal	que	vem	disperso	para	
um	único	ponto,	que	é	o	foco	da	parábola,	ou	seja,	a	parte	central	da	antena	parabólica.
Caracterização da Função Polinomial do 2o Grau
A função polinomial do 2o grau tem a forma f(x) = ax2+bx+c,	em	que	a,	b	e	c	são	constantes	reais,	com	a			0.	Conforme	
já	mencionado,	o	gráfico	de	uma	função	polinomial	do	2o grau é uma parábola, e os coeficientes	que	aparecem	no	
polinômio	da	função	(a,	b	e	c)	são	determinantes	para	auxiliar	na	montagem	do	gráfico.	Os	tópicos,	a	seguir,	mostram	
as	principais	informações	para	a	montagem	do	gráfico.
•	 O	coeficiente	a determina a posição da concavidade da parábola. Observe a Figura 3.1:
Figura 3.1 Concavidade da parábola.
Assim,	se	o	coeficiente	a for positivo, a parábola terá concavidade voltada para cima; contudo, se a for negativo, a 
parábola terá concavidade voltada para baixo.
PORDENTRODOTEMA
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•	 O	coeficiente	c	determina	o	ponto	em	que	a	parábola	intercepta o eixo y.	Este	valor	é	muito	útil,	pois	auxilia	na	
montagem	do	gráfico,	haja	vista	que	corresponde	ao	ponto	de	coordenada	(0,c) (Figura 3.2).
•	 Para	determinar	os	pontos	em	que	o	gráfico	da	função	polinomial	do	2o grau intercepta o eixo x, basta descobrir 
quais	são	os	valores	de	x	que	fazem	f(x)=0,	ou	seja,	ax2	+	bx	+	c	=	0.	Isso	significa	resolver	uma	equação	do	2o grau. 
A fórmula de Bhaskara	determina	a	solução,	se	existir,	da	equação	ax2	+	bx	+	c	=	0.
Fórmula	de	Bhaskara:	
Observe	que,	na	resolução	da	equação,	quando	se	chega	ao	valor	∆ 	(delta)	negativo,	a	equação	não	terá	solução,	e,	
consequentemente,	não	existirá	x	real	que	faça	ax2	+	bx	+	c	=	0.	Portanto,	para	∆ negativo, a parábola não intercepta 
o eixo x. No caso de valor ∆ positivo, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos; se for igual a zero, intercepta em 
apenas um ponto. 
Na	Figura	3.2,	são	apresentadas	possíveis	situações	para	o	valor	∆ ,	combinando	possíveis	situações	para	a	concavidade.
 
Figura 3.2 Valor ∆ e concavidade da parábola.
PORDENTRODOTEMA
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•	 O vértice da parábola representa ponto de máximo ou de mínimo da função polinomial do 2o grau e pode ser 
encontrado por:
Observe	que	o	vértice	é	localizado	por	uma	coordenada	(xv, yv). A Figura 3.3 ilustra algumas possiblidades para o vértice 
da parábola.
Figura 3.3 Possibilidades para o vértice da parábola.
Quando a parábola possui concavidade voltada para cima, o vértice representará o mínimo da função; caso contrário, 
o vértice representará o máximo da função. Assim, em problemas práticos para a localização do máximo ou mínimo de 
uma função polinomial do 2o grau, basta determinar o vértice da parábola.
A	partir	das	 informações	sobre	concavidade,	 interceptos com os eixos y e x (se existirem) e vértice da parábola, é 
possível	construir	um	esboço	adequado	do	gráfico	da	função	polinomial	do	2o grau.
PORDENTRODOTEMA
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Construção	do	Gráfico
A	seguir,	 são	apresentados	exemplos	que	envolvem	a	construção	do	gráfico	da	parábola.	Para	cada	exemplo,	
utiliza-se	uma	sequência	de	passos	que	determinam	as	informações	mais	importantes	da	parábola.
Exemplo 3.1:	Construir	o	gráfico	da	função	f(x)=	2x2-12x+10.	
