MATA03 - LISTA 4 CÁLCULO B (UFBA)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA (UFBA)
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DISCIPLINA: MATA03 - CÁLCULO B
LISTA 4
Máximos e mı́nimos
(1) Determine os valores máximos e mı́nimos locais e pontos de sela da função.
(a) f(x, y) = 3y2 − 2y3 − 3x2 + 6xy
(b) f(x, y) =
−x4
4
+
2x3
3
+ 4xy − y2
(c) f(x, y) = xye−x
2−y2
(d) f(x, y) = ex cos y
(e) f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1
(f) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y + 1
(2) A base de um aquário com volume 1m3 é feita de ardósia e os lados são de vidro. Se o preço
da ardósia (por unidade de área) equivale a 3 vezes o preço do vidro, determine as dimensões do
aquário para minimizar o custo do material.
(3) Determine os pontos de máximo absoluto e mı́nimo absoluto das funções:
(a) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, em D = {(x, y) ∈ R2; |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.
(b) f(x, y) = 4x + 6y − x2 − y2, em D = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5}.
(c) f(x, y) = 2x3 + y4, em D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 1}.
(d) f(x, y) = 1 + 4x− 5y, na região triangular fechada de vértices (0, 0), (2, 0) e (0, 3).
(4) Uma caixa retangular tem três faces nos planos coordenados e um vértice no primeiro octante
positivo sobre o parabolóide z = 4− x2 − y2. Determine o volume máximo da caixa.
(5) Encontre os valores máximo e mı́nimo da função f(x, y) = xy sobre a elipse
x2
8
+
y2
2
= 1.
(6) Determine o ponto do plano 3x + 2y + z = 6 que está mais próximo da origem.
(7) Determine a área máxima de um retângulo que pode ser inscrito no ćırculo x2 + y2 = 2.
1
2
(8) O plano x+ y + z = 1 intercepta o cilindro x2 + y2 = 1 em uma elipse. Determine os pontos desta
elipse que estão mais próximo e mais distante da origem.
(9) Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo.
(10) Determine os pontos do cone z2 = x2 + y2 que estão mais próximos do ponto (4, 2, 0).
(11) Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelão. Determine o volume
máximo de tal caixa.
(12) Encontre as dimensões de uma caixa com tampa com volume de 1.000 cm3 que tenha a área de
sua superf́ıcie mı́nima.
(13) Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima, e que
tem um peŕımetro constante p, é um quadrado.
(14) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mı́nimo da função
sujeita à restrição dada:
(a) f(x, y) = x2 + y2; xy = 1
(b) f(x, y) = 4x + 6y; x2 + y2 = 13
(c) f(x, y) = x2y; x2 + 2y2 = 6
(15) Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor. As paredes leste e
oeste perdem calor a uma taxa de 10 unidades/m2 por dia, as paredes norte e sul, a uma taxa
de 8 unidades/m2 por dia, o piso, a uma taxa de 1 unidade/m2 por dia e o teto, a uma taxa de
5 unidades/m2 por dia. Cada parede deve ter pelo menos 30 m de comprimento, a altura deve
ser no mı́nimo 4 m, e o volume, exatamente 4.000 m3. Encontre as dimensões que minimizam a
perda de calor.
3
GABARITO
Máximos e mı́nimos
(1) (a) (0, 0) é ponto de sela e (2, 2) é ponto de máximo local (b) (0, 0) é ponto de sela e (4, 8), (−2,−4)
são pontos de máximo local, (c) (0, 0) é ponto de sela e
( 1√
2
,
−1√
2
)
,
(−1√
2
,
1√
2
)
são pontos de mı́nimo
local;
( 1√
2
,
1√
2
)
e
(−1√
2
,
−1√
2
)
são pontos de máximo local; (2) Dimensões: x = y =
3
√
2
3
, e z =
(
2
3
)− 2
3
;
(3) (a) (0, 0) é ponto de mı́nimo absoluto e (1, 1), (−1, 1) são pontos de máximo absoluto (b) (2, 3) é
ponto de máximo absoluto e (0, 0), (4, 0) são pontos de mı́nimo absoluto (c) (1, 0) é ponto de máximo
absoluto e (−1, 0) é ponto de mı́nimo absoluto; (4) Volume máximo da caixa: 2m3; (5) Valor máximo:
2, atingido em (2, 1) e (-2,-1). Valor mı́nimo: -2, atingido em (−2, 1) e (2,−1); (6) (9/7; 6/7; 3/7); (7) 4;
(8) Ponto com maior distância:
(
−
√
2
2
,−
√
2
2
, 1 +
√
2
)
. Ponto com menor distância: (1, 0, 0), (0, 1, 0); (9)
x =
100
3
, y =
100
3
e z =
100
3
; (10) (2, 1,
√
5) e (2, 1,−
√
5); (11) x = 2, y = 2 e z = 1; (12) x =
3
√
1000,
y =
3
√
1000 e z =
3
√
1000. (14) (a) Não existe valor máximo. O valor mı́nimo é
5
2
(b) Valor máximo 26 e
valor mı́nimo -26 (c) Valor máximo 2 e valor mı́nimo -2; (15) As paredes devem medir exatamente 30 m
e altura deve ser
40
9
.