Considere	os	seguintes	passos	para	a	montagem	do	gráfico:
1o)	Coeficientes:	a	=	2;	b=-12;	c=10.
2o) Concavidade da parábola:	neste	caso,	como	a	>	0	(a=2),	a	concavidade	da	parábola	é	voltada	para	cima.
3o) Intercepto com o eixo y:	a	parábola	corta	o	eixo	y	em	10,	pois	c	=	10,	e	a	coordenada	correspondente	é	(0,10).
4o) Intercepto com o eixo x:	resolver	a	equação	2x2-12x+10	=	0.	Utilizando	a	fórmula	de	Bhaskara:
Portanto,	a	parábola	corta	o	eixo	das	abscissas	em	x	=	1	e	x	=	5,	ou	seja,	nas	coordenadas	(1,0)	e	(5,0).
5o) Vértice da parábola: a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv:
PORDENTRODOTEMA
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A coordenada do vértice da parábola é (3;-8).
6o)	Gráfico:	com	as	informações	importantes	obtidas	nos	passos	anteriores	sobre	o	gráfico	da	função	f(x)	=	2x2-12x+10,	
deve-se	colocar	os	pontos	no	plano	cartesiano	e	traçar	a	curva	que	passa	pelos	pontos	(Figura	3.4).
Figura 3.4	Gráfico	da	função	f(x)=2x2-12x+10	(Exemplo	3.1).
O	gráfico	da	função	apresentado	na	Figura	3.4	deixa	bem	evidente	que	o	vértice	da	parábola	é	um	ponto	que	marca	
a mudança do comportamento da função, neste caso, de decrescente para crescente. Além disso, o vértice também 
fornece	o	menor	valor	que	a	função	f(x)	=	2x2-12x+10	pode	assumir.	Para	esse	exemplo,	para	qualquer	x,	a	função	nunca	
terá	valor	menor	que	-8.
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Exemplo 3.2:	Construir	o	gráfico	da	função	f(x)=	-x2+6x-9.
Considere	os	seguintes	passos	para	a	montagem	do	gráfico:
1o)	Coeficientes: a = -1; b=6; c=-9.
2o) Concavidade da parábola:	neste	caso,	como	a	<	0	(a=-1),	a	concavidade	da	parábola	é	voltada	para	baixo.
3o) Intercepto com o eixo y:	a	parábola	corta	o	eixo	y	em	-9,	pois	c	=	-9,	e	a	coordenada	correspondente	é	(0,-9).
4o) Intercepto com eixo x:	resolver	a	equação	-x2+6x-9	=	0.	Utilizando	a	fórmula	de	Bhaskara:
A	parábola	apenas	tangencia	o	eixo	das	abscissas	no	ponto	x=3,	ou	seja,	na	coordenada	(3,0).
5o) Vértice da parábola: a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv:
A	coordenada	do	vértice	da	parábola	é	(3,0),	que	coincide	com	o	intercepto	em	x.	Isso	acontece	porque	a	parábola	pode	
apenas tangenciar o eixo x no vértice.
PORDENTRODOTEMA
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6o)	Gráfico: colocar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano.
Figura 3.5	Gráfico	da	função	f(x)=	-x2+6x-9	(Exemplo	3.2).
No	procedimento	de	montagem	do	gráfico	da	Figura	3.5,	obteve-se	apenas	dois	pontos	como	referência,	(0,-9)	e	(3,0),	
devido ao fato de o vértice da parábola coincidir com o intercepto em x, gerando apenas uma coordenada.
Exemplo 3.3:	Construir	o	gráfico	da	função	f(x)	=x2+6x+10.
Considere	os	seguintes	passos	para	a	montagem	do	gráfico:
1o)	Coeficientes:	a	=	1;	b=6;	c=10.
2o) Concavidade da parábola:	neste	caso,	como	a	>	0	(a=1),	a	concavidade	da	parábola	é	voltada	para	cima.
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3o) Intercepto com o eixo y:	a	parábola	corta	o	eixo	y	em	10,	pois	c	=	10,	e	a	coordenada	correspondente	é	(0,10).
4o) Intercepto com o eixo x:	resolver	a	equação	x2+6x+10	=	0.	Utilizando	a	fórmula	de	Bhaskara:
Como o valor ∆ 	é	negativo,	não	é	possível	continuar	a	 resolução	da	equação,	pois	não	é	possível	extrair	uma	raiz	
quadrada	negativa	considerando	o	conjunto	dos	números	reais.Desta forma, a função não possui interceptos no eixo x.
5o) Vértice da parábola: a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv:
A coordenada do vértice da parábola é (-3;1).
6o)	Construir	o	gráfico: colocar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano.
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Figura 3.6	Gráfico	da	função	f(x)	=x2+6x+10	(Exemplo	3.3).
Para	a	montagem	do	gráfico	apresentado	na	Figura	3.6,	foram	utilizadas	apenas	duas	coordenadas,	devido	ao	fato	de	
não existirem interceptos no eixo das abscissas.
PORDENTRODOTEMA
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Só Matemática
•	 Acesse o site	Só	Matemática.	Contém	uma	breve	explicação	sobre	funções	juntamente	a	um	
exemplo	gráfico.
Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php>.		Acesso	em:	5	mai.	2014.
Mundo Educação
•	 Acesse o site	Mundo	Educação.	Contém	a	teoria	sobre	funções	quadráticas,	além	de	alguns	
exercícios resolvidos.
Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/funcao-2-grau.htm>.	Acesso	em:	5	mai.	2014.
Universidade Federal Fluminense
•	 Acesse o site	 da	 Universidade	 Federal	 Fluminense.	 Contém	 exemplos	 práticos	 sobre	 as	
funções	quadráticas.	Além	disso,	contém	uma	breve	história	sobre	Galileu	Galilei	e	as	funções	
quadráticas.
Disponível em:<http://www.uff.br/cdme/quadratica/quadratica-html/info-br.html>.	Acesso	em:	5	mai.	2014.
Biblioteca Virtual da Anhanguera
•	 Acesse o site	da	Biblioteca	Virtual	da	Anhanguera.	No	campo	de	pesquisa,	digite	 funções. 
Aparecerão	várias	produções	acadêmicas	com	aplicações	das	funções	polinomiais.
Disponível em: <http://www.anhanguera.com/bibliotecas/biblioteca-virtual/curso/ead/administracao>. Acesso 
em:	5	mai.	2014.
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Aula 31 - Matemática - Ens. Médio – Telecurso
•	 Assista ao vídeo: Aula 31 - Matemática - Ens. Médio – Telecurso.	Este	vídeo	do	Telecurso	cita	
diversas	situações	práticas	para	o	uso	das	funções	polinomiais	do	2o grau. Além disso, ensina a 
montar	os	gráficos	de	funções.
Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=7tjLo1RQVPU>.	Acesso	em:	5	mai.	2014.
ACOMPANHENAWEB
Instruções:
Agora,	chegou	a	sua	vez	de	exercitar	seu	aprendizado.	A	seguir,	você	encontrará	algumas	questões	de	múltipla	
escolha	e	dissertativas.	Leia	cuidadosamente	os	enunciados	e	atente-se	para	o	que	está	sendo	pedido.
AGORAÉASUAVEZ
Questão 1
Como	explicado	na	teoria,	a	parábola	aparece	em	aplicações	práticas:
“Esse tipo de curva, quando estendida para a forma de superfícies, gera o paraboloide ou as conhecidas antenas parabólicas.”
Relacione	três	outras	aplicações	desta	forma	de	curva.	Pesquise	em	livros	ou	na	internet	outras	situações	práticas	em	que	a	
parábola (ou paraboloide) aparece.
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AGORAÉASUAVEZ
Questão 2
Dada a função f(x)=-3x2-2x+10,	qual	o	coeficiente	que	determina	a	concavidade	e	a	direção	da	concavidade	da	parábola?
a) a = -3, concavidade da parábola voltada para cima.
b) b = -2, concavidade da parábola voltada para cima. 
c)	c	=	10,	concavidade	da	parábola	voltada	para	baixo.
d) a = -3, concavidade da parábola voltada para baixo.
e) b = -2, concavidade da parábola voltada para baixo.
Questão 3
A	coordenada	em	que	o	gráfico	da	função	f(x)	=	2x2	-10x	+12	intercepta	o	eixo	y	é:
a)	(0,2).
b)	(0,-10).
c)	(0,12).
d)	(-10,0).
e)	(12,0).
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AGORAÉASUAVEZ
Questão 4
As	coordenadas	em	que	o	gráfico	da	função	f(x)	=	2x2-10x+12	intercepta	o	eixo	x	são:	
a)	(2,0)	e	(3,0).
b)	(0,2)	e	(0,3).
c)	(-2,0)	e	(-3,0).
d)	(0,-2)	e	(0,-3).
e) A parábola associada a f(x) não intercepta o eixo x.
Dica:	Resolva	a	equação	do	2o	grau	associada	à	função	f(x),	ou	seja,	resolva	2x2-10x+12=0.
Questão 5
A coordenada do vértice da parábola da função f(x) = 2x2-10x	+12=0	é:
a) (2,3).
b) (3,2).
c)	(2,5;-0,5).
d)	(-0,5;2,5).
e)	(-5,4).
Dica: A coordenada do vértice da parábola é (xv,yv).	Utilize	a	 fórmula	que	aparece	na	Leitura	Obrigatória	para	determinar	os	
valores.
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AGORAÉASUAVEZ
Atenção: As questões de 6 a 8 devem ser respondidas considerando a função f(x) = x2 – 4x – 5.
Questão 6
Determine:
a) A posição da concavidade da parábola associada f(x). 
b)	O	intercepto	do	gráfico	de	f(x)	com	o	eixo	y.	
Questão 7
Determine:
a)	Os	interceptos,	se	existirem,	do	gráfico	de	f(x)	com	o	eixo	x.
b) O vértice da parábola.
Questão 8
A	partir	de	todas	as	informações	obtidas	na	resolução	das	Questões	6	e	7,	construa	o	gráfico	de	f(x).
Questão 9
Sem	construir	o	gráfico	da	função	f(x)	=-x2	+	4x	–	6	e	apenas	por	meio	de	cálculos,	explique	por	que	o	gráfico	da	função	f(x)	não	
intercepta o eixo x. 
Questão 10
Construa	o	gráfico	da	função	f(x)	=-2x2	–	4x	–	2.	Determine	as	informações	importantes	sobre	a	parábola	(concavidade,	intercepto	
no	eixo	y,	interceptos	no	eixo	x	e	vértice)	antes	de	montar	o	gráfico.
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Neste	 tema,	 você	aprendeu	 sobre	a	 caracterização	das	 funções	polinomiais	 do	2o grau. Aprendeu, também, a 
montar	 o	 gráfico	dessas	 funções	utilizando	os	 pontos	mais	 importantes	 da	parábola.	Além	disso,	 neste	 tema,	 você	
aprendeu	a	encontrar	os	interceptos	da	parábola	com	o	eixo	das	abscissas	e	ordenadas.	Por	fim,	aprendeu	o	significado	
do vértice da parábola, como ponto de mínimo ou de máximo da função.
FINALIZANDO
MUROLO,	Afrânio	Carlos;	BONETTO,	Giácomo.	Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade. 2. ed. São 
Paulo:	Cengage	Learning,	2012.
TAN,	Soo	Tang.	Matemática Aplicada à Administração e Economia.	5.	ed.	São	Paulo:	Pioneira,	2001.
REFERÊNCIAS
Bhaskara:	matemático	indiano	cujo	nome	foi	atribuído	à	fórmula	para	resolver	equações	do	2o grau. Deve-se ressaltar 
que	não	foi	Bhaskara	(1114-1185)	quem	desenvolveu	essa	fórmula.
Coeficiente: é o fator multiplicativo de um termo em uma expressão, sendo geralmente um número. Não se confunde 
com as variáveis da expressão.
Concavidade:	na	parábola,	a	concavidade	é	o	lado	em	que	há	cavidade,	depressão	ou	vale.
Intercepto:	ponto	em	que	duas	curvas	se	encontram.
GLOSSÁRIO
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GABARITO
Questão 1
Resposta: Resposta	pessoal.	Exemplo:
•	 O	lançamento	oblíquo	de	um	objeto	tem	a	forma	de	uma	parábola.
•	 As	lentes	utilizadas	em	telescópios	para	a	ampliação	de	imagens	têm	a	forma	de	uma	parábola.
•	 Alguns	refletores	de	luz	têm	a	forma	de	um	paraboloide.
Questão 2
Resposta: Alternativa D.
a=-3<0,	então	a	concavidade	da	parábola	é	voltada	para	baixo.
Questão 3
Resposta: Alternativa C.
f(x) = 2x2	-10x	+12,	então:	a=2,	b	=-10		e	c	=12.
Assim,	c=12	representa	o	ponto	em	que	a	parábola	intercepta	o	eixo	y,	que	corresponde	à	coordenada	(0,12).
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Questão 4
Resposta: Alternativa A.
Resolver	a	equação	2x2	-10x	+12=0,	em	que	a=2,	b	=-10	e	c	=12.
Portanto,	a	parábola	corta	o	eixo	das	abscissas	em	x	=	2	e	x	=	3,	ou	seja,	nas	coordenadas	(2,0)	e	(3,0).
Questão 5
Resposta: Alternativa C.
f(x) =2x2	-10x	+12,	em	que	a	=	2,	b	=	-10	e	c	=	12.
A	coordenada	do	vértice	da	parábola	é	(2,5;	-0,5).
Questão 6
Resposta:
a)	Os	coeficientes	associados	a	f(x)	são:	a	=	1,	b=-4	e	c=-5.	Assim,	a	concavidade	da	parábola	é	voltada	para	cima,	pois	a	>	0	(a=1).
b) A parábola intercepta o eixo y em -5, pois c = -5.
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Questão 7
Resposta:
a)	Para	descobrir	esses	pontos,	se	existirem,	resolve-se	a	equação	x2	–	4x	–	5	=	0.	Utilizando	a	fórmula	de	Bhaskara,	tem-se:
A	parábola	corta	o	eixo	das	abscissas	em	x	=	-1	e	x	=	5,	ou	seja,	nas	coordenadas	(-1,0)	e	(5,0).
b) A coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv:
A coordenada do vértice da parábola é (2;-9).
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Questão 8
Resposta:
Questão 9
Resposta:	Inicialmente,	deve-se	tentar	resolver	a	equação	-x2	+	4x	–	6	=0.	Utilizando	a	fórmula	de	Bhaskara,	tem-se:
Como o valor de ∆ 	é	negativo,	não	é	possível	continuar	a	resolução	da	equação.	Desta	forma,	a	função	não	possui	
interceptos	no	eixo	x,	pois	não	é	possível	encontrar	x	tal	que	f(x)	=0,	ou	seja,	-x2	+	4x	–	6	=0.
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Questão 10
Resposta: 
1o)	Discriminar	os	coeficientes:	a	=	-2,	b=-4	e	c=-2.
2o) Concavidade da parábola:	neste	caso,	como	a	<	0	(a=-2),	a	concavidadeda	parábola	é	voltada	para	baixo.
3o) Intercepto com o eixo y: a parábola corta o eixo y em -2.
4o) Intercepto com o eixo x: resolver -2x2-4x-2	=	0.	Deste	modo,	utilizando	a	fórmula	de	Bhaskara,	tem-se:
A parábola apenas tangencia o eixo x no ponto x=-1.
5o) Vértice da parábola: a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv:
A	coordenada	do	vértice	da	parábola	é	(-1;0).	
6o)	Construir	o	gráfico: colocar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano.
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